第12章 全等三角形 单元检测题2024-2025学年人教版数学八年级上册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 2024-2025学年 第12章 全等三角形 单元检测题（原卷版） 一．选择题 1．（2023秋•赣县区期末）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 第1题 第2题 第3题 2．（2023秋•苏州期末）如图，两个三角形全等，则∠α的度数是（　　） A．50° B．58° C．72° D．60° 3．（2023秋•乾安县期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点 4．（2024春•兴庆区校级月考）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024•新乐市一模）为测量一池塘两端A，B间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案． 甲：如图1，先过点B作AB的垂线BF，再在射线BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E．则测出DE的长即为A，B间的距离； 乙：如图2，先确定直线AB，过点B作射线BE，在射线BE上找可直接到达点A的点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，则测出BC的长即为AB间的距离，则下列判断正确的是（　　） A．只有甲同学的方案可行 B．只有乙同学的方案可行 C．甲、乙同学的方案均可行 D．甲、乙同学的方案均不可行 6．（2024•南岗区校级开学）如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（　　） A．2 B．4 C．5 D．不能确定 第6题 第7题 第8题 7．（2024春•济宁期末）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，∠ACB＝∠DFE，BF＝EC，只添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．∠B＝∠E 8．（2024•青秀区校级开学）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，则△EDF的面积为（　　） A．11 B．22 C．26 D．37 9．（2024•路桥区校级开学）在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，∠A＝∠A1＝α，D、D1分别是AC、A1C1上一点，且 BD＝B1D1，有如下三个判断（　　） ①若α＝60°，则△ABD和△A1B1D1一定全等；②若α＝90°，则△ABD和△A1B1D1一定全等； ③若α＝120°，则△ABD和△A1B1D1一定全等． A．②对①③错 B．②③对①错 C．全对 D．全错 第9题 第10题 10．（2024•重庆模拟）如图，在△ABC中，F是高AD、BE的交点，AD＝BD，BC＝6，CD＝2，则线段AF的长度为（　　） A．2 B．1 C．4 D．3 11．（2024•玄武区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA+OB等于（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 第11题 第12题 12．（2024春•渠县校级期末）已知AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒．①若x＝1，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时，x＝6；③若α＝90°，t＝5，x＝1时，PC与PQ垂直；④若△ACP与△BPQ全等，则x＝0.8或．以上说法正确的选项为（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二．填空题 13．（2024春•芮城县期末）如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，连接BE、CD．要使△ABE≌△ACD，则可添加的一个条件是 　 　． 第13题 第14题 第15题 第16题 14．（2024春•泰兴市月考）如图，△ABC≌△DBC，∠A＝30°，∠ACD＝50°，则∠CBD的度数是 　 　． 15．（2023秋•射阳县期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 　 　块． 16．（2023秋•下陆区期末）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），则B点的坐标是　 　． 17．（2024•重庆模拟）如图，CN平分△ABC的外角∠ACM，过点A作CN的垂线，垂足为点D，∠B＝∠BAD．若AC＝9，BC＝6，则AD的长为 　 　． 第17题 第18题 18．（2024•南山区校级开学）如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，D，C，且相互平行，若l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为2，则正方形的面积为 　 　． 三．解答题 19．（2024春•吉州区月考）如图所示∠E＝∠F＝90°，∠1＝∠2，AC＝AB，证明△AEB≌△AFC． 20．（2024•右玉县四模）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN． 21．（2024春•平南县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上， 且BD＝DF．（1）求证：CF＝EB；（2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由． 22．（2024•兴隆台区校级开学）（1）感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：　 　．（2）探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． 23．（2024•青秀区校级开学）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF． （1）求证：ED＝DF．（2）∠EAD与∠EAC有什么数量关系？请写出结论并说明理由． （3）请猜想AC、AB、BE之间的数量关系，并说明理由． 24．