精品解析：福建省厦门九中2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

2023—2024（上）厦门九中八年级期中考试数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 窗花是中国古老的民间艺术之一，下列窗花作品中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】选项A的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 选项B、C、D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：A． 2. 若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，得，即， 故的值可选5， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键． 3. 如图，是的外角，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】三角形的一个外角等于与它不相邻两内角的和，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，的一个外角， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 4. 下列各式中，计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，利用合并同类项法则、同底数幂相乘法则、幂的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误，不符合题意； B． 与不是同类项，不可以合并，故原计算错误，不符合题意； C． ，故原计算错误，不符合题意； D． ，故原计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，平分，点P是射线上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，则的长度不可能是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂线段最短可得时，最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解． 【详解】当时，的值最小， ∵平分，， ∴， ∵， ∴的最小值为5， ∴的长度不可能是4． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 6. 如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在的垂线上取两点C、D，使，再作出的垂线，可以证明，得，因此，测得的长，就得出的长，判定的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定， 根据对顶角相等得，再根据可判定两个三角形全等． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 7. 如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且，我们知道按如图所作的直线为线段的垂直平分线．下列说法正确的是（ ）． A. 是线段的垂直平分线 B. 是线段的垂直平分线 C. 是线段的垂直平分线 D. 是的垂直平分线 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直平分线的定义判断即可． 【详解】 ∵为线段的垂直平分线, ∴FO=GO, 又∵EF=GH, ∴EO=HO, ∴是线段的垂直平分线,故A正确 由上可知EO≠QO,FO≠OH,故B、C错误 ∵是直线并无垂直平分线，故D错误 故选：A． 【点睛】本题考查垂直平分线的定义,关键在于牢记基础知识． 8. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰中，，则它的特征值等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况：为顶角或为底角，再根据三角形内角和定理可求得底角或顶角的度数，即可得到它的特征值． 【详解】解：当为顶角时， ∵等腰中，， ∴底角， ∴特征值； 当为底角时， ∵等腰中，， ∴顶角为：， ∴特征值． ∴它的特征值等于或． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理．掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论． 9. 如图，四边形为一矩形纸带，点、分别在边、上，将纸带沿折叠，点A、D的对应点分别为，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折叠性质及平行线性质，结合已知条件求得是解题的关键．结合已知条件，利用折叠性质求得的度数，然后利用平行线性质即可求得答案． 【详解】， ， 由折叠性质可得：， ， ， 故选：D． 10. 如图，点M在等边的边上，，射线垂足为点C，点P是射线上一动点，点N是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ） A. 13 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】A 【解析】 【分析】如图，作关于的对称点，作于，交于，连接，则，，由，可知当三点共线时，的值最小，由等边，可得，，由，可得，，则，由，可得，则，进而可求的值． 【详解】解：如图，作关于的对称点，作于，交于，连接， ∴，， ∵， ∴当三点共线时，的值最小， ∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，含的直角三角形，等边三角形的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 二、填空题（本大题有6小题，第11题每空2分，其余每题4分，共28分） 11. 计算：（1）________；（2）________；（3）________；（4）_________． 【答案】 ①. ②. ③. ④. ## 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是： （1）利用同底数幂相乘法则计算即可； （2）利用积的乘方法则计算即可； （3）利用单项式乘以单项式法则计算即可； （4）利用单项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】解：（1）， 故答为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 12. 点与点关于x轴对称，则________，_________． 【答案】 ①. 2 ②. 3 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知关于x轴对称对称的两个点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标相同；是解本题的关键．根据关于x轴对称对称的两个点横坐标相同，纵坐标互为相反数得出m，n的值即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， 故答案为：2，3． 13. 若，，则值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查代数式的值及多项式乘以多项式，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题先把所求整式进行展开，然后再代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故答案为：． 14. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∴S△ABC=AB×DE+AC×DF=×4×2+AC×2=7， 解得AC=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 15. 如图，在中，于D，点F在上，E在内部，且满足，交于G，若，则的长为_______．（用含字母的代数式表示） 【答案】b 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质得出，由，得出，，是等边三角形，那么，再求出．根据角所对的直角边等于斜边的一半得出，那么，，从而求出． 【详解】，于， ，． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ． 在中，，， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，已知，若线段的垂直平分线与线段交于点P，线段的垂直平分线与线段交于点Q，的外角平分线与的外角平分线所在直线交于点M，连接，请探究与的数量关系________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质可得，，再由坐标证明，得到，然后设，表示出与的度数，最后求解即可． 【详解】如图： 过作于， ∵， ∴， ∴横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴线段的垂直平分线与线段交于点，， ∵线段的垂直平分线与线段交于点P， ∴点P与点是同一个点， ∵线段的垂直平分线与线段交于点Q， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵的外角平分线与的外角平分线所在直线交于点M， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题有9小题，共82分） 17. （1）计算：； （2）化简并求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据单项式乘多项式的法则计算，即可得到答案； （2）先将整式化简，再代值进行计算即可求解． 【详解】（1） ； （2） ， 当时， 原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）作出关于y轴的对称图形； （2）直接写出的面积_______． 【答案】（1） 如图： （2）的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． （1）利用关于轴对称的点的坐标特征写出点、、的坐标，然后描点连接即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积． 【小问1详解】 解：关于轴对称的点为：，依次连接，则即为所求的三角形； 【小问2详解】 解：由网格知识可得， 的面积． 19. 如图所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE． 【答案】 证明：∵∠1=∠2 即, 在和中， 【解析】 【分析】由 可得根据全等三角形的判定和性质即可证明结论． 【详解】略 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的角平分线交于点E（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，在边上取一点D，使点D到A、B两点的距离相等，连接，求证：为等腰三角形． 【答案】（1） 如图，点D即为所求； （2） 证明：在中， ，． ， 是的角平分线， ， 点到两点的距离相等， ， ， ，． ， ， ∴为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定． （1）以为圆心，为半径画弧交于，再分别以、为圆心，为半径画弧交于点，连接，与交点即为E； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据三角形外角定义即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 有甲、乙两块草地，其长和宽的数据如图所示． （1）求甲草地的面积（用含m的代数式表示）． （2）若再开辟一块正方形草地，周长与乙草地的周长相等． ①求该正方形草地的边长（用含m的代数式表示）： ②若将正方形草地的面积记为，乙草地的面积记为，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）； （2）①； ②正方形草地的面积， 乙草地的面积， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查整式混合运算的应用，掌握整式混合运算法则和乘法公式是关键． （1）根据长方形的面积公式即可得到答案； （2）①乙草地的周长即可求解；②利用作差法即可求解． 【小问1详解】 甲草地的面积； 【小问2详解】 ①乙草地的周长，正方形草地的周长和乙草地周长相等， 正方形草地的边长； ②略 22. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，， 平分 垂直平分 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）连接，，根据垂直平分线的性质得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，证明，得出，进而可得，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设 ， 由（1）知，在和中， ， 解得 23. 如图，在中，．将三角板中角的顶点D放在边上移动，使这个角的两边分别与的边相交于点E，F，且使始终与垂直． （1）是什么三角形？请说明理由； （2）设，求的值（用含a的式子表示）； （3）当移动点使时，求的长． 【答案】（1） 是等边三角形，证明如下： ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据互余关系，求出，即可得到是等边三角形． （2）根据的直角边是斜边的一半，求出，进而求出，利用等边三角形三边相等，得到，再利用即可得解； （3）设，利用所对的直角边是斜边的一半，分别表示出，利用，进行计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴，解得：， ∴． 【点睛】本题考查含角的直角三角形以及等边三角形的判定和性质．熟练掌握所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 24. 观察下列式子： ① ② ③ （1）请你依照上面的书写格式，再写一个符合上述规律的等式______； （2）用字母表示上述式子的规律； （3）利用多项式的乘法验证你所发现的规律． 【答案】（1） （2） （3） ； 【解析】 【分析】此题主要考查了整式混合运算的应用，找出题中的规律是解本题的关键． （1）观察上面几个式子，发现：左边两个因数的十位数字相同，个位数字和是10；则右边的结果是一个四位数，其中个位和十位上的数是左边两个因数的个位相乘，百位和千位上的数是左边十位上的数字和大于十位数字1的数相乘．根据这一规律即可写出； （2）根据（1）发现的两个数的特点，用字母表示出来； （3）将（2）的字母表达式运用公式展开进行证明． 【小问1详解】 观察题目中几个式子，由规律可得： ； 【小问2详解】 设这两个两位数分别是和，其中，由规律可得： 【小问3详解】 略 25. 在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． （1）如图①，若点C的坐标为，求证：，并直接写出点E的坐标； （2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变连接，求证：平分； （3）在（2）的条件下，当时，试探究线段、、的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2） 如图②，过点作于点，作于点， ， ，且， ，， ， 平分． （3） 结论：． 理由：如所示，在上截取，连接， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解． （1）先根据判定，得出，再根据点的坐标为，得到，进而得到点的坐标； （2）先过点作于点，作于点，根据，得到，且，再根据，，得出，进而得到平分； （3）结论：．在上截取，连接，根据判定，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得，，证明即可解决问题． 【小问1详解】 如图①，，， ， 又， ， ，， ， ， ， 又点的坐标为， ， 点的坐标为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024（上）厦门九中八年级期中考试数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 窗花是中国古老的民间艺术之一，下列窗花作品中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 3. 如图，是的外角，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平分，点P是射线上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，则的长度不可能是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 4 6. 如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在的垂线上取两点C、D，使，再作出的垂线，可以证明，得，因此，测得的长，就得出的长，判定的理由是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且，我们知道按如图所作的直线为线段的垂直平分线．下列说法正确的是（ ）． A. 是线段的垂直平分线 B. 是线段的垂直平分线 C. 是线段的垂直平分线 D. 是的垂直平分线 8. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰中，，则它的特征值等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，四边形为一矩形纸带，点、分别在边、上，将纸带沿折叠，点A、D的对应点分别为，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点M在等边的边上，，射线垂足为点C，点P是射线上一动点，点N是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ） A. 13 B. 15 C. 16 D. 17 二、填空题（本大题有6小题，第11题每空2分，其余每题4分，共28分） 11. 计算：（1）________；（2）________；（3）________；（4）_________． 12. 点与点关于x轴对称，则________，_________． 13. 若，，则值为__________. 14. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____． 15. 如图，在中，于D，点F在上，E在内部，且满足，交于G，若，则的长为_______．（用含字母的代数式表示） 16. 在平面直角坐标系中，已知，若线段的垂直平分线与线段交于点P，线段的垂直平分线与线段交于点Q，的外角平分线与的外角平分线所在直线交于点M，连接，请探究与的数量关系________． 三、解答题（本大题有9小题，共82分） 17. （1）计算：； （2）化简并求值：，其中． 18. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）作出关于y轴的对称图形； （2）直接写出的面积_______． 19. 如图所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的角平分线交于点E（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，在边上取一点D，使点D到A、B两点的距离相等，连接，求证：为等腰三角形． 21. 有甲、乙两块草地，其长和宽的数据如图所示． （1）求甲草地的面积（用含m的代数式表示）． （2）若再开辟一块正方形草地，周长与乙草地的周长相等． ①求该正方形草地的边长（用含m的代数式表示）： ②若将正方形草地的面积记为，乙草地的面积记为，请比较与的大小，并说明理由． 22. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图，在中，．将三角板中角的顶点D放在边上移动，使这个角的两边分别与的边相交于点E，F，且使始终与垂直． （1）是什么三角形？请说明理由； （2）设，求的值（用含a的式子表示）； （3）当移动点使时，求的长． 24. 观察下列式子： ① ② ③ （1）请你依照上面的书写格式，再写一个符合上述规律的等式______； （2）用字母表示上述式子的规律； （3）利用多项式的乘法验证你所发现的规律． 25. 在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． （1）如图①，若点C的坐标为，求证：，并直接写出点E的坐标； （2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变连接，求证：平分； （3）在（2）的条件下，当时，试探究线段、、的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $