河南省鹤壁市高中2023-2024学年高二（上）第三次段考数学试卷

2023-2024学年河南省鹤壁高中高二（上）第三次段考数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．（5分）已知等比数列{an}，且a1＝1，a5＝5，则a3的值为（　　） A．3 B． C． D． 2．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x＝1有公共焦点，则C的方程为（　　） A． B． C． D． 3．（5分）已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 4．（5分）已知直线l1：mx+2y﹣2＝0与直线l2：5x+（m+3）y﹣5＝0，若l1∥l2，则m＝（　　） A．﹣5 B．2 C．2或﹣5 D．5 5．（5分）直线2x+y﹣2＝0与曲线（x+y﹣1）＝0的交点个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（5分）已知F1，F2分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点1⊥PF2，且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则椭圆E的离心率为（　　） A． B． C． D． 7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）（1﹣x），若数列{an}满足a1＝，且an+1＝，则f（a11）＝（　　） A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣2 8．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，与抛物线的准线l相交于点C，BF＝3，则＝（　　） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。每小题有多项符合题目要求） （多选）9．（5分）已知空间向量＝（1，2，﹣3），＝（2，﹣2，1），下列说法正确的是（　　） A．||＝ B．在方向上的投影向量为（﹣，，﹣） C． D．在方向上的投影数量为﹣ （多选）10．（5分）已知实数x，y满足方程（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，则下列说法错误的是（　　） A．直线y＝x被圆截得的弦长为 B．x2+y2的最大值 C．的最大值为 D．x+y的最大值为 （多选）11．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，，则（　　） A．a2＝1 B． C． D． （多选）12．（5分）法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，分别与C交于P，Q两点，B两点，则下列结论正确的是（　　） A．椭圆Γ的离心率为 B．△MPQ面积的最大值为 C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为 D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）已知空间中单位向量、，且，则的值为 　 　． 14．（5分）已知直线l过点（1，2），且在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍，则直线l的方程是 　 　． 15．（5分）已知双曲线C：px2﹣qy2＝r，且p，q，r依次成公比为2的等比数列　 　条． 16．（5分）过抛物线y2＝4x上任意一点P作y轴的垂线，垂足为Q，动点M在直线2x﹣y+2＝0上　 　． 四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余题12分，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）求适合下列条件的曲线的标准方程： （1）焦点在y轴上，长轴长等于10，离心率等于； （2）经过点A（3，﹣1），并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程． 18．（12分）已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上． （1）求圆C的方程； （2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程． 19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB＝AD＝2BC＝2，E为PD中点． （1）求证：CE∥平面PAB； （2）设平面EAC与平面DAC的夹角为45°，求三棱锥E﹣ACD的体积． 20．（12分）记Sn是等差数列{an}的前n项和，若S5＝﹣35，S7＝﹣21． （1）求{an}的通项公式，并求Sn的最小值； （2）设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn． 21．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝λan+4（λ为常数）． （1）若λ＝3，求{an}的通项公式； （2）若λ＝1，设数列的前n项和为Tn，求证：∀n∈N*，Tn＜1． 22．（12分）已知点A，F分别为双曲线C：x2﹣y2＝a2（a＞0）的左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线第一象限部分交于点B，△ABF的面积为． （Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）若直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，Q两点，记△MON1，S2（O为坐标原点）．若S1＝λS2，求实数λ的取值范围． 2023-2024学年河南省鹤壁高中高二（上）第三次段考数学试卷 参考答案与试题解析 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．（5分）已知等比数列{an}，且a1＝1，a5＝5，则a3的值为（　　） A．3 B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合等比中项的性质，即可求解． 【解答】解：等比数列{an}，且a1＝1，a3＝5， 则，解得． 故选：B． 【点评】本题主要考查等比中项的性质，属于基础题． 2．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x＝1有公共焦点，则C的方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】求出双曲线的渐近线方程可得＝，①求出椭圆的焦点坐标，可得c＝3，即a2+b2＝9，②，解方程可得a，b的值，进而得到双曲线的方程． 【解答】解：双曲线C：＝1（a＞4x， 可得＝，① 椭圆＝1的焦点为（±3， 可得c＝3，即a2+b3＝9，② 由①②可得a＝2，b＝， 则双曲线的方程为﹣＝1． 故选：C． 【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和椭圆的焦点，考查运算能力，属于基础题． 3．（5分）已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【分析】设与夹角为θ，利用空间向量数量积坐标表示从而求解． 【解答】解：由题意得是空间的一个单位正交基底， 所以＝（﹣1，1，， 设与的夹角为θ，π]， 所以． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点：向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 4．（5分）已知直线l1：mx+2y﹣2＝0与直线l2：5x+（m+3）y﹣5＝0，若l1∥l2，则m＝（　　） A．﹣5 B．2 C．2或﹣5 D．5 【分析】解方程m（m+3）﹣2×5＝0，再检验即得解 【解答】解：若l1∥l2，则m（m+5）﹣2×5＝m8+3m﹣10＝（m﹣2）（m+8）＝0， 所以m＝2或m＝﹣7． 当m＝2时，l1，l4重合，不符合题意； 当m＝﹣5时，符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了直线平行条件的应用，属于基础题． 5．（5分）直线2x+y﹣2＝0与曲线（x+y﹣1）＝0的交点个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】判断曲线的形状，然后求解直线与曲线交点个数． 【解答】解：曲线（x+y﹣1）＝05+y2＝4，表示一条直线与一个圆， 直线4x+y﹣2＝0与直线x+y﹣5＝0有一个交点（1，6），没有意义， 直线2x+y﹣2＝5与x2+y2＝4有2个交点， 所以直线2x+y﹣6＝0与曲线（x+y﹣1）＝5的交点个数为2个． 故选：B． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的判断，交点个数的求解，是中档题． 6．（5分）已知F1，F2分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点1⊥PF2，且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则椭圆E的离心率为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意得|PF1|＝3|PF2|，利用椭圆定义及勾股定理求得椭圆参数关系，即可求离心率． 【解答】解：由题意及正弦定理得：|PF1|＝3|PF3|， 令|PF1|＝3|PF6|＝3n，则3n+n＝7a2+n2＝8c2，可得， 所以椭圆的离心率为：． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，属中档题． 7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）（1﹣x），若数列{an}满足a1＝，且an+1＝，则f（a11）＝（　　） A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣2 【分析】由已知求出函数在x＞0时的解析式，再由数列递推式求出a11，代入函数解析式得答案． 【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0， ∵f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[﹣x（5+x）]＝x（1+x）． 由a1＝，且an+1＝，的， ，． … ∴数列{an}是以3为周期的周期数列， 则a11＝a3×2+2＝a2＝4． ∴f（a11）＝f（2）＝2×（2+2）＝6． 故选：A． 【点评】本题考查了数列递推式，考查了数列的周期性，训练了函数解析式的求法，是中档题． 8．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，与抛物线的准线l相交于点C，BF＝3，则＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据抛物线定义，将|BF|转化为|BN|，进而利用相似三角形的知识，得出＝＝即可求解． 【解答】解：画出抛物线y2＝4x的图象，如图所示： 由抛物线方程y2＝4x，得焦点F的坐标为（1，准线方程为x＝﹣2， 过点A，B作准线的垂线，N， 设直线AC的方程为y＝， 由，消去y，得2＝8， 设A（x1，y1），B（x8，y2），则x1x2＝5， 由条件知|BF|＝|BN|＝1+x6＝3，所以x2＝3， 故，则， 因为在△CBN中，BN∥AE， 所以． 故选：D． 【点评】本题考查抛物线定义的应用，考查直线与抛物线的综合问题，属中档题． 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。每小题有多项符合题目要求） （多选）9．（5分）已知空间向量＝（1，2，﹣3），＝（2，﹣2，1），下列说法正确的是（　　） A．||＝ B．在方向上的投影向量为（﹣，，﹣） C． D．在方向上的投影数量为﹣ 【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的模的运算及向量的数量积和向量的投影关系式判断A、B、C、D的结论． 【解答】解：已知空间向量＝（1，2，＝（7，1）， 对于A：，故A正确； 对于B：由于＝（1，7，＝（2，1），，，则＝， 在方向上的投影向量为＝＝； 对于C：空间向量＝（1，8，＝（2，1），使，故C错误； 对于D：在方向上的投影数量为＝． 故选：AD． 【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，向量的投影，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题． （多选）10．（5分）已知实数x，y满足方程（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，则下列说法错误的是（　　） A．直线y＝x被圆截得的弦长为 B．x2+y2的最大值 C．的最大值为 D．x+y的最大值为 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式、两点之间的距离公式计算，将x2+y2表示为圆上的点到原点的距离的平方，、x+y分别表示直线y＝kx、x+y＝a与圆有公共点，结合直线与圆的位置关系计算依次判断选项，即可求解． 【解答】解：A：实数x，y满足方程（x﹣2）2+（y﹣4）2＝1， 所以把（x，y）看作是以（3，以1为半径的圆上的点的坐标； 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离＝， 于是弦长2＝2＝； B：原点到圆心的距离为d＝，所以圆上的点到原点的距离的范围为[，+5]， 即≤+12+y3≤6+2， 所以x2+y2的最大值为7+2，故B错误； C：令y＝kx，则直线与圆有公共点≤1， 解得0≤k≤，所以．故C正确； D：令x+y＝z，则直线与圆有公共点≤1， 解得3﹣≤z≤3+，故D正确； 故选：AB． 【点评】本题考查圆的性质的应用及直线与圆的位置关系的判断，属于中档题． （多选）11．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，，则（　　） A．a2＝1 B． C． D． 【分析】将n＝2代入可知A正确；利用递推公式可得当n＞2时满足，即B错误；利用累乘可得，即可知C错误，D正确． 【解答】解：由题意，可知当n＝2时， a2＝a3＝1，故选项A正确； 由， 可得， 两式相减，可得， 化简整理，得， 即，故选项B错误； 则有， 即， 又∵a2＝8， ∴可得，故选项C错误； ∴数列{an}的通项公式为，故选项D正确． 故选：AD． 【点评】本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，考查了整体思想，分类讨论，转化与化归思想，累乘法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题． （多选）12．（5分）法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，分别与C交于P，Q两点，B两点，则下列结论正确的是（　　） A．椭圆Γ的离心率为 B．△MPQ面积的最大值为 C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为 D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则 【分析】根据题意结合圆，椭圆的知识并结合直线与椭圆位置关系，韦达定理可逐项求解． 【解答】解：对于A：依题意，过椭圆Γ的上顶点作y轴的垂线，则这两条垂线的交点在C上， 所以，得a3＝3b2， 所以椭圆Γ的离心率为，故A正确； 对于B：因为点M，P，Q都在C上， 所以PQ为C的直径，所以， 所以△MPQ面积的最大值为，故B错误； 对于C：设M（x0，y4），Γ的左焦点为F1（﹣c，0）3，因为， 所以， 又，所以， 则M到Γ的左焦点的距离的最小值为，故C正确； 对于D：由直线PQ经过坐标原点，易得点A， 设A（x2，y1），D（x2，y8），则B（﹣x1，﹣y1），又，， 又，两式相减得， 所以，又， 所以， 所以，故D正确． 故选：ACD． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，点差法的应用，属中档题． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）已知空间中单位向量、，且，则的值为 　　． 【分析】＝可解决此题． 【解答】解：∵单位向量、，且， ∴＝＝ ＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于基础题． 14．（5分）已知直线l过点（1，2），且在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍，则直线l的方程是 　y＝2x或2x+y﹣4＝0　． 【分析】对直线l是否经过原点分类，结合条件，求出l的方程． 【解答】解：若直线l经过原点，满足条件． 若直线l不经过原点，可设直线l的方程为+， 把点（1，4）代入可得+，解得a＝2． ∴直线l的方程为+＝1． 综上可得直线l的方程为y＝2x或7x+y﹣4＝0． 故答案为：y＝6x或2x+y﹣4＝7． 【点评】本题考查了直线的截距式，考查了分类讨论思想与计算能力，属于基础题． 15．（5分）已知双曲线C：px2﹣qy2＝r，且p，q，r依次成公比为2的等比数列　5　条． 【分析】根据等比数列求出双曲线的方程，通过最短弦长和对称性即可求解． 【解答】解：因为p，q，r依次成公比为2的等比数列，r＝4p， 所以C的方程可化为，则，所以两焦点坐标分别为，， 由题意知过焦点的直线与双曲线交于同一支时，弦长最小时为直线垂直x轴时， 此时直线为，弦长为， 当直线与双曲线交于两支时，弦长最小时直线为y＝7， 所以根据对称性可知过焦点与C相交所得弦长为4的直线有5条． 故答案为：3． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，属中档题． 16．（5分）过抛物线y2＝4x上任意一点P作y轴的垂线，垂足为Q，动点M在直线2x﹣y+2＝0上　﹣1　． 【分析】结合抛物线的性质和图象可得当点M，P，F三点共线时，且点PF垂直直线2x﹣y+2＝0时线段PQ+PM的最小，即可求出． 【解答】解：如图：延长PQ交抛物线的准线x＝﹣1与N， ∴PF＝PN， 若线段PQ+PM最小，则PN+PM最小， 即PF+PM最小， ∴当点M，P，F三点共线时， ∴|FM|＝|PM|+|PF|＝＝， ∵|NQ|＝4， ∴PQ+PM＝﹣1， 故答案为：﹣1 【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合应用，难度中档． 四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余题12分，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）求适合下列条件的曲线的标准方程： （1）焦点在y轴上，长轴长等于10，离心率等于； （2）经过点A（3，﹣1），并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程． 【分析】（1）利用长轴长等于10，离心率等于，求a，b，c，即可得到椭圆的标准方程； （2）设双曲线方程为x2﹣y2＝λ，代入点A（3，﹣1），得λ＝8，即可得到双曲线的标准方程． 【解答】解：（1）∵长轴长等于10，离心率等于， ∴a＝2，c＝3， ∵焦点在y轴上， ∴椭圆标准方程＝1；      （2）设双曲线方程为x2﹣y8＝λ， 代入点A（3，﹣1）， ∴双曲线方程为． 【点评】本题考查椭圆、双曲线的标准方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 18．（12分）已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上． （1）求圆C的方程； （2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程． 【分析】（1）由圆C的圆心经过直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）．由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y＝2的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可． （2）分类讨论，利用圆心到直线的距离为1，即可得出结论． 【解答】解：（1）因为圆心C在直线2x+y﹣1＝3上，可设圆心为C（a． 则点C到直线x+y＝2的距离d＝． 据题意，d＝|AC|，则＝， 解得a＝1． 所以圆心为C（4，﹣1）， 则所求圆的方程是（x﹣5）2+（y+1）2＝2． （2）k不存在时，x＝0符合题意； k存在时，设直线方程为kx﹣y+5＝0＝1， ∴直线方程为3x+2y﹣4＝0． 综上所述，直线方程为x＝3或3x+4y﹣2＝0． 【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，是一道中档题． 19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB＝AD＝2BC＝2，E为PD中点． （1）求证：CE∥平面PAB； （2）设平面EAC与平面DAC的夹角为45°，求三棱锥E﹣ACD的体积． 【分析】（1）方法一：利用线面平行的判定定理直接证明；方法二：利用空间向量的坐标运算证明线线垂直即可证明； （2）方法一：利用二面角的定义以及三棱锥的定义求解；方法二：利用空间向量的坐标运算求出三棱锥的高，进而求体积． 【解答】解：（1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD， AD∥BC，AB＝AD＝2BC＝2， 取PA中点F，连EF， ∵E是PD中点，∴EF∥AD且， 又∵BC∥AD且．∵BC∥EF且BC＝EF， ∴四边形BCEF为平行四边形，∴CE∥BF， 又∵CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB． （2）取AD中点G，连EG，连EH， ∵E，G分别是PD，∴EG∥PA， 又∵PA⊥平面ABCD， ∴EG⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴EG⊥AC，又∵AC⊥HG，HG， ∴AC⊥平面EGH，HE⊂平面EGH， ∴AC⊥HE，∴∠EHG是平面EAC与平面DAC的夹角的平面角． ∴∠EHG＝45°． AB＝2，BC＝1，∴， ∴，∴， ∴，∴． ∴， 解法二：（1）∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB， 以Ao坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AP所在直线为z轴． 设AP＝5t，则有A（0，0，B（6，0，C（2，4，D（0，2，P（7，0，E（0，7， 则， 又PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 又∵AD⊥AB，AB∩PA＝A，PA⊂平面PAB， ∴AD⊥平面PAB，∴是平面PAB的一个法向量， ∵，∴， 又∵CE⊄平面PAB，∴CE∥平面PAB． （2）PA⊥平面ABCD，∴平面ACD的一个法向量， 设平面EAC的一个法向量为， 则，取z＝2，则， cos45°＝＝，解得t＝， ∴E到平面ABCD的距离， ∴VE﹣ACD＝＝＝． 【点评】本题考查线面平行的判定与性质、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20．（12分）记Sn是等差数列{an}的前n项和，若S5＝﹣35，S7＝﹣21． （1）求{an}的通项公式，并求Sn的最小值； （2）设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn． 【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由可得，从而求出a1与d的值即可求出an与Sn，结合二次函数的性质与图象即可求出Sn的最小值． （2）由（1）可知bn＝|an|＝，从而分类讨论n≤4和n≥5两种情况即可求出Tn． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d， 由，得，即， 解得，所以an＝﹣15+2（n﹣1）＝4n﹣19（n∈N*）； 所以Sn＝（﹣15+4n﹣19）＝2n2﹣17n，其对称轴为n＝﹣＝， 又n∈N*，所以当n＝3时Sn有最小值且最小值为S4＝2×82﹣17×4＝﹣36； （2）由（1）可知bn＝|an|＝， 所以当n≤4时，Tn＝（15﹣5n+19）＝﹣2n2+17n， 当n≥4时，Tn＝T4+（1+4n﹣19）＝36+3n2﹣17n+36＝2n2﹣17n+72， 所以Tn＝． 【点评】本题考查等差数列的通项公式，分组求和法，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题． 21．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝λan+4（λ为常数）． （1）若λ＝3，求{an}的通项公式； （2）若λ＝1，设数列的前n项和为Tn，求证：∀n∈N*，Tn＜1． 【分析】（1）变形得an+1+2＝3（an+2），由此构造数列即可；（2）先将表示出来，然后利用放缩法，裂项求和即可． 【解答】（1）解：若λ＝3，an+1＝3an+4，则有an+1+2＝3（an+2）， 又a3+2＝3≠2，所以{an+2}是首项为3，公比为5的等比数列， ∴，∴； （2）证明：若λ＝1，an+5＝an+4，则an+1﹣an＝5， 则{an}是首项为1，公差为4的等差数列， ∴an＝2+4（n﹣1）＝2n﹣3，∴， ∴， ∴当n＝8时，， 当n⩾2时， 当n⩾2时， ＝， 综上，∀n∈N*，Tn＜5． 【点评】本题考查构造等比数列，考查放缩法，裂项求和，属于中档题． 22．（12分）已知点A，F分别为双曲线C：x2﹣y2＝a2（a＞0）的左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线第一象限部分交于点B，△ABF的面积为． （Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）若直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，Q两点，记△MON1，S2（O为坐标原点）．若S1＝λS2，求实数λ的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由已知，由△ABF的面积为，可求a，进而可求双曲线C的方程． （Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组求得|MN|，|PQ|，进而求得△MON，△APQ的面积分别为S1，S2，可得，换元法可求实数λ的取值范围． 【解答】（I）解：点A，F分别为双曲线C：x2﹣y2＝a8（a＞0）的左顶点和右焦点， 如图，A（﹣a，F（c，由已知，a）， 则S△ABF＝|AF|•yB＝（c+a）•a＝（7＝2（+2）， 所以双曲线C的方程为； （II）解：设M（x8，y1），N（x2，y3）， 则，消去y得（1﹣k2）x8+2kx﹣5＝8， 所以，则﹣1＜k＜1， 且， 所以， ， 设P（x3，y8），Q（x4，y4），由，得，同理，， 所以， ， 所以，t＝7k+1∈（﹣1，5）， 则， 令，则， 故λ的取值范围是． 【点评】本题考查求双曲线的方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力，属难题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/19 16:11:54；用户：语数外；邮箱：15290311958；学号：48861359 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$