精品解析：人教版2023-2024学年八年级数学下册期末综合模拟卷

2023-2024学年人教版八年级数学下册期末模拟卷 一、选择题 1. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ） A. B. C. D. 无法确定 2. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班7名学生，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，6，5，5，4，5，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 5，5 B. 5，4 C. 4，5 D. 5，6 4. 水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，设原有橘子的重量的平均数和方差分别是，，该顾客选购的橘子的重量的平均数和方差分别是，，则下列结论一定成立的是（　　） A B. C. D. 5. 下列四个选项中符合一次函数的性质的是（　　） A. y随x的增大而减小 B. 其图象经过第一、三、四象限 C. 其图象经过点 D. 其图象与x轴的交点坐标是 6. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1， ，3 C. 9，12，13 D. 12，16，20 7. 如图，在中，，，分别以顶点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，两条圆弧交于点、，作直线交边于点．若，，则的长是（ ） A 10 B. 8 C. 12 D. 8. 下列说法正确的是( ) A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相平分的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 9. 正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，是等边三角形．以下结论：①；②；③；④EF的垂直平分线是直线AC．正确结论个数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是 A B. C. D. 二、填空题 11. 已知a，b都是实数，，则的值为_______. 12. 学校要从王静，李玉两同学中选拔一人参加运动会志愿者工作，选拔项目为普通话，体育知识和旅游知识．并将成绩依次按4∶3∶3计分． 两人的各项选拔成绩如下表所示，则最终胜出的同学是____． 　 普通话 体育知识 旅游知识 王静 80 90 70 李玉 90 80 70 13. 一次函数的图象如图所示，那么不等式的解是__________． 14. 过点的一条直线与x轴，y轴分别相交于点A，B，且与直线平行．则在线段上，横、纵坐标都是整数的点的坐标的个数是__________． 15. 如图中阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为64厘米2 ， 则x的长为________厘米． 16. 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽度为_______m. 17. 如图，在中，对角线与相交于点O，E是边的中点，连结．若，，则__________ 18. 如图，在菱形中，，对角线，P是上任意一点，M是对角线上任意一点，则最小值为___________________． 三、解答题 19. 计算：． 20. 图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，为立柱的一部分，灯臂，支架与立柱分别交于A，B两点，灯臂与支架交于点C，已知，，，求支架的长．（结果精确到，参考数据：，，） 21. 在中，，点D、E分别是、的中点，点F在延长线上，连接，且． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有等于面积的2倍的三角形． 22. 某校为了了解七年级900名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试，现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下： 【收集数据】 甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100． 乙班15名学生测试成绩中的成绩如下：92，92，93，90，94． 【整理数据】 班级 甲 1 1 m 4 6 乙 1 2 3 5 4 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 a 93 417 乙 90 87 b 50.2 【应用数据】 （1）根据以上信息，可以求出：________，________，________； （2）根据以上数据，成绩较整齐的是________班的学生（填“甲”或“乙”）； （3）若规定测试成绩90分及其以上为优秀，请估计参加防疫知识测试的900名学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 23. 在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y （米）与出发时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图像解答下列问题： （1）A、B两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米/分； （2）图中a= ，b= ，c= ； （3）求线段MN的函数解析式； （4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米?（直接写出答案即可） 24. 如图1，正方形边长为4，点P是直线上的一动点，连接，以为边在直线右侧作等边三角形． （1）请直接写出正方形的面积； （2）当为何值时，点C落在的边上； （3）如图2，若点P在线段上从B向C运动，当为何值时，线段的长度最小？请求出的最小值，并直接写出点E所经过的路径的长度． 25. 如图（1），在平面直角坐标系中，，，过C作轴，且满足． （1）求三角形的面积． （2）若过B作交y轴于D，且分别平分，如图2，求的度数． （3）在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年人教版八年级数学下册期末模拟卷 一、选择题 1. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，实数与数轴，先根据数轴判断的正负，再根据二次根式的性质化简． 【详解】解：由数轴可知，， ∴ 故选A． 2. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、不是最简二次根式，不符合题意； D、不最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 3. 李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班7名学生，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，6，5，5，4，5，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 5，5 B. 5，4 C. 4，5 D. 5，6 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可． 【详解】解：∵这组数据4，3，6，5，5，4，5中，出现次数最多的是5， ∴众数是5， ∵将这组数据从小到大排列为：3，4，4，5，5，5，6，处在第4位的数是5， ∴中位数是5，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查中位数、众数的意义和计算方法，理解中位数、众数的意义是正确解答的前提，解题的关键是掌握计算方法． 4. 水果店有一批大小不一橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，设原有橘子的重量的平均数和方差分别是，，该顾客选购的橘子的重量的平均数和方差分别是，，则下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的意义求解，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：∵水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个， ∴原有橘子的重量的方差＞该顾客选购的橘子的重量的方差，而平均数无法比较． 故选：C． 【点睛】本题考查了方差的意义，熟知：方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好；是解本题的关键． 5. 下列四个选项中符合一次函数的性质的是（　　） A. y随x的增大而减小 B. 其图象经过第一、三、四象限 C. 其图象经过点 D. 其图象与x轴的交点坐标是 【答案】A 【解析】 【分析】利用一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可． 【详解】解：一次函数中，， ∴y随x的增大而减小， 故A符合题意； ∵， ∴图象经过第一、二、四象限， 故B不合题意； 当时，， ∴函数图象不经过点， 故C不符合题意； 当，则， ∴图象与x轴的交点坐标是， 故D不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用性质逐一分析四个选项的正误． 6. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1， ，3 C. 9，12，13 D. 12，16，20 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理：a +b =c ,将各项选项逐一代入计算即可 【详解】A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形； B、∵12+（）2≠32，∴不能构成直角三角形； C、∵92+122≠132，∴不能构成直角三角形； D、∵122+162＝202，∴能构成直角三角形． 故选D． 【点睛】此题考查勾股定理逆定理，难度不大. 7. 如图，在中，，，分别以顶点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，两条圆弧交于点、，作直线交边于点．若，，则的长是（ ） A. 10 B. 8 C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AC，再利用线段的垂直平分线的性质求出DB，再利用勾股定理求出AB即可． 【详解】解：∵∠C=90°，AD=5，CD=3， ∴AC=， 由作图可知，MN垂直平分线段AB， ∴DA=DB=5， ∴BC=CD+DB=3+5=8， ∴AB=． 故选：D． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是求出AC，BC的长，属于中考常考题型． 8. 下列说法正确的是( ) A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相平分的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，进行判定，即可解答. 【详解】解：A、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故此选项说法错误，不符合题意； B、四条边相等的四边形是菱形，故此选项说法错误，不符合题意； C、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故此选项说法错误，不符合题意； D、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，故此选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，解决本题的关键是熟记几种特殊四边形的判定定理． 9. 正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，是等边三角形．以下结论：①；②；③；④EF的垂直平分线是直线AC．正确结论个数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可证△ABF≌△ADE，可得BF＝DE，即可得EC＝CF，由勾股定理可得EF＝EC，由平角定义可求∠AED＝75°，由AE＝AF，EC＝FC可证AC垂直平分EF，则可判断各命题是否正确． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝∠DAB＝90°， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE＝AF＝EF，∠EAF＝∠AEF＝60°， ∵AD＝AB，AF＝AE， ∴△ABF≌△ADE， ∴BF＝DE， ∴BC−BF＝CD−DE， ∴CE＝CF，故①正确； ∵CE＝CF，∠C＝90°； ∴EF＝CE，∠CEF＝45°； ∴AF＝CE， ∴CF＝AF，故③错误； ∵∠AED＝180°−∠CEF−∠AEF； ∴∠AED＝75°；故②正确； ∵AE＝AF，CE＝CF； ∴AC垂直平分EF；故④正确． 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练运用这些性质和判定是解决本题的关键． 10. 一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分三段讨论： ①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小； ②相遇后向相反方向行驶至特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加； ③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大； 结合图象可得C选项符合题意．故选C． 二、填空题 11. 已知a，b都是实数，，则的值为_______. 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，负整数指数幂，熟练掌握相关性质和运算法则是解题的关键． 【详解】根据题意，得， ， ， 把代入，得， ， 故答案为：8． 12. 学校要从王静，李玉两同学中选拔一人参加运动会志愿者工作，选拔项目为普通话，体育知识和旅游知识．并将成绩依次按4∶3∶3计分． 两人的各项选拔成绩如下表所示，则最终胜出的同学是____． 　 普通话 体育知识 旅游知识 王静 80 90 70 李玉 90 80 70 【答案】李玉 【解析】 【分析】根据加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则叫做这n个数的加权平均数进行计算即可． 【详解】解：王静得分：=80（分） 李玉得分：=81（分） ∵81分＞80分， ∴最终胜出的同学是李玉． 故答案为：李玉． 【点睛】此题考查了加权平均数，解题的关键是明确加权平均数的计算方法． 13. 一次函数的图象如图所示，那么不等式的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的思想解答是解题的关键． 【详解】根据图象可知，一次函数的图象与x轴的交点为，y随x的增大而增大， 不等式的解集是， 故答案为：． 14. 过点的一条直线与x轴，y轴分别相交于点A，B，且与直线平行．则在线段上，横、纵坐标都是整数的点的坐标的个数是__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查坐标系中两条直线平行问题，待定系数法求解析式以及直线上点的情况等知识点，列举出符合条件的x的值是解题的关键． 设过点的直线为，依据过点的一条直线与直线平行，得，代入点即可求得b，然后求出与x轴、y轴的交点坐标，列举出符合条件的x的取值，依次代入即可． 【详解】解：设过点的直线为， ∵过点的一条直线与直线平行． ∴， ∴， 解得， ∴过点的直线为， 当时，得， 当时，得， ∴，， ∴的整数解有、1、2、3、4、5、6， 将、2、3、4、5，分别代入解析式，得、4、3、2、1， ∴在线段上，横、纵坐标都是整数的点的坐标的个数是7个． 故答案为：7． 15. 如图中阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为64厘米2 ， 则x的长为________厘米． 【答案】17 【解析】 【详解】解:正方形的面积为64,  正方形的边长为:8,  则x的长为: 16. 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽度为_______m. 【答案】480 【解析】 【详解】分析：本题考查的是利用勾股定理求出直角边的长. 解析： 根据题意， 故答案为480. 17. 如图，在中，对角线与相交于点O，E是边的中点，连结．若，，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据平行四边形的性质得出点O为中点，进而得出，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴点O为中点， 又E是边的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，三角形内角和定理等知识，判断是解题的关键． 18. 如图，在菱形中，，对角线，P是上任意一点，M是对角线上任意一点，则的最小值为___________________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接交于M，连接，根据菱形性质得到线段互相垂直平分，推出，当时，的值最小，根据勾股定理得到，最后由三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图：连接交于M，连接，设与交于O， ∵四边形是菱形， ∴线段互相垂直平分， ∴B、D关于对称，则， ∴， 当时，的值最小， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题、菱形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，确定点M的位置是解答本题的关键． 三、解答题 19. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】先计算负整数指数幂，化简绝对值，二次根式的除法，再合并结果． 【详解】解： = = =6 【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握各自的运算法则和运算顺序． 20. 图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，为立柱的一部分，灯臂，支架与立柱分别交于A，B两点，灯臂与支架交于点C，已知，，，求支架的长．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】49cm 【解析】 【分析】过点C作CD⊥MN，垂足为D，分别解△ACD和△BCD，即可得到结果． 【详解】解：过点C作CD⊥MN，垂足为D， ∵∠MAC=60°，∠ACB=15°， ∴∠ABC=60°-15°=45°，∠ACD=30°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∵AC=40cm， ∴在Rt△ACD中，AD=AC=20cm， ∴CD=cm， ∴在Rt△BCD中，BC=cm， ∴支架BC的长为49cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形，涉及到等腰直角三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，构造特殊直角三角形． 21. 在中，，点D、E分别是、的中点，点F在延长线上，连接，且． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有等于面积的2倍的三角形． 【答案】（1）见解析 （2）图2中所有等于面积的2倍的三角形是，，，， 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边的中线的性质求得，推出，证明，再由三角形中位线定理推出，即可证明四边形是平行四边形； 【小问1详解】 证明：∵，点D是中点． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图2， 由（1）得， ∴，，，，的面积都是面积的2倍． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理的运用，熟悉直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及平行四边形的判定．熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 22. 某校为了了解七年级900名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试，现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下： 【收集数据】 甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100． 乙班15名学生测试成绩中的成绩如下：92，92，93，90，94． 