精品解析：江西省赣州市石城县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

石城县2023-2024学年第一学期期末质量检测八年级 数学试题 （说明：本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 以下图标分别是石城发布、石城妇联、石城文旅、石城人社的微信公众号图标，其中可以看作是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意； B、是轴对称图形，本选项符合题意； C、不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，本选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列各运算中，正确的是（　　） A 3a+2a=5a2 B. （﹣3a3）2=9a6 C. a4÷a2=a3 D. （a+2）2=a2+4 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法运算法则和完全平方公式，分别进行各选项的判断即可． 【详解】A、3a+2a=5a，原式计算错误，故本选项错误； B、（﹣3a3）2=9a6，原式计算正确，故本选项正确； C、a4÷a2=a2，原式计算错误，故本选项错误； D、（a+2）2=a2+2a+4，原式计算错误，故本选项错误． 故选B． 3. 下列各图中，作边边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，据此求解即可． 【详解】解：由三角形的高的概念可知，四个选项中只有D选项中的作图方法是作的边边上的高， 故选：D． 4. 如图，已知．能直接判断的方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理解答. 【详解】在△ABC和△DCB中， , ∴(SAS), 故选：A. 【点睛】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知条件找到全等所需的对应相等的边或角是解题的关键. 5. 乐乐是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：城，爱，我，石，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A. 美丽 B. 美丽石城 C. 我爱石城 D. 石城美 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息． 【详解】解：∵ ， 又∵，，，，分别对应下列四个个字：我，爱，石，城， ∴结果呈现的密码信息是：我爱石城． 故选：C． 6. 如图，在中，，以为底边在外作等腰，过点D作的平分线分别交，于点E，F．若，，点P是直线上的一个动点，则周长的最小值为（ ） A. 15 B. 17 C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最短距离问题，等腰三角形的性质，根据点A与点C关于对称，即可得出，当点P与点E重合时，，此时△PBC的周长最小，根据含30度角的直角三角形的性质求出即可得到周长的最小值． 【详解】解：∵是以为底边的等腰三角形，平分， ∴垂直平分， ∴点A与点C关于对称， ∴， 如图所示，当点P与点E重合时，， 此时的周长最小， ∵，，， ∴， ∴周长的最小值为：， 故选：A． 二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若点与点关于轴对称，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称与坐标变化，涉及平面直角坐标系中对称点的坐标特征，熟记关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得答案． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标是． 故答案为： 8. 某种新冠病毒的直径为0.0000076cm，将数字0.0000076用科学记数法表示为___________ 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．易错点在于容易弄错次数． 9. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和公式、多边形外角和为等知识，先设这个多边形的边数为，由题意，结合多边形内角和公式及外角和为列方程求解即可得到答案，熟记多边形的内角和公式、多边形外角和为是解决问题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形的内角和是外角和的2倍， ，解得， 故答案为：． 10. 如图，已知，E为的中点，若，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据，可得，再由E为的中点，可证得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 11. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝8，AC＝6，DE＝4，则△ABC的面积为__________ 【答案】28 【解析】 【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE=DF=4，再利用三角形面积公式S△ABC=S△ADB+S△ADC，计算可求解． 【详解】解：作DF⊥AC于F，如图， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF=4， ∵AB=8，AC=6， ∴S△ABC=S△ADB+S△ADC =AB•DE+AC•DF =×4×8+×4×6 =28， 故答案为：28． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，三角形的面积，运用角平分线的性质求解DF的长是解题的关键． 12. 在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，并且与的夹角，斜边交于点D．在点P的滑动过程中，若是等腰三角形，则夹角α的大小是_______________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．分三种情况考虑：当，分别求出夹角的大小即可． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ①当时， ∴，即， ∴； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点P与点B重合，点D和A重合， 综合所述：当是等腰三角形时，或或． 故答案为：或或． 三.解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，实数的混合计算，负整数指数幂，零指数幂： （1）先计算零指数幂，绝对值和负整数指数幂，再计算加减法即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 14. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定要注意验根，解题的关键是把分式方程转化为整式方程．观察方程可得最简公分母是：，两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答． 【详解】解：方程两边同乘以， 得， 解得， 经检验：是原方程的解． 15. 如图，点A，E，F，B在直线l上，， ，且，求证： （1）； （2） ． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质及全等三角形判定与性质， （1）先证明及，即可证明从而证明结论； （2）根据全等三角形性质得出即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴， 在与中 ， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 证明：∵≌ ∴ ∴． 16. 杨老师在讲分式的化简求值时，设计了一款接力游戏，要求同学之间用合作的方式完成分式的化简求值，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： （1）接力游戏中，出现错误的同学是（ ） A. 甲和丙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁 （2）请你书写正确的化简过程，并在“1，0，2，”中选择一个合适的数代入求值． 【答案】（1）D （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算法则． （1）根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断． （2）化简之后的结果选择一个有意义的数代入求值即可． 【小问1详解】 解： ， 则接力游戏中，出现错误的同学是乙和丁， 故选：D； 【小问2详解】 原式＝ ＝ ＝， ， ∴ 当时，原式＝； 或当时，原式＝． 17. 如图，在正方形网格中，阴影部分是由2个小正方形组成的图形，请你分别在下图方格内填涂2个小正方形，使这4个小正方形组成的图形满足：图1有且只有一条对称轴；图2有且只有两条对称轴；图3有且只有四条对称轴． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据轴对称图形的性质作图即可． 【详解】解：如图所示即为所求： 【点睛】题目主要考查轴对称图形的作法，掌握轴对称图形的作法及性质是解题关键． 四.解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，，D是边上一点（点D与A，B不重合），连接，过点C作，且，连接交于点F，连接BE． （1）求证：； （2）当时．判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质． （1）由题意可求得，从而利用证明； （2）由可知：，推出，利用三角形内角和定理可求得，据此可推出为等腰三角形． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 即， 在与中， ， ∴； 【小问2详解】 解：等腰三角形，理由如下： ∵，， ∴， 同理：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即为等腰三角形． 19. 某公司购买了一批A、B两种型号的产品，其中A型产品的单价比B型产品的单价多6元，已知该公司用1400元购买A型产品的件数与用1160元购买B型产品的件数相等． （1）求该公司购买的A、B两种型号产品的单价各是多少元？ （2）若两种型号的产品共购买了100件，且购买的总费用为3260元，求购买了多少件A型产品？ 【答案】（1）35，29；（2）60. 【解析】 【分析】（1）设A单价x元，根据题意找到等量关系列出分式方程即可求解； （2）设购买A中产品a件，根据题意列出方程即可求解 【详解】解：（1）设A单价x元， ，解得，经检验，是此分式方程的解. 故B的单价为35-6=29元 答：该公司购买的A、B两种型号产品的单价各是35、29元； （2）设购买A中产品a件， ，解得． 答：购买了60件A型产品. 【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程求解. 20. 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如材料图，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题． （1）图1中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含、的式子表示； （2）图3中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含、的式子表示； （3）图1，图2中空白部分面积、分别为19、68，求值． 【答案】（1） （2） （3）15 【解析】 【分析】（1）等于大正方形的面积减去3个小长方形的面积； （2）等于大长方形的面积减去7个小长方形的面积； （3）先用，表示，再列方程求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由图形，得； 【小问3详解】 解：， ， ∴，得． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式的法则，数形结合思想是解题的关键． 五.解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. 等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，并且都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于， 等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，请你完成证明过程或解答过程． （1）如图1，是等边三角形，点分别在和的延长线上，且，当的度数确定时，的度数也随之确定． ①若，则的度数为 ； ②求证：； （2）如图2，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，求证：． 【答案】（1）① ；②证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质、三角形内角和定理、等边三角形判定与性质，熟练掌握等边三角形判定与性质、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）①由，，可得；②由是等边三角形，知，故，从而； （2）由是等边三角形，得，，有，而，有，故，可得，故． 【小问1详解】 ①解：，， ； 故答案为：； ②证明：是等边三角形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 22. 阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． （1）利用配方法分解因式：； （2）根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ． （3）已知、、分别是三边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）当时，最小值为； （3）的形状是等边三角形，证明见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解及其应用，根据材料学会运用配方法因式分解是解题的关键． （1）根据材料配方后，再运用平方差公式因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性即可解答； （3）先配方后，然后利用偶次幂的非负性得到，即可解答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， 当当时，最小值为． 【小问3详解】 解：的形状是等边三角形，理由如下： ∵ ∴， 利用拆项得：， 即：， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， 于是，， 所以可以得到，即：的形状是等边三角形． 六.解答题(本大题共12分) 23. 如图1，是等边三角形，是的角平分线，与相交于点O．点P在线段上，点Q在边上，且．连接． （1） ， ， （2）研究发现．理由如下： ∵是的角平分线，且，根据等腰三角形的性质①，可得，且，即垂直平分，同理，垂直平分，∴ 点O是三边垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质②，∴． 上述证明过程中，①、②两处的理由分别为 和 ；（填选项前的字母） A．“三线合一”；B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；C．等腰三角形两个底角相等． （3）判断和的数量关系，并说明理由； （4）如图2，若点P是射线上任意一点，点Q在射线上，其它条件不变，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】（1）， （2）A、B （3），理由见解析． （4）或． 【解析】 【分析】对于（1），根据等边三角形的性质及角平分线的定义求出，同理求出，然后根据三角形内角和定理可得答案； 对于（2），根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质解答即可； 对于（3），根据等边三角形的性质及角平分线的定义得，进而得出，再结合，可证明，即可得出答案； 对于（4），①当点P在线段上时，为等腰三角形时，，可求，再根据，可得，进而得出，最后根据；②当点P在线段的延长线时，为等腰三角形时，即，再说明，可求出，然后结合，可得答案． 【小问1详解】 ∵是等边三角形， ∴． ∵是的角平分线， ∴． 同理：， ∴， ∴． 故答案为：，； 【小问2详解】 因为是的角平分线，且，根据等腰三角形的性质三线合一，可得，且，即垂直平分，同理：垂直平分，所以点O是三边中垂线的交点，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，可得． 故答案为：A，B； 【小问3详解】 ，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，． ∵是的平分线， ∴， 即． 又， ∴，即． 由（2）得， ∴， ∴； 【小问4详解】 当点P在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴当为等腰三角形时，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点P在线段的延长线时，如图，当为等腰三角形时，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 综上所述：的度数为或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，注意多情况讨论，不能丢解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石城县2023-2024学年第一学期期末质量检测八年级 数学试题 （说明：本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 以下图标分别是石城发布、石城妇联、石城文旅、石城人社的微信公众号图标，其中可以看作是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各运算中，正确的是（　　） A. 3a+2a=5a2 B. （﹣3a3）2=9a6 C. a4÷a2=a3 D. （a+2）2=a2+4 3. 下列各图中，作边边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知．能直接判断的方法是（ ） A. B. C. D. 5. 乐乐是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：城，爱，我，石，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A. 美丽 B. 美丽石城 C. 我爱石城 D. 石城美 6. 如图，在中，，以为底边在外作等腰，过点D作的平分线分别交，于点E，F．若，，点P是直线上的一个动点，则周长的最小值为（ ） A. 15 B. 17 C. 18 D. 20 二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若点与点关于轴对称，则点坐标是_______． 8. 某种新冠病毒的直径为0.0000076cm，将数字0.0000076用科学记数法表示为___________ 9. 一个多边形内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______． 10. 如图，已知，E为的中点，若，则___________． 11. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝8，AC＝6，DE＝4，则△ABC的面积为__________ 12. 在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，并且与的夹角，斜边交于点D．在点P的滑动过程中，若是等腰三角形，则夹角α的大小是_______________． 三.解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）因式分解：． 14. 解方程：． 15. 如图，点A，E，F，B在直线l上，， ，且，求证： （1）； （2） ． 16. 杨老师在讲分式的化简求值时，设计了一款接力游戏，要求同学之间用合作的方式完成分式的化简求值，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： （1）接力游戏中，出现错误的同学是（ ） A. 甲和丙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁 （2）请你书写正确的化简过程，并在“1，0，2，”中选择一个合适的数代入求值． 17. 如图，在正方形网格中，阴影部分是由2个小正方形组成的图形，请你分别在下图方格内填涂2个小正方形，使这4个小正方形组成的图形满足：图1有且只有一条对称轴；图2有且只有两条对称轴；图3有且只有四条对称轴． 四.解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，，D边上一点（点D与A，B不重合），连接，过点C作，且，连接交于点F，连接BE． （1）求证：； （2）当时．判断的形状，并说明理由． 19. 某公司购买了一批A、B两种型号的产品，其中A型产品的单价比B型产品的单价多6元，已知该公司用1400元购买A型产品的件数与用1160元购买B型产品的件数相等． （1）求该公司购买的A、B两种型号产品的单价各是多少元？ （2）若两种型号产品共购买了100件，且购买的总费用为3260元，求购买了多少件A型产品？ 20. 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如材料图，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题． （1）图1中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含、的式子表示； （2）图3中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含、的式子表示； （3）图1，图2中空白部分面积、分别为19、68，求值． 五.解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. 等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，并且都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于， 等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，请你完成证明过程或解答过程． （1）如图1，是等边三角形，点分别在和的延长线上，且，当的度数确定时，的度数也随之确定． ①若，则的度数为 ； ②求证：； （2）如图2，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，求证：． 22. 阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． （1）利用配方法分解因式：； （2）根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ． （3）已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 六.解答题(本大题共12分) 23. 如图1，是等边三角形，是的角平分线，与相交于点O．点P在线段上，点Q在边上，且．连接． （1） ， ， （2）研究发现．理由如下： ∵是的角平分线，且，根据等腰三角形的性质①，可得，且，即垂直平分，同理，垂直平分，∴ 点O是三边垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质②，∴． 上述证明过程中，①、②两处的理由分别为 和 ；（填选项前的字母） A．“三线合一”；B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；C．等腰三角形两个底角相等． （3）判断和的数量关系，并说明理由； （4）如图2，若点P是射线上任意一点，点Q在射线上，其它条件不变，当为等腰三角形时，直接写出度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$