精品解析：重庆市第八中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题

重庆八中2023-2024学年度（下）初三年级第6次数学作业 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 实数的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可． 【详解】的相反数是5． 故选：A． 2. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解． 【详解】解：选项A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项A错误； 选项B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B错误； 选项C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项C正确； 选项D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项D错误． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了视图，主视图是指从前面往后面看，俯视图是指从上面往下看，左视图是指从左边往右边看，熟练三视图的概念即可求解. 3. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用整式加减运算和幂的运算对每个选项计算即可． 【详解】A．，不是同类项，不能合并在一起，故选项A不合题意； B．，符合题意； C．，不是同类项，不能合并在一起，故选项C不合题意； D．，不符合题意， 故选B 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键． 4. 如图，把一块含有 角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由a与b平行，得到一对内错角相等，即，根据等腰直角三角形的性质得到，根据∠2的度数即可确定出∠1的度数． 【详解】解：如图，标注图形， ∵， ， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的性质，角的和差运算，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键． 5. 如图，是由一些小棒搭成的图案，按照这种方式摆下去，摆第9个图案所用小棒的数量为（ ） A. 33 B. 36 C. 37 D. 41 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的图形，可以发现火柴根数的变化规律，从而可以得到摆第9个图案用多少根火柴棒． 【详解】解：由图可得， 图①中火柴的根数为：， 图②中火柴的根数为：， 图③中火柴的根数为：， ， 则摆第9个图案中火柴的根数为：， 故选C． 【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中火柴根数的变化规律，利用数形结合的思想解答． 6. 五一假期，小明去游乐园游玩，坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 摩天轮旋转一周需要6分钟 B. 小明出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同 C. 小明离地面的最大高度为42米 D. 小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，常量和变量，解答问题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合思想解答． 对于选项A，由图象可知，用两个最高点对应的时间作差即可；对于选项B，根据图象看出第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为45米；对于选项C，观察图得出，抛物线的顶点对应的高度为45米，与42米不符；对于选项D，从图上看出，小明出发后经过6分钟恰好到达最低点，最低点为3米，即可当得到结论． 【详解】解：由图可知小明第一次到达最高点时间节点为3分钟，第二次到达最高点时间节点为9分钟．． ∴A选项正确． 由图可知，第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为45米，高度相同． ∴B选项正确． 抛物线的顶点对应的高度为45米． ∴C选项错误，符合题意． 摩天轮旋转一周需要6分钟，摩天轮的最低点为3米，旋转一圈回到最低点． ∴D选项正确． 故选：C． 7. 如图，以点O为位似中心，把放大为其2倍得到，以下说法错误的是（ ） A. B. C. D. ，，三点共线 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，点C、点O、点三点在同一直线上，，， 故选项C错误，符合题意． 8. 如图，是的直径，延长至切于点，过点作 交于点，连接．若，则的长为( ) A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，利用平行线的性质和圆周角定理得到，利用切线的性质定理得到，在中，利用直角三角形的边角关系定理求得，则． 【详解】解：连接，如图， ， ， ． 切于点， ． ，是的直径， ， 在中， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 9. 如图，E是正方形的边上的一点，连接，点F为的中点，过点F作的垂线分别交，于点M，N，连接 ，若，则的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质及勾股定理；连接，则得，设，在中由勾股定理建立方程即可求得a的值，从而求得面积值． 【详解】解：如图，连接， 点F为的中点，且， 为线段的垂直平分线， ； 四边形为正方形，， ； 设，则； 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， ． 