（2024春•永丰县期末）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值。 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 2024-2025学年 第12章 全等三角形 单元检测题（解析版） 一．选择题（共12小题） 1．（2023秋•赣县区期末）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】全等三角形的性质．版权所有 【分析】根据全等三角形的对应边相等推知BD＝AC＝7，然后根据线段的和差即可得到结论． 【解答】解：∵△ABC≌△DCB， ∴BD＝AC＝7， ∵BE＝5， ∴DE＝BD﹣BE＝2， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键． 2．（2023秋•苏州期末）如图，两个三角形全等，则∠α的度数是（　　） A．50° B．58° C．72° D．60° 【考点】全等三角形的性质．版权所有 【分析】根据全等三角形的对应角相等解答． 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴∠α＝50°， 故选：A． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 3．（2023秋•乾安县期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点 【考点】角平分线的性质．版权所有 【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等． 4．（2024春•兴庆区校级月考）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】全等三角形的性质．版权所有 【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可． 【解答】解：∵△ABC≌△AEF， ∴AC＝AF，故①正确； ∠EAF＝∠BAC， ∴∠FAC＝∠EAB≠∠FAB，故②错误； EF＝BC，故③正确； ∠EAB＝∠FAC，故④正确； 综上所述，结论正确的是①③④共3个． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键． 5．（2024•新乐市一模）为测量一池塘两端A，B间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案． 甲：如图1，先过点B作AB的垂线BF，再在射线BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E．则测出DE的长即为A，B间的距离； 乙：如图2，先确定直线AB，过点B作射线BE，在射线BE上找可直接到达点A的点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，则测出BC的长即为AB间的距离，则下列判断正确的是（　　） A．只有甲同学的方案可行 B．只有乙同学的方案可行 C．甲、乙同学的方案均可行 D．甲、乙同学的方案均不可行 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【分析】利用ASA证明△ABC≌△EDC，得DE＝AB，可知甲正确； 【解答】解：甲：∵AB⊥BC，ED⊥BC， ∴∠B＝∠CDE， 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴DE＝AB， 故甲正确； 乙：当BE与AB不垂直时，过D作DF⊥AB于F， ∵AD＝CD， ∴AF＝CF， ∵F和B不重合， ∴AB≠BC； 故乙错误． 故选：A． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 6．（2024•南岗区校级开学）如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（　　） A．2 B．4 C．5 D．不能确定 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】求出∠BDH＝∠ADC＝90°，AD＝BD，∠DBH＝∠CAD，根据ASA推出△BDH≌△ADC，根据全等三角形的性质推出即可． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠BDH＝∠ADC＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠BAD＝∠ABC＝45°， ∴AD＝BD， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CAD+∠C＝90°，∠DBH+∠C＝90°， ∴∠DBH＝∠CAD， 在△BDH和△ADC中， ， ∴△BDH≌△ADC（ASA）， ∴AC＝BH， ∵AC＝4， ∴BH＝4． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是能求出△BDH≌△ADC，难度适中． 7．（2024春•济宁期末）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，∠ACB＝∠DFE，BF＝EC，只添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．∠B＝∠E 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：∵BF＝EC， ∴BC＝EF， A、由SAS判定△ABC≌△DEF，故A不符合题意； B、∠ACB和∠DFE分别是AB和DE的对角，不能判定△ABC≌△DEF，故B符合题意； C、由AAS判定△ABC≌△DEF，故C不符合题意； D、由ASA判定△ABC≌△DEF，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL． 8．（2024•青秀区校级开学）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，则△EDF的面积为（　　） A．11 B．22 C．26 D．37 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．版权所有 【分析】作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DF＝DH，证明Rt△FDE≌Rt△HDG，Rt△FDA≌Rt△HDA，根据题意列方程，解方程即可． 【解答】解：如图，作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC， ∴DF＝DH， 在Rt△FDE和Rt△HDG中， ， ∴Rt△FDE≌Rt△HDG（HL）， 同理，Rt△FDA≌Rt△HDA（HL）， 设△EDF的面积为x，由题意得， 48﹣x＝26+x， 解得x＝11， 即△EDF的面积为11， 故选：A． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 9．（2024•路桥区校级开学）在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，∠A＝∠A1＝α，D、D1分别是AC、A1C1上一点，且BD＝B1D1，有如下三个判断（　　） ①若α＝60°，则△ABD和△A1B1D1一定全等； ②若α＝90°，则△ABD和△A1B1D1一定全等； ③若α＝120°，则△ABD和△A1B1D1一定全等． A．②对①③错 B．②③对①错 C．全对 D．全错 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】根据全等三角形的判定定理不能根据①的条件证明△ABC和△A1B1D1全等，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形可证明②说法正确，当α＝120°时，若BD＝B1D1，此时点D和D1唯一确定，可以证明△ABC和△A1B1D1全等． 【解答】解：①若α＝60°，即AB＝A1B1，∠A＝∠A1＝60°，BD＝B1D1， △ABC与△A1B1D1是全等三角形没有依据，故①错误； ②若α＝90°，即AB＝A1B1，∠A＝∠A1＝90°，BD＝B1D1， 根据HL可得△ABC与△A1B1D1是全等三角形，故②正确； ③若α＝120°，即AB＝A1B1，∠A＝∠A1＝120°，BD＝B1D1， 此时点D和D1唯一确定，所以△ABC与△A1B1D1是全等三角形，故③正确； 综上，②③正确①错误．故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 10．（2024•重庆模拟）如图，在△ABC中，F是高AD、BE的交点，AD＝BD，BC＝6，CD＝2，则线段AF的长度为（　　） A．2 B．1 C．4 D．3 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】先证明∠FBD＝∠DAC，从而利用ASA证明△BDF≌△ADC，利用全等三角形对应边相等就可得到结论． 【解答】证明：∵F是高AD和BE的交点， ∴∠ADC＝∠FDB＝∠AEF＝90°， ∴∠DAC+∠AFE＝90°， ∵∠FDB＝90°， ∴∠FBD+∠BFD＝90°， 又∵∠BFD＝∠AFE， ∴∠FBD＝∠DAC， 在△BDF和△ADC中， ， ∴△BDF≌△ADC（AAS）， ∴DF＝CD＝2， ∴AD＝BD＝BC﹣DF＝4， ∴AF＝AD﹣DF＝4﹣2＝2； 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键． 11．（2024•玄武区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA+OB等于（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质．版权所有 【分析】过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，证△ACM≌△BCN，推出AM＝BN，即可解决问题． 【解答】解：过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N， 则∠CMA＝∠CNB＝90°， ∵C（4，4）， ∴CN＝CM＝4， ∵∠MON＝∠CNO＝∠CMO＝90°， ∴∠MCN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠MCN， ∴∠ACM＝∠BCN， 在△ACM和△BCN中， ， ∴△ACM≌△BCN（ASA）， ∴AM＝BN， ∴OA+OB＝OA+ON+BN＝OA+ON+AM＝ON+OM＝4+4＝8． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质和判定，四边形的内角和定理，坐标与图形性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 12．（2024春•渠县校级期末）已知AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． ①若x＝1，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时，x＝6； ③若α＝90°，t＝5，x＝1时，PC与PQ垂直； ④若△ACP与△BPQ全等，则x＝0.8或． 以上说法正确的选项为（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】①若x＝1，即点P的速度时点Q的2倍，即可求解； ②求出P、Q的运动时间即可求解； ③证明AC：AP≠PB：BQ，即可求解； ④若△ACP与△BPQ全等，则AC＝PB且AP＝BQ或AC＝BQ且AP＝BP，即可求解． 【解答】解：①若x＝1，即点P的速度时点Q的2倍，故点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，正确，符合题意； ②点P到达A的时间为：6÷2＝3，当x＝6时，点Q到达点A的时间为：（8+10）÷6＝3，故②正确，符合题意； ③若α＝90°，t＝5，x＝1时，如图， 假设AC：AP＝PB：BQ， ∵∠A＝∠B＝α， ∴△APC∽△BQP， ∴∠CPA＝∠PQB， 而∠PQB＝∠QPB＝90°， ∴∠CPA+∠QPB＝90°， 即CP⊥PQ， 而此时，AC＝6，则AP＝5×2﹣6＝4，则PB＝AB﹣AP＝6， 而DQ＝1×5＝5，则BQ＝8﹣5＝3， 则AC：AP＝3：2，PB：BQ＝2：1， 故AC：AP≠PB：BQ， 故③错误，不符合题意； ④由题意得，AP＝2t﹣6，则PB＝10﹣（2t﹣6）＝16﹣2t，QD＝xt，则BQ＝8﹣xt， 若△ACP与△BPQ全等， 则AC＝PB且AP＝BQ或AC＝BQ且AP＝BP， 即6＝16﹣2t且2t﹣6＝8﹣xt或6＝8﹣xt且2t﹣6＝16﹣2t， 解得：x＝0.8或， 故④正确，符合题意， 故选：C． 【点评】本题为三角形综合题，涉及到三角形全等和相似、动点问题，分类求解是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 13．（2024春•芮城县期末）如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，连接BE、CD．要使△ABE≌△ACD，则可添加的一个条件是 　∠B＝∠C　． 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】根据全等三角形的判定方法，∠A为公共角，AB＝AC，可根据ASA的判定方法进行添加条件即可得出答案． 【解答】解：在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）． 故答案为：∠B＝∠C．（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法进行求解是解决本题的关键． 14．（2024春•泰兴市月考）如图，△ABC≌△DBC，∠A＝30°，∠ACD＝50°，则∠CBD的度数是 　125°　． 【考点】全等三角形的性质．版权所有 【分析】根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DBC，∠A＝30°， ∴∠A＝∠D＝30°，∠ACB＝∠DCB， ∵∠ACD＝∠ACB+∠DCB＝50°， ∴∠DCB＝25°， ∴∠CBD＝180°﹣∠D﹣∠DCB＝125°， 故答案为：125°． 【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应角相等”是解题的关键． 15．（2023秋•射阳县期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 　4　块． 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证即可得到结论． 【解答】解：1、2、3块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第4块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足三角形全等的条件，是符合题意的， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查三角形全等的判定，解决问题的关键的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 16．（2023秋•下陆区期末）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），则B点的坐标是　（1，4）　． 【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质．版权所有 【分析】过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【解答】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠CAD＝90°∠ACD+∠BCE＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴DC＝BE，AD＝CE， ∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3）， ∴OC＝2，AD＝CE＝3，OD＝6， ∴CD＝OD﹣OC＝4，OE＝CE﹣OC＝3﹣2＝1， ∴BE＝4， ∴则B点的坐标是（1，4）， 故答案为：（1，4）． 【点评】本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线各种全等三角形． 17．（2024•重庆模拟）如图，CN平分△ABC的外角∠ACM，过点A作CN的垂线，垂足为点D，∠B＝∠BAD．若AC＝9，BC＝6，则AD的长为 　　． 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．版权所有 【分析】根据等腰三角形的判定推出AE＝BE，利用ASA证明△ACD≌△ECD，根据全等三角形的性质得出AC＝EC，AD＝ED，根据线段的和差求出AE＝BE＝15，据此求解即可． 【解答】解：如图，AD的延长线交BM于点E， ∵∠B＝∠BAD， ∴AE＝BE， ∵CN平分∠ACM， ∴∠ACN＝∠ECN， ∵AD⊥CN， ∴∠ADC＝∠EDC＝90°， 在△ACD和△ECD中， ， ∴△ACD≌△ECD（ASA）， ∴AC＝EC，AD＝ED， ∵AC＝9， ∴EC＝9， ∵BC＝6， ∴BE＝BC+EC＝15， ∴AE＝15， ∴AD＝， 故答案为：． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，添加合适的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 18．（2024•南山区校级开学）如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，D，C，且相互平行，若l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为2，则正方形的面积为 　5　． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】过点D作EF⊥l1交l1于点E，交l3于点F，可得EF⊥l2，EF⊥l3，再证明△ADE≌△DCF，可得AE＝DF＝2，DE＝CF＝1，然后由勾股定理，即可求解． 【解答】解：如图，过点D作EF⊥l1交l1于点E，交l3于点F， ∵l1∥l2∥l3， ∴EF⊥l2，EF⊥l3， ∴∠AED＝∠ADC＝∠CFD＝90°，DE＝1，DF＝2， ∴∠ADE+∠DAE＝90°，∠ADE+∠CDF＝90°， ∴∠DAE＝∠CDF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD， ∴△ADE≌△DCF（AAS）， ∴AE＝DF＝2，DE＝CF＝1，AD＝， 即正方形的边长为． ∴正方形的面积为5． 故答案为：5． 【点评】本题利用了全等三角形的判定的性质，勾股定理，正方形的性质求解，作辅助线，构建三角形全等是关键． 三．解答题（共6小题） 19．（2024春•吉州区月考）如图所示∠E＝∠F＝90°，∠1＝∠2，AC＝AB，证明△AEB≌△AFC． 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】先根据∠1＝∠2得出∠BAE＝∠CAF，再根据AAS，判定△AEB≌△AFC即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠BAC＝∠2+∠BAC ∴∠BAE＝∠CAF 在△AEB和△AFC中 ∴△AEB≌△AFC（AAS） 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． 20．（2024•右玉县四模）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中，， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB＝∠CDB是解题的关键． 21．（2024春•平南县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【分析】（1）根据角平分线的性质得到DC＝DE，证明Rt△FCD≌Rt△BED，根据全等三角形的性质证明； （2）证明Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的性质证明． 【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE， 在Rt△FCD和Rt△BED中， ， ∴Rt△FCD≌Rt△BED（HL）， ∴CF＝EB； （2）解：AB＝AF+2BE， 理由如下：在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE， ∴AB＝AE+BE＝AF+FC+BE＝AF+2BE． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 22．（2024•兴隆台区校级开学）（1）感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：　BD＝CD　． （2）探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．版权所有 【分析】（1）只要证明△ADC≌△ADB即可； （2）如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，只要证明△ADC≌△ADB即可； 【解答】解：（1）结论：DB＝DC． 理由：∵∠B+∠C＝180°，∠B＝90°， ∴∠B＝∠C＝90°， ∵∠DAC＝∠DAB，AD＝AD， ∴△ADC≌△ADB（AAS）． ∴BD＝CD． 故答案为：BD＝CD； （2）结论成立． 理由：如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． ∵D A平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°， ∴∠B＝∠FCD， 在△DFC和△EDB中， ， ∴△DFC≌△DEB（AAS）， ∴DC＝DB． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 23．（2024•青秀区校级开学）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF． （1）求证：ED＝DF． （2）∠EAD与∠EAC有什么数量关系？请写出结论并说明理由． （3）请猜想AC、AB、BE之间的数量关系，并说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．版权所有 【分析】（1）根据题意得∠E＝∠DFC＝90°，即可证明Rt△BDE≌Rt△CDF，有DE＝DF成立； （2）由（1）知，BE＝CF，则AD平分∠BAC，那么，∠EAD＝∠CAD，即有∠EAC＝2∠EAD； （3）由（1）知，BE＝CF，可证明Rt△ADE≌Rt△ADF，有AE＝AF，则AB+BE＝AC﹣CF，即有AC﹣AB＝BE+CF＝2BE． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， 在Rt△BDE与Rt△CDF中 ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF． （2）解：∠EAC＝2∠EAD，理由如下： ∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF， ∴AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠CAD， 即∠EAC＝2∠EAD． （3）解：AC﹣AB＝2BE，理由如下： 由（1）知，BE＝CF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， 在Rt△ADE与Rt△ADF中 ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE＝AF， ∴AB+BE＝AC﹣CF， 即AC﹣AB＝BE+CF＝2BE． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质和角平分线的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 24．（2024春•永丰县期末）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值． 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】（1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可根据“SAS”证明△ACP≌△BPQ；则∠C＝∠BPQ，然后证明∠APC+∠BPQ＝90°，从而得到PC⊥PQ； （2）讨论：若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，即5＝7﹣2t，2t＝xt；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，即5＝xt，2t＝7﹣2t，然后分别求出x即可． 【解答】解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ． 理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵AP＝BQ＝2， ∴BP＝5， ∴BP＝AC， 在△ACP和△BPQ中 ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）； ∴∠C＝∠BPQ， ∵∠C+∠APC＝90°， ∴∠APC+∠BPQ＝90°， ∴∠CPQ＝90°， ∴PC⊥PQ； （2）①若△ACP≌△BPQ， 则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt 解得：x＝2，t＝1； ②若△ACP≌△BQP， 则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t 解得：x＝，t＝． 综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$