江苏省南京市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题

南京市2025届高三年级学情调研 数 学 2024.09 注意事项: 1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分150分 2. 本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分 3.答题前,务必将自已的姓名、准考证号用0.5豪米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上 1.已知集合A-(xlx-3>0),B-(xlx*-5x+4>0),则A0B C.(3,十) A.(-m,1) B.(-,3) D.(4.+o) 2.已知a-4,log.3-y,则a*二 B.6 C.7 A.5 D.12 3.已知lal-3,lb-1.若(a+2)1a,则cos<a,b= _ B.-3 D.3 4.已知数列(a.)为等差数列,前n项和为S..若S.-6,S.一3,则S,一 C.9 B一9 A.-18 D.18 5.若a是第二象限角,4sin2a-tana,则tana= C.7 B.___7 D.7 A.一7 6.甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛,已决出了第1名到第4名(没有并列名次).甲、乙、丙三 人向老师询问成绩,老师对甲和乙说:“你俩名次相邻”,对丙说:“很遗憾,你没有得到第1名”.从 这个回答分析,4人的名次排列情况种数为 C.8 B.6 A.4 D.12 7.若正四梭锥的高为8,且所有顶点都在半径为5的球面上,则该正四梭锥的侧面积为 C.96 B.32 A.24 D.128 8. 已知抛物线C:y2-8x的焦点为F,准线为l,点P在C上,点Q在1上.若PF-2QF,PF1QF,则 △PFQ的面积为 2 C B.25 D.55 高三数学试卷第1页(共4页) 目 9.已知复数s,下列命题正确的是 B.若z十iER,则z的虚部为一1 A.若十1ER,则ER D.若z*ER,则zER C.若lsl-1,则 -士1 B.P(A1B)一。 D.P(AB)-一# B.f(x)的图象关于x--对称 D.方程f(x)=12在(0,2π)上所有根的和为8 C.f(z)的最小值为55 13.与圆柱底面成45”角的平面截圆柱得到如图所示的几何体,截面上的点到 圆杜底面距离的最大值为4,最小值为2,则该几何体的体只为△. (第13题图) 14. 已知圆C的左、右焦点分别为F.,F。.上顶点为B,直线BF。与C相交于另一点A.当cos乙F,AB 最小时,C的离心率为△. 四、解答题:本大题共5小题,共77分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明,证明 过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 小王早晨7:30从家出发上班,有A,B两个出行方案供其选择,他统计了最近100天分别选择A, B两个出行方案到达单位的时间,制成如下表格: 8点前到(天数) 8点或8点后到(天数) 2 A方案 3 B方案 30 高三数学试卷第2页(共4页) (1)判断并说明理由:是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关; (2)小王准备下周一选择A方案上班,下周二至下周五选择B方案上班,记小王下周一至下周五 这五天中,8点前到单位的天数为随机变量X.若用频率估计概率,求P(X-3). 附:x*-__ n(ad-bc)? (a+b)(c+a)(ac)(6+d),其中n-a+6+c+d, P(x>xo) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16.(本小题满分15分) 如图,在四面体ABCD中,△ACD是边长为3的正三角形,△ABC是以AB为斜边的等腰直角 三角形,E,F分别为线段AB,BC的中点,AM-2MD.CN-2ND (1)求证:EF/平面MNB; (2)若平面ACD1平面ABC,求直线BD与平面MNB所成角的正弦值 E (第16题图) 17.(本小题满分15分) 已知数列(a.),(b.),a.=(-1)”十2”,b.=a+,-aa.(>0),且(b.)为等比数列 (1)求入的值; (2)记数列(。·n2)的前n项和为T..若T:.T.-i5T..(iEN'),求i的值 高三数学试卷第3页(共4页) 18.(本小题满分17分) 已如F:F。是曲线c.--1.)的,有焦点,F-F-2~6.点T(2~ T6) 在C上 (1)求C的方程 (2)设直线/过点D(1.0),且与C交于A,B两点 ①若D-3DB,求△F.FA的面积; ②以线段AB为直径的圆交x轴于P,Q两点,若lPQ1-2,求直线1的方程. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)-e*”*+ax”-3ax十1,aR. (1)当a-1时,求曲线y一f(x)在x-1处切线的方程; (2)当a>1时,试判断f(x)在[1,十oo)上零点的个数,并说明理由; (3)当x>0时,/(z)>0恒成立,求a的取值范围 高三数学试卷第4页(共4页) 南京市2025届高三年级学情调研 数学参考答案 2024.09 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1 D D A A & B 二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符 合题目要求,请把答案填涂在答题卡相应位置上,全部选对得6分,部分选对得部分分 不选或有错选的得0分. 10 9 11 BCD AB ACD 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分,请把答案填写在答题卡相应位置上. 14# 12.240 13.3π 四、解答题:本大题共5小题,共77分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文 字说明,证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 解:(1)假设H:8点前到单位与方案选择无关, 则2= 100×(28×30-12×30) 40×60×42×58 -200~3.94>3.841 800 所以有95%的把握认为8点前到单位与路线选择有关. (2)选择A方案上班,8点前到单位的概率为0.7 选择B方案上班,8点前到单位的概率为0.5. 当X一3时,则分两种情况; ①若周一8点前到单位, 则P-0.7×ci(1-0.5)2z:0.52-21 80 ②若周一8点前没有到单位. 6 _ 16.(本小题满分15分) 解:(1)因为E,F分别为线段AB,BC中点; 所以EF//AC. ...........................................................2)) 所以MN//AC,所以EF//MN. 又MN-平面MNB,EFc平面MNB 所以EF//平面MNB. (2)取AC中点O,连接DO.OE 因为△ACD为正三角形,所以DO1AC 因为平面ACD1平面ABC,平面ACD0平面ABC= AC,DO-平面ACD. 所以DO1平面ABC. 8分 因为O,F分别为AC,AB中点,则OE//BC. 又因为AC1BC,所以OE1AC 以O为坐标原点,OE,OC,OD所在直线分别为x,v,z轴建立空间直角坐标系, ................ .分. 则Do. 0. 3). 8(3.. 0), yi0o, -. ) N0.3). 故BM=(-3.-2,3),=(0, 1,0),B=(-3,-3.3). 设平面MNB的法向量为n三(x:v,z):直线BD与平面MNB所成角为6 .fBM-0, ##n0 -32v+3:-0. 士-0. 取n-(V3.0,3). ......................12分 则sinstoD.n-3]o+ BD1 .............................................分. 17.(本小题满分15分) 解:(1)因为a =(-1+2”,则a=1,a-5,a=7,a4=17. 又b-a.-a 则b-a-la-5-1,b=a-la=7-5,b=a-a-17-7$. ........... 因为(6)为等比数列,则b-bb,所以(7-5)=(5-z)(17-7),................4分 整理得2-1-2-0,解得1--1或2 因为>0,故-2. 当=2时,b=a.-2a=(-1)^*+2*-2(-1)+21] =(-1)×(-1)“+2-2x(-1“-2”*--3X(-1). .................................6.分. #则b -3X(-1)" 所以-2符合题意........ (2)bn2--3x(-1)"2, 当n为偶数时,.=-3×[-12+2-3+4-5+6-.-(n-1)+] --3x(1+2+.+n)--2(n+1). ............分. 当n为奇数时,T.-T-br+t(n+1)=- .............1分 因为TT>0,又7T-15T 故T>0,所以为偶数. 所以[-i+1)]-(+2)+3)]=15×{(i+1)+2), 2 整理得+31-10-0,解得1-2或1--5(舍) ............................ 18.