函数概念与性质练习-2025届高三数学一轮复习

函数概念与性质 【答题技巧】 1.求分段函数中参数或自变量的值（范围）的解题思路 （1）解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后取各段结果的并集即可. （2）如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解. 2.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 （1）比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. （2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时，应特别注意函数的定义域. （3）利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解. （4）利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数. 3.函数奇偶性与单调性综合问题的求解方法 （l）解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性. （2）解决不等式问题时，首先一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式（组），要注意函数定义域对参数的影响. 【练习应用】 1.设函数，则的值为( ) A. B. C. D.18 2.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( ) A. B. C. D. 3.若函数，则( ) A. B. C. D.且 4.函数的图象为( ) A. B. C. D. 5.定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 6.已知函数是R上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 7.已知定义域为R的函数在上单调递减，且，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 8.设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.（多选）狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为.则下列关于狄利克雷函数的结论正确的是( ) A.的值域是 B.， C.是偶函数 D. 10.（多选）已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③.则下列选项成立的是( ) A. B.若，则 C.若，则 D.，，使得 11.函数的定义域是__________. 12.已知是定义在R上的函数，且对任意实数x，均有，则的值为__________. 13.已知，都是定义在R上的函数，如果存在实数m，n使得，那么称为，在R上生成的函数.设，，若为，在R上生成的一个偶函数，且，则函数__________. 14.已知函数若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是__________. 15.已知函数为上的偶函数. （1）求实数a的值； （2）求证：函数在上单调递增. 答案以及解析 1.答案：B 解析：，故选B. 2.答案：C 解析：因为函数的定义域为，则，，所以的定义域为，又因为，即，所以函数的定义域为，故选C. 3.答案：D 解析：令，则，所以，则，，，且. 4.答案：D 解析：由题意知的定义域为.因为，所以为奇函数.当时，，其在上单调递增；当时，，其在上单调递减.故选D. 5.答案：B 解析：不妨设任意的，，因为，所以，所以，所以在上单调递减，不等式等价于，又，所以等价于，因为在上单调递减，所以，即不等式的解集为.故选B. 6.答案：C 解析：因为是R上的偶函数，所以，又的图象关于点对称，则，所以，则，得，即，所以是周期函数，且周期，当时，，则，，，，则，则.故选C. 7.答案：D 解析：因为，所以的图象关于点成中心对称.令，得，得，又在上单调递减，所以在R上单调递减.又，则，所以由，可得，即，所以，即，解得或. 8.答案：B 解析：当时，，由，得， 即函数的图象每向右平移1个单位，图象上对应点的纵坐标变为原来的2倍，如图， 当时，， 令，整理得：，解得，， 观察图象知，当时，对任意时，成立， 所以m的取值范围是.故选B. 9.答案：BC 解析： A × 由函数当x为有理数时，函数值为1，当x为无理数时，函数值为0，所以函数的值域是. B √ 因为函数的值域是，，所以，. C √ 当时，，所以，当时，，所以.又的定义域为R，故是偶函数. D × 由，得，所以.由，得，所以，所以. 10.答案：ACD 解析：由①知函数为偶函数；由②知函数在上单调递减，则函数在上单调递增；由③知.画出函数大致图象如图.，A正确；由得或，解得或，B错误；若，则当时，，解得，当时，，解得，C正确；根据的图象知，函数存在最大值，则只需，即可满足条件，D正确. 11.答案： 解析：因为，所以，，解得. 12.答案： 解析：令，可得①，令，可得②.由①②可得.令，可得，所以.令，可得，所以. 13.答案： 解析：.因为为偶函数，所以①.又，则②.联立①②解得，.所以. 14.答案： 解析：作出函数的图象，如图所示.由，得.当时，，不等式无解；当时，由，得，若，则不等式无整数解，若，则不等式至少有2个整数解，不满足题意；当时，由得，又，，所以若不等式恰有1个整数解，则整数解为.再结合图象知.综上所述，实数a的取值范围为. 15.答案：（1） （2）证明见解析 解析：（1）由题可知，， 即，即. 两边平方整理得. 由于，恒成立，所以. （2）由（1）知，，当时. ，，则 . 因为，，所以，， 所以， 又， 所以，即， 所以在上单调递增. 学科网（北京）股份有限公司 $$