8.2 函数与数学模型6题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 8.2 函数与数学模型6题型分类 知识点1 几种常见的函数模型 1、一次函数模型：（，为常数，） 2、二次函数模型：（为常数，） 3、指数函数模型：（为常数，，且） 4、对数函数模型：（为常数，，且） 5、幂函数模型：（为常数，） 6、分段函数模型： 知识点2 解答应用问题的基本思想和步骤 1、解应用题的基本思想 2、解答函数应用题的基本步骤 求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． 第二步：建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求． 第三步：求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果． 第四步：还原 把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景． 上述四步可概括为以下流程： 实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）． 3、解答函数应用题应注意的问题 首先，要认真阅读理解材料．应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感．阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它． 其次，建立函数关系．根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系． 其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键．在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分．这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可．反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率． （一） 1、一次函数模型的应用 利用一次函数求最值，常转化为求解不等式（或）．解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． 2、二次函数模型的应用 构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意自变量的取值范围． 题型1：一次函数与二次函数模型的应用 1-1．（2024高二上·河南·阶段练习）某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元． (1)写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利； (2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理； 问哪种方案较为合理？并说明理由． 1-2．（2024·全国）以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图）．已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？最大面积是多少？ 1-3．（2024高二上·全国·专题练习）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，处理成本 (单位：万元)与处理量 (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为，，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品． (1)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？ (2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？ （二） 1、分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． 2、分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集． 3、分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论． 题型2：分段与分式函数模型的应用 2-1．（2024高二下·江苏宿迁·期中）小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元），在年产量不小于8万件时，（万元），每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润=年销售收入－固定成本－流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 2-2．（2024高三·全国·专题练习）已知某公司生产某款产品的年固定成本为40万元，每生产1件产品还需另外投入16万元，设该公司一年内共生产万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为万元，且已知 (1)求利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式： (2)当年产量为多少万件时？公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，并求出最大利润. 2-3．（2024高二下·江西南昌·期末）民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业合作社为某品牌服装进行代加工，已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元，每代加工万件该品牌服装，需另投入万元，且根据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每代加工一件服装，可获得12元的代加工费. (1)求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润y（单位：万元）关于年代加工量x（单位：万件）的函数解析式. (2)当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大?并求出年利润的最大值. 2-4．（2024高一上·江苏无锡·阶段练习）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，．每件产品售价为6元．假设小王生产的商品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）； (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ （三） 1、涉及平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为（其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间）的形式． 2、在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型． 题型3：指数、对数、幂函数模型的应用 3-1．（2024高二下·河南·阶段练习）研究发现，放射性元素在一定时间内会通过核衰变过程转换成其他元素，放射性水平随着时间的推移而呈指数级下降，已知放射性元素在t时刻的放射性水平满足关系式，其中是初始水平，k为常数． (1)若放射性元素X在时的放射性水平是时的，求k的值； (2)设表示放射性元素的放射速率，当放射速率低于时，该元素的放射性水平趋于“绝零”，求使得（1）中放射性元素X的放射性水平趋于“绝零”的最小整数t．（参考数据：） 3-2．（2024高二上·全国·课后作业）某城市2007年底人口为500万，人均住房面积为，到2017年底该市的人均住房面积翻了一番．假定该市人口的年平均增长率为1％，求这10年中该市每年新增住房的平均面积（精确到）． 3-3．（2024高一上·上海奉贤·期末）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（    ）倍． A．10 B．100 C．1.2 D．12 3-4．（2024高一上·河南·阶段练习）今年10月份，自然资源部联合国家林业和草原局向社会公布贡嘎山等9座山峰高程数据，其中狮子王高程数据为，夏诺多吉高程数据为．已知大气压强p（单位：）随高度h（单位：m）的变化满足关系式是海平面大气压强，，记夏诺多吉山峰峰顶的大气压强为，狮子王山峰峰顶的大气压强为，则（    ） A． B． C． D． 3-5．（2024高一上·湖南长沙·阶段练习）中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是，则，其中表示环境温度，表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1，参考数据，）（    ） A． B． C． D． 3-6．（2024高一上·安徽黄山·期末）近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就. 2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师”太空，12月4日晚神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲安全顺利出舱，圆满完成飞行任务. 据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭(除推进剂外)的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知型火箭的喷流相对速度为. (1)当总质比为时，利用给出的参考数据求型火箭的最大速度； (2)经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值. （参考数据:，，） 3-7．（2024高三上·陕西榆林·阶段练习）我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（    ）参考数据： A．2024年 B．2023年 C．2026年 D．2025年 （四） 在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型． 题型4：拟合函数模型的应用问题 4-1．（2024高三上·陕西安康·阶段练习）某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示： 时间月 1 2 3 4 浮萍的面积 3 5 9 17 现有以下三种函数模型可供选择：①，②，③，其中均为常数，且. (1)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式； (2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到所经过的时间分别为，写出一种满足的等量关系式，并说明理由. 4-2．（2024高一上·山西太原·阶段练习）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林，假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年． （1）求森林面积的年增长率； （2）为使森林面积达到亩至少需要植树造林多少年？（结果精确到1年） （参考数据：，） 4-3．（2024高二下·四川绵阳·期末）为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为，浮萍覆盖面积（单位：）与2022年的月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若2021年年终测得浮萍覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过？（参考数据：） 4-4．（2024高一上·四川成都·期末）科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是，2秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积y与时间x（单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①，②，其中m，b均为常数． (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒． （五） 应用函数模型解决问题的基本过程 （1）审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． （2）建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． （3）求模——求解数学模型，得出数学模型． （4）还原——将数学结论还原为实际问题． 题型5：根据实际问题的增长率选择合适的函数模型 5-1．（2024高一上·安徽宿州·期末）有一组实验数据如下 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最佳的一个是（    ） A． B． C． D． 5-2．（2024高一·全国·课后作业）某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x（年）的函数关系较为近似的是（    ） A．y＝0.2x B．y＝（x2＋2x） C．y＝ D．y＝0.2＋log16x 5-3．（2024高一上·山西临汾·期中）在一次物理实验中某同学测量获得如下数据： 1 2 3 4 5 5.380 11.232 20.184 34.356 53.482 下列所给函数模型较适合的是（    ） A． B． C． D． 5-4．（2024高一上·四川·阶段练习）某初创公司自创立以来，部分年份的年利润列表如下： 年份 2 3 4 5 年利润（千万元） 1.50 2.25 3.38 5.06 现有以下模型描述该年利润（单位：千万元）随年份的变化关系：①，②.试从这两个函数模型中选择合适的函数模型，并利用该模型预计公司的年利润首次超过10亿元的年份为（    ） （参考数据，） A．10 B．11 C．12 D．13 题型6：指对幂函数的增长差异 6-1．（2024高一·江苏·课后作业）利用计算器，分别计算当，2，3，…，10时，函数，及的值，并分析判断：当x无限增大时，这3个函数中哪个函数的增长更快些. 6-2．（2024高一下·浙江台州·期末）函数与函数在区间上增长速度较快的一个是 . 6-3．（2024高一上·北京丰台·期中）甲、乙、丙三个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，有以下结论： ① 当时，乙总走在最前面； ② 当时，丙走在最前面；当时，丙走在最后面； ③ 如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲. 其中所有正确结论的序号是 ． 一、单选题 1．（2024高二下·陕西咸阳·期中）一组关于的观测数据通过的转换数据对应关系如表所示： 1 2 3 4 5 1 3.1 4.9 7.1 8.8 则y与t近似满足这些数据的函数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·福建泉州·期末）对于下表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是（    ） 1 2 3 3 5.99 12.01 A． B． C． D． 3．（2024高三·河南许昌·阶段练习）某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： 对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二下·陕西咸阳·期中）某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠面积增加数（万公顷）关于年数（年）的函数关系较为接近的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一上·广东佛山·期中）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据约为（）（    ） A．1.59 B．1.28 C．0.63 D．0.58 6．（2024高一上·广东茂名·阶段练习）日本政府不顾国内外的质疑和反对，单方面决定以排海的方式处置福岛核电站事故的核污水，这种极不负责任的做法将严重损害国际公共健康安全和周边国家人民的切身利益．福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．已知经过125年的质量衰减为最初的，则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间为（    ） A．250 B．375 C．500 D．1000 7．（2024高一上·全国·单元测试）今有一组实验数据如下表所示，则体现这些数据关系的最佳函数模型是（    ） 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 1.5 4.04 7.5 12 18.01 A． B． C． D． 8．（2024高一上·福建泉州·期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 若某户居民本月交纳的水费为元，则此户居民本月用水量为（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一上·辽宁大连·阶段练习）为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（参考数据：，）（    ） A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年 10．（2024高一上·山东菏泽·期中）核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为（    ） A．16小时 B．11小时 C．9小时 D．7小时 11．（2024高三上·江苏徐州·阶段练习）据国家航天局表明，神舟十六号载人飞船将在今年11月左右返回地球．在返程过程中飞船与大气摩擦产生摩擦力f，经研究发现摩擦力f与飞船速度v有关，且满足，其中G为飞船重力，为飞船初速度．已知当时，飞船将达到平衡状态，开始匀速运动，则飞船达到平衡状态时，（    ）（） A． B． C． D． 12．（2024高一上·浙江宁波·期中）某家医院成为病毒检测定点医院，在开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（，为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，那么可得到第36天检测过程平均耗时约为（    ） A．6小时 B．7小时 C．9小时 D．5小时 13．（2024高一上·北京·期中）某机构对一种病毒在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用表示经过的单位时间数，用表示病毒感染人数，得到的观测数据如下： 1 2 3 4 5 6 … （人数） … 6 … 36 … 216 … 若与的关系有两个函数模型可供选择：①；②.若经过个单位时间，该病毒的感染人数不少于1万人，则的最小值为（   ）（参考数据：，，，） A．9 B．10 C．11 D．12 14．（2024高一上·江苏南京·期中）一种药在病人血液中的量保持在以上时才有疗效，而低于时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，以保证疗效，那么下次给病人注射这种药的时间最迟大约是（参考数据：）（    ） A．5小时后 B．7小时后 C．9小时后 D．11小时后 15．（2024高二下·吉林长春·期末）近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增长率为，第2月的口罩月消耗量增长率为，这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为，则以下关系正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（2024高三上·北京通州·阶段练习）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（    ） A． B． C． D．3 17．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），若学校图书规定：在阅览室内，声强级不能超过40dB，则最大声强为（    ） A． B． C． D． 18．（2024高一上·江苏·专题练习）今有一组实验数据如下： 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 19．（2024高一上·吉林长春·阶段练习）设矩形的周长为，将沿向折叠，折过去后交于点.设，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．设，则与的关系是 C．的面积与的关系是 D．当的面积最大时，矩形的面积为 20．（2024高一上·贵州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数与的图象关于轴对称. B．函数与的图象关于对称. C．，当时，恒有. D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上. 21．（2024高一上·辽宁辽阳·期中）某商家为了提高一等品M的销售额，对一等品M进行分类销售．据统计，该商家有200件一等品M，产品单价为元．现计划将这200件一等品分为两类：精品和优品．其中优品x件（，），分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%，优品的单价调整为元（），因市场需求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不低于分类前一等品M的单价，且精品的总销售额不低于优品的总销售额，则n的值可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 22．（2024高一上·浙江宁波·期中）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系（，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（    ） A．且 B．在10℃的保鲜时间是60小时 C．要使得保鲜时间不少于15小时，则储存温度不低于30℃ D．在零下2℃的保鲜时间将超过150小时 三、填空题 23．（2024高一·全国·课后作业）下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是 . ①；②；③；④ 24．（2024高一上·全国·课后作业）某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，则报刊亭摊主应该每天从报社买进 份报纸，才能使每月所获利润最大. 25．（2024高一上·全国·课后作业）有关数据显示中国快递行业产生的包装垃圾在2020年约为400万吨，2021年的年增长率为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 年开始，快递行业产生的包装垃圾超过万吨．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1). 26．（2024高一上·全国·阶段练习）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：m2）与时间（单位：月）的关系为．关于下列说法正确的是 ． ①浮萍的面积每月的增长率为； ②浮萍每月增加的面积都相等； ③第4个月时，浮萍面积不超过80m2； ④若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是，则．    27．（2024高一上·北京大兴·期中）某商贸公司售卖某种水果，经过市场调研可知：未来20天内，这种水果每箱的销售利润r（单位：元）与时间t（，单位：天）之间的函数关系式为，且日销售量y（单位：箱）与时间t之间的函数关系式为.在未来这20天中，公司决定每销售1箱该水果就捐赠元给“精准扶贫”对象.为保证销售积极性，要求捐赠之后每天都能盈利，且获得的利润随时间t的增大而增大，则m的取值范围是 . 四、解答题 28．（2024高一·全国·专题练习）已知函数y＝f(x)是函数y＝的反函数． (1)求y＝f(x)的解析式； (2)若x∈(0，＋∞)，试分别写出使不等式： ①； ②成立的自变量x的取值范围． 29．（2024高一·湖南·课后作业）在同一直角坐标系内分别作出下列各组函数的草图，比较它们在范围内增长的快慢． (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 30．（2024高一上·吉林通化·期中）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为正实数）．该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示： 第天 10 20 25 30 个 110 120 125 120 已知第10天该商品的日销售收入为121元. (1)求的值； (2)给出以下两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式； (3)在（2）的情况下，求该商品的日销售收入（元）的最小值． 31．（2024高一下·广东河源·阶段练习）某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资的单位均为万元）．    (1)分别求，两种产品的利润关于投资的函数解析式． (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入，两种产品的生产． ①若平均投入两种产品的生产，可获得多少利润？ ②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？ 32．（2024高一上·海南省直辖县级单位·期中）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一套机器人，包括三个：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.某公益团队计划举办杭州亚运会吉祥物的展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.已知每套吉祥物的进价为元，其中与进货量成反比，当进货1万套时，为9元，据市场调查，当每套吉祥物的售价定为元时，销售量可达到万套，若展销的其他费用为1万元，且所有进货都销售完. (1)每套吉祥物售价定为70元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)当为多少时，每套吉祥物的净利润最大？ 33．（2024高一上·天津宁河·阶段练习）2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本） (1)求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式. (2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 34．（2024高一上·浙江丽水·期末）某厂家为增加某种商品的销售量，决定投入广告据市场调查，广告投入费用（单位：万元）与增加的销售量（单位：千件）满足下列数据： 增加的销售量 0 1 2 4 5 广告投入费用 0.000 0.452 0.816 1.328 1.500 为了描述广告投入费用与增加的销售量的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，，， (1)选出你认为最符合题意的函数模型，并说明理由； (2)根据你选择的函数模型，求出相应的函数解析式；你认为增加的销售量为多少时，每千件的广告投入费用最少？ 35．（2024高二·全国·课后作业）几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20000元.假设该产品的月销售量t（件）与销售价格x（元/件）（）之间满足如下关系：①当时，；②当时，.记该店月利润为M（元），月利润=月销售总额-月总成本. (1)求M关于销售价格x的函数关系式； (2)求该打印店的最大月利润及此时产品的销售价格. 36．（2024高一上·山西·期中）杭州第19届亚运会，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办．某款亚运会周边产品深受大家喜爱，供不应求，某工厂日夜加班生产该款产品．生产该款产品的固定成本为4万元，每生产万件，需另投入成本万元．当产量不足6万件时，；当产量不小于6万件时，．若该款产品的售价为6元/件，通过市场分析，该工厂生产的该款产品可以全部销售完． (1)求该款产品销售利润（万元）关于产量（万件）的函数关系式； (2)当产量为多少万件时，该工厂在生产中所获得利润最大？ 37．（2024高一上·浙江杭州·期中）中国“一带一路”战略提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足台时，（万元）；当年产量不少于台时（万元）若每台设备的售价为万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完． (1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； (2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中获利最大？ 38．（湖北省孝感市2023-2024学年高一上学期期中模拟数学试题）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理､施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）． (1)求单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式； (2)当施用肥料的成本投入为多少元时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 39．（2024高一上·江苏苏州·期中）某单位打算投资研发生产两种文创产品.经过调查，投资A产品的年收益与投资额成正比，其关系如图①，投资B产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图②.（注:收益与投资额单位:万元）.    (1)分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系； (2)该单位现有100万元资金，全部用于两种产品的研发投资，问:怎样分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元? 40．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款高科技设备．通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，假设该企业一年生产x千台设备，且每生产一千台设备，需另投入成本万元，，由市场调研知，该设备每台售价1万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完． (1)求该企业一年的利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当年产量为多少（千台）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 41．（2024高一上·四川内江·期中）2023年10月18日，内江高新区举行乡村振兴产业推介会暨项目集中签约仪式，现场签约农业产业项目14个，涵盖种苗繁育、粮油加工、中药材种植、特色水产等优质产业.为响应国家“乡村振兴”号召，小李决定返乡创业，承包老家的土地发展生态农业．小李承包的土地需要投入固定成本万元，且后续的其他成本总额（单位：万元）与前年的关系式近似满足．已知小李第一年的其他成本为万元，前两年的其他成本总额为万元，每年的总收入均为万元． (1)小李承包的土地到第几年开始盈利？ (2)求小李承包的土地的年平均利润的最大值． 42．（2024高一下·福建福州·期中）疫情后全国各地纷纷布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足为常数，且，日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如表所示： （天 1 14 18 22 26 30 122 135 139 143 139 135 (1)给出以下四个函数模型： ①；②；③；④． 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)已知第1天的日销售收入为244元．设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值． 43．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场.根据市场调研情况，预计每枚纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下表. 上市时间/天 2 6 32 市场价/元 148 60 73 (1)根据上表数据，从①，②，③中选取一个恰当的函数描述每枚纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系（无需说明理由），并求出该函数的解析式； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价. 44．（2024高一上·浙江台州·期末）某工厂需要制作1200套桌椅（每套桌椅由1张桌子和2张椅子组成）．工厂准备安排100个工人来完成，现将这100个工人分成两组，一组只制作桌子，另一组只制作椅子．已知每张桌子和每张椅子制作的工程量分别为7人1天和2人1天若两组同时开工，问如何安排两组人数才能使得工期最短？ 45．（2024高一·全国·随堂练习）试根据下面的“某水库蓄水量与水深的对照表”，分析水库的蓄水量y（单位：m3）随水深x（单位：m）变化的趋势，并用图象表示出来，据此估计蓄水量为2000000 m3时的水深． 水深/m 0 5 10 15 20 25 30 35 蓄水量/ m3 0 200000 400000 900000 1600000 2750000 4375000 6500000 46．（广东省深圳大学附属实验中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题）某家庭进行网上理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）. (1)分别写出两种产品的年收益与投资的函数关系式； (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？ 47．（2024高一上·福建漳州·期中）购买某种机器时可同时购买维修服务，购买次维修服务的总费用为元，．购买1次维修服务的总费用为150元，购买2次维修服务的总费用为250元，当时，的图象上所有点都在同一条直线上；当时，的图象上所有点都在函数的图象上． (1)求的解析式； (2)问：购买几次维修服务能使平均每次的维修费用最少？ 48．（2024高一上·四川成都·期中）某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式．设年产量为台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为万元．每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完． (1)写出年利润W（万元）关于年产量x（台）的关系式； (2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？ 49．（2024高二下·广东·期末）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数.当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年. (1)当时，求函数关于的函数表达式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值. 50．（2024高二·江苏·课后作业）已知某养猪场的固定成本是20000元，每年最大规模的养殖量为600头，且每养1头猪，成本增加100元，养x头猪的收益函数为，记，分别为养x头猪的成本函数和利润函数． (1)分别求，的表达式； (2)当x取何值时，最大？ 51．（2024高二上·安徽阜阳·期中）某化学试剂厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是万元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求的取值范围； (2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润. 52．（2024高一下·安徽芜湖·期中）塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委､生态环境部等9部门联合印发《关于扎实推进塑料污染治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，将禁用不可降解的塑料袋､塑料餐具及一次性塑料吸管等.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数，已知分子聚态结构系数是光解系数的90倍.（参考数据：） (1)塑料自然降解，残留量为初始量的，大约需要多久？ (2)为了缩短降解时间，该塑料改进工艺，改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的，则残留量不足初始量的，至少需要多久？（精确到年） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 8.2 函数与数学模型6题型分类 知识点1 几种常见的函数模型 1、一次函数模型：（，为常数，） 2、二次函数模型：（为常数，） 3、指数函数模型：（为常数，，且） 4、对数函数模型：（为常数，，且） 5、幂函数模型：（为常数，） 6、分段函数模型： 知识点2 解答应用问题的基本思想和步骤 1、解应用题的基本思想 2、解答函数应用题的基本步骤 求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． 第二步：建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求． 第三步：求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果． 第四步：还原 把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景． 上述四步可概括为以下流程： 实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）． 3、解答函数应用题应注意的问题 首先，要认真阅读理解材料．应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感．阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它． 其次，建立函数关系．根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系． 其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键．在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分．这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可．反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率． （一） 1、一次函数模型的应用 利用一次函数求最值，常转化为求解不等式（或）．解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． 2、二次函数模型的应用 构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意自变量的取值范围． 题型1：一次函数与二次函数模型的应用 1-1．（2024高二上·河南·阶段练习）某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元． (1)写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利； (2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理； 问哪种方案较为合理？并说明理由． 【答案】(1)，该设备从第2年开始实现总盈利； (2)方案二更合适，理由见解析. 【分析】（1）根据题意，直接求得，令，结合的取值范围，即可求得结果； （2）分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断. 【详解】（1）由题意可得， 由得，又，所以该设备从第2年开始实现总盈利． （2）方案二更合理，理由如下： 方案一：由（1）知，总盈利额， 当时，取得最大值160， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：由（1）可得， 平均盈利额为 ， 当且仅当，即时等号成立； 即时，平均盈利额最大，此时， 此时处理掉设备，总利润为万元． 综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适． 1-2．（2024·全国）以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图）．已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】长为，宽为时，面积最大. 【分析】设长方形场地的宽为，则长为，表示出面积，配方可求得最值. 【详解】设长方形场地的宽为，则长为， 它的面积， 当宽时，这块长方形场地的面积最大， 这时，最大面积为. 答：这块场地的长为，宽为时，面积最大，最大为. 1-3．（2024高二上·全国·专题练习）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，处理成本 (单位：万元)与处理量 (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为，，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品． (1)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？ (2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？ 【答案】(1)国家至少需要补贴万元，该工厂才不会亏损； (2)处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少. 【分析】（1）求二次函数最大值即可判断； （2）根据基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）当时，设该工厂获利为， 则， 所以当时，， 因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴万元，该工厂才不会亏损． （2）二氧化碳的平均处理成本， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 故取得最小值为， 所以当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少． （二） 1、分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． 2、分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集． 3、分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论． 题型2：分段与分式函数模型的应用 2-1．（2024高二下·江苏宿迁·期中）小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元），在年产量不小于8万件时，（万元），每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润=年销售收入－固定成本－流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为10万件时，所获利润最大，最大利润是16万元． 【分析】（1）根据题意分和求出利润，得利润的分段函数； （2）分别利用二次函数及基本不等式求最值，比较大小可得函数的最大值. 【详解】（1）因为每件产品售价为5元，则（万件）商品销售收入为万元，依题意当时，； 当时，． 所以. （2）当时，， 此时，当时，取得最大值10； 当时，， 此时，当且仅当，即时，取得最大值16． 因为，所以年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是16万元． 2-2．（2024高三·全国·专题练习）已知某公司生产某款产品的年固定成本为40万元，每生产1件产品还需另外投入16万元，设该公司一年内共生产万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为万元，且已知 (1)求利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式： (2)当年产量为多少万件时？公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，并求出最大利润. 【答案】(1)； (2)当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元. 【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，分两种情况讨论得到分段函数的解析式； （2）求出分段函数的每一段的最大值，再比较最大值即得解. 【详解】（1）由题得利润等于收入减去成本. 当时，； 当时，. （2）当时，时，； 当时，， 当且仅当，即时，， 时，的最大值为6104万元， 即当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元. 2-3．（2024高二下·江西南昌·期末）民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业合作社为某品牌服装进行代加工，已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元，每代加工万件该品牌服装，需另投入万元，且根据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每代加工一件服装，可获得12元的代加工费. (1)求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润y（单位：万元）关于年代加工量x（单位：万件）的函数解析式. (2)当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大?并求出年利润的最大值. 【答案】(1) (2)当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大，最大值为25万元 【分析】（1）根据利润与成本之间的关系，即可结合的表达式求解， （2）根据二次函数以及不等式求解最值，由分段函数的性质即可求解最大值. 【详解】（1）当时，；       当时，.   故 （2）当时，函数为开口向下的二次函数，且对称轴为直线 所以在上单调递增，    故（万元）；      当时，，     当且仅当，即时，等号成立.    即当时，（万元）.       因为，所以当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大，最大值为25万元. 2-4．（2024高一上·江苏无锡·阶段练习）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，．每件产品售价为6元．假设小王生产的商品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）； (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当时，取得最大值15（万元） 【分析】根据年利润＝销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分和当两种情况得到的分段函数关系式；(2）当时根据二次函数求最大值的方法来求利润最大值，当时，利用基本不等式来求的最大值，最后综合即可． 【详解】（1）因为每件产品售价为6元，则x（万件）商品销售收入为万元， 依题：当时， 当时，， 所以； （2）当时，， 此时，当时，取得最大值（万元）； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取得最大值15（万元）， 因为，所以当产量为10（万件）时，利润最大，为15万元. （三） 1、涉及平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为（其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间）的形式． 2、在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型． 题型3：指数、对数、幂函数模型的应用 3-1．（2024高二下·河南·阶段练习）研究发现，放射性元素在一定时间内会通过核衰变过程转换成其他元素，放射性水平随着时间的推移而呈指数级下降，已知放射性元素在t时刻的放射性水平满足关系式，其中是初始水平，k为常数． (1)若放射性元素X在时的放射性水平是时的，求k的值； (2)设表示放射性元素的放射速率，当放射速率低于时，该元素的放射性水平趋于“绝零”，求使得（1）中放射性元素X的放射性水平趋于“绝零”的最小整数t．（参考数据：） 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题可列出方程，利用指数式对数式互化即得； （2）由题可得，进而可得，即得. 【详解】（1）由题可知，，． 因为，所以， 所以即． （2）由（1）可知，， 由，得， 即． 因为， 所以， 所以所求的最小整数． 3-2．（2024高二上·全国·课后作业）某城市2007年底人口为500万，人均住房面积为，到2017年底该市的人均住房面积翻了一番．假定该市人口的年平均增长率为1％，求这10年中该市每年新增住房的平均面积（精确到）． 【答案】877万平方米. 【分析】根据人口数和人均住房面积求出住房总面积即可. 【详解】2007年住房总面积为：万平方米， 2017年该市的人口为：万， 2017年住房总面积为：万平方米， 则10年中该市每年新增住房的平均面积： 万平方米. 3-3．（2024高一上·上海奉贤·期末）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（    ）倍． A．10 B．100 C．1.2 D．12 【答案】A 【分析】根据题意，得到可得，两式相减得，即可求解. 【详解】由题意知，声强级是表示声强度相对大小的指标值的定义为， 可得， 两式相减得， 即，解得， 所以声强级为dB时的声强度是声强级为dB时的声强度的倍． 故选：A. 3-4．（2024高一上·河南·阶段练习）今年10月份，自然资源部联合国家林业和草原局向社会公布贡嘎山等9座山峰高程数据，其中狮子王高程数据为，夏诺多吉高程数据为．已知大气压强p（单位：）随高度h（单位：m）的变化满足关系式是海平面大气压强，，记夏诺多吉山峰峰顶的大气压强为，狮子王山峰峰顶的大气压强为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件列出方程，结合对数的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】由条件可得，两式相减可得， 即. 故选：A 3-5．（2024高一上·湖南长沙·阶段练习）中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是，则，其中表示环境温度，表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1，参考数据，）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件列出关于，的方程组可得答案. 【详解】由题意可得方程组： ，由①式化简可得：，代入②式， 所以， 大约需要放置能达到最佳饮用口感． 故选：A． 3-6．（2024高一上·安徽黄山·期末）近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就. 2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师”太空，12月4日晚神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲安全顺利出舱，圆满完成飞行任务. 据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭(除推进剂外)的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知型火箭的喷流相对速度为. (1)当总质比为时，利用给出的参考数据求型火箭的最大速度； (2)经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值. （参考数据:，，） 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）由，代入已知公式即可求解； （2）设材料更新和技术改进前总质量比为，列出不等式，解不等式即可. 【详解】（1）由已知可得 . （2）设在材料更新和技术改进前总质比为，且，， 若要使火箭的最大速度至少增加，所以， 即，， 所以，解得， 因为，所以， 所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为. 3-7．（2024高三上·陕西榆林·阶段练习）我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（    ）参考数据： A．2024年 B．2023年 C．2026年 D．2025年 【答案】C 【分析】根据指数函数模型列不等式求解． 【详解】依题意，第n时投入资金为亿元， 设2020年后第n年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元， 则,得， 两边同取常用对数，得，所以， 所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元. 故选：C． （四） 在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型． 题型4：拟合函数模型的应用问题 4-1．（2024高三上·陕西安康·阶段练习）某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示： 时间月 1 2 3 4 浮萍的面积 3 5 9 17 现有以下三种函数模型可供选择：①，②，③，其中均为常数，且. (1)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式； (2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到所经过的时间分别为，写出一种满足的等量关系式，并说明理由. 【答案】(1)模型②， (2)，理由见解析 【分析】（1）根据表格数据选择函数模型，然后求解析式； （2）根据指数幂运算公式计算. 【详解】（1）应选择函数模型②. 依题意，得， 解得， 所以关于的函数解析式为. （2）. 理由：依题意，得，，， 所以，，， 所以， 所以， 所以. 4-2．（2024高一上·山西太原·阶段练习）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林，假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年． （1）求森林面积的年增长率； （2）为使森林面积达到亩至少需要植树造林多少年？（结果精确到1年） （参考数据：，） 【答案】（1）；（2）至少需要植树造林年． 【分析】（1）本题可设年增长率为，根据题意得出，通过计算即可得出结果； （2）本题可设至少需要植树年，然后列出方程，通过计算即可得出结果. 【详解】（1）设年增长率为， 则，，，. （2）设至少需要植树年， 则，， 即，，， 故至少需要植树造林年. 4-3．（2024高二下·四川绵阳·期末）为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为，浮萍覆盖面积（单位：）与2022年的月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若2021年年终测得浮萍覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过？（参考数据：） 【答案】(1)， (2)2023年2月 【分析】（1）将分别代入两个函数表达式中即可求解， （2）根据确定选用的函数，即可利用对数的运算求解. 【详解】（1）若选择模型， 则，解得，， 故函数模型为， 若选择模型，则， 解得，， 故函数模型为． （2）把代入可得，， 把代入可得，， ∵， ∴选择函数模型更合适，     令，可得，两边取对数可得，， ∴， 故浮萍至少要到2023年2月底覆盖面积能超过8100m2． 4-4．（2024高一上·四川成都·期末）科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是，2秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积y与时间x（单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①，②，其中m，b均为常数． (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒． 【答案】(1)选， (2)至少需4秒 【分析】(1)根据两种函数模型的特点和题中染料实际扩散的速度选择模型，代入数据即可求出模型的解析式； (2)根据题干条件，列出不等式，解之即可求解. 【详解】（1）因为函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越快，二函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越慢， 根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即， 由题意可得：，解得：， 所以该模型的解析式为：， （2）由（1）知：， 由题意知：，也即，则有， ∴，∴， ∴至少需要4秒． （五） 应用函数模型解决问题的基本过程 （1）审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． （2）建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． （3）求模——求解数学模型，得出数学模型． （4）还原——将数学结论还原为实际问题． 题型5：根据实际问题的增长率选择合适的函数模型 5-1．（2024高一上·安徽宿州·期末）有一组实验数据如下 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最佳的一个是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选代入四个选项的解析式中选取所得的最接近的解析式即可. 【详解】对于选项A： 当时，，与相差较多， 当时，，与相差较多，故选项A不正确； 对于选项B： 当时，，与相差较多， 当时，，与相差较多，故选项B不正确； 对于选项C： 当时，， 当时，，故选项C正确； 对于选项D： 当时，，与相差较多， 当时，，与相差较多，故选项D不正确； 故选：C. 5-2．（2024高一·全国·课后作业）某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x（年）的函数关系较为近似的是（    ） A．y＝0.2x B．y＝（x2＋2x） C．y＝ D．y＝0.2＋log16x 【答案】C 【分析】根据函数递增的性质，运用代入法进行求解即可. 【详解】因为三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷， 所以可以看出来不是线性增加，故选项A不符合题意； 对于选项B：把分别代入解析式中，得，不符合题意； 对于选项C：把分别代入解析式中，得，符合题意， 对于选项D：把代入解析式中，得， 把代入解析式中，得， 把代入解析式中，得，跟选项C来比，选项C更近似， 故选：C 5-3．（2024高一上·山西临汾·期中）在一次物理实验中某同学测量获得如下数据： 1 2 3 4 5 5.380 11.232 20.184 34.356 53.482 下列所给函数模型较适合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数据中y随x的变化情况，分析适用的函数模型. 【详解】由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快， 而A中的函数增长速度保持不变，B中的函数增长速度越来越慢，C中的函数是随x的增大而y减小，D中的函数符合题意. 故选:D． 5-4．（2024高一上·四川·阶段练习）某初创公司自创立以来，部分年份的年利润列表如下： 年份 2 3 4 5 年利润（千万元） 1.50 2.25 3.38 5.06 现有以下模型描述该年利润（单位：千万元）随年份的变化关系：①，②.试从这两个函数模型中选择合适的函数模型，并利用该模型预计公司的年利润首次超过10亿元的年份为（    ） （参考数据，） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】先根据函数的单调性选择模型，然后解指数函数不等式即可. 【详解】由该公司的年利润列表可知，年利润随年份增加而递增，并且随着增大越来越快， 故选择指数型模型②. 由第二年和第三年的数据知，，故，即. 当时，，， 故预计该公司的年利润首次超过10亿元的年份为13. 故选：D. 题型6：指对幂函数的增长差异 6-1．（2024高一·江苏·课后作业）利用计算器，分别计算当，2，3，…，10时，函数，及的值，并分析判断：当x无限增大时，这3个函数中哪个函数的增长更快些. 【答案】 【分析】根据计算器求出当，2，3，…，10时，函数，及的值，即可根据数据的变化，得出结论． 【详解】当，2，3，…，10时，函数，及的值如下表： 1 2 0 1 2 4 1 4 3 8 1.584962501 9 4 16 2 16 5 32 2.321928095 25 6 64 2.584962501 36 7 128 2.807354922 49 8 256 3 64 9 512 3.169925001 81 10 1024 3.321928095 100 从表格可知，当x无限增大时，这3个函数中指数函数的增长更快些． 6-2．（2024高一下·浙江台州·期末）函数与函数在区间上增长速度较快的一个是 . 【答案】 【分析】将问题转化为比较与增长速度问题，结合图象可确定结果. 【详解】，比较与的增长速度只需比较与增长速度即可， 由图象可知：的增长速度快于， 函数与函数在区间上增长速度较快的是. 故答案为：. 6-3．（2024高一上·北京丰台·期中）甲、乙、丙三个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，有以下结论： ① 当时，乙总走在最前面； ② 当时，丙走在最前面；当时，丙走在最后面； ③ 如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲. 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】根据题意，可知甲、乙、丙三个物体的路程对应的函数模型分别为指数型函数、二次函数、幂函数，当和时，代入计算即可判断①；根据三种函数的变化特点，画出三个函数时的图象，结合图象即可判断②；根据指数函数的增长速度先慢后快的特征，即可判断③；从而可得出结果. 【详解】解：已知甲、乙、丙三个物体的路程关于时间的函数关系式， 分别为，，， 可知它们相对应的函数模型分别为指数型函数、二次函数、幂函数， 当时，，当时，， 可知当时，乙不总是走在最前面，故①不正确； 根据三种函数的变化特点，画出三个函数时的图象， 当时，，则甲、乙、丙三个物体的路程相等， 由图象可知当时，丙走在最前面；当时，丙走在最后面；故②正确； 由于指数函数的增长速度先慢后快， 当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体， 所以如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲，故③正确. 故答案为：②③. 一、单选题 1．（2024高二下·陕西咸阳·期中）一组关于的观测数据通过的转换数据对应关系如表所示： 1 2 3 4 5 1 3.1 4.9 7.1 8.8 则y与t近似满足这些数据的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给数据，求得y与t的对应数据，逐个选项计算分析即可得解. 【详解】根据题意求得和的对应数据， 1 1 3.1 4.9 7.1 8.8 对A，当时，和相差较远，故排除A， 对C，当时，和相差较远，故排除C， 对D，当时，，和7.1相差较远，故排除D， 对B，各个数据代入基本符合， 故选：B 2．（2024高二下·福建泉州·期末）对于下表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是（    ） 1 2 3 3 5.99 12.01 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合增长速度及3组数据，进行判断即可． 【详解】根据题意，这3组数据可近似为，，； 得到增长速度越来越快，排除，对于选项，三组数据都不满足， 对于选项，三组数据代入后近似满足， 则模拟效果最好的函数是． 故选：． 3．（2024高三·河南许昌·阶段练习）某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： 对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出散点图，结合图形可得出合适的函数模型. 【详解】在直角坐标系中画出这几对数据的散点图，观察图形的变化趋势， 这几个点在变化趋势上是在第一象限单调递增， 递增的速度比较快，排除B、C两个选项，当时，不符合A选项． 故选：D. 4．（2024高二下·陕西咸阳·期中）某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠面积增加数（万公顷）关于年数（年）的函数关系较为接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将，，分别代入选项中的函数，逐项验证比较，即可求解. 【详解】由题意，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷， 即，，， 对于A中，函数，当时，和0.76相差较大； 对于B 中，函数，当时，和0.4相差较大； 对于C中，函数，当时，和0.4相差较大； 对于D中，函数，当时，，当时，， 当时，和0.76相差0.04， 综合可得，选用函数关系较为近似． 故选：D. 5．（2024高一上·广东佛山·期中）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据约为（）（    ） A．1.59 B．1.28 C．0.63 D．0.58 【答案】C 【分析】根据题意，得到，即，结合参考数值，即可求解. 【详解】因为数据和小数记录法的数据满足， 当时，可得，即， 解得. 故选：C. 6．（2024高一上·广东茂名·阶段练习）日本政府不顾国内外的质疑和反对，单方面决定以排海的方式处置福岛核电站事故的核污水，这种极不负责任的做法将严重损害国际公共健康安全和周边国家人民的切身利益．福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．已知经过125年的质量衰减为最初的，则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间为（    ） A．250 B．375 C．500 D．1000 【答案】C 【分析】根据题意列方程得到，然后将代入解得即可. 【详解】由题意得，解得， 令，则，解得. 故选：C. 7．（2024高一上·全国·单元测试）今有一组实验数据如下表所示，则体现这些数据关系的最佳函数模型是（    ） 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 1.5 4.04 7.5 12 18.01 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，，，代入选项验证即可得出答案. 【详解】 综上，最近似. 故选：C. 8．（2024高一上·福建泉州·期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 若某户居民本月交纳的水费为元，则此户居民本月用水量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据阶梯水价，求出每段用水量对应收费范围，可知水费为元对应的用水量区间，代入所求函数得解. 【详解】设居民每月用水量为立方米，水费为元， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 因为，此户居民本月用水量超过但不超过， 当时，有，解得， 即此户居民本月用水量为， 故选：A． 9．（2024高一上·辽宁大连·阶段练习）为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（参考数据：，）（    ） A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年 【答案】C 【分析】 根据指数增长模型列式求解. 【详解】设2020后第x年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元， 则，即， 解得， 则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是2026． 故选：C． 10．（2024高一上·山东菏泽·期中）核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为（    ） A．16小时 B．11小时 C．9小时 D．7小时 【答案】C 【分析】先由题意得到，再由第16天检测过程平均耗时为16小时，求出的值，由第64天检测过程平均耗时为8小时求出的值，从而可求出第49天检测过程平均耗时 【详解】因为第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时， 所以， 因为第16天检测过程平均耗时为16小时，所以，得， 因为第64天检测过程平均耗时为8小时，所以，解得， 所以， 所以当时，， 故选：C 11．（2024高三上·江苏徐州·阶段练习）据国家航天局表明，神舟十六号载人飞船将在今年11月左右返回地球．在返程过程中飞船与大气摩擦产生摩擦力f，经研究发现摩擦力f与飞船速度v有关，且满足，其中G为飞船重力，为飞船初速度．已知当时，飞船将达到平衡状态，开始匀速运动，则飞船达到平衡状态时，（    ）（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指对运算即可解出答案. 【详解】由题意得，即， 即，两边同取自然对数得，， 所以， 故选：B. 12．（2024高一上·浙江宁波·期中）某家医院成为病毒检测定点医院，在开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（，为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，那么可得到第36天检测过程平均耗时约为（    ） A．6小时 B．7小时 C．9小时 D．5小时 【答案】B 【分析】按照题目所给的条件，算出，，再代入计算即可. 【详解】因为第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，所以， 所以，即， 所以，解得， 所以 所以第36天检测过程平均耗时小时， 故选：B. 13．（2024高一上·北京·期中）某机构对一种病毒在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用表示经过的单位时间数，用表示病毒感染人数，得到的观测数据如下： 1 2 3 4 5 6 … （人数） … 6 … 36 … 216 … 若与的关系有两个函数模型可供选择：①；②.若经过个单位时间，该病毒的感染人数不少于1万人，则的最小值为（   ）（参考数据：，，，） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】利用已知的三对数据代入函数模型进行验证得出适应模型，根据指对互化以及对数运算求得结果. 【详解】若选，将和代入得， 解得，所以，代入有，不合题意． 若选，将和代入得， 解得，所以．代入有，符合题意． 依题意可得，即， 则，又，， 所以，∵， ∴的最小值为. 故选：C 14．（2024高一上·江苏南京·期中）一种药在病人血液中的量保持在以上时才有疗效，而低于时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，以保证疗效，那么下次给病人注射这种药的时间最迟大约是（参考数据：）（    ） A．5小时后 B．7小时后 C．9小时后 D．11小时后 【答案】B 【分析】设小时后减少到，依题意可得，两边同时取对数，再根据对数的运算法则计算可得. 【详解】设小时后减少到，则，则，即， 则，则，则注射时间需小于小时. 故选：B． 15．（2024高二下·吉林长春·期末）近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增长率为，第2月的口罩月消耗量增长率为，这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为，则以下关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的关系，再根据基本不等式判断． 【详解】由题意，， 时，，， 时，， ，，因此， 综上，． 故选：D． 16．（2024高三上·北京通州·阶段练习）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】 由题意可知，分别将数据代入利用对数运算法则计算出，，即可求得. 【详解】根据题意，将，代入可得； 将，代入可得； 所以可知. 故选：D 17．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），若学校图书规定：在阅览室内，声强级不能超过40dB，则最大声强为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件列出不等式，结合对数的运算，即可得到结果. 【详解】由题意可知，，所以， 即，所以， 即最大声强为. 故选：C 18．（2024高一上·江苏·专题练习）今有一组实验数据如下： 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选代入四个选项的解析式中选取所得的最接近的解析式即可. 【详解】对于选项A：当时，，与相差较多，故选项A不正确； 对于选项B：当时，，与相差较多，故选项B不正确； 对于选项C：当时，，故选项C正确； 对于选项D：当时，，与相差较多，故选项D不正确； 故选：C. 二、多选题 19．（2024高一上·吉林长春·阶段练习）设矩形的周长为，将沿向折叠，折过去后交于点.设，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．设，则与的关系是 C．的面积与的关系是 D．当的面积最大时，矩形的面积为 【答案】BCD 【分析】A.根据矩形的周长为，由求解判断；B. 易得，从而，再由化简求解判断；C.由 化简求解判断；D.由C选项的结论，再利用对勾函数的性质求解判断. 【详解】解：如图所示：    因为矩形的周长为， 所以，解得，故A错误； 由题意得， ， 所以，则， 又 ，则 ， 化简得，故B正确； ，故C正确； 令，由对勾函数的性质得，当时，取得最小值，此时取得最大值，，故D正确； 故选：BCD 20．（2024高一上·贵州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数与的图象关于轴对称. B．函数与的图象关于对称. C．，当时，恒有. D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上. 【答案】BCD 【分析】利用函数图象的对称性可判定A项，根据反函数的定义可判定B选项，根据指数函数的增长速度可判定C项，利用二分法及零点存在性定理可判定D项. 【详解】对于A项，显然函数与的定义域均为，图象不会关于轴对称，其图象关于轴对称，故A错误； 对于B项，函数与互为反函数，故图象关于对称，故B正确； 对于C项，易知，由指数函数的增长速度可知，当时，恒有，即C正确； 对于D项，由于函数连续，又，，由零点存在性定理可知函数零点落在区间上，即D正确. 故选：BCD. 21．（2024高一上·辽宁辽阳·期中）某商家为了提高一等品M的销售额，对一等品M进行分类销售．据统计，该商家有200件一等品M，产品单价为元．现计划将这200件一等品分为两类：精品和优品．其中优品x件（，），分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%，优品的单价调整为元（），因市场需求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不低于分类前一等品M的单价，且精品的总销售额不低于优品的总销售额，则n的值可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BC 【分析】根据题意列出不等式组得到且在上恒成立，结合对勾函数性质求出n的取值范围． 【详解】依题意，则， 由知：，且， 由知：在上恒成立， 因为在上递增，所以，即， 综上，，. 故选： BC 22．（2024高一上·浙江宁波·期中）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系（，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（    ） A．且 B．在10℃的保鲜时间是60小时 C．要使得保鲜时间不少于15小时，则储存温度不低于30℃ D．在零下2℃的保鲜时间将超过150小时 【答案】AB 【分析】本题首先可根据题意得出是减函数，且，可判断出正确；根据及，可得，则可求得的值，判断出正确；解不等式得，则错误；当时，可求得，则错误. 【详解】因为该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时， 易得是减函数，结合复合函数的单调性可知， 又，可知，所以正确； 又，即，故，， 则，故正确； 若，则，结合， 不等式化为，即，又，所以， 故错误； 当时，，故错误； 故选： 三、填空题 23．（2024高一·全国·课后作业）下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是 . ①；②；③；④ 【答案】① 【分析】根据函数模型的增长速度，即可得答案； 【详解】由于指数函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移是越来越快， 更为有前途的生意， 故答案为：①. 【点睛】本题考查函数模型的增长速度快慢问题，属于基础题. 24．（2024高一上·全国·课后作业）某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，则报刊亭摊主应该每天从报社买进 份报纸，才能使每月所获利润最大. 【答案】400 【分析】若设每天从报社买进份，则每月共可销售份，每份可获利润0.10元，退回报社份，建立月利润函数再求最大值，可得一个月的最大利润． 【详解】设每天从报社买进 份报纸，每月所获利润是y元，则每月售出报纸共份， 每月退回报社报纸共份. 依题意得，. 即， 化简得，其中， 因为此一次函数的， 所以该函数为增函数，再由知， 当时，y取得最大值，此时 (元). 所以每天买进400份报纸可使每月所获利润最大，最大利润为1 440元. 故答案为：400. 25．（2024高一上·全国·课后作业）有关数据显示中国快递行业产生的包装垃圾在2020年约为400万吨，2021年的年增长率为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 年开始，快递行业产生的包装垃圾超过万吨．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1). 【答案】2026 【分析】根据题意到得关于增加的年份的不等式，再利用对数的运算法则即可得解. 【详解】设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2020年开始增加的年份的数量， 由题意可得， 由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过万吨， 所以，所以 ， 两边取对数可得， 所以 ，即，解得， 又，故的最小值为， 所以从年开始，快递行业产生的包装垃圾超过万吨． 故答案为：2026 26．（2024高一上·全国·阶段练习）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：m2）与时间（单位：月）的关系为．关于下列说法正确的是 ． ①浮萍的面积每月的增长率为； ②浮萍每月增加的面积都相等； ③第4个月时，浮萍面积不超过80m2； ④若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是，则．    【答案】①④ 【分析】将点的坐标代入函数的解析式，求出函数的解析式后逐一判断每个选项. 【详解】将点的坐标代入函数的解析式，解得，于是解析式是 对于①，浮萍的每月增长率为：，则浮萍每月的增长率为，故①正确， 对于②，浮萍第个月增加的面积为，第个月增加的面积为，故②错误， 对于③，第4个月时，浮萍的面积为，故③错误， 对于④，由题意可得，，，，于是 所以，故④正确， 故答案为：①④． 27．（2024高一上·北京大兴·期中）某商贸公司售卖某种水果，经过市场调研可知：未来20天内，这种水果每箱的销售利润r（单位：元）与时间t（，单位：天）之间的函数关系式为，且日销售量y（单位：箱）与时间t之间的函数关系式为.在未来这20天中，公司决定每销售1箱该水果就捐赠元给“精准扶贫”对象.为保证销售积极性，要求捐赠之后每天都能盈利，且获得的利润随时间t的增大而增大，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出捐赠后的利润函数解析式，再根据二次函数的性质，列出不等式组即可求解. 【详解】记捐赠后的利润为，由题意，， 化简得，， 记，则其开口向下，且对称轴为， 由该公司每天都能盈利，且获得的利润随时间t的增大而增大， 所以，解得且. 所以m的取值范围是 故答案为：. 四、解答题 28．（2024高一·全国·专题练习）已知函数y＝f(x)是函数y＝的反函数． (1)求y＝f(x)的解析式； (2)若x∈(0，＋∞)，试分别写出使不等式： ①； ②成立的自变量x的取值范围． 【答案】(1)f(x)＝2x； (2)①(2,4)；②(0,2)∪(4,＋∞)． 【分析】(1)根据指数和对数的关系求解； (2)画出图象，，，判断，解集． 【详解】（1）∵函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数，∴f(x)＝2x. （2）作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x在同一直角坐标系中的图象，可得：22＝4，24＝42＝16， ①因为，所以2<x<4，解集为(2，4)； ②因为，所以0<x<2或x>4，解集为(0，2)∪(4，＋∞)． 29．（2024高一·湖南·课后作业）在同一直角坐标系内分别作出下列各组函数的草图，比较它们在范围内增长的快慢． (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1)图象见解析，增长较快； (2)图象见解析，增长较快； (3)图象见解析，增长较快； (4)图象见解析，增长较快； 【分析】根据基本初等函数的图象特征，画出函数图象，结合函数图象判断即可； 【详解】（1）解：函数图形如下图所示： 由图可知在范围内增长得较快； （2）解：函数图形如下图所示： 由图可知在范围内增长得较快； （3）解：函数图象如下所示： 由图可知在范围内增长得较快； （4）解：函数图形如下所示： 由图可知在范围内增长得较快； 30．（2024高一上·吉林通化·期中）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为正实数）．该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示： 第天 10 20 25 30 个 110 120 125 120 已知第10天该商品的日销售收入为121元. (1)求的值； (2)给出以下两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式； (3)在（2）的情况下，求该商品的日销售收入（元）的最小值． 【答案】(1) (2)选②，， (3) 【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元列出方程，求出； （2）当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故选②，代入，，待定系数法求出解析式； （3）求出，当时，由对勾函数得到其单调性，从而求出最小值，当时，由函数单调递减求出最小值，比较后得到的最小值. 【详解】（1）由题意得：第10天该商品的日销售收入为， 解得：， （2）由题意，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故选②， ∵，，， ∴， 解得：， ∴，； （3）由（2）可知：， 所以 当时，由对勾函数知在上递减，在上递增， 所以当时，取最小值，， 当时，在上递减， 所以当时，取最小值，， 综上：所以当时，取最小值，. 31．（2024高一下·广东河源·阶段练习）某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资的单位均为万元）．    (1)分别求，两种产品的利润关于投资的函数解析式． (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入，两种产品的生产． ①若平均投入两种产品的生产，可获得多少利润？ ②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？ 【答案】(1)， (2)①万元；②当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元 【分析】（1）设投资为万元（），设，，根据函数的图象，求得的值，即可得到函数的解析式；， （2）①由（1）求得，，即可得到总利润．②设产品投入万元，产品投入万元，得到则，结合二次函数的图象与性质，即可求解． 【详解】（1）设投资为万元（），，两种产品所获利润分别为，万元， 由题意可设，，其中，是不为零的常数． 所以根据图象可得，，，， 所以，． （2）①由（1）得，，所以总利润为万元． ②设产品投入万元，产品投入万元，该企业可获总利润为万元， 则，． 令，则，且， 则，． 当时，，此时，． 当两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元． 32．（2024高一上·海南省直辖县级单位·期中）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一套机器人，包括三个：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.某公益团队计划举办杭州亚运会吉祥物的展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.已知每套吉祥物的进价为元，其中与进货量成反比，当进货1万套时，为9元，据市场调查，当每套吉祥物的售价定为元时，销售量可达到万套，若展销的其他费用为1万元，且所有进货都销售完. (1)每套吉祥物售价定为70元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)当为多少时，每套吉祥物的净利润最大？ 【答案】(1)50 (2)90 【分析】（1）先根据题目条件得到进货量与的关系式，根据吉祥物售价定为70元时求出销售量，并求出进货单价，求出总利润； （2）求出每套吉祥物的利润，结合基本不等式求出最值，得到答案. 【详解】（1）设共进货万套，则， 因为当时，，故，解得，即. 每套吉祥物售价为70元时，销售量为（万套）， 此时进货单价为（元）， 故总利润为（万元）； （2）根据题意得，进价为（元）， 所以每套吉祥物的利润为 当且仅当，即时取等号， 所以当时，每套吉祥物的净利润最大. 33．（2024高一上·天津宁河·阶段练习）2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本） (1)求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式. (2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1)； (2)年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元. 【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可； （2）根据配方法、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）当时， ； 当时，， 所以； （2）当时，， 所以； 当时，， 当且仅当，即时等号成立. 故， 所以当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元. 34．（2024高一上·浙江丽水·期末）某厂家为增加某种商品的销售量，决定投入广告据市场调查，广告投入费用（单位：万元）与增加的销售量（单位：千件）满足下列数据： 增加的销售量 0 1 2 4 5 广告投入费用 0.000 0.452 0.816 1.328 1.500 为了描述广告投入费用与增加的销售量的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，，， (1)选出你认为最符合题意的函数模型，并说明理由； (2)根据你选择的函数模型，求出相应的函数解析式；你认为增加的销售量为多少时，每千件的广告投入费用最少？ 【答案】(1)选择是最合适的模型，理由见解析 (2)；千件 【分析】（1）可利用特殊点与单调性，排除不合适的函数模型； （2）可将表中数据代入（1）中所选函数模型，求出函数，则每件的广告费用为,继而求其最值即可. 【详解】（1），在区间上单调递减， 与表中数据矛盾，该模型不合适, ，则函数在处无意义, 与表中数据矛盾，该模型不合适, 故选择是最合适的模型. （2）将表中的数据代入可得， 解得 所以； 设每千件的广告费用为， 则 ， 所以当时，最小值为， 故销售量增加达到千件时，才能使每千件的广告投入费用最少. 35．（2024高二·全国·课后作业）几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20000元.假设该产品的月销售量t（件）与销售价格x（元/件）（）之间满足如下关系：①当时，；②当时，.记该店月利润为M（元），月利润=月销售总额-月总成本. (1)求M关于销售价格x的函数关系式； (2)求该打印店的最大月利润及此时产品的销售价格. 【答案】(1) (2)44226元，51元/件 【分析】（1）先代入，求出，然后，分情况写出，化简即可求解 （2）分情况讨论的最值即可求解 【详解】（1）当时，，解得. ∴ 即 （2）当，时，设， 则. 令，解得（舍去），， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. ∵，，，的最大值为44226. 当时，单调递减，故此时 的最大值为.综上所述，当时，有最大值44226. ∴该打印店的最大月利润为44226元，此时产品的销售价格为51元/件. 36．（2024高一上·山西·期中）杭州第19届亚运会，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办．某款亚运会周边产品深受大家喜爱，供不应求，某工厂日夜加班生产该款产品．生产该款产品的固定成本为4万元，每生产万件，需另投入成本万元．当产量不足6万件时，；当产量不小于6万件时，．若该款产品的售价为6元/件，通过市场分析，该工厂生产的该款产品可以全部销售完． (1)求该款产品销售利润（万元）关于产量（万件）的函数关系式； (2)当产量为多少万件时，该工厂在生产中所获得利润最大？ 【答案】(1) (2)9；9.5万元． 【分析】（1）根据题意可列出利润与产量的函数关系式. （2）根据（1）中的关系式分类讨论和时的产量，并分别利用二次函数求最值和基本不等式求最值求出利润最大值. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以： （2）当时，， 所以当时，取得最大值，最大值为8.5万元． 当时， 当且仅当，即时，取得最大值，最大值为9.5万元． 综上，当产量为9万件时，该工厂在生产中所获得利润最大，最大利润为9.5万元. 37．（2024高一上·浙江杭州·期中）中国“一带一路”战略提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足台时，（万元）；当年产量不少于台时（万元）若每台设备的售价为万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完． (1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； (2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中获利最大？ 【答案】(1) (2)当产量为台时，该企业在这一电子设备中所获利润最大 【分析】（1）由题意可得：，分和两种情况分析求解； （2）分和两种情况分析求解，结合二次函数以及基本不等式运算求解. 【详解】（1）由题意可得：， 当时，； 当时，； 综上所述：. （2）当时，， 所以当时，取得最大值（万元）； 当时，则， 当且仅当，即时，取到最大值为（万元）， 综上所述：当产量为台时，该企业在这一电子设备中所获利润最大，最大值为万元. 38．（湖北省孝感市2023-2024学年高一上学期期中模拟数学试题）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理､施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）． (1)求单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式； (2)当施用肥料的成本投入为多少元时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当投入4元时，该水果单株利润最大，最大利润为480元. 【分析】（1）根据题意列出分段函数即可； （2）根据分段函数分别讨论最值，再得出两者最大的为函数的最大值即可求解. 【详解】（1）依题意可得， ， 所以. （2）当时，图象开口向上，对称轴为， 所以函数在单调递减，单调递增， 所以； 当时，， 当且仅当，即时取得等号， 因为，所以当投入4元时，该水果单株利润最大，最大利润为480元. 39．（2024高一上·江苏苏州·期中）某单位打算投资研发生产两种文创产品.经过调查，投资A产品的年收益与投资额成正比，其关系如图①，投资B产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图②.（注:收益与投资额单位:万元）.    (1)分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系； (2)该单位现有100万元资金，全部用于两种产品的研发投资，问:怎样分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元? 【答案】(1)， (2)投资产品50万元，产品50万元时，获得最大收益15万元 【分析】（1）设出所求解析式，根据图象把点分别代入解析式即可得解； （2）写出收益的表达式，换元后利用二次函数求解即可. 【详解】（1）由题意，设， ， ， （2）设投资产品万元，则投资产品为万元. 那么，总收益， 令，则， 所以当，即万元时，收益最大，万元. 答：投资产品50万元，产品50万元时，获得最大收益15万元. 40．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款高科技设备．通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，假设该企业一年生产x千台设备，且每生产一千台设备，需另投入成本万元，，由市场调研知，该设备每台售价1万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完． (1)求该企业一年的利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当年产量为多少（千台）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为90（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5200万元 【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售额=固定成本－可变成本的公式，分两种情况讨论，即可求解； （2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解． 【详解】（1）当 时， ， 当时， ， 所以． （2）若，， 当时，万元； 若，， 当且仅当时，即时等号成立，万元； 因为， 所以年产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5200万元． 41．（2024高一上·四川内江·期中）2023年10月18日，内江高新区举行乡村振兴产业推介会暨项目集中签约仪式，现场签约农业产业项目14个，涵盖种苗繁育、粮油加工、中药材种植、特色水产等优质产业.为响应国家“乡村振兴”号召，小李决定返乡创业，承包老家的土地发展生态农业．小李承包的土地需要投入固定成本万元，且后续的其他成本总额（单位：万元）与前年的关系式近似满足．已知小李第一年的其他成本为万元，前两年的其他成本总额为万元，每年的总收入均为万元． (1)小李承包的土地到第几年开始盈利？ (2)求小李承包的土地的年平均利润的最大值． 【答案】(1)第年开始盈利 (2)最大为万元 【分析】（1）根据题中条件，列出方程组，求得，根据题意得到李承包的土地到第年的利润为，令其大于零，解出不等式即可； （2）求得年平均利润的函数，利用基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）由题意得，解得，所以． 设小李承包的土地到第年的利润为万元， 则， 由，得，解得． 故小李承包的土地到第年开始盈利． （2）设年平均利润为万元， 则， 当且仅当时，等号成立． 故当小李承包的土地到第年时，年平均利润最大，最大为万元． 42．（2024高一下·福建福州·期中）疫情后全国各地纷纷布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足为常数，且，日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如表所示： （天 1 14 18 22 26 30 122 135 139 143 139 135 (1)给出以下四个函数模型： ①；②；③；④． 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)已知第1天的日销售收入为244元．设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值． 【答案】(1)选择模型②，，； (2)139.5元． 【分析】（1）由表格中的数据知，当时间变长时，先增后减，则选择模型②，由函数图象对称性可知，由表格数据代入即可求解； （2）由第1天的日销售收入为244元，解得，由（1），去绝对值后分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足为常数，且， 日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如表所示： （天 1 14 18 22 26 30 122 135 139 143 139 135 由表格中的数据知，当时间变长时，先增后减， ①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型， 所以选择模型②：， 由函数图象对称性可知，又由表格可知，， 代入，得，解得，， 所以日销售量与时间的变化的关系式为，. （2）因为第1天的日销售收入为244元，则，解得，则， 由（1）， 知， 由， 当，时，， 当且仅当时，即时等号成立， 当，时，为减函数， 所以函数的最小值为， 综上可得，当时，函数取得最小值139.5元． 43．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场.根据市场调研情况，预计每枚纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下表. 上市时间/天 2 6 32 市场价/元 148 60 73 (1)根据上表数据，从①，②，③中选取一个恰当的函数描述每枚纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系（无需说明理由），并求出该函数的解析式； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价. 【答案】(1)， (2)当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元. 【分析】（1）根据表中数据的关系可选③来描述每枚纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系，而根据表中数据可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. （2）利用基本不等式可求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价. 【详解】（1）每枚纪念章的最低市场价不是关于上市时间的单调函数，故选. 分别把，代入，得 解得，，∴，. 此时该函数的图象恰经过点，∴，. （2）由（1）知， 当且仅当，即时，有最小值，且. 故当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元. 44．（2024高一上·浙江台州·期末）某工厂需要制作1200套桌椅（每套桌椅由1张桌子和2张椅子组成）．工厂准备安排100个工人来完成，现将这100个工人分成两组，一组只制作桌子，另一组只制作椅子．已知每张桌子和每张椅子制作的工程量分别为7人1天和2人1天若两组同时开工，问如何安排两组人数才能使得工期最短？ 【答案】安排63或64人制作桌子工期最短 【分析】设x人制作桌子，则人制作椅子，分别得到完成桌子和完成椅子的时间，再得到全部桌椅完成时间的函数表达式，求出桌子和椅子完成时间相同时的值，从而得到分段函数表达式，再求出其最小值即可. 【详解】设x人制作桌子，则人制作椅子． 由已知，完成桌子时间为，完成椅子时间为， 全部桌椅完成时间为 由，得， ∴且，因为， 当，单调递减，最小值为， 当，因为在上单调递减，且， 所以在单调递增， 最小值为，则， 所以安排63或64人制作桌子工期最短． 45．（2024高一·全国·随堂练习）试根据下面的“某水库蓄水量与水深的对照表”，分析水库的蓄水量y（单位：m3）随水深x（单位：m）变化的趋势，并用图象表示出来，据此估计蓄水量为2000000 m3时的水深． 水深/m 0 5 10 15 20 25 30 35 蓄水量/ m3 0 200000 400000 900000 1600000 2750000 4375000 6500000 【答案】图象见解析，蓄水量为2000000 m3时的水深为 【分析】根据表中数据作出图象即可；求出变到时，存水量关于的平均变化率为230000，从而得，求解即可． 【详解】表中数据可得图象，如图所示：   当从变到时，存水量关于的平均变化率为： ， 实际意义是水深为之间，水深每增加，则蓄水量增加， 则，解得， 所以当蓄水量为时，水库的水深大约是． 46．（广东省深圳大学附属实验中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题）某家庭进行网上理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）. (1)分别写出两种产品的年收益与投资的函数关系式； (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？ 【答案】(1) (2)当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元. 【分析】（1）根据待定系数法可得； （2）设用于投资稳健型产品的资金为x，写出年收益的解析式，利用换元法可得最大年收益. 【详解】（1）由题意设投入万元，稳健型产品的年收益，风险型产品的年收益， 由图知，函数和的图象分别过点和， 代入解析式可得， 所以 （2）设用于投资稳健型产品的资金为x，用于投资风险型产品的资金为，年收益为y， 则， 令，则， 当，即时，， 所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元. 47．（2024高一上·福建漳州·期中）购买某种机器时可同时购买维修服务，购买次维修服务的总费用为元，．购买1次维修服务的总费用为150元，购买2次维修服务的总费用为250元，当时，的图象上所有点都在同一条直线上；当时，的图象上所有点都在函数的图象上． (1)求的解析式； (2)问：购买几次维修服务能使平均每次的维修费用最少？ 【答案】(1) (2)次 【分析】（1）当且时设，根据、代入求出、的值，即可求出解析式； （2）设平均每次的维修费用为，则，分和两种情况讨论，结合幂函数与二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）当且时设，则，解得， 所以（且）， 当时， 综上可得. （2）设平均每次的维修费用为， 当且时，函数在上单调递减， 当时； 当时， 所以当，即时取得最小值，即， 综上可得购买次维修服务能使平均每次的维修费用最少. 48．（2024高一上·四川成都·期中）某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式．设年产量为台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为万元．每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完． (1)写出年利润W（万元）关于年产量x（台）的关系式； (2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？ 【答案】(1)； (2)当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元 【分析】（1）根据题意分和两种情况，利用利润等于销售总额减去总成本，即可得年利润W（万元）关于年产量x（台）的关系式； （2）分和两种情况，求出最大值，然后比较可得答案. 【详解】（1）当，时，； 当，时，． 所以； （2）①当，时，， 所以当时，y取得最大值，最大值为1200万； ②当，时，， 当且仅当，即时，y取得最大值1320， 所以， 所以当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元． 49．（2024高二下·广东·期末）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数.当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年. (1)当时，求函数关于的函数表达式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值. 【答案】(1) (2)当x＝10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5. 【分析】（1）根据题意得建立分段函数模型求解即可； （2）分段求得函数的最值，比较可得答案. 【详解】（1）依题意，当时，； 当时，是关于x的一次函数，假设， 则，解得， 所以. （2）当时，； 当时，， 当时，取得最大值. 因为，所以当x＝10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5. 50．（2024高二·江苏·课后作业）已知某养猪场的固定成本是20000元，每年最大规模的养殖量为600头，且每养1头猪，成本增加100元，养x头猪的收益函数为，记，分别为养x头猪的成本函数和利润函数． (1)分别求，的表达式； (2)当x取何值时，最大？ 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据题意求得，的表达式； （2）由（1）的利润函数，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）由题意得：， ， ； （2）由（1）知：， ， 当时，最大. 51．（2024高二上·安徽阜阳·期中）某化学试剂厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是万元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求的取值范围； (2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)应以千克/小时的速度匀速生产，且最大利润为610万元. 【分析】（1）根据题意，列不等式求出x的范围即可； （2）设总利润为，得出关于x的函数解析式，配方得出最大值即可． 【详解】（1）根据题意， 有， 得，得或， 又，得． （2）生产120千克该产品获得的利润为 ，， 记，， 则， 当且仅当时取得最大值， 则获得的最大利润为（万元）， 52．（2024高一下·安徽芜湖·期中）塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委､生态环境部等9部门联合印发《关于扎实推进塑料污染治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，将禁用不可降解的塑料袋､塑料餐具及一次性塑料吸管等.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数，已知分子聚态结构系数是光解系数的90倍.（参考数据：） (1)塑料自然降解，残留量为初始量的，大约需要多久？ (2)为了缩短降解时间，该塑料改进工艺，改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的，则残留量不足初始量的，至少需要多久？（精确到年） 【答案】(1)207年； (2)21年. 【分析】（1），则可求出的值，从而可得答案， （2）由题意得，可求出，然后解不等式可得结果. 【详解】（1）由题可知， 所以， 所以， 所以残留量为初始量的，大约需要207年； （2）根据题意当时，， ，解得， 所以， 若残留量不足初始量的，则， ，两边取常用对数， ，所以至少需要21年. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$