(本小题满分17分) 解:(1)由题意可知c=,点7在C上,根据双曲线的定义可知TF 一TF|=2a; 即2a=(36)+(10)-(6)+(10)-4,所以a=2, ..............-.. 3 则b=c2-a2-2, (2) ①设 B(xo,yo),DB=(xo-l,yo). 因为DA=3DB,所以DA=(3xo-3,3yo), 所以A点坐标为(3xo-2,3vo). (#一1 因为A,B在双曲线C上,所以 3x23y)1 ........................................................-分 ..................................分 ②当直线/与y轴垂直时,此时PO一4不满足条件. 设直线/的方程为x=ty+1,A(xi,y),B(x2,y2),P(xe,0),O(xo,0). 消去x,得(r*-2)+2ry-3=0 x-1. 2-2 -.....----.----..----.-.-.---1.1分 [=4+12(*-2)>0, 由一270. ,得且?2. 以AB为直径的圆方程为(x二x)(x一x)+(-v)v-y2)=0 令=0,可得x-(x+x)x十xx+vv=0,则x,xo为方程的两个根 , 所以xp+xo=xi+x2.xpxo=xx+y. ................... 所以PO=x-xol=(x+xo)-4xpxo=(+x)-4(xx+y) -(x-x)-4y=qy-y)-4yy 12(2十1) 2一2 16/-122-24 (2-2)2 解得--2(舍)或-),即(--15 所以直线/的方程为:3x士15y-3-0. 19.(本小题满分17分) 解:(1)当a=1时,fx)=e1+2-3x+1,则/(x)=e1+2x-3 所以曲线y=fx)在x=1处切线的斜率k=f(1)-0 又因为/(1)-0 所以曲线y=f(x)在x=1处切线的方程为v=0 ($2) f(1)=el-2a+1,f(x)=e*+2ax-3a,则f(1)-el*- 当a>1时,f(x)=e “+2a>0,则/f(x)在(1,+)上单调递增. 因为f(l)=el-a<ell-1=0,f(a)=l+2-3a=(2a-1)(a-1)>0 所以存在唯一的x。E(1,a),使得/(xo)-0. ............5分 当xE(1,xo)时,f(x)<0,所以f(x)在[1,xo)上单调递减 当xE(xo,+co)时,f(x)>0,所以/(x)在(xo,+oo)上单调递增 又因为f1)=el-2a+1<e*-2+1=0,所以f(xo)<f(1)<0 又因为/(3)-e“+1>0, 所以当a>1时,fx)在[l,十)上有且只有一个零点 ...............................分 (3)①当a>1时,f1)=ela-2a+1<e-2+1=0,与当x>0时,fx)>0矛盾 所以a>1不满足题意. ................................................................分 ②当a<1时,/f0)=e“+1>0. f$x)=e“+2ax-3a,f'(x)-e"+2a,f(0)=e“+2a 记函数a(x)-e+2x,x1. 则q(x)--ex十2, 当xE(-ln2,1)时,a(x)>0,所以a(x)在(-ln2,D)单调递增; 当xE(-co,-ln2)时,q(x)<0,所以q(x)在(-o,-ln2)单调递减, 所以a(x)a(-ln2)-2-2ln2>0,所以/(0)>0. 又因为/”(x)在[0,+o)上单调递增 所以P(x)f”(0)>0,所以/f(x)在[0,+co)上单调递增. .................................分 (1)若/(0)-e*-3a二0, 则/x)/(0)0,所以/x)在[0,+o)上单调递增 则x)二(0)>0,符合题意; .............13分 (iì)若f(0)=e*-3a<0,可得a>0,则0<a<1. 因为f(1)=el*-a0,且/(x)在[0,+o)上单调递增 5 所以存在唯一的x,E(0,1],使得/(x)=0. 当xE(0,x)时,f(x)<0,所以/(x)在(0,x)上单调递减 当xE(x,+oo)时,f(x)>0,所以/f(x)在(x,+)上单调递增 其中xE(0,1,且e**+2ax-3a=0 所以fx)>fx)-e*+ax2-3ax+1 -3a-2ax +ax2-3ax+1=ax2-5ax +3a+1-a(x-5x+3)+1 因为x,E(0,1],所以x2-5x.+3E[-1,3) 又因为aE(0,1],所以a(x2-5x+3)-1, 所以/(x)>0,满足题意. 结合①②可知,当a<1时,满足题意。 综上,a的取值范围为(-o,1]. ......................................................17分