河南省安阳市第一中学2023-2024学年高二下学期第二次阶段考试（期中）数学试题

2023-2024学年河南省安阳一中高二（下）期中数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1．（5分）已知函数y＝f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y＝﹣x+8（5）+f′（5）＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（5分）已知函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象如下（　　） A．在区间（﹣2，1）上f（x）是增函数 B．在（1，2）上f（x）是减函数 C．当x＝4时，f（x）取极大值 D．在（4，5）上f（x）是增函数 3．（5分）下列关于回归分析的说法中错误的是（　　） A．线性回归方程对应的直线不一定经过其样本数据中的点 B．残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，则说明模型拟合精度越高 C．若回归方程为，则当x＝170时，y的值必为59 D．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝0.3x+4，则c，k的值分别是e4和0.3 4．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2+a7＝24，S6＝48，则数列的前2024项和为（　　） A． B． C． D． 5．（5分）已知随机变量X的分布列如下表所示，若，则D（X）＝（　　） X ﹣2 0 1 P a b A． B． C． D． 6．（5分）辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称．已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量M（单位：kg）服从正态分布N（25，σ2），且P（24.9＜M＜25.1）＝0.8，则质量在25kg～25.1kg的盘锦大米的袋数的方差为（　　） A．14.4 B．9.6 C．24 D．48 7．（5分）在安阳市中小学运动会上，某中学将从包含甲、乙在内的5名运动员中选派4人参加4×100m接力比赛，如果甲不能跑第一棒，参赛方法共有（　　）种． A．64 B．72 C．78 D．84 8．（5分）函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数（x），且满足2f（x）﹣xf′（x），若不等式在x∈（0，+∞），则实数a的取值范围是（　　） A．[e，+∞） B．（0，e] C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） （多选）9．（6分）已知的展开式中共有7项，则下列选项正确的有（　　） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为1 C．系数最大的项为第4项 D．有理项共4项 （多选）10．（6分）下列说法正确的有（　　） A．将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法 B．将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法 C．将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有360种不同的分法 D．将6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法 （多选）11．（6分）为备战2023年我国杭州举行的亚运会，某国乒乓球队加紧训练进行备战．该国乒乓球队主教练在训练课上，安排甲、乙两名男单主力队员与陪练进行对抗性训练，两人获胜局数和为3或4时，则认为这轮训练合格，b，每局之间相互独立，且．记甲、乙在n轮训练中合格轮数为X（X）＝16，则从期望的角度来看（　　） A．24 B．26 C．27 D．28 三、填空题（每题5分，共15分） 12．（5分）的展开式中x2的系数为 　 　． 13．（5分）为研究变量x，y的相关关系，收集得到如下数据： x 1 2 3 4 5 y y1 60 y3 y4 y5 若由最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为，并据此计算在样本点（2，60）处的残差为0，则＝　 　． 14．（5分）已知函数f（x）＝xe1﹣x，若方程有三个不相等的实数解，则实数a的取值范围为 　 　． 四、解答题 15．（13分）随着互联网的普及和数字化技术的发展，网络直播成为了一种新型的营销形式，因其更低的营销成本（单位：千件）与售价x（单位：元/件）的情况如下表所示． 售价x（元/件） 53 49 51 50 47 月销售量y（千件） 5 9 7 10 9 （1）求相关系数r，并说明是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系（当|r|∈[0.75，1]时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）； （2）建立y关于x的线性回归方程，并估计当售价为52元/件时，该商品的线上月销售量为多少千件？ 参考公式：对于一组数据（xiyi）（i＝1，2，3，⋯，n），相关系数，其回归直线． 参考数据：． 16．（15分）数列{an}中，a1＝1，an+1＝an+cn（c是常数，n＝1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列． （1）求c的值； （2）求数列{an}的通项公式； （3）求数列的前n项和Tn． 2023-2024学年河南省安阳一中高二（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、单选题（每题5分，共40分） 1．（5分）已知函数y＝f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y＝﹣x+8（5）+f′（5）＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】由已知分别求得f′（5）与f（5）的值，作和得答案． 【解答】解：由函数y＝f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y＝﹣x+8， 得f′（5）＝﹣6，且f（5）＝﹣5+8＝8， 则f（5）+f′（5）＝3﹣1＝5． 故选：A． 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的概念及其几何意义，是基础题． 2．（5分）已知函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象如下（　　） A．在区间（﹣2，1）上f（x）是增函数 B．在（1，2）上f（x）是减函数 C．当x＝4时，f（x）取极大值 D．在（4，5）上f（x）是增函数 【分析】利用导数图象和原函数图象的关系结合选项可得答案． 【解答】解：在区间（﹣2，1），A不正确； 在区间（6，2）上导数值大于零，B不正确； 在区间（3，8）上导数值小于零，5）上导数值大于零， 所以当x＝4时，f（x）取极小值； 在区间（4，5）上导数值大于零，D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查逻辑推理能力，属于基础题． 3．（5分）下列关于回归分析的说法中错误的是（　　） A．线性回归方程对应的直线不一定经过其样本数据中的点 B．残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，则说明模型拟合精度越高 C．若回归方程为，则当x＝170时，y的值必为59 D．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝0.3x+4，则c，k的值分别是e4和0.3 【分析】根据线性回归方程的性质可判断AC，根据残差图的性质可判断B，对y＝cekx两边取对数，再结合对数的运算性质，可判断D． 【解答】解：选项A，线性回归方程对应的直线方程过样本中心点，故A正确； 选项B，残差图中，说明模型的拟合精度越高； 选项C，若回归方程为，y的预测值为59； 选项D，y＝cekx，则z＝lny＝kx+lnc＝2.3x+4， 所以k＝4.3，c＝e4，故D正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，考查了残差图的性质，属于基础题． 4．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2+a7＝24，S6＝48，则数列的前2024项和为（　　） A． B． C． D． 【分析】结合等差数列的通项公式先求出an，然后结合裂项求和即可求解． 【解答】解：因为等差数列{an}中，若a2+a7＝6a1+7d＝24，S3＝6a1+15d＝48， 解得，a7＝﹣2，d＝4， 故an＝﹣2+4（n﹣1）＝6n﹣6， 则＝＝（）， 故数列的前2024项和S＝（﹣） ＝（﹣）＝． 故选：D． 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，还考查了裂项求和的应用，属于中档题． 5．（5分）已知随机变量X的分布列如下表所示，若，则D（X）＝（　　） X ﹣2 0 1 P a b A． B． C． D． 【分析】由题意，根据分布列性质和期望公式求出a，b的值，再代入方差公式中即可求解． 【解答】解：易知a++b＝7， 解得a+b＝，① 若， 此时E（X）＝﹣2a+b＝，② 联立①②，解得a＝， 则D（X）＝×++×＝． 故选：B． 【点评】本题考查离散型随机变量分布列的期望和方差，考查了逻辑推理和运算能力． 6．（5分）辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称．已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量M（单位：kg）服从正态分布N（25，σ2），且P（24.9＜M＜25.1）＝0.8，则质量在25kg～25.1kg的盘锦大米的袋数的方差为（　　） A．14.4 B．9.6 C．24 D．48 【分析】根据题意，由正态分布的性质分析P（25＜M＜25.1）的值，结合二项分布的性质分析可得答案． 【解答】解：根据题意，因为M～N（25，σ2），且P（24.9＜M＜25.8）＝0.8， 由正态分布的性质，则有， 若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，设质量在25kg～25.8kg的盘锦大米的袋数为X， 则X～B（60，0.4）， 所以D（X）＝60×5.4×（1﹣6.4）＝14.4． 故选：A． 【点评】本题考查正态分布、二项分布的性质和应用，涉及期望、方差的计算，属于基础题． 7．（5分）在安阳市中小学运动会上，某中学将从包含甲、乙在内的5名运动员中选派4人参加4×100m接力比赛，如果甲不能跑第一棒，参赛方法共有（　　）种． A．64 B．72 C．78 D．84 【分析】法一：问题分成两类，甲、乙2人有且仅有1人参加，甲、乙2人均参加，分类相加求和即可．法二：求出5人中取4人参加的种数，除去甲、乙2人中至少有1人不排在恰当位置的种数，再加上重复的种数，求解即可． 【解答】解：法一：由题意知本题是一个分类计数问题，问题分成两类：（1）甲，有••＝36（种）、乙2人均参加，有﹣8+．所以共有36+42＝78（种）＝120、乙2人中至少有1人不排在恰当位置的有•，因前后把甲＝4．所以共有120﹣48+6＝78（种）． 故选：C． 【点评】本题考查了分类计算原理应用问题，是基础题． 8．（5分）函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数（x），且满足2f（x）﹣xf′（x），若不等式在x∈（0，+∞），则实数a的取值范围是（　　） A．[e，+∞） B．（0，e] C． D． 【分析】根据题意构造函数，由条件不等式判断函数在（0，+∞）上单调递减，将不等式转化成g（ex）≤g（ax），利用g（x）单调性将问题简化为在x∈（0，+∞）上恒成立，求出函数在（0，+∞）上的最小值即得． 【解答】解：由2f（x）﹣xf′（x）＞0，x∈（2， 可设，x∈（0， 则， 即函数在（0， 因x＞0，ax＞3， 由可得x）≤g（ax）， 故得ex≥ax，即在x∈（5． 令，x∈（0，则， 当0＜x＜1时，h'（x）＜2，当x＞1时，h（x）单调递增， 则x＝1时，h（x）取得最小值h（1）＝e，又a＞4． 故选：B． 【点评】本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题． 二、多选题（每题6分，共18分） （多选）9．（6分）已知的展开式中共有7项，则下列选项正确的有（　　） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为1 C．系数最大的项为第4项 D．有理项共4项 【分析】直接利用二项式的展开式和组合数求出结果． 【解答】解：已知的展开式中共有2项； 故二项式的系数和为26＝64，故A正确； 当x＝8时，所有项的系数和为； 根据二项式的展开式，（r＝0，1，8，3，4，2， 假设第4项的系数最大，故根据二项式的展开式，而第3项的系数为正值，故C错误； 当r＝3，2，4，2时，故一共有4项． 故选：AD． 【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，二项式系数，主要考查学生的运算能力，属于中档题． （多选）10．（6分）下列说法正确的有（　　） A．将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法 B．将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法 C．将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有360种不同的分法 D．将6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法 【分析】根据给定条件，利用分组分配的方法，列式判断AB，利用分类加法计数原理结合分组分配方法列式计算判断C，利用隔板法求解判断D． 【解答】解：对于A，6本不同的书中，再从剩余的5本中取2本作为一组， 最后3本作为一组，共有， 再将3组分给甲、乙、丙三人（种）； 对于B，6本不同的书中，再从剩余的6本中取2本给乙， 共有种不同的分法； 对于C，6本不同的书分给甲、乙，每人至少一本 ①一人3本，其他两人各1本（种）； ②一人7本，一人2本，共有； ③每人2本，共有，故共有90+360+90＝540（种）； 对于D，6本相同的书分给甲、乙，利用挡板法，故D正确． 故选：BD． 【点评】本题主要考查排列、组合及简单的计数问题，考查运算求解能力，属于中档题． （多选）11．（6分）为备战2023年我国杭州举行的亚运会，某国乒乓球队加紧训练进行备战．该国乒乓球队主教练在训练课上，安排甲、乙两名男单主力队员与陪练进行对抗性训练，两人获胜局数和为3或4时，则认为这轮训练合格，b，每局之间相互独立，且．记甲、乙在n轮训练中合格轮数为X（X）＝16，则从期望的角度来看（　　） A．24 B．26 C．27 D．28 【分析】由题意可知X～B（n，p），设A＝{训练过关}，A1＝{一轮中获胜3局}，A2＝{一轮中获胜4局}，则有A＝A1∪A2，P（A）＝P（A1）∪P（A2），根据题意用a，b表示出P（A1），P（A2），可得P（A）＝，则有，求解即可． 【解答】解：由题意可知X～B（n，p）， 则E（X）＝np， 设A＝{训练过关}，A1＝{一轮中获胜3局}，A4＝{一轮中获胜4局}， 则A＝A1∪A3，P（A）＝P（A1）∪P（A2）， P（A6）＝（1﹣a）•bab+a（1﹣b）ab+ab（3﹣a）b+aba（1﹣b） ＝2ab（a+b﹣5ab） ＝ ＝， ， 则P（A）＝， 令t＝ab， 则， 由题意可知X～B（n，P（A））， 则， 所以， 解得n≥27． 故选：CD． 【点评】本题主要考查了二项分布的期望公式，考查了互斥事件的概率公式，属于中档题． 三、填空题（每题5分，共15分） 12．（5分）的展开式中x2的系数为 　300　． 【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果． 【解答】解：二项式（1+2x）6的展开式为（r＝0，1，7，3，4，8， 当与1配对时，展开式中x2的系数为； 当与配对时5的系数为； 故展开式中x2的系数为60+240＝300． 故答案为：300． 【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 13．（5分）为研究变量x，y的相关关系，收集得到如下数据： x 1 2 3 4 5 y y1 60 y3 y4 y5 若由最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为，并据此计算在样本点（2，60）处的残差为0，则＝　290　． 【分析】先利用残差的计算公式求出，再根据回归直线过样本点的中心求出，即可得解． 【解答】解：因为在样本点（2，60）处的残差为0， 所以，得， 则y关于x的线性回归方程为， 因为，所以， 所以． 故答案为：290． 【点评】本题主要考查了残差的定义，考查了线性回归方程的性质，属于中档题． 14．（5分）已知函数f（x）＝xe1﹣x，若方程有三个不相等的实数解，则实数a的取值范围为 　　． 【分析】利用导数确定函数的单调性、极值，令t＝f（x），将问题转化为 有两个根，即t2+（1﹣a）t+1﹣a＝0有两个根，结合二次根的分布求解即可． 【解答】解：因为f（x）＝xe1﹣x，所以f′（x）＝（1﹣x）e6﹣x， 所以当x∈（﹣∞，1）时，f（x）单调递增； 当x∈（1，+∞）时，f（x）单调递减； 所以f（x）max＝f（1）＝6， 且当x＜0时，f（x）＜0，f（x）＞2， 当x趋于﹣∞时，f（x）趋于﹣∞，f（x）趋于0， f（x）图象如图所示． 令t＝f（x），有三个不等实数根等价于， 即t5+（1﹣a）t+1﹣a＝8有两个根， 设两根分别为t1、t2， 且t2＝1，0＜t3＜1或t1＜8，0＜t2＜5， 所以或， 解得． 所以实数a的取值范围为：（1，）． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想，考查了导数的综合运用，属于中档题． 四、解答题 15．（13分）随着互联网的普及和数字化技术的发展，网络直播成为了一种新型的营销形式，因其更低的营销成本（单位：千件）与售价x（单位：元/件）的情况如下表所示． 售价x（元/件） 53 49 51 50 47 月销售量y（千件） 5 9 7 10 9 （1）求相关系数r，并说明是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系（当|r|∈[0.75，1]时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）； （2）建立y关于x的线性回归方程，并估计当售价为52元/件时，该商品的线上月销售量为多少千件？ 参考公式：对于一组数据（xiyi）（i＝1，2，3，⋯，n），相关系数，其回归直线． 参考数据：． 【分析】（1）由已知结合相关系数公式求解r值，进一步得结论； （2）利用最小二乘法求解y关于x的线性回归方程，再取x＝52求解y值得结论． 【解答】解：（1）由表格中数据得， ，， 则相关系数r＝＝． ∵|r|＞0.75，∴y与x有很强的线性相关性； （2），． ∴y关于x的线性回归方程为． 当x＝52时，， 故当售价为x＝52元/件时，该商品的线上月销售量估计为6.6千件． 【点评】本题考查相关系数与线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题． 16．（15分）数列{an}中，a1＝1，an+1＝an+cn（c是常数，n＝1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列． （1）求c的值； （2）求数列{an}的通项公式； （3）求数列的前n项和Tn． 【分析】（1）由已知递推关系，结合等比数列的性质即可求解c； （2）结合（1），利用累加法即可求解an； （3）由已知先求出＝，然后结合错位相减求和即可求解． 【解答】解：（1）因为a1＝1，an+8＝an+cn， 所以a1＝1，a8＝1+c，a3＝7+3c， 因为a1，a3，a3成等比数列， 所以（1+c）8＝1×（1+8c）， 解得c＝0或c＝1， 当c＝8时，a1＝a2＝a6不符合题意舍去，故c＝1； （2）当n≥2时，由于a5﹣a1＝1，a2﹣a2＝2，…，an﹣an﹣2＝n， 所以， 又a1＝1，故an＝2+＝， 当n＝8时，上式也成立n＝； （3）因为＝， 所以Tn＝8×+1×）n+1， ＝0×+1×）n+1+（n﹣6）×（）n+2，  两式相减得，＝+…+﹣ ＝﹣ 则Tn＝（n+8）×（）n+2． 【点评】本题主要考查了数列的递推关系，等比数列的性质，累加法的应用，还考查了错位相减求和方法的应用，属于中档题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/19 16:09:57；用户：语数外；邮箱：15290311958；学号：48861359 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$