【整理数据】 班级 甲 1 1 m 4 6 乙 1 2 3 5 4 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 a 93 41.7 乙 90 87 b 50.2 【应用数据】 （1）根据以上信息，可以求出：________，________，________； （2）根据以上数据，成绩较整齐的是________班的学生（填“甲”或“乙”）； （3）若规定测试成绩90分及其以上为优秀，请估计参加防疫知识测试的900名学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1）3，100，92； （2）甲； （3）570人． 【解析】 【分析】（1）用抽取人数15减去其他分数段人数即可得值，根据众数及中位数的定义即可得出和的值； （2）方差是刻画数据波动程度的量，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小；比较甲、乙班的方差即可得出答案； （3）计算出样本中的优秀人数占比，总人数乘以优秀人数占比即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 甲班测试成绩为100的人数最多，所以众数是100，即， 乙班15人测试成绩的中位数是按顺序排在第8位的数，由统计数据得成绩按从小到大排在第8位的数是这组数据中的92，即， 故答案为：3，100，92． 【小问2详解】 解：， 甲班的成绩波动比乙班成绩波动小， 故答案为：甲． 【小问3详解】 解：样本中优秀的人数为：， 优秀人数占比为：， ， 估计900名学生中成绩为优秀的学生共570人． 【点睛】本题考查了众数，中位数，方差的意义及用样本估计整体，熟练掌握众数和中位数定义及方差的意义，样本估计整体的计算方法是解题关键． 23. 在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y （米）与出发时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图像解答下列问题： （1）A、B两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米/分； （2）图中a= ，b= ，c= ； （3）求线段MN的函数解析式； （4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米?（直接写出答案即可） 【答案】（1）1200，60 （2）900，800，15 （3）y =-20x+1200（15≤x≤20） （4）8分钟，分钟 【解析】 【分析】（1）分析图像，出发前两人之间的距离即为A、B两地之间的距离，为1200米，乙经过20分钟时到达A地，所以乙的速度为可计算出来； （2）由函数图像可知，经过分钟时两人相遇，则可算出甲的速度，经过c分钟时两人距离重新达到最大，此时甲到达B地，则可求出a，经过20分钟时乙到达A地，此时两人相距b米，利用甲乙的速度即可算出b； （3）由（2）可知M、N的坐标，设出MN的一般解析式，将M、N的坐标代入即可求出； （4）设经过x分钟两人相距80米，根据两人相遇前和相遇后都可相距80米分别列方程即可求出． 【小问1详解】 由函数图像可知，最开始时甲乙两人之间距离为1200米， 因为甲从A地出发，乙从B地出发，两人最开始时的距离就是A、B两地之间的距离， 所以A、B两地之间距离为1200米； 由图像可知乙经过20分时到达A地， ∴乙的步行速度为（米/分）； 故答案为：1200，60； 【小问2详解】 由函数图像可知，经过分钟时两人相遇，经过c分钟时两人距离重新达到最大，此时甲到达B地，乙未到达A地，经过20分钟时乙到达A地，此时两人相距b米， 设甲的步行速度为x米/分，则， 解得：x=80（米/分） ∴（分）， （米）， （米）． 故答案为：900，800，15； 【小问3详解】 由（2）可知，M、N的坐标分别为M（15，900），N（20，800）， 设线段MN的解析式为y=kx+b（）， 则有 ， 解得： ∴线段MN的函数解析式是y =-20x+1200（15≤x≤20） 【小问4详解】 设经过x分钟两人相距80米，两人相遇前和相遇后都可相距80米， 相遇前：1200-（60+80）x=80，解得：x=8； 相遇后：（60+80）x-1200=80，解得：x=， 所以经过8分钟和分钟时两人相距80米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是通过函数图像分析出各个点对应的情况． 24. 如图1，正方形边长为4，点P是直线上的一动点，连接，以为边在直线右侧作等边三角形． （1）请直接写出正方形的面积； （2）当为何值时，点C落在的边上； （3）如图2，若点P在线段上从B向C运动，当为何值时，线段的长度最小？请求出的最小值，并直接写出点E所经过的路径的长度． 【答案】（1）16 （2）或或4 （3）；；E所经过路线的长度是4 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式即可得到结论； （2）如图1，若点C在DE上，如图2，若点C在PE上时，如图3，若点C在DP上时，根据三角函数的定义即可得到结论； （3）如图4，根据旋转的性质得到则△DCP≌△DFE（SAS），根据全等三角形的性质得到∠DFE＝∠DCP＝90°，EF⊥DF，CP＝FE，当CE⊥EF时，CE最小，根据等边三角形的性质得到CD＝DF＝DC＝4，∠DFC＝60°，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵正方形ABCD边长为4， ∴正方形ABCD的面积＝42＝16； 【小问2详解】 解：若点C在边上，如图所示： ， ∴； 若点C在边上，如图所示： ，， ， ∴； 若点C在边上，如图所示： ； 综上分析可知：为，或或4． 【小问3详解】 解：将绕着点D逆时针旋转得到，连接，如图所示： 则， ，，， 即点E在经过点F且垂直于直线的线上运动， 当时，最小， 是等边三角形，， ∴，，， ∴， E所经过的路线的长度是4． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，解题的关键是正确的作出辅助线． 25. 如图（1），在平面直角坐标系中，，，过C作轴，且满足． （1）求三角形的面积． （2）若过B作交y轴于D，且分别平分，如图2，求的度数． （3）在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4 （2） （3）P点坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质得到，，解得，，则，，，即可计算出三角形的面积； （2）由于轴，，则，即，过E作，则，然后利用角平分线的定义可得到，，所以； （3）先根据待定系数法确定直线的解析式为，则G点坐标为，然后利用进行计算． 【小问1详解】 解：∵ ，，， ∴，， ∴，， ∵ ∴，，， ∴三角形的面积； 【小问2详解】 解：∵轴，， ∴， ∴， 如图，过E作， ∵， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：存在．理由如下： 设P点坐标为，直线的解析式为， 把，，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴G点坐标为， ∴， 解得或， ∴P点坐标为或． 【点睛】本题考查非负数的性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，一次函数的图象和性质等，解题的关键是综合应用上述知识点． 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