故选：B． 10. 依次排列的两个整式，将第1个整式乘2再减去第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘2再减去第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式；，以此类推，下列4个说法，其中正确的结论有（ ）个． ①第6个整式为； ②第个整式中系数与系数的和为1； ③若，则前个整式之和为． ④第次与第 次操作后得到的两个整式中与所有系数的绝对值之和为； A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意得出前面五次操作的结果，再进行观察，分析得出规律，结合举反例的方法，从而可得答案． 【详解】解：①第1个整式：， 第2个整式：， 第3个整式：，（第一次操作） 第4个整式：，（第二次操作） 第5个整式：，（第三次操作） 第6个整式：，（第四次操作） 第7个整式：，（第五次操作） 故①错误； 由前面7个等式可得的系数之和为 ， ∴第个整式中系数与系数的和为 ；故②错误； ∵，当时，前3个整式之和为： ，故③错误； 当 时，第一次操作得，第二次操作得， 此时所有的系数的绝对值之和为， 此时，故④错误， 故选A 【点睛】本题考查的是整式的加减运算，整式的加减运算中的规律探究，举反例方法的应用，绝对值的含义，掌握探究的方法是解本题的关键． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 太阳中心的温度可达15500000℃，数据15500000用科学记数法表示为________. 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：15500000用科学记数法表示为 故答案为： 【点睛】考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12. 计算_____． 【答案】 【解析】 【分析】先计算负整数指数幂和绝对值，再按二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数的运算、负整数次幂、绝对值等知识点，在进行实数运算时，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 13. 现有三张正面分别标有数字 ，， 的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为，放回洗匀后再随机抽取一张，将卡片上的数字记为，则满足的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】由列表法得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： ∴共有种等可能的结果，其中满足的有：、、、、，共 种， ∴满足的概率， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法求概率，通过列表法得到所有情况后准确找到满足条件的情况是解答本题的关键． 14. 如图，点M是反比例函数图像上的一点，过点M作 轴于点N，点P在y轴上，若的面积是2，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设，可求 ，， 由，即可求解． 【详解】解：设， 轴， ，，轴， ， 解得：， 在上， ， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了在反比例函数中利用面积求，掌握解法是解题的关键． 15. 如图，在等腰梯形中，， ， ， ， ，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于，过点作，证四边形是矩形，得，再证，得 ，从而有，，于是利用梯形面积公式及扇形面积公式即可求解． 【详解】解：过点作于，过点作于D， ∵在等腰梯形中，， ， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ， ∴，，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴与弧相切， ∴阴影部分面积为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，扇形的面积公式，熟练掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，扇形的面积公式是解题的关键． 16. 如图所示，在中，，的平分线交于点，若， ，则在的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形高有关的计算，角平分线的性质，根据题意，作，，根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式可得，结合等面积法可得，，由此可得，再根据三角形的周长的计算方法即可求解．合理作出辅助线，利用等面积法求 的值是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作 于点，作 于点， ∵平分 ， ∴， ∴， ∵， ∴ ，则， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴，且 ， ∴， ∴ 的周长为：， 故答案为： ． 17. 若关于x的不等式组的解集为，关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用给出的不等式组，可得x的范围，进而得出a的范围，再利用分式方程的解的特征，得到a的取值范围，综合考虑即可得到a的个数，然后相加即可得出答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组解集为， ∴， 得 ， ∵， ∴， ∵分式方程有有非负整数解， ∴，且 解得且a为奇数，， ∴且，a为奇数， ∴符合条件的整数a有， ∴符合条件的所有整数a的和为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了不等式组的解和分式方程的解，关键是掌握解不等式组的步骤，把分式方程化为整式方程． 18. 一个四位正整数M，各个数位均不为零，如果千位数字与个位数字之和的两倍等于百位数字与十位数字之和的三倍，且各个数位数字之和为20，则称M为“第二十数”，那么百位数字和十位数字之和为______，并规定等于M的千位数字与百位数字之和的两倍与十位数字与个位数字之和的和，且为完全平方数；对于另一个“第二十数”N，等于N的前两个数字组成的两位数与后两个数字所组成的两位数的和，且是一个整数，则的最大值是______． 【答案】 ①. 8 ②. 6444 【解析】 【分析】本题主要考查代数式表示式，理解题目中的新定义是解题的关键．根据题意得到即可得到答案；要求的最大值，即使 最大，最小，分别计算出 和的临界值即可得到答案． 【详解】解：设为“第二十数”， 由题意可知，且 解得， 故百位数字和十位数字之和为 ， 又为完全平方数； 而 在和 之间的完全平方数为， 或 要使最大，则要最小， 要小， 而在或中，，并且要满足， 最大为 最小为 ，此时，最小为 设为“第二十数”， 由题意可知，且 解得， 是一个整数， 是一个整数， 是 的倍数， 而 可取 或或 要使最大，则 要最大， 要大， 此时，又取最大， 而当时， 故 最大为， 故的最大值为：， 故答案为： ，． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】原式利用单项式乘多项式法则，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果； 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果. 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 【点睛】此题考查了分式的混合运算，单项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键. 20. 如图，在中， 分别交AD，BD于点E，F． （1）用尺规完成以下基本作图：过点A作BC的垂线，分别交BD，BC于点G，H，连接AF，CG；（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）根据（1）中所作图形，小南发现四边形AGCF是平行四边形，并给出了证明，请你补全证明过程． 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形． ∴ ， ① ， ∴ ． ∵， ， ∴ ② 度， ∴ ， ∴ ． 又∵ ③ ， ∴ ， 在△ABG和△CDF中， ， ∴． ∴ ④ ， 又∵ ， ∴四边形AGCF是平行四边形． 【答案】（1） 如图所示 （2）①；②90；③ ；④ 【解析】 【分析】(1)利用基本作图作AH⊥BC于H； (2)先证明 ,再证明ΔABG≌ΔCDF，得到 ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可完成证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图−基本作图，平行四边形的性质和判定，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定． 21. 学校开展校本知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为四个等级，分别是：，． 下面给出了部分信息： 其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，90，91，92，94，95，96，96； 九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，88． 两组数据的平均数、中位数、众数如表所示： 学生 八年级 九年级 平均数 中位数 86 a 众数 b 91 根据以上信息，解答下列问题 （1）填空： ______， ______， ______； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若八年级有600名学生参赛，九年级有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 【答案】（1）；86；40 （2）九年级．理由见解析 （3）估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有530人 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键． （1）分别根据中位数和众数的定义可得和的值，用1分别减去其它三个等级所占百分比即可得出的值； （2）依据表格中平均数、中位数、众数做出判断即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：九年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87、88，故中位数 ； 八年级20名同学的成绩出现次数最多的是86，故众数 ； 由题意可得 ，故， 故答案为：；86；40； 【小问2详解】 九年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级； 【小问3详解】 （人） 答：共有530人． 22. 某工厂加工生产大，小两种型号的齿轮，每名工人每天只能生产一种型号的齿轮．一名熟练工每天生产的小齿轮数量是大齿轮的，并且生产240个大齿轮所用的时间比生产同样数量的小齿轮要多用10天 （1）求一名熟练工每天可以生产多少个大齿轮； （2）该工厂原有15名熟练工，由于订单激增，工厂需要招聘一批新工人，已知新工人每人每天可以生产3个大齿轮或5个小齿轮，工厂决定派3名熟练工带领一部分新工人一起生产大齿轮，其余工人全部生产小齿轮．已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配套．若一共招聘了28名新工人，问安排多少名新工人生产大齿轮，才能使得该工厂每天生产的大，小齿轮刚好配套？ 【答案】（1）一名熟练工每天可以生产6个大齿轮 （2）安排名新工人生产大齿轮，才能使得该工厂每天生产的大，小齿轮刚好配套 【解析】 【分析】（1）设一名熟练工每天可以生产个大齿轮，则一名熟练工每天生产的小齿轮数量为个，根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设安排名新工人生产大齿轮，则安排名新工人生产小齿轮，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设一名熟练工每天可以生产个大齿轮，则一名熟练工每天生产的小齿轮数量为个，根据题意得， ， 解得：（经检验，是原方程的解）， 答：一名熟练工每天可以生产6个大齿轮 【小问2详解】 解：设安排名新工人生产大齿轮，则安排名新工人生产小齿轮，根据题意得， 解得：， 答：安排名新工人生产大齿轮，才能使得该工厂每天生产的大，小齿轮刚好配套． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 23. 如图1，在等腰中，，，D为底边的中点，点P从A点出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点Q从C点出发，以每秒2个单位长度的速度；沿着的路线运动，设运动时间为t，连接， ，，记 的面积为，记的面积为，请解答下列问题： （1）请直接写出，与t之间的函数关系式以及对应的t的取值范围；并在如图2所示的平面直角坐标系中分别画出，的函数图象； （2）观察的函数图象，写出函数的一条性质； （3）根据图象，直接写出当时，t的取值范围. 【答案】（1）；；作图见解析 （2）函数的最大值是； （3） 【解析】 【分析】由锐角三角函数可求的长，由三角形的面积公式可求解； 由图象可直接求解； 列出不等式即可求解. 【小问1详解】 如图, 过点P作于H, 过点Q作于N, ∵，，D为底边的中点， ∴ ∵点P从A点出发以每秒个单位长度的速度向终点B运动， ∴, ， ， ， 当点Q在上时， ∵动点Q从C点出发，以每秒 个单位长度的速度, ∴ , ， ， 当时, ； 当点Q在上时,同理可求当时, 综上所述： 则，的函数图象如图所示： 【小问2详解】 由图象可得：函数的最大值； 【小问3详解】 ∵ ， . 即. 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键. 24. 如图是体育公园步道示意图．从A处和得点B在北偏东 ，测得点C在北偏东 ，在点C处测得点B在北偏西 ，米． （1）求步道的长度（结果保留根号）； （2）游客中心Q在点A的正东方向，步道与步道交于点P，测得，小明和爸爸分别从B处和A处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟米，请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．（结果精确到0.1）（参考数据： ， ， ） 【答案】（1）米 （2）爸爸的速度要达到每分钟17.9米，他俩可同时到达游客中心． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，， ，，根据解直角三角形即可； （2）作，交 延长线于，由（1）可知，，，由可求得，由，可知，由此可得，，，可计算出小明到达游客中心所需时间，进而可得爸爸的速度． 【小问1详解】 解：如图， 由A处和得点B在北偏东 ，测得点C在北偏东 ， 可知，， 由在点C处测得点B在北偏西 ，可知， ∴ ， ∴， ∵， ∴（米） 【小问2详解】 作，交 延长线于， 由（1）可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 则：， 小明到达游客中心所需时间为：分钟， 若要同时到达，则爸爸的速度为：米/分 即：爸爸的速度要达到每分钟17.9米，他俩可同时到达游客中心． 【点睛】本题考查解直角三角形——方向角问题，解题的关键是掌握含 、 角的直角三角形三边的关系． 25. 如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点在直线上方抛物线上运动，过点作，⏊轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标． （3）将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） ; （2）当时，有最大值，最大值为，； （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据顶点式，设抛物线的解析式为：，把点代入即可求解； （2）根据题意可得， 是等腰直角三角形，并求出直线的解析式为： ，设与交于点，可得是等腰直角三角形，则，设，则，，且，，，结合二次函数图象的性质即可求解； （3）根据抛物线的平移可得，，，并求出直线的解析式，分类讨论：第一种情况，过点 作，交抛物线与点，运用待定系数法求出直线的解析式，再联立新抛物线为方程组即可求解；第二种情况，作，交抛物线与点，接触直线 的解析式为，联立抛物线为方程组即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，点， ∴设抛物线的解析式为：， 把点代入可得，， 解得，， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ，即 是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为：， ∵点，点． ∴， 解得，， ∴直线的解析式为： ， 如图所示，设与交于点， ∵轴， ∴，且， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则，，且， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在点，点的横坐标为或，理由如下， ∵抛物线， ∴将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线的解析式为：， 令，则，令，则，得， ∴，， ∵点 是第一象限中新抛物线上一点，且点 到轴的距离等于点到轴的距离的一半， ∴，且， 把代入得，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 新抛物线图像如图所示， 第一种情况，过点 作，交抛物线与点，则， ∴设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为：， 联立新抛物线与直线为方程组得，， 解得，（与点 重合，不符合题意，舍去）或， ∴； 第二种情况，作，交抛物线与点，交直线于点， ∴， 设，且，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， 设直线 的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线 的解析式为， 联立抛物线与直线 为方程组得，， 解得，（与点 重合，不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，存在点，使得，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数最值问题，函数平移的性质，等腰三角形的性质，二次函数与二元一次方程组求解交点等知识的综合运用是解题的关键． 26. 如图，将的边绕点逆时针旋转至，直线，交于点，连接，直线，交于点． （1）如图1，当时，若 ， ， ，求的长； （2）如图2，当时，若，，猜想线段与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，当时，若 ， ，点在线段上且满足，，分别为线段，上两点，连接 ，将沿 折叠使得点的对应点落在上，连接，与折痕 交于点，请直接写出最小时，点到的距离． 【答案】（1） （2） （3）当最小时，点到的距离为． 【解析】 【分析】（1）设，结合 ，证明，可得 ，求解，再进一步可得答案； （2）证明，结合， ，可得 ， ，如图，过作于 ，过作于，再证明，可得，可得； （3）设，证明，如图，以为底边作等腰三角形，使，过作于 ，证明在以为圆心，半径为的圆上运动，作直径，延长到，使，连接，求解，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于，此时最小，即在处，最小，可得，由，证明点在的中位线上运动，作于 ，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：设，而 ， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴ ， ， 如图，过作于 ，过作于， ∴，， ∵， ∴，， 设，而 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴设， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 如图，以为底边作等腰三角形，使， 过作于 ， ∴，， ∴， ∴在以为圆心，半径为的圆上运动， 作直径，延长到，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于，此时最小，即在处，最小， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵将沿 折叠使得点的对应点落在上，连接，与折痕 交于点， ∴， ∴点在的中位线上运动， 如图， 作于 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，点到的距离为． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，二次根式的混合运算，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，圆周角定理的应用，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2023-2024学年度（下）初三年级第6次数学作业 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 实数的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，把一块含有 角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是由一些小棒搭成的图案，按照这种方式摆下去，摆第9个图案所用小棒的数量为（ ） A. 33 B. 36 C. 37 D. 41 6. 五一假期，小明去游乐园游玩，坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 摩天轮旋转一周需要6分钟 B. 小明出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同 C. 小明离地面的最大高度为42米 D. 小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米 7. 如图，以点O为位似中心，把放大为其2倍得到，以下说法错误的是（ ） A. B. C. D. ，，三点共线 8. 如图，是的直径，延长至切于点，过点作 交于点，连接．若，则的长为( ) A. 3 B. C. D. 9. 如图，E是正方形的边上的一点，连接，点F为的中点，过点F作的垂线分别交，于点M，N，连接 ，若，则的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 20 10. 依次排列的两个整式，将第1个整式乘2再减去第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘2再减去第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式；，以此类推，下列4个说法，其中正确的结论有（ ）个． ①第6个整式为； ②第 个整式中系数与系数的和为1； ③若，则前 个整式之和为． ④第 次与第 次操作后得到的两个整式中与所有系数的绝对值之和为； A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 太阳中心的温度可达15500000℃，数据15500000用科学记数法表示为________. 12. 计算_____． 13. 现有三张正面分别标有数字 ，，的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为，放回洗匀后再随机抽取一张，将卡片上的数字记为，则满足的概率为________． 14. 如图，点M是反比例函数图像上的一点，过点M作 轴于点N，点P在y轴上，若的面积是2，则________． 15. 如图，在等腰梯形中，，， ， ， ，以点为圆心，长为半径画弧交 于点，则图中阴影部分面积为______． 16. 如图所示，在中，，的平分线交于点，若， ，则在的周长为______． 17. 若关于x的不等式组的解集为，关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为______． 18. 一个四位正整数M，各个数位均不为零，如果千位数字与个位数字之和的两倍等于百位数字与十位数字之和的三倍，且各个数位数字之和为20，则称M为“第二十数”，那么百位数字和十位数字之和为______，并规定等于M的千位数字与百位数字之和的两倍与十位数字与个位数字之和的和，且为完全平方数；对于另一个“第二十数”N，等于N的前两个数字组成的两位数与后两个数字所组成的两位数的和，且是一个整数，则的最大值是______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 20. 如图，在中， 分别交AD，BD于点E，F． （1）用尺规完成以下基本作图：过点A作BC的垂线，分别交BD，BC于点G，H，连接AF，CG；（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）根据（1）中所作图形，小南发现四边形AGCF是平行四边形，并给出了证明，请你补全证明过程． 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形． ∴， ① ， ∴ ． ∵， ， ∴ ② 度， ∴ ， ∴ ． 又∵ ③ ， ∴ ， 在△ABG和△CDF中， ， ∴． ∴ ④ ， 又∵ ， ∴四边形AGCF是平行四边形． 21. 学校开展校本知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为四个等级，分别是：，． 下面给出了部分信息： 其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，90，91，92，94，95，96，96； 九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，88． 两组数据的平均数、中位数、众数如表所示： 学生 八年级 九年级 平均数 中位数 86 a 众数 b 91 根据以上信息，解答下列问题 （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若八年级有600名学生参赛，九年级有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 22. 某工厂加工生产大，小两种型号的齿轮，每名工人每天只能生产一种型号的齿轮．一名熟练工每天生产的小齿轮数量是大齿轮的，并且生产240个大齿轮所用的时间比生产同样数量的小齿轮要多用10天 （1）求一名熟练工每天可以生产多少个大齿轮； （2）该工厂原有15名熟练工，由于订单激增，工厂需要招聘一批新工人，已知新工人每人每天可以生产3个大齿轮或5个小齿轮，工厂决定派3名熟练工带领一部分新工人一起生产大齿轮，其余工人全部生产小齿轮．已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配套．若一共招聘了28名新工人，问安排多少名新工人生产大齿轮，才能使得该工厂每天生产的大，小齿轮刚好配套？ 23. 如图1，在等腰中，，，D为底边的中点，点P从A点出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点Q从C点出发，以每秒2个单位长度的速度；沿着的路线运动，设运动时间为t，连接，，，记 的面积为，记的面积为，请解答下列问题： （1）请直接写出，与t之间的函数关系式以及对应的t的取值范围；并在如图2所示的平面直角坐标系中分别画出，的函数图象； （2）观察的函数图象，写出函数的一条性质； （3）根据图象，直接写出当时，t的取值范围. 24. 如图是体育公园步道示意图．从A处和得点B在北偏东 ，测得点C在北偏东 ，在点C处测得点B在北偏西 ，米． （1）求步道的长度（结果保留根号）； （2）游客中心Q在点A的正东方向，步道与步道交于点P，测得，小明和爸爸分别从B处和A处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟米，请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．（结果精确到0.1）（参考数据： ， ， ） 25. 如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点在直线上方抛物线上运动，过点作，⏊轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标． （3）将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 如图，将的边绕点逆时针旋转至，直线，交于点，连接，直线，交于点． （1）如图1，当时，若 ， ， ，求的长； （2）如图2，当时，若，，猜想线段与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，当时，若 ， ，点在线段上且满足，，分别为线段，上两点，连接，将沿折叠使得点的对应点落在上，连接，与折痕交于点，请直接写出最小时，点到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $