广东省潮州市潮安区华南师范大学附属潮州学校2024-2025学年高二上学期开学摸底考试数学检测卷

潮州华附2024-2025学年度第一学期高二级开学摸底考试 数学科 检测卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 2. 在复平面内，复数对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 3. 现采用随机模拟的方式估计一运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A【详解】依题意在组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：，，共个，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率，故选：A． 4. 已知向量，若向量与向量平行，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A【详解】∵向量, ∴,，又向量与向量平行, ∴,，解得.故选：A. 5. 已知向量 ，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A【详解】因为， 则， 所以在方向上的投影向量为.故选：A. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（ ） A. 当时，是直角三角形 B. 当时，是锐角三角形 C. 当时，是钝角三角形 D. 当时，是钝角三角形 【答案】D 【详解】对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是直角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 显然是等腰三角形，， 说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，此时，不等构成三角形，故命题错误.故选：D. 7. 已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ） A. 若，且与不垂直，则与一定不垂直 B. 若与不平行，则与一定是异面直线 C. 若，则与可能垂直 D. 若，且，则与可能平行 【答案】C【详解】对A：在平面内，存在无数条直线和垂直，故A错误； 对B：当时，与不是异面直线，故B错误； 对C：若，在内存在直线与垂直，故其可能与垂直，故Ｃ正确. 对D：若，且，与为异面直线，故Ｄ错误；故选：Ｃ. 8.已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 8.【答案】B 解析：设圆台的高为，外接球半径为，作出轴截面如图：的上､下底面面积分别为，则圆的半径分别为2，6，则，解得， 故所求体积之比为.故选：B 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A． B． C． D． 9．AC 【解析】对于A，，则，为共线向量，故不能作为平面向量的基底；对于B，若存在实数使，则，无解，可以作为平面向量的基底；对于C，，则，为共线向量，故不能作为平面向量的基底，对于D，若存在实数使，则，无解，可以作为平面向量的基底．故选AC． 10. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的平均数<众数<中位数 C. 图（2）的众数中位数<平均数 D. 图（3）的平均数中位数众数 【答案】ACD 【分析】图（1）分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确. 故选：ACD. 11.如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A.存在点，使四点共面 B.存在点，使平面 C.三棱锥的体积为 D.经过四点的球的表面积为 11.【答案】ABD 解析：A：如图，在正方体中，连接. 因为分别是的中点，所以. 又因为，所以. 所以四点共面，即当与点重合时，四点共面，故A正确； B：连接，当是的中点时，因为，所以. 因为平面平面，所以平面，故B正确； C：连接，因为，则 ，故C错误； D：分别取的中点，构造长方体，则经过四点的球即为长方体的外接球.设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径， 即， 所以经过四点的球的表面积为，故D正确.故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两人下中国象棋，若甲获胜的概率是，下成和棋的概率是，则乙获胜的概率是_______________________．【答案】 13.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则__________.【答案】 解析：在正八边形中，连接，则， 而，即，于是，在等腰梯形中， ，所以 14. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，△ABC外接圆面积为则∠A=______，△ABC周长的最大值为______. 【答案】(或60°) ， 9 【详解】已知向量， 则，则， 所以， 则，所以， 又，故且， 所以，又，则； 由余弦定理有：，则， 由正弦定理可得：的外接圆半径为，则，即， 所以， 则，当且仅当且，即时等号成立， 故三角形周长的最大值为 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知复数是纯虚数. （1）求实数的值；（2）若复数满足，，求复数. 15.解：（1）由复数为纯虚数，有，得. （2）由（1）知，令，，有， 又由，得，有 由上知或. 16. （本小题满分15分）如图，已知平面，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面 （3）求直线与平面所成角的大小． 【小问1详解】取中点，连接，，，如图所示， 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为点为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． 【小问2详解】因为平面，， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因为，点为的中点，所以， 因为平面平面平面，所以平面， 【小问3详解】由（1）得四边形为平行四边形，所以， 所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等， 因为平面，所以即为直线与平面所成角， 因为点为的中点，， 所以， 所以，由，所以， 所以直线与平面所成角为． 17.（本小题满分15分）在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为，该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中： （1）该同学得4分的概率； （2）该同学得分不超过3分的概率. 【小问1详解】设该同学在A处击中目标为事件A，在B处击中目标为事件B， 在C处击中目标为事件C，事件A，B，C相互独立， 依题意， 则该同学得4分的概率为 . 【小问2详解】该同学得分不超过3分的情况为得0分、2分，3分， 该同学得0分的概率为； 得2分的概率为； 得3分的概率为； 则该同学得分不超过3分的概率为. 18. （本小题满分17分）某地为了了解市场经营户年收入情况，随机抽取60家经营户，经统计，这60家经营户去年经营收入（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第80百分位数为8.9. （1）求，的值； （2）估计这60经营户年收入的平均值（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （3）用分层抽样方法在收入区间为的营业户中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1户在收入区间为内的概率. 【小问1详解】依题意得，即， 又第80百分位数，，解得，. 【小问2详解】. 【小问3详解】在有9户，在有18户，所以在抽取2户，在上抽取4户， 设在抽取的2户，设为,在上抽取4户，设为， 任取2户的所有情况为，，共15种情况， 其中至多有1户在内的样本点包含共9个， 设至多有1户在内为事件，则. 19. （本小题满分17分）设是半径为1的圆O内接正2024边形，M是圆O上的动点． （1）求的取值范围； （2）试探究是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【小问1详解】 由已知可得，. 因为是半径的圆O内接正2024边形，M是圆O上的动点， 所以， 所以，． 【小问2详解】 是定值，定值为4048. 因为是半径为1的圆O内接正2024边形， 所以，， 所以，， 所以 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 潮州华附2024-2025学年度第一学期高二级开学摸底考试 数学科 检测卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 在复平面内，复数对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 现采用随机模拟的方式估计一运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若向量与向量平行，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 5. 已知向量 ，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（ ） A. 当时，是直角三角形 B. 当时，是锐角三角形 C. 当时，是钝角三角形 D. 当时，是钝角三角形 7. 已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ） A. 若，且与不垂直，则与一定不垂直 B. 若与不平行，则与一定是异面直线 C. 若，则与可能垂直 D. 若，且，则与可能平行 8.已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A． B． C． D． 10. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的平均数<众数<中位数 C. 图（2）的众数中位数<平均数 D. 图（3）的平均数中位数众数 11.如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A.存在点，使四点共面 B.存在点，使平面 C.三棱锥的体积为 D.经过四点的球的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两人下中国象棋，若甲获胜的概率是， 下成和棋的概率是，则乙获胜的概率是_________． 13.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则__________. 14. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，△ABC外接圆面积为则∠A=______，△ABC周长的最大值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知复数是纯虚数. （1）求实数的值； （2）若复数满足，，求复数. 16. （本小题满分15分）如图，已知 平面，，，点为的中点．(1)求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的大小． 17.（本小题满分15分）在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为，该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中： （1）该同学得4分的概率； （2）该同学得分不超过3分的概率. 18. （本小题满分17分）某地为了了解市场经营户年收入情况，随机抽取60家经营户，经统计，这60家经营户去年经营收入（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第80百分位数为8.9. （1）求，的值； （2）估计这60经营户年收入的平均值（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （3）用分层抽样方法在收入区间为的营业户中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1户在收入区间为内的概率. 19. （本小题满分17分）设是半径为1的圆O内接正2024边形，M是圆O上的动点． （1）求的取值范围； （2）试探究是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$