精品解析：四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题

2022级初三上9月定时练习数学 注意事项： 1．本试卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2、答题前、务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 5．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 6．考试结束后，只将答题卡交回． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案涂在答题卡上） 1. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26 日至8月11 日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 4. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图：直线与直线相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 《鹊华秋色图》是画家赵孟的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 我们知道，四边形具有不稳定性．如图，边长为2的菱形的形状可以发生改变，在这个变化过程中，设菱形的面积为y，的长度为x，则下列图象中，可以表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡． 9. 分解因式：_______． 10. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 11. 如图，在中，，，的垂直平分线交和于点，．若，则线段的长度等于______． 12. 如图的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中四个点中是其旋转中心的点是______． 13. 如图，在平行四边形中，以点为圆心长为半径作弧交于点，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点，连接并延长交于点，若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）解方程：． （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 15. 2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 B组 C组 a D组 E组 成绩条形统计图 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中________%，并补全条形统计图； （2）这200名学生成绩的中位数会落在________组（填A、B、C、D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数． 16. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2=0． （1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程两个根均为正整数，求负整数m的值． 17. 四边形中，，，且，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的周长． 18. 已知和是两个等边三角形纸片，其中，． （1） 将和按图1所示的方式摆放，和重合（点在同一条直线上），连接，发现，请你给予证明； （2）如图2，将的边放在线段上在的外侧），两边中点重合，记为点，再将绕着点顺时针旋转度，如图3，连接、交于点； ①在旋转过程中线段、有怎样的数量关系和位置关系？写出结论并说明理由； ②如图4当时，连接．求四边形的面积． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若a是方程3x2﹣5x+2＝0的根，则﹣6a2+10a﹣5＝___． 20. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接，相交于点E．设小正方形的边长为1，则的长为_________． 21. 我们知道：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．那么从若干正三角形，正四边形，正五边形，正六边形中，只选择一种正多边形进行拼接，能够形成图形镶嵌的概率是______． 22. 如图，在正方形中，，点是边上一点，且，连接，将沿折叠得到，与交于点，则的长为______． 23. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点和点的关联值如下：若，，在一条直线上；若，，不在一条直线上．已知点坐标为，点坐标为．若，，则点坐标为______；若点，不变，平面中任意一点满足，则满足条件的点的全体组成的图形面积为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 某超市用1200元购进一批甲玩具，用500元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元． （1）求甲、乙玩具的进货单价格是多少元？ （2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件，求该超市用不超过1400元最多可以采购甲玩具多少件？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线相交于点，分别交坐标轴于点A、B、C、D，点P是线段CD延长线上的一个点，的面积为15． （1）求直线CD解析式和点P的坐标． （2）如图2，当点P为线段CD上的一个动点时，将BP绕点B逆时针旋转90º得到BQ，连接PQ与OQ，点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式，以及OQ的最小值． （3）在（1）的条件下，直线AB上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 26. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022级初三上9月定时练习数学 注意事项： 1．本试卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2、答题前、务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 5．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 6．考试结束后，只将答题卡交回． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案涂在答题卡上） 1. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26 日至8月11 日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据以上概念逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、图形既不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意 故选：D． 2. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，则，原式错误，不符合题意； B、由可得，原式错误，不符合题意； C、由可得，原式错误，不符合题意； D、由可得，原式正确，符合题意； 故选：D． 3. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义和分式的值为的条件，解题的关键是掌握分式的相关定义．根据分式的值为的条件即可求解． 【详解】解：依据题意得：， ， 解得：， ， ， ， 4. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次方程没有实数根得到判别式，解该不等式即可求出m的取值范围． 【详解】解：由题意可知：，，． 判别式， ∵方程没有实数根， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程判别式的应用，对应一元二次方程，若判别式，则方程有两个不相等的实数根；若判别式，则方程有两个相等的实数根；若判别式，则方程没有实数根． 5. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟记相关判定定理即可求解． 【详解】解：∵与中，， A. ，∴能判定； B. ，∴不能判定； C. ，∴，∴能判定； D. ，∴能判定． 故选：B． 6. 如图：直线与直线相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求出交点A的坐标，由图象可知，当时，函数的图象在的下方，即可求解． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， 由图象可知，当时，函数的图象在的下方， 则不等式的解集为． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是判断不等式，即函数的图象在的下方． 7. 《鹊华秋色图》是画家赵孟的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，根据装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，以及设边框的宽度为，列式得，即可作答． 【详解】解：∵装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，以及设边框的宽度为， ∴， 故选：D． 8. 我们知道，四边形具有不稳定性．如图，边长为2的菱形的形状可以发生改变，在这个变化过程中，设菱形的面积为y，的长度为x，则下列图象中，可以表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题函数图象，分析菱形形状变化过程是解题的关键；过点A作于E，当E点与B点重合时，，可判断出此时面积最大，且随着x的减小，面积减小，随着x的增大，面积也增大，而前三个选项中图象均不满足；故可作出判断． 【详解】解：如图，过点A作于E； 当E点与B点重合时，，则， 此时面积最大，且为， 当A往右方向移动时，减小，也减小， 而跟着减小， 即随着x由减小到接近0，但不为0，面积由4减小到接近0，但不为0； 同理，随着x的增大到，面积也增大到4， 前三个选项中图象均不满足，只有移项D满足； 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡． 9. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：， 故答案为： 10. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：去分母，得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程，可得：． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 11. 如图，在中，，，的垂直平分线交和于点，．若，则线段的长度等于______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键．连接，先求出，根据线段垂直平分线性质得，求出，进而得，由此得，据此可求出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵中，，， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中四个点中是其旋转中心的点是______． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单．根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点 B为旋转中心． 故答案为：B． 13. 如图，在平行四边形中，以点为圆心长为半径作弧交于点，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点，连接并延长交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】记交于点，连接，由作图过程可知，，平分，利用平行四边形性质和角平分线性质证明四边形是菱形，利用菱形的性质得到，，，最后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：记交于点，连接， 由作图过程可知，，平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，， ，， ，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，等腰三角形性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）解方程：． （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），；（2）．将不等组的解集表示在数轴上如下：． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）移项，利用因式分解法求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到来确定不等式组的解集． 【详解】解：， 整理得， ∴，， 解得：，； （2）， 不等式①的解集为：， 不等式②的解集为：， 则不等式组的解集为：. 15. 2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 B组 C组 a D组 E组 成绩条形统计图 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中________%，并补全条形统计图； （2）这200名学生成绩的中位数会落在________组（填A、B、C、D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数． 【答案】（1）20， 补全条形统计图如图所示： （2）D （3）300人 【解析】 【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a的值，进而可求出C组人数，补全条形统计图即可． （2）按照中位数的定义解答即可． （3）用总人数乘以D组人数所占百分比即可． 【小问1详解】 ， C组人数为：， 【小问2详解】 ， ， ∴200名学生成绩的中位数会落在D组． 【小问3详解】 （人） 估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人． 【点睛】本题主要考查了统计表和统计图的综合运用、用样本估计总体等知识．综合运用所学知识并且正确计算是解题的关键． 16. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2=0． （1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程两个根均为正整数，求负整数m的值． 【答案】 （1）∵△=（m+3）2 ﹣4（m+2） =（m+1）2 ∴无论m取何值，（m+1）2恒大于等于0 ∴原方程总有两个实数根 (2) m=-1. 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=1>0，由此即可证出：无论实数m取什么值，方程总有两个不相等的实数根； （2）利用分解因式法解原方程，可得x1=m，x2=m+1，在根据已知条件即可得出结论． 【详解】（1） 略 （2）原方程可化为:(x-1)(x-m-2)=0 ∴x1=1, x2=m+2 ∵方程两个根均为正整数,且m为负整数 ∴m=-1. 【点睛】本题考查了一元二次方程与根的判别式，解题的关键是熟练的掌握根的判别式与根据因式分解法解一元二次方程. 17. 四边形中，，，且，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）证≌，得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理得，，再由平行四边形的性质得，，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形的周长． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 18. 已知和是两个等边三角形纸片，其中，． （1） 将和按图1所示的方式摆放，和重合（点在同一条直线上），连接，发现，请你给予证明； （2）如图2，将的边放在线段上在的外侧），两边中点重合，记为点，再将绕着点顺时针旋转度，如图3，连接、交于点； ①在旋转过程中线段、有怎样的数量关系和位置关系？写出结论并说明理由； ②如图4当时，连接．求四边形的面积． 【答案】（1） ∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， （2） ①连接、，设与交于点， ∵和是等边三角形，是和的中点， ∴，，， ∴，，即：， ∴， ∴，即：，，即： 又∵，， ∴， ∴， ② 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，由，得到，通过，即可求证， （2）①连接、，设与交于点，由和是等边三角形，是和的中点，得到，，，进而得到，，从而证明，，，根据三角形内角和，即可求证， ②过点作，由，，得到四边形是矩形，，，根据勾股定理得到， ，由，结合，代入即可求解， 本题考查了，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，矩形的判定与性质，勾股定理解三角形解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：① 略 ②过点作，交延长线于点， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，，， ∵，， ∴， 故答案为：①，，理由见解析；②． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若a是方程3x2﹣5x+2＝0的根，则﹣6a2+10a﹣5＝___． 【答案】 【解析】 【分析】根据a是方程3x2﹣5x+2＝0的根，可得，将之代入﹣6a2+10a﹣5中求解即可． 【详解】解：∵a是方程3x2﹣5x+2＝0的根， ∴，即， ∴﹣6a2+10a﹣5＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，考虑用整体法求解是关键． 20. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接，相交于点E．设小正方形的边长为1，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算的长，再根据，对应边成比例，得到，所以设，则，从而求出的长． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ 设，则， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 21. 我们知道：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．那么从若干正三角形，正四边形，正五边形，正六边形中，只选择一种正多边形进行拼接，能够形成图形镶嵌的概率是______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题考查有关概率公式、镶嵌（密铺）的题目．若公共顶点上几个角的度数和正好等于，则已知图形可以密铺平面；否则不能密铺． 【详解】解：因为正三角形的每个内角为，所以可以进行拼接； 因为正四边形的每个内角为，所以可以进行拼接； 因为正五边形的每个内角为，不是整数，所以不能进行拼接； 因为正六边形中的每个内角为，所以可以进行拼接． 所以只选择一种正多边形进行拼接，能够镶嵌的概率是． 故答案为：． 22. 如图，在正方形中，，点是边上一点，且，连接，将沿折叠得到，与交于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形中的翻折问题，涉及正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．连接，过点作于点，延长交于点，先利用翻折中的垂直平分线性质和求出，得值，再利用等面积法求出，再求出，再利用，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，延长交于点， ∵四边形是正方形，， ∴，，，，， ∴， 由翻折知：垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：，， ∴， 由， 得：， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 23. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点和点的关联值如下：若，，在一条直线上；若，，不在一条直线上．已知点坐标为，点坐标为．若，，则点坐标为______；若点，不变，平面中任意一点满足，则满足条件的点的全体组成的图形面积为______． 【答案】 ①. 或； ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形以及坐标中的三角形面积，解题的关键是理解“关联值”的定义，数形结合．①由可得点在轴上，由得，根据三角形的面积公式即可求解；②设，由可得，满足条件的点的全体是一个菱形平面，据此解答即可判断． 【详解】解：①， 点在轴上， ， ， 设， ， 解得：， 点坐标为或； ②设， ， ，即， 整理可得：， 对于， 当，时，，与轴的交点为，与轴的交点为； 当，时，，与轴的交点为，与轴的交点为； 当，时，，与轴的交点为，与轴的交点为； 当，时，，与轴的交点为，与轴的交点为； 在同一坐标系中画出它们的图像如图： 满足条件的点的全体组成的图形面积为； 故答案为：或；． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 某超市用1200元购进一批甲玩具，用500元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元． （1）求甲、乙玩具的进货单价格是多少元？ （2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件，求该超市用不超过1400元最多可以采购甲玩具多少件？ 【答案】（1）甲玩具的进货单价是6元，乙玩具的进货单价是5元； （2）该超市最多采购甲玩具75件． 【解析】 【分析】（1）设乙玩具的进货单价是x元，则甲玩具的进货单价是元，根据“所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍”列出分式方程，解之即可； （2）设该超市采购甲玩具a件，根据“购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件”列出不等式，解之取其中的整数，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设乙玩具的进货单价是x元，则甲玩具的进货单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的根， （元）， 答：甲玩具的进货单价是6元，乙玩具的进货单价是5元； 【小问2详解】 解：设该超市采购甲玩具a件， 根据题意得：， 解得：， 答：该超市最多采购甲玩具75件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线相交于点，分别交坐标轴于点A、B、C、D，点P是线段CD延长线上的一个点，的面积为15． （1）求直线CD解析式和点P的坐标． （2）如图2，当点P为线段CD上的一个动点时，将BP绕点B逆时针旋转90º得到BQ，连接PQ与OQ，点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式，以及OQ的最小值． （3）在（1）的条件下，直线AB上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）最小值为；（3）存在；N点坐标为： 【解析】 【分析】（1）PBM的面积=，即可求解； （2）证明△BGP≌△QHB（AAS），求出点Q，当OQ⊥SR时，OQ最小，即可求解； （3）分BD为边、BD为对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式分别求解即可． 【详解】解：（1）将点M的坐标代入并解得：a=1，故点M（4，1）， 将点M的坐标代入y=kx-2并解得：， 故直线CD的表达式为：，则点D（0，-2）， △PBM的面积=S△BDM+S△BDP=， 解得：xP=-2，故点P； （2）如下图，分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足为G、H， 设点P， ∵∠HQB+∠HBQ=90°，∠HBQ+∠GBP=90°， ∴∠HQB=∠GBP，∠QHB=∠BGP=90°， BP=BQ， ∴△BGP≌△QHB（AAS）， ∴HQ=GB，HB=GP=m， 故HQ=BG=3-，OH=OB+BH=m+3， 故点Q， 令， 则，设该直线与坐标轴的交点分别为R、S，则R， 即， 当OQ⊥SR时，OQ最小， 则S△ORS=， 即， 解得：， 即OQ的最小值为． （3）设点F的坐标为，点N（a，b）， 由（1）知，点B、D的坐标分别为（0，3）、（0，-2），则BD=5， ①当BD是边时， 当点F在点N的上方时，则BD=BF，即，解得m= ， 则点F的坐标为或， 点N在点F的正下方5个单位，则点N或； 当点F在点N的上方时，则BD=DF，即52=m2，解得m=0（舍去）或4，同理可得，点N（4，6）； ②当BD是对角线时，则BD的中点即为NF的中点且BF=BN， 则，解得 ， 故点N的坐标为（-5，0.5）； 综上，点N的坐标为 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 26. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 【答案】 问题背景：证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，分别是，的中点 ∴， 即， ∴； 问题探究：证明：如图所示，取的中点，连接， ∵是的中点，是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵，是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴； 问题拓展： 【解析】 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证； 问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； 问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】问题背景：略 问题探究：略 问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∵，由（2） ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分 ∴，， 在中， ∴ 设，则 ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $