辽宁省大连市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质

辽宁省大连市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质 一．选择题（共15小题） 1．（2024•大连二模）如图，△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点M，交AB于点N．分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P．射线BP与AC相交于点D．若∠A＝40°，则∠BDC的度数是（　　） A．75° B．80° C．105° D．110° 2．（2024•大连二模）光线在镜面上反射时，经过入射点与镜面垂直的直线是法线，反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，两束光线l1，l2分别从不同方向射向镜面m，入射点为A，B，n1，n2是法线．l1，l2的反射光线相交于点C．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠ACB的度数是（　　） A．30° B．50° C．80° D．90° 3．（2024•瓦房店市二模）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CB的延长线于点F，连接AF．若∠FAB＝15°，AF＝8，则BE的长为（　　） A． B． C．4 D．3.5 4．（2024•大连二模）如图，在半径为2的⊙O中，AB为⊙O的一条弦，将AB所对的劣弧沿着AB翻折后恰好经过圆心，连接OA并反向延长交⊙O于一点，则如图所示的阴影面积为（　　） A． B． C． D． 5．（2024•大连二模）在学习了《勾股定理》一课后，小明同学对于它的证明方式非常好奇，并动手操作，完成了其中一些证明并给出了示意图．请你根据示意图帮助小明同学判断，一定不能完成定理证明的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024•大连二模）关于两条平行直线m，n，下列说法正确的是（均发生在同一平面内）（　　） A．若m，n被第三条直线所截，则内错角互补 B．过m，n外一点P作直线l∥m，则l与n一定交于一点 C．对于m，n外的任意一点Q，过Q关于m平行的直线有且仅有一条 D．△ABC被平行直线m所截得线段成比例 7．（2024•西岗区二模）如图，在△ABC中，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E，若AC＝5，CD＝6，则AE长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 8．（2024•甘井子区二模）如图，在⊙O中，OA、OB、OC为半径，连接AB、BC、AC．若∠ACB＝53°，∠CAB＝17°，则∠OAC的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 9．（2024•甘井子区二模）已知某扇形弧长为3π，圆心角为60°，则扇形面积为（　　） A． B． C． D． 10．（2024•西岗区二模）如图，在⊙O中，弦AB＝5cm，∠ACB＝30°，则⊙O的半径是（　　） A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm 11．（2024•大连二模）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），（3，0），则点D的坐标是（　　） A．（2，4） B．（3，4） C．（4，2） D．（4，3） 12．（2024•中山区二模）如图所示，直线EF∥GH，射线AC分别交直线EF、GH于点B和点C，AD⊥EF于点D，如果∠A＝40°，则∠ACH＝（　　） A．50° B．110° C．40° D．160° 13．（2024•甘井子区二模）根据下列圆规作图的痕迹，可用直尺既能找到三角形的外心，又能找到三角形的重心的图形是（　　） A． B． C． D． 14．（2024•大连二模）如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结DE，交BC于点P．若AC＝3，△ACP的周长为10，则BC的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 15．（2024•沙河口区二模）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A．1 B．5 C．7 D．9 二．填空题（共10小题） 16．（2024•西岗区二模）如图，已知∠AOB＝60°，以点O为圆心，与角的两边分别交于C，D两点，O为圆心，大于，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连接OP，过点P作直线PE∥OA交OB于点E，过点P作直线PF∥OB交OA于点F，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是 　 　． 