精品解析：广西柳城县中学2023-2024学年高一下学期3月开学考试数学试题

2024年高一下3月开学考试题 高一数学 （考试时间120分钟 本卷共150分） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，若，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或或 D. 或或 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合A中方程的解，确定出A，由，得，分类讨论确定出a的值即可. 【详解】方程解得：或，∴， 由，得， 当时，，满足题意； 当时，，可得或，解得：或， 综上，或1或0． 故选：D． 2. 若，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合不等式的性质、基本不等式确定正确选项. 【详解】由于，所以， 所以： ，A选项正确. ，，所以，B选项正确. ，， 由于（不符合），所以，C选项正确. 设，则，D选项错误. 故选：D 3. 已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，可得，，根据平行四边形的性质，可得，化简即可得答案. 【详解】由题意，， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以，即， 整理得. 故选：B 4. 已知，当时，取得最小值为b，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】变形后根据基本不等式求出，并得到等号成立的条件，得到答案. 【详解】因为，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故，. 故选：C 5. 如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】，故， 则. 故选：A 6. 对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图象，分别讨论和时，的单调性和的开口方向以及根的位置即可求解. 【详解】选项A、B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为， 选项A中，由图象得，从而，选项A可能； 选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能； 选项D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，选项D不可能； 选项C中，由图象与轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能. 故选：A. 7. 已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由知，为直角三角形；根据在上的投影向量为计算. 【详解】 设的中点为，则，所以， 所以外心与中点重合，故为直角三角形. 设，则，， ，设为方向上的单位向量，则 在上的投影向量为. 故选：C. 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理讲原式角化边，化简整理即可. 【详解】根据正弦定理和余弦定理可得：， 整理可得， 即，当时，为等腰三角形， 当时为直角三角形. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（ ） A. 若，且与同向，则 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的性质及数量积的运算、模的运算及比较大小的方法可判断. 【详解】对于A，由于向量不能比较大小，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，可能小于0，C错误； 对于D，因为，所以，D正确． 故选：BD 10. 给出下列命题： ①函数是奇函数； ②若α，β是第一象限角且，则； ③在区间上的最小值是，最大值是； ④直线是函数图像的一条对称轴； 其中真命题的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】AD 【解析】 【分析】利用诱导公式化简函数，利用正弦含性质即可求解①，举反例即可求解②，根据整体法，结合正弦函数的性质即可求解③，代入验证即可求解④. 【详解】①函数是奇函数，正确； ②若、是第一象限角且，取，，则，不正确； ③，则，所以， 故在区间上的最小值是，最大值是2，不正确； ④当时，， 故是函数的一条对称轴，正确． 故选：AD 11. 已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用分段函数单调性建立不等关系，从而求出参数的取值范围． 【详解】由函数是上的增函数， 所以 所以， 故选：CD． 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知向量，，且与垂直，则实数______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与垂直，其数量积为0求解. 【详解】因为向量，， 所以， 又因为与垂直， 所以，解得， 故答案为： 13. 已知函数，则实数a= 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析： 因为根据题意可知f(0)=20+1=2，那么f(f(0))=f(2)=22+2a=4+2a=4a,故可知a=2,那么解得a的值为2.因此答案为2. 考点：本题主要考查了分段函数的解析式的运用． 点评：解决该试题的关键是利用从内向外的思想来求解函数值，得到实数a的取值情况．体现了复合函数的求值的运用． 14. 三边长分别为，，，则BC边上的中线AD的长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由余弦定理得到，由平面向量基本定理得到，两边平方，结合向量数量积运算法则得到答案. 【详解】由余弦定理得， ，两边平方得， 故. 故答案为： 四、解答题（共5小题，共77分，每题要写出必要的证明，演算过程，推论或步骤） 15. 计算题： （1）已知向量与的夹角为，，，求； （2）已知，，且，求的坐标. 【答案】（1）1 （2）或 【解析】 【分析】（1）结合向量数量积的运算律，利用向量的数量积求模长即可； （2）利用向量共线定理，和模长的坐标公式求解即可. 【小问1详解】 向量与的夹角为，故， 则. 【小问2详解】 ，，故设， 所以，解得， 故或. 16. 已知定义在上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）时，，由题意，得到，再由奇函数的性质，即可得出结果； （2）先由题意得到在上单调递减，根据函数奇偶性，推出在上单调递减，再将不等式恒成立，转化为在上恒成立，进而可得出结果. 【详解】（1）当时，， 则， 又因为为奇函数， 所以， 所以， 所以. （2）因为当时，，单调递减，也单调递减，因此在上单调递减， 又为奇函数， 所以在上单调递减， 所以在上单调递减， 因为在上恒成立， 所以，又因为为奇函数， 所以， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 所以，即. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数解析式，以及由不等式恒成立求出参数的问题，熟记函数奇偶性的定义，以及函数单调性解不等式即可，属于常考题型. 17. 设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解； （2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】（1）由辅助角公式得， 则， 所以该函数的最小正周期; （2）由题意， ， 由可得， 所以当即时，函数取最大值. 18. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）采用边化角结合内角和恒等变换，利用余弦型三角式求解内角； （2）联立面积公式与余弦定理构造方程组，直接求解边长. 【小问1详解】 由， 结合正弦定理可得， 展开右侧三角式得， 消去同类项后化简为， 整理得， 由，得，解得. 【小问2详解】 由三角形面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 代入、，得， 联立，解得. 19. 已知奇函数（） （1）求实数的值； （2）判断并用定义证明函数的单调性； （3）若函数在区间（）上的取值范围为，求实数的取值范围. 【答案】（1）. （2） 函数是定义在上的增函数. 因为，设， 则， 因为，所以， 所以是定义在上为增函数. （3）实数的取值范围为：. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质可知，即可求解； （2）根据判断函数单调性的定义，利用做差法即可证明函数的单调性； （3）根据函数的单调性及值域先得出对应关系，再通过式子化简得到关系式，根据有解判断的取值范围. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，即， 所以. 此时， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数是定义在上为增函数. 所以在区间（）的值为， 又因为取值范围为， 所以，整理得到 令，则为方程的两个不相等的正根， 则 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年高一下3月开学考试题 高一数学 （考试时间120分钟 本卷共150分） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，若，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或或 D. 或或 2. 若，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，当时，取得最小值为b，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 8 5. 如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（ ） A. B. C. D. 6. 对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（ ） A. 若，且与同向，则 B. C. D. 10. 给出下列命题： ①函数是奇函数； ②若α，β是第一象限角且，则； ③在区间上的最小值是，最大值是； ④直线是函数图像的一条对称轴； 其中真命题的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 11. 已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知向量，，且与垂直，则实数______________． 13. 已知函数，则实数a= 14. 三边长分别为，，，则BC边上的中线AD的长为___________. 四、解答题（共5小题，共77分，每题要写出必要的证明，演算过程，推论或步骤） 15. 计算题： （1）已知向量与的夹角为，，，求； （2）已知，，且，求的坐标. 16. 已知定义在上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. 设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 18. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 19. 已知奇函数（） （1）求实数的值； （2）判断并用定义证明函数的单调性； （3）若函数在区间（）上的取值范围为，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $