专题01 有理数（考题猜想，易错必刷27题10种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版2024）

专题01 有理数（易错必刷27题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 正数和负数 · 有理数的分类 · 用数轴上的点表示数 · 根据点在数轴的位置判断式子的正负 · 相反数 · 绝对值化简 · 绝对值的非负性 · 绝对值的几何意义 · 数轴上的动点问题 · 有理数的大小比较 一．正数和负数（共2小题） 1．（2024·江苏南通·中考真题）如果零上记作，那么零下记作（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·开学考试）大年三十，米米一家在家庭微信群里抢红包，米米抢到了35元，微信账单显示元，妈妈发出了一个66元的红包，那么妈妈的微信账单会显示 元，爸爸的微信账单显示元，表示 ． 二、有理数的分类（共2小题） 3．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）把下列各数分别填入相应的大括号里 ，，，，1，，0，，，，π， (1)有理数集合：{                              } (2)分数集合：{                                } (3)负数集合：{                                } (4)非负数集合：{                              } 4．（22-23七年级上·四川成都·阶段练习）把下列各数的序号填入相应的大括号内： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 正有理数集合：{_______________…}； 非负数集合：{_______________…}； 非正整数集合：{_______________…}； 分数集合：{_______________…}． 三、用数轴上的点表示数（共3小题） 5．（2024七年级上·全国·专题练习）将下面各有理数在数轴上表示出来：，，，． 6．（22-23七年级上·山东聊城·开学考试）画一条数轴，并在数轴上标出下列各数，，，，， 7．（22-23七年级上·四川成都·阶段练习）把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从大到小的顺序用“”连接起来． ，，，，，， 四、根据点在数轴的位置判断式子的正负（共3小题） 8．（23-24七年级上·北京西城·期末）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（21-22七年级下·甘肃武威·期中）已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（） A． B． C． D． 10．（2024六年级上·上海·专题练习）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ）      A． B． C． D． 五、相反数（共3小题） 11．（23-24七年级上·重庆渝北·阶段练习）下列各数互为相反数的是（ ） A．与 B．与 C．和 D．和 12．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数轴上，若，表示互为相反数的两个点，在的左边，并且这两点的距离为，则点所表示的数是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24六年级下·吉林长春·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 六、绝对值化简（共3小题） 14．（22-23七年级下·浙江·开学考试）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（   ） ； ； ； ． A．个 B．个 C．个 D．个 15．（23-24七年级上·云南昭通·期末）已知数位置如图所示，化简 ． 16．（22-23七年级上·四川成都·期中）已知有理数a、b、c在数轴上位置如图所示，化简：． 七、绝对值的非负性（共3小题） 17．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5 18．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）若，则的值一定是（    ） A．0 B．负数 C．非负数 D．非正数 19．（23-24七年级上·四川成都·期末）如果，那么的值为 ． 八、绝对值的几何意义（共2小题） 20．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； (4)求的最小值是 ． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数a，b满足，求的最小值为 ． 21．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是_________． (2)数轴上表示x与的两点之间的距离表示为__________． (3)若x表示数轴上的一个实数，且，则___________． (4)若x表示数轴上的一个实数，求最小值． 九、数轴上动点问题（共3小题） 22．（2024七年级上·全国·专题练习）若A、、为数轴上三点，若点到A的距离是点到的距离2倍，我们就称点是【A，】的好点．例如，如图1，点A表示的数为，点表示的数为2．表示1的点到点A的距离是2，到点的距离是1，那么点是【A，】的好点；又如，表示0的点到点A的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是【A，】的好点，但点是【，A】的好点． 知识运用：如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4． (1)数 所表示的点是【，】的好点； (2)如图3，A、为数轴上两点，点A所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当为何值时，、A和中恰有一个点为其余两点的好点？ 23．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，数轴上A、B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A、B分别到达M、N两点，且满足（k为正整数），我们称A、B两点完成了一次“准相向运动”． (1)A、B两点之间的距离为 (2)若A、B两点完成了一次“准相向运动”． ①当时，M、N两点表示的数分别为 ， ； ②当k为任意正整数时，求M、N两点表示的数（用含字母k的式子表示）． 24．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和的两点距离为________； 则的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是________； ②代数式的最小值是________； ③代数式的最小值是________． 十、有理数的大小比较（共3小题） 25．（2024·吉林长春·二模）在中，绝对值最小的数是（   ） A． B． C．0 D．4 26．（24-25七年级上·全国·单元测试）比较大小： ．（填“”“”或“”） 27．（2024七年级上·浙江·专题练习）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． $$专题01 有理数（易错必刷27题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 正数和负数 · 有理数的分类 · 用数轴上的点表示数 · 根据点在数轴的位置判断式子的正负 · 相反数 · 绝对值化简 · 绝对值的非负性 · 绝对值的几何意义 · 数轴上的动点问题 · 有理数的大小比较 一．正数和负数（共2小题） 1．（2024·江苏南通·中考真题）如果零上记作，那么零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解∶∵零上记作， ∴零下记作， 故选∶ A． 【点评】本题主要考查正负数的基本概念，掌握正负数的意义是本题解题关键 2．（24-25七年级上·江苏徐州·开学考试）大年三十，米米一家在家庭微信群里抢红包，米米抢到了35元，微信账单显示元，妈妈发出了一个66元的红包，那么妈妈的微信账单会显示 元，爸爸的微信账单显示元，表示 ． 【答案】 抢到了20元红包 【分析】本题考查了正数和负数，正负数来表示具有意义相反的两种量：负数表示发出红包，那么正数就表示抢到红包，再直接得出结论即可． 【详解】解：妈妈发出了一个66元的红包，那么妈妈的微信账单会显示元，爸爸的微信账单显示元，表示抢到了20元红包． 故答案为：，抢到了20元红包． 【点评】本题考查正负数的应用，理解正负数表示意义相反的量是本题解题关键。 二、有理数的分类（共2小题） 3．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）把下列各数分别填入相应的大括号里 ，，，，1，，0，，，，π， (1)有理数集合：{                              } (2)分数集合：{                                } (3)负数集合：{                                } (4)非负数集合：{                              } 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查有理数的分类；注意整数、0、正数之间的区别：0是整数但不是正数．根据有理数的定义及其分类可得． 【详解】（1）解：有理数集合：{，，，，1，，0，，，， }； （2）解：分数集合：{，，，，， }； （3）解：负数集合：{，，， }； （4）解：非负数集合：{，1，，0，，， }． 【点评】本题考查有理数的分类知识，明确正负数，分数，整数，有理数，非负数的定义为本题解题关键。 4．（22-23七年级上·四川成都·阶段练习）把下列各数的序号填入相应的大括号内： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 正有理数集合：{_______________…}； 非负数集合：{_______________…}； 非正整数集合：{_______________…}； 分数集合：{_______________…}． 【答案】 ； ； ； 【分析】本题考查了正有理数、非负数、非正整数、分数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正有理数、非负数、非正整数、分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】由，，，， 正有理数集合：{ …}； 非负数集合：{ …}； 非正整数集合：{ …}； 分数集合：{ …} 故答案为： ； ； ； ． 【点评】本题考查有理数的分类知识，明确正有理数、非负数、非正整数、分数为本题解题关键。 三、用数轴上的点表示数（共3小题） 5．（2024七年级上·全国·专题练习）将下面各有理数在数轴上表示出来：，，，． 【答案】见解析； 【分析】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，掌握数轴上表示数的方法是解题的关键． 根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数即可． 【详解】解：如图： 【点评】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，掌握数轴上表示数的方法是解题的关键 6．（22-23七年级上·山东聊城·开学考试）画一条数轴，并在数轴上标出下列各数，，，，， 【答案】作图见解析 【分析】本题考查数轴的画法，用数轴上的点表示有理数．先根据数轴的三要素画出数轴，再根据数轴上的点所对应的数标出来即可．掌握数轴的三要素，准确地画出数轴是解题的关键． 【详解】解：将数，，，，，在数轴上表示如图所示：    【点评】此题主要考查了数轴的画法，在数轴上表示数的方法，掌握数轴上表示数的方法是解题的关键 7．（22-23七年级上·四川成都·阶段练习）把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从大到小的顺序用“”连接起来． ，，，，，， 【答案】在数轴上表示见解析图，． 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数及利用数轴比较有理数的大小，根据在数轴表示有理数的方法表示出有理数，再根据数轴上点的特点即可比较大小，熟练掌握用数轴表示有理数的方法及数轴上点的特点是解题的关键． 【详解】解：，，， 在数轴上标出如图， ∴． 【点评】此题主要考查了在数轴上表示数、利用数轴比较有理数的大小的方法，掌握用数轴表示有理数的方法及数轴上点的特点是解题的关键 四、根据点在数轴的位置判断式子的正负（共3小题） 8．（23-24七年级上·北京西城·期末）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断各选项的正负，然后比较即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负和正确理解数轴的特点． 【详解】、根据数轴可知，此选项判断错误，不符合题意； 、根据数轴可知，，则，此选项判断错误，不符合题意； 、根据数轴可知，，则，此选项判断错误，不符合题意； 、根据数轴可知，，则，此选项判断正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查点在数轴上位置判断式子的正负，掌握结合数轴判断符号是本题解题关键。 9．（21-22七年级下·甘肃武威·期中）已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴．由图可知，，且，然后逐项判断即可． 【详解】解：由图可知，，且， A.，此项不符合题意； B.，此项符合题意； C.，此项不符合题意； D.，此项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查点在数轴上位置判断式子的正负，掌握结合数轴判断符号是本题解题关键。 10．（2024六年级上·上海·专题练习）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，从数轴得出，，据此判断即可．解决本题的关键是熟记数轴上右边的数大于左边的数． 【详解】解：由题意可知，，且， ∴，故选项A不合题意； ∴，故选项B合题意； ∴，故选项C不合题意； ∴，故选项D符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的大小比较、数轴上位置判断式子的正负，掌握结合数轴判断符号是本题解题关键。 五、相反数（共3小题） 11．（23-24七年级上·重庆渝北·阶段练习）下列各数互为相反数的是（ ） A．与 B．与 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查相反数的定义，根据有理数的乘法法则计算，然后逐项分析比较即可，掌握相反数的定义和运算法则是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴与不互为相反数，不符合题意； 、∵，， ∴与互为相反数，符合题意； 、， ∴和不互为相反数，不符合题意； 、和不互为相反数，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查相反数的定义，掌握相反数的定义和运算法则是解题的关键． 12．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数轴上，若，表示互为相反数的两个点，在的左边，并且这两点的距离为，则点所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的点及互为相反数、两点之间的距离的概念，由相反数的含义及两点之间距离的表示方法，点与点到原点的距离相等即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，表示互为相反数的两个点，两点的距离为， ∴点和点到原点的距离为， ∵在的左边， ∴点表示的数为， 故选：． 【点评】本题考查相反数的概念，结合数轴的知识，掌握基本知识是解题的关键。 13．（23-24六年级下·吉林长春·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据题意得到即可得到答案． 【详解】解：与互为相反数， ， 解得， 故答案为：． 【点评】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键。 六、绝对值化简（共3小题） 14．（22-23七年级下·浙江·开学考试）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（   ） ； ； ； ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负、根据数轴化简绝对值，从数轴上确定、、的符号和大小（绝对值大小）是解答本题的关键． 由数轴确定、、的符号和大小，根据绝对值的知识点进行辨别即可． 【详解】解：由题可知，，且， ，故不正确； ，，故不正确； ，故正确； ，故正确； 因此，正确的是，有个， 故选：B． 【点评】本题考查根据数轴化简绝对值，从数轴上确定几个点的绝对值大小以及符号为本题的解题关键。 15．（23-24七年级上·云南昭通·期末）已知数位置如图所示，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查绝对值的化简、数轴等知识点，要能根据数轴上点的位置确定各式子的符号是关键． 先根据数轴上a，b，c的位置确定的符号，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知：，则， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查绝对值的化简，，能在数轴上点确定式子的正负是本题的关键。 16．（22-23七年级上·四川成都·期中）已知有理数a、b、c在数轴上位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据数轴可以判断a、b、c的正负和绝对值的大小，从而可以化简题目中的式子． 【详解】解：根据数轴，得， ， ． 【点评】本题考查根据数轴对绝对值进行化简，能够结合已给的图，进行数形结合为关键。 七、绝对值的非负性（共3小题） 17．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5 【答案】D 【分析】先根据相反数的定义以及绝对值的定义求得a、b的值，再根据非负数的性质求得m、n的值，然后计算即可．掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解题的关键． 【详解】解：∵与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数， ∴， ∵， ∴或， 又∵，或，， ∴或， ∴或， ∴或， ∴的值为3或5． 故选：D． 【点评】本题考查相反数以及绝对值的非负性，对相关的性质熟练掌握是关键。 18．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）若，则的值一定是（    ） A．0 B．负数 C．非负数 D．非正数 【答案】D 【分析】根据绝对值的非负性即可得到答案． 【详解】解： ， 的值一定是非正数， 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 19．（23-24七年级上·四川成都·期末）如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求出、的值，再代入计算即可． 【详解】， ， ，， 解得，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了绝对值的非负性，掌握绝对值的这一性质并能熟练运用即可快速解题。 八、绝对值的几何意义（共2小题） 20．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； (4)求的最小值是 ． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数a，b满足，求的最小值为 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）由两点间距离直接求解即可； （2）根据绝对值的性质化简绝对值，在计算即可； （3）由两点距离的意义进行解得； （4）当时代数式的值最小，即可得到答案； （5）取最中间点即可； （6）在范围内，解方程便可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是； 数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； （2）解：， ； （3）解：表示数的点与表示数和的点的距离之和， 当位于和之间时，其距离之和最小， 故当取最小值时，相应的数a的取值范围是； （4）解：当时，取最小值， 原式； （5）解：点选在最中间时，距离总和最小， 故答案为：； （6）解： ， 当时， ， ， 数a，b满足，求的最小值为． 【点评】本题考查数轴，绝对值的几何意义，学生能理解绝对值能代表两点之间的距离这一几何意义为本题解题关键。 21．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是_________． (2)数轴上表示x与的两点之间的距离表示为__________． (3)若x表示数轴上的一个实数，且，则___________． (4)若x表示数轴上的一个实数，求最小值． 【答案】(1)3 (2) (3)3或 (4) 【分析】本题考查了绝对值的性质，关键掌握数轴上两点间距离的表示方法、理解绝对值的几何意义和绝对值非负的性质． （1）根据数轴上两点间的距离等于这两个数的差的绝对值列式计算即可得出结论； （2）根据数轴上两点的距离等于这两个数的差的绝对值列式即可得出结论； （3）根据绝对值的性质化简即可得出结论； （4）结合数轴，根据绝对值几何意义可得最小值． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：3； （2）解：数轴上表示x与的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）解：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，； 故答案为：3或； （4）解：表示x到点的点距离之和， 当时，的值最小是： ． 【点评】本题考查了绝对值的性质，理解绝对值表示两点之间的距离这一性质，是本题的解题关键。 九、数轴上动点问题（共3小题） 22．（2024七年级上·全国·专题练习）若A、、为数轴上三点，若点到A的距离是点到的距离2倍，我们就称点是【A，】的好点．例如，如图1，点A表示的数为，点表示的数为2．表示1的点到点A的距离是2，到点的距离是1，那么点是【A，】的好点；又如，表示0的点到点A的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是【A，】的好点，但点是【，A】的好点． 知识运用：如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4． (1)数 所表示的点是【，】的好点； (2)如图3，A、为数轴上两点，点A所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当为何值时，、A和中恰有一个点为其余两点的好点？ 【答案】(1)2或10 (2)秒或20秒或15秒 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题： （1）根据数轴求出两点距离，再根据新定义的概念求出结果，注意有两种情况； （2）分情况讨论，根据好点的定义可求出结果； 正确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：设点是【，】的好点， ， 当在、之间时， ， ， ， 表示的数为， 当在右边时， 设表示的数为， ， ， 故答案为：2或10； （2）解：当是【A，】好点时， 即， ， ； 当是【，A】好点时， 即， ， ； 当是【A，】好点时， 即， ， ， 当A是【，】好点时， 即， ， ； 综上所述，当秒或20秒或15秒时，、A和中恰有一个点为其余两点的好点． 【点评】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，分类讨论并且能理解新定义是本题解题关键。 23．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，数轴上A、B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A、B分别到达M、N两点，且满足（k为正整数），我们称A、B两点完成了一次“准相向运动”． (1)A、B两点之间的距离为 (2)若A、B两点完成了一次“准相向运动”． ①当时，M、N两点表示的数分别为 ， ； ②当k为任意正整数时，求M、N两点表示的数（用含字母k的式子表示）． 【答案】(1)4； (2)①5，；②，． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，数轴上的点表示有理数，根据题意得出是解题关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解； （2）①由题意可知，，再根据两点间距离公式，得出，即可得出答案； ②同①理可得，，进而得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：A、B两点表示的数分别是和3， 之间的距离为， 故答案为：4； （2）解：① 当时，， 两点在数轴上以相同的速度同时相向运动， ， ，， ， ， 表示的数为，N表示的数为， 故答案为：5；； ②同①理可得，， ， ， M点表示的数为，N点表示的数为． 【点评】本题考查数轴上的两点距离，动点问题，理解题意得出相应关系是本题的关键。 24．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和的两点距离为________； 则的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是________； ②代数式的最小值是________； ③代数式的最小值是________． 【答案】探索材料1（填空）：，6，，，． 探索材料2（填空）：：与之间，处，之间 结论应用（填空）：，， 【分析】本题考查数轴上两点间的距离的意义，绝对值化简，通过数形结合，分别得到数轴上有2个点，3个点，4个点时，动点在什么位置，到这几个点的距离之和最小，并会求最小的距离之和是解决本题的关键． 探索材料1（填空）：按照化简绝对值的求法即可得到数3和的两点距离；将化为，将化为，再根据数轴上两点间的距离的意义可知其表示哪两个点之间的距离； 探索材料2（填空）： ①通过观察，比较可得点P设在与之间时，可P到A的距离与P到B的距离之和最小，为线段长； ②通过观察，比较可得点P应设在处时，P到A，B，C三点的距离之和最小，为线段的长； ③通过观察，比较可得点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小，为的长； 结论应用（填空）： ①结合（2）中的①，可得最小距离为4和之间的距离； ②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离； ③结合（2）中的③，可得最小距离为和5，和2的距离之和． 【详解】解：探索材料1（填空）： ， 的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离； 故答案为：，6，，，． 探索材料2（填空）： ①由题知， 材料供应点P应设在的左侧时，P到A的距离与P到B的距离之和； 材料供应点P应设在B的右侧时，P到A的距离与P到B的距离之和； 材料供应点P应设在与之间，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小为； ②材料供应点P应设在处时，P到A，B，C三点的距离之和为最小； ③材料供应点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和为最小； 故答案为：与之间，处，之间． 结论应用（填空）： ①代数式表示x到的距离与x到的距离之和， 的最小值是； ②代数式表示x到的距离与x到与x到的距离之和， 的最小值是； ③代数式表示x到的距离与x到与x到与x到的距离之和， 的最小值是． 故答案为：，，． 【点评】本题考查数轴上两点间的距离的意义，绝对值化简等知识，数形结合，分类讨论等思想是本题的解题关键。 十、有理数的大小比较（共3小题） 25．（2024·吉林长春·二模）在中，绝对值最小的数是（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】先计算绝对值，再比较大小即可． 本题考查了有理数的大小比较，绝对值大计算，熟练掌握绝对值的计算是解题的关键． 【详解】根据题意，得，且， 故绝对值最小的数是0， 故选C． 【点评】本题考查有理数的大小比较，绝对值的相关概念，掌握相应基础知识是本题的解题关键。 26．（24-25七年级上·全国·单元测试）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较有理数大小，掌握有理数的大小比较方法是解决问题的关键．根据两个负数，绝对值大的反而小，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的大小比较，掌握负分数的大小比较是本题的关键。 27．（2024七年级上·浙江·专题练习）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． （1）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可； （2）先化简，再根据正数大于负数即可得出比较结果； （3）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可； （4）先化简这两个数，然后根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， 又∵， ∴； （4）解：，， ∵，， 又∵， ∴， 即． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键。 $$