17．（2024•大连二模）对顶角相等的逆命题是 　 　命题（填写“真”或“假”）． 18．（2024•大连二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点K为AB中点．若▱ABCD的周长为20，AC＝8，则△AOK的周长为 　 　． 19．（2024•大连二模）如图，在正方形ABCD中，点E为CD上靠近点D的三等分点，点F为BC的中点，以EF为直角边，点E为直角顶点向右构造等腰Rt△EFG，连接AG、CG，则的值为 　 　． 20．（2024•甘井子区二模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在正方形内部且∠CED＝90°．连接BE，以BE、DE为边构造▱BEDF，连接CF，则线段CF的最小值为 　 　． 21．（2024•西岗区二模）如图，在△OAB中，OA＝OB，顶点A的坐标为（5，0），P是OA上一动点，将点P绕点C（0，1）逆时针旋转90°，若点P的对应点P'恰好落在AB边上，则点P'的坐标为 　 　． 22．（2024•大连二模）如图，AC是菱形ABCD的对角线，∠DAB＝70°，则∠ACB的度数是 　 　°． 23．（2024•沙河口区二模）在△ABC中，∠C＝90°，M为AB的中点，点N在边BC上，且CN＝CA＝1．当以点B，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，BC的长为 　 　． 24．（2024•中山区二模）如图，以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立平面直角坐标系．若A点坐标为，则C点坐标为 　 　． 25．（2024•金州区二模）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，点E为AD上一点，连接BE，以点B为圆心AB长为半径作弧与以点E为圆心AE长为半径所作的弧交于另一点F，射线EF交BC于点G，当四边形ABGE的面积等于矩形ABCD面积的一半时，AE的长度等于 　 　． 三．解答题（共5小题） 26．（2024•大连二模）如图，AC是⊙O的直径，点B是⊙O内一点，且BA＝BC，连接BO并延长线交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线CE，且BC平分∠DBE． （1）求证：BE＝CE； （2）若⊙O的直径长8，sin∠BCE，求BE的长． 27．（2024•西岗区二模）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8． 【数学活动】 将矩形纸片ABCD进行以下操作： 第一步：将矩形纸片ABCD沿直线L对折，使点A与点D重合，然后展开铺平，得到折痕EF，再将矩形纸片ABCD沿对角线AC对折，得到折痕AC，再次展开铺平，两折痕AC与EF交于点G； 第二步：将△GFA绕点G逆时针旋转得到△GHK，点F，A的对应点分别为点H，K直线HK与边AD所在直线交于点M（点M不与点A重合），与边CD所在直线交于点N． 【数学思考】 （1）△GHK绕点G旋转至图1的位置时，试判断MF与MH的数是关系，并证明你的结论． 【数学探究】 （2）①如图2，当直线KH∥AC时，求DM的长； ②在旋转过程中，当点K，H，C三点共线时，求DM的长； 【问题延伸】 （3）在△AGF绕点G旋转的过程中，连接DH，则DH的取值范围是 　 　． 28．（2024•大连二模）如图1，AB是⊙O的弦，AO的延长线与⊙O 相交于点C，与过点B的切线相交于点D，BA＝BD． （1）求∠D的度数； （2）如图2，点E在⊙O上，，连接AE，BE．若AE＝2，求.的长． 29．（2024•沙河口区二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交⊙O于点E，交⊙O的切线AD于点D，且点A是的中点． （1）求证：BE∥AD； （2）若，OA＝3，求AC的长． 30．（2024•金州区二模）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边中点，点E为线段DC上一动点，过点A，D，E作⊙O分别交AB，AC于点F，G，连接FG，DG． （1）求证：∠B＝∠DGF； （2）已知：BC＝24，∠B＝30°，当四边形BDGF为平行四边形时，请补全图2，并求出DE的长． 辽宁省大连市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 1．（2024•大连二模）如图，△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点M，交AB于点N．分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P．射线BP与AC相交于点D．若∠A＝40°，则∠BDC的度数是（　　） A．75° B．80° C．105° D．110° 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ABC＝∠C（180°﹣40°）＝70°， 由作图知，BD平分∠ABC， ∴∠CBD， ∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝180°﹣70°﹣35°＝75°， 故选：A． 2．（2024•大连二模）光线在镜面上反射时，经过入射点与镜面垂直的直线是法线，反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，两束光线l1，l2分别从不同方向射向镜面m，入射点为A，B，n1，n2是法线．l1，l2的反射光线相交于点C．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠ACB的度数是（　　） A．30° B．50° C．80° D．90° 【解答】解：如图：过点C作CD∥n1， 由题意得：∠1＝∠3＝30°，∠2＝∠4＝50°，n1∥n2， ∴n1∥CD∥n2， ∵CD∥n1， ∴∠3＝∠ACD＝30°， ∵CD∥n2， ∴∠4＝∠DCB＝50°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝80°， 故选：C． 3．（2024•瓦房店市二模）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CB的延长线于点F，连接AF．若∠FAB＝15°，AF＝8，则BE的长为（　　） A． B． C．4 D．3.5 【解答】解：过点E作EG⊥BC于G， ∵EF⊥AE ∴∠AEF＝90° ∵正方形ABCD ∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°， ∴∠AEF＝∠ABF＝90° ∴A、E、B、F四点共圆， ∴∠AFE＝∠ABE＝45° ∴∠EAF＝∠AFE＝45°， ∴AE＝EF， 由勾股定理得AE2+EF2＝AF2， ∴2EF2＝82， ∴EF＝4， ∵∠FAB＝15°， ∴∠AFB＝75°， ∴∠BFE＝30°， ∵EG⊥BC， ∴EGEF＝2， ∵∠EBG＝45°， ∴∠BEG＝∠EBG＝45°， ∴BG＝EG＝2， ∴BE4， 故选：C． 4．（2024•大连二模）如图，在半径为2的⊙O中，AB为⊙O的一条弦，将AB所对的劣弧沿着AB翻折后恰好经过圆心，连接OA并反向延长交⊙O于一点，则如图所示的阴影面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，作OD⊥AB交AB于点E，交⊙O于点D，连接BC，BD，OB， 由折叠可知，OE⊥AB，OEODOA， ∴∠AOD＝∠BOD∠AOB， ∴sin∠OAB， ∴∠OAB＝30°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°， ∴∠COB＝∠OAB+∠OBA＝60°，∠AOD＝60°， ∴∠DOB＝∠BOC＝60°， ∵OB＝OC＝OD， ∴△OBC和△BOD是等边三角形， ∴OC＝OD＝DB＝OB＝BC， ∴四边形ODBC是菱形， ∴阴影部分的面积＝S菱形ODBC﹣S扇形DOB， ∵OA＝OB＝2， ∴OE＝1， ∴BE， ∴阴影部分的面积＝S菱形ODBC﹣S扇形DOB， ＝2 ＝2π， 故选：B． 5．（2024•大连二模）在学习了《勾股定理》一课后，小明同学对于它的证明方式非常好奇，并动手操作，完成了其中一些证明并给出了示意图．请你根据示意图帮助小明同学判断，一定不能完成定理证明的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．设计的图形中，如图， ∵， ∴c2＝2ab+a2﹣2ab+b2， ∴c2＝a2+b2， ∴可完成定理证明，故本选项不符合题意； B．设计的图形中，如图， ∴， ∴2ab+c2＝a2+2ab+b2， ∴a2+b2＝c2， ∴可完成定理证明，故本选项不符合题意； C．设计的图形中，不能完成勾股定理的证明，符合题意； D．设计的图形中，如图， ∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC＝90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AB•AD， ∵∠B＝∠B，∠BCA＝∠BDC＝90°， ∴△BCA∽△BDC， ∴， ∴BC2＝AB•BD， ∴AC2+BC2＝AB•AD+AB•BD＝AB（AD+BD）＝AB2，即a2+c2＝c2， ∴可完成定理证明，故本选项不符合题意． 故选：C． 6．（2024•大连二模）关于两条平行直线m，n，下列说法正确的是（均发生在同一平面内）（　　） A．若m，n被第三条直线所截，则内错角互补 B．过m，n外一点P作直线l∥m，则l与n一定交于一点 C．对于m，n外的任意一点Q，过Q关于m平行的直线有且仅有一条 D．△ABC被平行直线m所截得线段成比例 【解答】解：若平行直线m，n被第三条直线所截，则内错角相等， 故A错误，不符合题意； 过平行直线m，n外一点P作直线l∥m，则l∥n， 故B错误，不符合题意； 对于平行直线m，n外的任意一点Q，过Q关于m平行的直线有且仅有一条， 故C正确，符合题意； △ABC被平行直线m所截得线段成比例，没有指明平行直线m与△ABC的边是平行的， 故D错误，不符合题意； 故选：C． 7．（2024•西岗区二模）如图，在△ABC中，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E，若AC＝5，CD＝6，则AE长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【解答】解：由作法得AC＝AD，AE⊥CD， ∴CE＝DECD6＝3， 在Rt△ACE中，AE4． 故选：C． 8．（2024•甘井子区二模）如图，在⊙O中，OA、OB、OC为半径，连接AB、BC、AC．若∠ACB＝53°，∠CAB＝17°，则∠OAC的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【解答】解：∵∠ACB＝53°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝106°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA37°， ∵∠CAB＝17°， ∴∠OAC＝∠OAB﹣∠CAB＝20°， 故选：C． 9．（2024•甘井子区二模）已知某扇形弧长为3π，圆心角为60°，则扇形面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设扇形所在的圆的半径为r，由弧长公式可得， 3π， 解得r＝9， 所以扇形的面积为3π×9π（cm2）． 故选：D． 10．（2024•西岗区二模）如图，在⊙O中，弦AB＝5cm，∠ACB＝30°，则⊙O的半径是（　　） A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm 【解答】解：连接OA，OB， ∵∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝AO＝BO＝5cm， ∴⊙O的半径是5cm， 故选：A． 11．（2024•大连二模）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），（3，0），则点D的坐标是（　　） A．（2，4） B．（3，4） C．（4，2） D．（4，3） 【解答】解：∵B，C的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）， ∴BC＝4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝4， ∵点A（0，2）， ∴点D（4，2）， 故选：C． 12．（2024•中山区二模）如图所示，直线EF∥GH，射线AC分别交直线EF、GH于点B和点C，AD⊥EF于点D，如果∠A＝40°，则∠ACH＝（　　） A．50° B．110° C．40° D．160° 【解答】解：∵AD⊥EF，∠A＝40°， ∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠ADB＝180°﹣40°﹣90°＝50°， ∵EF∥GH， ∴∠ACH＝∠ABD＝50°． 故选：A． 13．（2024•甘井子区二模）根据下列圆规作图的痕迹，可用直尺既能找到三角形的外心，又能找到三角形的重心的图形是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、由圆规作图的痕迹，用直尺只能作一个角的平分线，一个边的垂直平分线，既不能找到三角形的外心，又不能找到三角形的重心，故A不符合题意； B、由圆规作图的痕迹，用直尺能作两个角的平分线，只能得到三角形的内心，既不能找到三角形的外心，又不能找到三角形的重心，故B不符合题意； C、由圆规作图的痕迹，用直尺能作两个边的垂直平分线，得到两个边的中点，能得到三角形的外心，又能找到三角形的重心，故C符合题意； D、由圆规作图的痕迹，用直尺只能作一边的垂直平分线，可以过一个顶点作这个顶点对边的垂线，既不能找到三角形的外心，又不能找到三角形的重心，故D不符合题意． 故选：C． 14．（2024•大连二模）如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结DE，交BC于点P．若AC＝3，△ACP的周长为10，则BC的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：由作图可知，直线DE为线段AB的垂直平分线， ∴AP＝BP， ∵△ACP的周长为10， ∴AC+AP+PC＝10， 即AC+BP+PC＝3+BC＝10， ∴BC＝7． 故选：B． 15．（2024•沙河口区二模）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A．1 B．5 C．7 D．9 【解答】解：根据三角形的三边关系定理得：4﹣3＜m＜4+3， 解得：1＜m＜7， 即符合的只有5， 故选：B． 二．填空题（共10小题） 16．（2024•西岗区二模）如图，已知∠AOB＝60°，以点O为圆心，与角的两边分别交于C，D两点，O为圆心，大于，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连接OP，过点P作直线PE∥OA交OB于点E，过点P作直线PF∥OB交OA于点F，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是 　　． 【解答】解：过P作PM⊥OB于M， 由作图得：OP平分∠AOB， ∴， ∴， ∴， ∵PE∥OA，PF∥OB， ∴OEPF是平行四边形，∠EPO＝∠POA＝30°， ∴∠POE＝∠OPE， ∴OE＝PE， 设OE＝PE＝x cm， 在Rt△PEM中，PE2﹣MP2＝EM2， 即：， 解得：， ∴． 故答案为：． 17．（2024•大连二模）对顶角相等的逆命题是 　假　命题（填写“真”或“假”）． 【解答】解：“对顶角相等”的逆命题是：相等的角是对顶角，它是假命题． 故答案为：假． 18．（2024•大连二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点K为AB中点．若▱ABCD的周长为20，AC＝8，则△AOK的周长为 　9　． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，其周长为20， ∴OA＝OC，OB＝OD，AB+BC＝10， 又∵点K为AB中点， ∴OK是△ABC的中位线，AKAB， ∴OKBC， ∴△AOK的周长（AB+BC+AC）（10+8）＝9， 故答案为：9． 19．（2024•大连二模）如图，在正方形ABCD中，点E为CD上靠近点D的三等分点，点F为BC的中点，以EF为直角边，点E为直角顶点向右构造等腰Rt△EFG，连接AG、CG，则的值为 　　． 【解答】解：过点G作GM⊥CD于M，GM的延长线交AB于N，如图所示： ∵点E为CD上靠近点D的三等分点， ∴设DE＝2a，则EC＝4a， ∴CD＝DE+EC＝6a， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝DC＝AD＝6a，∠ABC＝∠BCD＝∠D＝∠DAB＝90°， ∵点F在BC的中点， ∴BF＝CF＝3a， ∵GM⊥CD于M，GM的延长线交AB于N， ∴四边形ANMD和四边形BCMN均为矩形， ∴MN＝AD＝6a，BN＝CM， ∵△EFG为等腰直角三角形，且点E为直角顶点， ∴EF＝EG，∠FEG＝90°， ∴∠FEC+∠MEG＝90°， ∵∠BCD＝90°，GM⊥CD， ∴∠FCE＝∠EMG＝90°， ∴∠MEG+∠EGM＝90°， ∴∠FEC＝∠EGM， 在△FEC和△EGM中， ， ∴△FEC≌△EGM（AAS）， ∴CF＝EM＝3a，EC＝GM＝4a， ∴BN＝CM＝CE﹣EM＝4a﹣3a＝a，GN＝GM+MN＝4a+6a＝10a， ∴AN＝AB﹣BN＝6a﹣a＝5a， 在Rt△AGN中，由勾股定理得：AG， 在Rt△GCM中，由勾股定理得：CG， ∴． 20．（2024•甘井子区二模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在正方形内部且∠CED＝90°．连接BE，以BE、DE为边构造▱BEDF，连接CF，则线段CF的最小值为 　　． 【解答】解：连接AF和BD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB， ∵四边形BFDE是平行四边形， ∴BF∥DE，BF＝DE， ∴∠FBD＝∠EDB， ∴∠ABD﹣∠FBD＝∠CDB﹣∠EDB， ∴∠ABF＝∠CDE， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， ∴∠AFB＝∠CED＝90°， ∴点F在以AB为直径的圆上运动，圆心O为AB的中点， 如图所示，OF+CF≥CO，即1+CF≥CO， ∴当且仅当C、F、O三点共线时，CF最小， ∴CF＝CO﹣OF， 在Rt△OBC中，，BC＝2， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（2024•西岗区二模）如图，在△OAB中，OA＝OB，顶点A的坐标为（5，0），P是OA上一动点，将点P绕点C（0，1）逆时针旋转90°，若点P的对应点P'恰好落在AB边上，则点P'的坐标为 　（1，4）　． 【解答】解：如图，作P'H⊥BC于H， ∵将点P绕点C（0，1）逆时针旋转90°得P'， ∴PC＝P'C，∠PCP'＝90°， ∴∠PCO+∠P'CH＝90°， ∵∠PCO+∠OPC＝90°， ∴∠OPC＝∠HCP'， 在△OPC和△HCP′中， ， ∴△OPC≌△HCP'（AAS）， ∴P'H＝OC＝1， ∵OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠OBA＝45°， ∴BH＝HP'＝1， ∴OH＝OB﹣BH＝4， ∴P'（1，4）， 故答案为：（1，4）． 22．（2024•大连二模）如图，AC是菱形ABCD的对角线，∠DAB＝70°，则∠ACB的度数是 　35　°． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAC＝∠DAC∠DAB＝35°， ∵AB＝BC， ∴∠ACB＝∠BAC＝35°， 故答案为：35． 23．（2024•沙河口区二模）在△ABC中，∠C＝90°，M为AB的中点，点N在边BC上，且CN＝CA＝1．当以点B，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，BC的长为 　2或1　． 【解答】解：∵M为AB的中点， ∴， ∵∠MBN是锐角， ∴当以点B、M、N为顶点的三角形是直角三角时，∠BNM＝90°，或∠BMN＝90°， 若∠BNM＝90°＝∠C， ∵∠B＝∠B， ∴△ABC∽△MBN， ∴， ∴， ∴BC＝2CN＝2； 若∠BMN＝90°＝∠C， 连接AN， 则AN， ∵NM⊥AB，M为AB中点， ∴MN垂直平分AB， ∴BN＝AN， ∴BC的长为1． 综上所述，BC的长为2或1． 故答案为：2或1． 24．（2024•中山区二模）如图，以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立平面直角坐标系．若A点坐标为，则C点坐标为 　　． 【解答】解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点， ∴▱ABCD的A点和C点关于点O中心对称， ∵A点坐标为（﹣1，）， ∴点C的坐标为（1，）， 故答案为：（1，）． 25．（2024•金州区二模）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，点E为AD上一点，连接BE，以点B为圆心AB长为半径作弧与以点E为圆心AE长为半径所作的弧交于另一点F，射线EF交BC于点G，当四边形ABGE的面积等于矩形ABCD面积的一半时，AE的长度等于 　1或3　． 【解答】解：如图所示，过点E作EH BC交BC于点H， ∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6， ∴矩形ABCD面积＝AB•AD＝3×6＝18， ∵四边形ABGE的面积等于矩形ABCD面积的一半， ∴（AE+BG）×318， ∴AE+BG＝6，即BG＝6﹣AE， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠GBE， ∵AB＝FB，AE＝FE，BE＝BE， ∴△ABE≌△FBE（SSS）， ∴∠AEB＝∠BEG， ∴∠GBE＝∠BEG， ∴GB＝GE， ∵∠EAB＝∠ABG＝∠BHE＝90°， ∴四边形ABHE是矩形， 设BH＝AE＝x，EH＝AB＝3， ∴EG＝BG＝6﹣x，HG＝BG﹣BH＝6﹣x﹣x＝6﹣2x， 在Rt△EHG中，EH2+GH2＝EG2， ∴32+（6﹣2x）2＝（6﹣x）2， 整理得，x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3， ∴AE的长度等于1或3． 故答案为：1或3． 三．解答题（共5小题） 26．（2024•大连二模）如图，AC是⊙O的直径，点B是⊙O内一点，且BA＝BC，连接BO并延长线交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线CE，且BC平分∠DBE． （1）求证：BE＝CE； （2）若⊙O的直径长8，sin∠BCE，求BE的长． 【解答】（1）证明：∵BA＝BC，AO＝CO， ∴BD⊥AC， ∵CE是⊙O的切线， ∴CE⊥AC， ∴CE∥BD， ∴∠1＝∠2． ∵BC平分∠DBE， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴BE＝CE； （2）解：作EF⊥BC于F，如图， ∵⊙O 的直径长8， ∴CO＝4． ∴sin∠3＝sin∠1， ∴BC＝5， ∵BE＝CE， ∴BFBC， 在Rt△BEF中，sin∠3＝sin∠1 设EF＝4x，则BE＝5x， ∴BF＝3x，即3x，解得x， ∴BE＝5x． 27．（2024•西岗区二模）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8． 【数学活动】 将矩形纸片ABCD进行以下操作： 第一步：将矩形纸片ABCD沿直线L对折，使点A与点D重合，然后展开铺平，得到折痕EF，再将矩形纸片ABCD沿对角线AC对折，得到折痕AC，再次展开铺平，两折痕AC与EF交于点G； 第二步：将△GFA绕点G逆时针旋转得到△GHK，点F，A的对应点分别为点H，K直线HK与边AD所在直线交于点M（点M不与点A重合），与边CD所在直线交于点N． 【数学思考】 （1）△GHK绕点G旋转至图1的位置时，试判断MF与MH的数是关系，并证明你的结论． 【数学探究】 （2）①如图2，当直线KH∥AC时，求DM的长； ②在旋转过程中，当点K，H，C三点共线时，求DM的长； 【问题延伸】 （3）在△AGF绕点G旋转的过程中，连接DH，则DH的取值范围是 　2≤GH≤8　． 【解答】解：（1）MF＝MH，证明如下： 由折叠和矩形性质得AF＝FD，FE⊥AD， ∴EF∥CD， ∴， ∴AG＝CG， ∴GF是△ADC的中位线， ∴． 如图，连接GM， 由旋转的性质得GH＝GF，∠GHK＝∠GFA＝90°， ∴Rt△GHM≌Rt△GFM（HL）， ∴MF＝MH； （2）①当直线KH∥AC时， 如图，过D作DP⊥AC于P，交KN于Q， 则四边形PQHG是矩形， ∴PQ＝GH＝3， ∵∠CDA＝90°，CD＝6，AD＝8， ∴， ∵DP⊥AC， ∴， ∴， ∴， ∵KH∥AC， ∴△DQM∽△DPA， ∴， 即， 解得DM＝3． 在旋转过程中，当点K，H，C三点共线时，如图， 由旋转的性质得∠GKC＝∠CAD，GK＝GA，GC＝GA， ∴GK＝GN， ∴∠GKN＝∠GNK， ∴∠MCA＝∠CAM， ∴AM＝MC， 设AM＝MC＝x， 在Rt△CDM中，CM2＝CD2+DM2， ∴62+（8﹣x）2＝x2， 解得：． ∴． （3）如图，连接GD，HD， 则GD﹣GH≤HD≤GD+GM， 当G、H、D三点共线，且点H在线段GD上时，GH+DH＝GD， 此时GH+DH的值最小，HD最小， ∵∠CDA＝90°，AG＝CG， ∴， ∵GH＝GF＝3， ∴HD最小值＝GD﹣GH＝5﹣3＝2， 当G、H、D三点共线，且点H在DG延长线上时，DH＝GD+GH， 此时，HD最大， ∴HD＝GD+GH＝5+3＝8， ∴2≤GH≤8． 28．（2024•大连二模）如图1，AB是⊙O的弦，AO的延长线与⊙O 相交于点C，与过点B的切线相交于点D，BA＝BD． （1）求∠D的度数； （2）如图2，点E在⊙O上，，连接AE，BE．若AE＝2，求.的长． 【解答】（1）证明：连接OB， ∵OA＝OB，BA＝BD， ∴∠OBA＝∠OAB＝∠D， ∵∠BOD＝∠OBA+∠OAB， ∴∠BOD＝2∠D， ∵BD是⊙O的切线， ∴∠OBD＝90°， ∴∠BOD+∠D＝90°， ∴3∠D＝90°， ∴∠D＝30°； （2）解：∵， ∴BA＝BE， ∵∠D＝30°，AB＝BD， ∴∠BAD＝∠D＝30°， ∴∠BOD＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠E， ∴△ABE是等边三角形， ∴AB＝AE＝2， ∴BD＝AB＝2， ∴OBBD， ∴的长为． 29．（2024•沙河口区二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交⊙O于点E，交⊙O的切线AD于点D，且点A是的中点． （1）求证：BE∥AD； （2）若，OA＝3，求AC的长． 【解答】（1）证明：连接OA交BE于F， ∵AD是⊙O的切线， ∴OA⊥AD， ∴∠DAO＝90°， ∵点A是的中点， ∴OA⊥BE， ∴∠EFO＝90°， ∴∠DAO＝∠EFO， ∴AD∥BE； （2）解：连接AE，在Rt△OAD中，∠OAD＝90°， ∵tanD，OA＝3， ∴AD＝4， ∴DO5， ∴DE＝5﹣3＝2， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠ACO， ∵CE是⊙O的直径， ∴∠EAC＝90°， ∵∠DAO＝90°， ∴∠DAE＝∠OAC＝∠ACO， ∴△DAE∽△DCA， ∴， ∴AC＝2AE， ∵AC2+AE2＝CE2， ∴AC2+（）2＝62， ∴AC． 30．（2024•金州区二模）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边中点，点E为线段DC上一动点，过点A，D，E作⊙O分别交AB，AC于点F，G，连接FG，DG． （1）求证：∠B＝∠DGF； （2）已知：BC＝24，∠B＝30°，当四边形BDGF为平行四边形时，请补全图2，并求出DE的长． 【解答】（1）证明：连接AD， ∵∠BAC＝90°，点D为BC边中点， ∴， ∴∠BAD＝∠B， ， ∴∠FAD＝∠DGF， ∴∠B＝∠DGF． （2）解：连接AD，AE， ∵四边形BDGF为平行四边形， ∴AB∥DG， ∴∠AGD+∠BAC＝180°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠AGD＝90°， ∴AD为⊙O的直径， ∴∠AED＝90°， ∵∠BAD＝∠B＝30°， ∴∠ADE＝∠BAD+∠B＝60°， ∵BC＝24， ∴， 在Rt△ADE 中， ， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/19 16:15:05；用户：18582497371；邮箱：18582497371；学号：56246982 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$