第08讲 基本不等式（6种题型+3个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修第一册）

第08讲 基本不等式（6种题型+3个易错点+过关检测） 知识点1：基本不等式 1.基本不等式：如果a，b是正数，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立．我们把不等式≤(a，b≥0)称为基本不等式． 对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数． 注意点： (1)均值不等式常见的变形：①当a＞0，b＞0，则a＋b≥2；②当a＞0，b＞0，则ab≤2. (2)两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等． 2.在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”． 一正：a，b均为正数； 二定：不等式一边为定值； 三相等：不等式中的等号能取到，即a＝b有解． 知识点2：用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式的策略 从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 知识点3：用基本不等式求最值 1.用基本不等式求最值 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值 已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值 已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2 注意点： (1)口诀：和定积最大，积定和最小． (2)应用基本不等式求最值时，应把握不等式成立的条件：一正、二定、三相等． 2.拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件． 3.常数代换(“1”的代换)法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值． 知识点4：基本不等式的实际应用 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案． 题型1：基本不等式的理解 【例题1】（21-22高一上·浙江宁波·期中）已知，，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）推论：对任意正数a，b， ，当且仅当时等号成立． 【变式3】（23-24高一·全国·课堂例题）不等式和基本不等式成立的条件有什么不同？ 题型2：利用基本不等式比较大小 【例题2】（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 【变式3】（2023高一·上海·专题练习）已知，，则，，，中哪一个最大？ 题型3：利用基本不等式求最值 【例题3】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【变式1】（23-24高一上·江西南昌·期中）正数满足，则的最大值为（    ） A．8 B．3 C． D．4 【变式2】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知，的最小值为 . 【变式3】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）（1）已知，求的最小值. （2）已知，求的最大值. 题型4：利用基本不等式求解实际应用题 【例题4】（23-24高一上·江西抚州·期中）两次购买同一种物品，可以采用两种不同的策略：第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定．若两次单价不同，从平均价格的角度来看，则下列判断正确的是（    ） A．第一种策略更省钱 B．若降价，第一种策略更省钱；若涨价，第二种策略更省钱 C．第二种策略更省钱 D．若降价，第二种策略更省钱；若涨价，第一种策略更省钱 【变式1】（23-24高一上·河南郑州·期中）受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奥运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为，，.甲有一半的时间以速度米/秒奔跑，另一半的时间以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑；其中，.则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．若菜园面积为，则 时，可使所用篱笆总长最小，最小值为 ．    【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）某造纸厂拟造一座占地面积为的矩形二级污水处理池，池的深度一定，池的外周墙壁建造单价400元/m，中间一条隔离壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m（墙壁厚忽略不计）．污水处理池的长为多少时可使总造价最低？总造价最低为多少？ 题型5：利用基本不等式求解恒成立问题 【例题5】（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一上·天津西青·期末）已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【变式3】（23-24高一上·河南信阳·期中）已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 题型6：应用基本不等式证明不等式 【例题6】（22-23高一上·河南·期末）已知为正实数，以下不等式成立的有（    ） ①；②；③；④ A．②④ B．②③ C．②③④ D．①④ 【变式1】（24-25高一上·上海·课堂例题）设、为非零实数，给出下列不等式：①；②；③，其中恒成立的是 ．（填序号） 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）设、是正实数． (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值，并指出等号成立的条件． 易错点1：忽略应用基本不等式的前提条件而致错 【例题1】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 【变式1】（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，则的最小值为 ． 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值． （3）已知，求的最大值． 易错点2：忽略等号成立的条件而致错 【例题2】（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）当时，函数的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D．9 【变式2】（23-24高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数，当时，取得最小值，则 ； ． 【变式3】（23-24高一上·贵州·阶段练习）解答下列各题. (1)若，求的最大值. (2)若正数，满足，求的最小值. 易错点3：多次应用基本不等式而致错 【例题3】（24-25高一上·江苏·假期作业）负实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式2】（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）已知，，，求的最小值. 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）已知，，，则xy的最大值是（ ） A． B． C． D．1 2．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高一上·安徽六安·阶段练习）下列选项中恒成立的是（    ） A． B． C．，则 D．且 4．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）某食品加工厂生产某种食品，第一个月产量为，第二个月的增长率为a，第三个月的增长率为b，这两个月的平均增长率为x，（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）若、、是互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 6．（21-22高一上·福建三明·期中）已知正实数满足，使得取最小值时，实数的值为（ ） A．， B．， C．， D．， 7．（23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，且， B．已知正数、满足，则的最小值为 C．若，则的最大值是 D．若，，，则的最小值是 9．（23-24高一上·河南·阶段练习）若不等式对任意正实数恒成立，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若，且，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高一上·上海·课前预习）不等式中等号成立的条件是 ． 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，则、、、中最大的一个是 ． 13．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 14．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求的最大值. 15．（23-24高一上·浙江宁波·开学考试）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最小值. 16．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，，，求xy的最大值． 17．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 18．（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 基本不等式（6种题型+3个易错点+过关检测） 知识点1：基本不等式 1.基本不等式：如果a，b是正数，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立．我们把不等式≤(a，b≥0)称为基本不等式． 对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数． 注意点： (1)均值不等式常见的变形：①当a＞0，b＞0，则a＋b≥2；②当a＞0，b＞0，则ab≤2. (2)两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等． 2.在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”． 一正：a，b均为正数； 二定：不等式一边为定值； 三相等：不等式中的等号能取到，即a＝b有解． 知识点2：用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式的策略 从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 知识点3：用基本不等式求最值 1.用基本不等式求最值 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值 已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值 已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2 注意点： (1)口诀：和定积最大，积定和最小． (2)应用基本不等式求最值时，应把握不等式成立的条件：一正、二定、三相等． 2.拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件． 3.常数代换(“1”的代换)法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值． 知识点4：基本不等式的实际应用 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案． 题型1：基本不等式的理解 【例题1】（21-22高一上·浙江宁波·期中）已知，，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误. 【详解】对于A选项，由基本不等式可得，A错； 对于B选项，因为，所以， 所以，，故，B错； 对于C选项，因为，，由基本不等式可得， 所以，，C错； 对于D选项，因为，， 由不等式的性质可得，则， 所以，，D对. 故选：D. 【变式1】（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 【答案】BC 【分析】根据不等式成立的条件即可判断． 【详解】为重要不等式，其中，A错，B对； 是基本不等式，其中，C对，D错. 故选：BC 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）推论：对任意正数a，b， ，当且仅当时等号成立． 【答案】 【分析】略 【详解】略 【变式3】（23-24高一·全国·课堂例题）不等式和基本不等式成立的条件有什么不同？ 【答案】答案见解析 【详解】不等式对任意实数a，b都成立； 中要求a，b都是正实数． 题型2：利用基本不等式比较大小 【例题2】（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出平均速度可判断AB；利用基本不等式可判断CD. 【详解】设甲乙两地相距s，则平均速度故A错误，B错误； 又∵，∴， 根据基本不等式及其取等号的条件可得：， ∴，即， 故C正确，D错误． 故选：C． 【变式1】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式性质判断ACD，利用基本不等式判断B. 【详解】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立，又，所以，正确； 对于C，因为，所以，，所以，错误； 对于D，因为，所以，所以， 又，所以即，错误； 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可比较, 【详解】∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当时等号成立， ∵， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为： 【变式3】（2023高一·上海·专题练习）已知，，则，，，中哪一个最大？ 【答案】 【分析】先利用基本不等式判断最大数为或，再做差判断正负可得出最大的数. 【详解】因为，，所以，， 所以四个数中最大的数应为或； 又因为，，所以 所以，所以最大 题型3：利用基本不等式求最值 【例题3】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】A 【分析】由均值不等式得，从而得到，由得到，从而选出正确选项. 【详解】因为，，所以，所以由得， 解得，，当且仅当时等号成立， 所以有最小值，排除CD； 因为，，所以，所以，解得， 当且仅当时等号成立，所以有最小值，故A正确，B错误； 故选：A. 【变式1】（23-24高一上·江西南昌·期中）正数满足，则的最大值为（    ） A．8 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】将平方，再结合基本不等式的求解即可. 【详解】解：因为 当，即时，等号成立， 又因为， 所以，时，等号成立. 故选：D. 【变式2】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知，的最小值为 . 【答案】1 【分析】由均值不等式求解即可. 【详解】，当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：1 【变式3】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）（1）已知，求的最小值. （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1），再利用基本不等式即可求解. （2），再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）， ， ， 当且仅当，即时取等号. 当时，的最小值为. （2）， ， ， ， 当且仅当，即时取等号， 即当时，的最大值为. 题型4：利用基本不等式求解实际应用题 【例题4】（23-24高一上·江西抚州·期中）两次购买同一种物品，可以采用两种不同的策略：第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定．若两次单价不同，从平均价格的角度来看，则下列判断正确的是（    ） A．第一种策略更省钱 B．若降价，第一种策略更省钱；若涨价，第二种策略更省钱 C．第二种策略更省钱 D．若降价，第二种策略更省钱；若涨价，第一种策略更省钱 【答案】A 【分析】根据策略，列出两种的平均价格，利用基本不等式作比较，得出结论. 【详解】设第一次购买的单价为，第二次购买的单价为，且． 第一种策略，设每次购买的钱数为x，则平均价格为， 第二种策略，设每次购买的数量为y，则平均价格为． 因为，且，所以， 所以第一种策略更省钱． 故选：A. 【变式1】（23-24高一上·河南郑州·期中）受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奥运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为，，.甲有一半的时间以速度米/秒奔跑，另一半的时间以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑；其中，.则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别计算出，，的值，利用基本不等式可以判断出正确，错误；对于验证即可. 【详解】由题意知： 所以,, , 由基本不等式知， 所以, 所以， 故，当且仅当时，等号成立. 故正确，错误； 又当时， ,故，则错误； 又, , 取,此时，故错误， 故选： 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．若菜园面积为，则 时，可使所用篱笆总长最小，最小值为 ．    【答案】 【分析】根据均值不等式求最值及最值取得的条件即可. 【详解】由题得，周长，当且仅当，即，时，等号成立，所以． 故答案为：；. 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）某造纸厂拟造一座占地面积为的矩形二级污水处理池，池的深度一定，池的外周墙壁建造单价400元/m，中间一条隔离壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m（墙壁厚忽略不计）．污水处理池的长为多少时可使总造价最低？总造价最低为多少？ 【答案】15米，总造价最低为36000元 【分析】设污水处理池的宽为米，长为米，从而得到总造价，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】设污水处理池的宽为米，则长为米． 则总造价 ， 当且仅当，即时，取等号． 此时，所以当长为15米时，总造价最低为36000元． 题型5：利用基本不等式求解恒成立问题 【例题5】（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定，变换，展开利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】，故，， ，，故， 当且仅当，即时取等号，故， 最小值是16，由不等式恒成立可得. a的取值范围是， 故选：B. 【变式1】（22-23高一上·天津西青·期末）已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式恒成立，故只需，由基本不等式的乘“1”法，结合已知求出的最小值即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以由基本不等式可得， 等号成立当且仅当即， 综上所述，的最小值为； 因为不等式恒成立， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点睛：关键是对已知条件等式变形，利用基本不等式的乘“1”法，求出的最小值，从而即可顺利得解 【变式2】（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】合理构造目标式，利用基本不等式求出最值，得到，再求解参数范围即可. 【详解】若关于的不等式恒成立，则， 因为，故， 当且仅当时取等，故得，解得. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·河南信阳·期中）已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)时，的最小值为9 (2) 【分析】（1）利用乘“1”法及基本不等式计算可得； （2）依题意可得，参变分离可得恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为，都是正数，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为． （2）由，得， 故， 又， 当且仅当，即，时等号成立，取得最小值， 故的取值范围为． 题型6：应用基本不等式证明不等式 【例题6】（22-23高一上·河南·期末）已知为正实数，以下不等式成立的有（    ） ①；②；③；④ A．②④ B．②③ C．②③④ D．①④ 【答案】C 【分析】对于①③做差因式分解与零比大小；对于②基本不等式验证；对于④数形结合验证. 【详解】，只有时①成立； （当且仅当时等号成立），②恒成立； ，当且仅当，时等号成立. 故在a，b均为正实数时恒成立，③恒成立； 令，则可以看成当时，函数的函数值恒大于 由函数图象可知④恒成立. 故选:C. 【变式1】（24-25高一上·上海·课堂例题）设、为非零实数，给出下列不等式：①；②；③，其中恒成立的是 ．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题利用重要不等式及其推论可判断①②，利用特殊值法可判断③. 【详解】因为，所有，所以①正确； 因为，所以②正确； 当时，不等式的左边为，右边为， 原不等式显然不成立，所以③错误． 故答案为：①②. 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析，当且仅当 (2)证明见解析，当且仅当 【分析】（1）利用作差法证明； （2）利用基本不等式证明； 【详解】（1）因为， ， ， 所以成立； 当且仅当时，等号成立； （2）， ． 所以． 当且仅当时，等号成立． 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）设、是正实数． (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值，并指出等号成立的条件． 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）根据基本不等式可得证； （2）根据基本不等式“1”的妙用可得最值及取等条件. 【详解】（1）由， 所以，当且仅当时等号成立； （2）由， 则， 当且仅当，即时等号成立 易错点1：忽略应用基本不等式的前提条件而致错 【例题1】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 【答案】B 【分析】由已知可得，利用基本不等式计算可得结果. 【详解】由，得， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3． 故选：B. 【变式1】（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得. 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】对原函数合理变形，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意得， 当且仅当时取等，此时解得(负根舍去). 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值． （3）已知，求的最大值． 【答案】（1）6；（2）；（3） 【分析】（1）由题意得（），再利用基本不等式可求得其最小值； （2）由题意得，则，再利用基本不等式可求得其最大值； （3）由题意得，则原式化为，再利用基本不等式可求得其最大值. 【详解】（1）∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴当时，取得最小值6． （2）∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴当时，取得最大值． （3）解  ∵，∴，∴， ∴ ， ∵， 当且仅当，即时等号成立． ∴， ∴当时，取得最大值． 易错点2：忽略等号成立的条件而致错 【例题2】（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】配凑后，根据基本不等式即可求解. 【详解】实数， ， 当且仅当，即时等号成立， 函数的最小值为6. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）当时，函数的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D．9 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】∵，∴，, ∴， 当且仅当，即时取等号． 故选：A 【变式2】（23-24高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数，当时，取得最小值，则 ； ． 【答案】 2 1 【分析】现将函数进行配凑，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为,所以, 所以， 当且仅当, 即时等号成立， 所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·贵州·阶段练习）解答下列各题. (1)若，求的最大值. (2)若正数，满足，求的最小值. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）将变形为，利用基本不等式计算可得结果； （2）根据基本不等式中“1”的应用代入计算可得结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时取等号. 故的最大值为. （2），且， 所以， 即的最小值为， 当且仅当，即，时取等号 易错点3：多次应用基本不等式而致错 【例题3】（24-25高一上·江苏·假期作业）负实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据为定值，消元后利用基本不等式求最值. 【详解】因为负实数、满足，则，可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最小值为. 故选：A 【变式1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】将代入得，再结合基本不等式求解即可. 【详解】，, ，， 令， ， 当且仅当，即时取等号，此时， 的最大值为. 故选：D. 【变式2】（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】由已知得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】正实数且得， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）已知，，，求的最小值. 【答案】18 【分析】利用“”的代换得，展开后由基本不等式求最值即可. 【详解】因为，，由，两边同时除以xy，可得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为18． 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）已知，，，则xy的最大值是（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，，，所以，故， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B 2．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式得到，两式相减得到，作差得到，从而得到答案. 【详解】因为，由基本不等式得， 故， 因为，，两式相减得， ， 故，所以， 故， 所以. 故选：B 3．（20-21高一上·安徽六安·阶段练习）下列选项中恒成立的是（    ） A． B． C．，则 D．且 【答案】D 【分析】根据作差比较法、基本不等式、不等式的性质，结合特例法进行判断即可. 【详解】A：当时，显然，所以本选项不符合题意； B：，所以本选项不符合题意； C：由基本不等式可知：当，时，恒成立； 当，时， ，所以本选项不符合题意； D：，因为且， 所以，因此，所以本选项符合题意， 故选：D 4．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）某食品加工厂生产某种食品，第一个月产量为，第二个月的增长率为a，第三个月的增长率为b，这两个月的平均增长率为x，（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出两种方式增长的第三年的产量，从而构建的等式，再利用基本不等式计算的不等关系. 【详解】第二个月的增长率为a，第三个月的增长率为b， 则第三个月的产量为 这两个月的平均增长率为x， 则第三个月的产量为 所以， 计算可得 又 所以，当且仅当时取得等号. 故选：B. 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）若、、是互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式及已知条件得到，从而得到，即可判断. 【详解】∵、均为正数，且，∴． 又∵，∴．∵，∴，故排除A、B、D． 故选：C． 6．（21-22高一上·福建三明·期中）已知正实数满足，使得取最小值时，实数的值为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的代换即可求解. 【详解】， 当且仅当，即，即时，等号成立 故当，时，取最小值. 故选：C 7．（23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 二、多选题 8．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，且， B．已知正数、满足，则的最小值为 C．若，则的最大值是 D．若，，，则的最小值是 【答案】BC 【分析】利用基本不等式逐项判断，注意不等成立的前提条件． 【详解】对于选项，若均为负数，不等式不成立，所以错误； 对于选项，，所以， 则， 所以，，当且仅当，即当时，等号成立，故正确； 对于选项，因为，，当且仅当即时，等号成立，所以，故正确； 对于选项，因为，所以， 所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是，故错误． 故选：． 9．（23-24高一上·河南·阶段练习）若不等式对任意正实数恒成立，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】易知，则，令得，再令可得，根据均值不等式即可求解. 【详解】由题意易知，， 令，分式上下同除以，得恒成立， 则， 令，则，， 所以，得， 当且仅当，即，时，等号成立， 故选：CD 10．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式及其“1”的代换判断各项正误. 【详解】A：由题设，当且仅当时取等号，对； B：由题设，当且仅当时取等号， 所以，对； C：， 当且仅当时取等号，对； D：，当且仅当时取等号，错. 故选：ABC 三、填空题 11．（24-25高一上·上海·课前预习）不等式中等号成立的条件是 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 故答案为： 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，则、、、中最大的一个是 ． 【答案】 【分析】由基本不等式和作差法比较大小，得到答案. 【详解】，，由基本不等式得；； 又因为，， 所以， 故， 所以最大的一个是 故答案为： 13．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据等式变形，利用常值代换法凑项，运用基本不等式求得即得. 【详解】因为两个正实数 满足，则， 故 ，当且仅当时取等号， 因不等式恒成立，则，故. 故答案为：. 四、解答题 14．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求的最大值. 【答案】 【分析】由题设知，由基本不等式求目标式最大值，注意等号成立条件. 【详解】∵，则， ∴， 当且仅当即时等号成立. ∴的最大值. 15．（23-24高一上·浙江宁波·开学考试）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最小值. 【答案】（1）6；（2）8. 【分析】（1）将式子进行配凑，然后用基本不等式求解即可； （2）利用常数代换的方法，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6. （2）因为，， 所以， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为8. 16．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，，，求xy的最大值． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用基本不等式结合一元二次不等式求解即得. 【详解】，则，当且仅当时取等号， 于是，解得，即， 由，解得， 所以当时，xy取得最大值2. 17．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论； （2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论. 【详解】证明：（1）∵、都是正数， ∴，，， ∴， 当且仅当时，等号成立． （2）∵，，， ∴，，， ∴， 故，当且仅当， 即时等号成立． 18．（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【答案】当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 【分析】以实际应用问题为情境，建立函数关系，利用函数最值的求法解出结果； 【详解】 设，上底， 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则，， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$