第02章 一元二次方程 章节测试练习卷-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第02章 一元二次方程 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 2．2021年5月11日我国第七次人口普查数据出炉，与第五次、第六次人口普查数据相比较，我国人口总量持续增长．第五次人口普查全国总人口约12.95亿，第七次人口普查全国总人口约14.11亿，设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．下列方程没有实数解的是（　　） A． B． C． D． 4．若一元二次方程x2=m有解，则m的取值为（　　） A．正数 B．非负数 C．一切实数 D．零 5．已知关于x的一元二次方程x2－kx－4＝0的一个根为2，则另一根是（ ） A．4 B．1 C．2 D．－2 6．已知m，n是方程的两个根，则（　　） A．2008 B．8002 C．2009 D．2020 7．代数式5x2﹣4xy+y2﹣6x+10的最小值是（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 8．将一元二次方程通过配方后所得的方程是（ ） A． B． C． D． 9．已知a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，则（1+2015a+a2）（1+2015b+b2）的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．若设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．一元二次方程x2﹣4x+4=0的解是 ． 12．某商品经过连续两次降价，价格从元降为元，则平均每次降低的百分率是 ． 13．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 14．某城市楼盘计划以每平方米12000元的均价对外销售，由于新政调控，房产商对价格两次下调后，最终以每平方米9800元的均价开盘销售.设每次下调的百分率相同且记为x，根据题意可以列出方程 . 15．若一元二次方程（）的两个实数根满足，则称这个方程是系数对偶方程；已知方程是是系数对偶方程，且两根之和为2，则c的值是 ． 16．若x1，x2是方程x2－3x＋1＝0的两个不相等的实数根，则x1＋x2＋x1x2＝ ． 17．随着某市养老机构建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加，养老床位数从2014年底的2万个增长到2016年底的2.88万个，则该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为 ． 18．如图，在中，，直角边，的长分别是方程的两个实数根，则的斜边上的高的长为 ．    三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．解方程： (1)（用因式分解法） (2)（用公式法） 20．先化简，再求值：÷，其中m是方程的根． 21．某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定每件商品的利润不得超过30%. （1）根据物价局规定，此商品每件售价最高可定为多少？ （2）若每件商品的售价定为x元，则每天可卖出（170－5x）件，商店预期每天要盈利280元，那么每件商品的售价应定为多少元？ 22．某体育用品店的“某品牌衬衫”每天销售20件，每件衬衫盈利40元．该体育用品店决定降价销售该品牌衬衫，经过市场调查发现：如果衬衫每降价1元，则每天多售出2件，设该品牌衬衫每件降价x元，每天销售y件． (1)直接写出y与x之间的函数关系式，不要求写出自变量的取值范围； (2)如果该体育用品店销售该品牌衬衫每天盈利1250元，那么衬衫每件降价了多少元? 23．如图，矩形中，，点M，N分别为上一点，且，连接． (1)当时，求证：四边形是菱形； (2)填空：①当 时，四边形是矩形；②当 时，以为对角线的正方形的面积为． 24．某超市销售一种商品，成本价为50元/千克，规定每千克售价不低于成本价，且不高于85元．经市场调查，该商品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，如图所示： (1)求y与x之间的函数表达式； (2)该商场销售这种商品要想每天获得1350元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 25．某文具店购进A，B两种型号的笔袋，两次购进笔袋的情况如表： 进货批次 A型笔袋（个） B型笔袋（个） 总费用（元） 一 100 50 4000 二 50 100 3500 (1)求A，B两种型号的笔袋进价各是多少元？ (2)在销售过程中，为了增大A型笔袋的销售量，超市决定对A型笔袋进行降价销售，当销售单价为40元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市将每个A型笔袋降价多少元时，每天售出A型笔袋的利润为240元？ 26．数学活动课上，老师提出问题:如图1，有一张长,宽的长方形纸板,在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成-一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大.下 面是探究过程，请补充完整: （1）设小正方形的边长为，体积为，根据长方体的体积公式得到和的关系式 ; （2）确定自变量的取值范围是 （3）列出与的几组对应值. ··· ··· （4）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点画出该函数的图象如图2，结合画出的函数图象，当小正方形的边长约为 时， 盒子的体积最大，最大值约为.(估读值时精确到) ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 一元二次方程 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】C 【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+b=-1，然后把2021-a-b变形为2021-（a+b），再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把x=1代入方程ax2+bx+1=0得a+b+1=0， 所以a+b=-1， 所以2021-a-b=2021-（a+b）=2021+1=2022． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 2．2021年5月11日我国第七次人口普查数据出炉，与第五次、第六次人口普查数据相比较，我国人口总量持续增长．第五次人口普查全国总人口约12.95亿，第七次人口普查全国总人口约14.11亿，设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，第五次人口总数约是12.95亿，由于两次的增长率为，可列出一元二次方程． 【详解】解：设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为，根据题意得： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用—增长率问题，关键在于弄清题意，列出方程． 3．下列方程没有实数解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项解方程或求出根的判别式，根据判别式的值，即可得到结论． 【详解】解：A．方程的解为，故本选项不符合题意； B．， ∵， ∴此方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意； C．， ∵， ∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； D．， ∵， ∴此方程无解，本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解决问题的关键． 4．若一元二次方程x2=m有解，则m的取值为（　　） A．正数 B．非负数 C．一切实数 D．零 【答案】B 【分析】利用平方根的定义可确定m的范围． 【详解】当m≥0时，一元二次方程x2=m有解． 故选B． 【点睛】本题考点：解一元二次方程-直接开平方法. 5．已知关于x的一元二次方程x2－kx－4＝0的一个根为2，则另一根是（ ） A．4 B．1 C．2 D．－2 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可 【详解】设另一个根为m， 则有2m=-4， 解得：m=-2， 故选D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键 6．已知m，n是方程的两个根，则（　　） A．2008 B．8002 C．2009 D．2020 【答案】A 【分析】根据m，n是方程的两个根，可得，，，化简，根据根与系数的关系进一步计算即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个根， ∴，，，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根与系数的关系，正确将所求式子化简为是解题的关键． 7．代数式5x2﹣4xy+y2﹣6x+10的最小值是（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【答案】B 【分析】先通过配方法将代数式配方，然后再根据偶次方的非负性，可得答案． 【详解】解：5x2﹣4xy+y2﹣6x+10 ＝4x2﹣4xy+y2+x2﹣6x+9+1 ＝（2x﹣y）2+（x﹣3）2+1 ∵（2x﹣y）2≥0，（x﹣3）2≥0 ∴（2x﹣y）2+（x﹣3）2+1≥1 ∴代数式5x2﹣4xy+y2﹣6x+10的最小值是1． 故选B． 【点睛】本题考查了配方法在代数式求最值中的应用，解答关键是应用配方法和偶次方的非负性． 8．将一元二次方程通过配方后所得的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后，两边同时加上一次项系数一半的平方即可. 【详解】解：x2-2x-2=0 移项得，x2-2x=2 两边加1得，x2-2x+1=1+2 ∴（x-1）2=3， 故选C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟悉掌握配方法的步骤是解决本题的关键． 9．已知a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，则（1+2015a+a2）（1+2015b+b2）的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】∵，是方程， ∴，，，， 则 = = =4． 故选：D． 考点：1．根与系数的关系；2．一元二次方程的解． 10．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．若设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为，根据增长率公式列式即可； 【详解】则可列方程为， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程增长率公式的应用，准确分析列式是解题的关键． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．一元二次方程x2﹣4x+4=0的解是 ． 【答案】x1=x2=2 【分析】根据配方法即可解方程. 【详解】解：x2﹣4x+4=0 （x-2）2=0 ∴x1=x2=2 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程,属于简单题,选择配方法是解题关键. 12．某商品经过连续两次降价，价格从元降为元，则平均每次降低的百分率是 ． 【答案】 【分析】设平均每次降低的百分率为x，那么第一次降低后的售价是原来的（1-x），那么第二次降低后的售价是原来的（1-x）2，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设平均每次降低的百分率为x，根据题意列方程得： 100×（1-x）2=64， 解得x1=0.2=20%，x2=1.8（不符合题意，舍去）． 故答案为20% 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据平均变化率列出方程是解题关键． 13．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，根据方程有实数根得出，求解即可得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 故答案为：． 14．某城市楼盘计划以每平方米12000元的均价对外销售，由于新政调控，房产商对价格两次下调后，最终以每平方米9800元的均价开盘销售.设每次下调的百分率相同且记为x，根据题意可以列出方程 . 【答案】12000（1-x）2=9800 【分析】设出平均每次下调的百分率为x，利用“楼盘对外销售每平方米的均价×（1-每次下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格”列方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率是x， 根据题意列方程得，12000（1-x）2=9800． 故答案为：12000（1-x）2=9800． 【点睛】本题主要考查了列一元二次方程，发现数量关系“楼盘对外销售每平方米的均价×（1-每次下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格”是解答本题的关键． 15．若一元二次方程（）的两个实数根满足，则称这个方程是系数对偶方程；已知方程是是系数对偶方程，且两根之和为2，则c的值是 ． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，列式即可求解． 【详解】∵是对偶方程， ∴， 在一元二次方程中， 根据根与系数的关系有：，， 即， 又∵的两根之和为2， ∴， 则有：，解得， 则有， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程中，根与系数的关系，掌握，，是解答本题的关键． 16．若x1，x2是方程x2－3x＋1＝0的两个不相等的实数根，则x1＋x2＋x1x2＝ ． 【答案】4 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解： ， ，用韦达定理算出 和的值带入求解即可； 【详解】∵ 方程为 ， ∴ a=1，b=-3，c=1， ∴ =3，=1， ∴ =3+1=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解韦达定理是解题的关键； 17．随着某市养老机构建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加，养老床位数从2014年底的2万个增长到2016年底的2.88万个，则该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为 ． 【答案】20% 【详解】解：设该市这两年（从2014年度到2016年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程： 2（1+x）2=2.88， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 故该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%． 故答案为：20%． 18．如图，在中，，直角边，的长分别是方程的两个实数根，则的斜边上的高的长为 ．    【答案】 【分析】首先解方程求出直角边，的长度，然后利用勾股定理求出的长度，然后利用等面积法求解即可． 【详解】∵直角边，的长分别是方程的两个实数根， ∴ 或 解得， ∴， ∵ ∴ ∴，即 解得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．解方程： (1)（用因式分解法） (2)（用公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）运用因式分解进行计算即可得； （2）运用公式法进行计算即可得； 掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解： 或 ，． （2）解： ，， 即， 20．先化简，再求值：÷，其中m是方程的根． 【答案】 【分析】先将括号内的进行通分，再将除法转换成乘法，从而进一步将含m的式子进行化简，最后整体代入求值即可 【详解】原式=== 又因为m为的根 所以 所以 所以原式= 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及一元二次方程根的意义，熟练掌握相关概念是关键 21．某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定每件商品的利润不得超过30%. （1）根据物价局规定，此商品每件售价最高可定为多少？ （2）若每件商品的售价定为x元，则每天可卖出（170－5x）件，商店预期每天要盈利280元，那么每件商品的售价应定为多少元？ 【答案】（1）20.8元;（2）定为20元/件. 【分析】（1）原价加上原价的30%即为最高售价； （2）根据：每件盈利×销售件数=总盈利额；其中，每件盈利=每件售价-每件进价．建立等量关系． 【详解】(1)16(1+30%)=20.8， 答：此商品每件售价最高可定为20.8元. (2)(x−16)(170−5x)=280， 整理,得：x2−50x+600=0， 解得：x1=20,x2=30， 因为售价最高不得高于20.8元,所以x2=30不合题意应舍去. 答：每件商品的售价应定为20元. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列式求解. 22．某体育用品店的“某品牌衬衫”每天销售20件，每件衬衫盈利40元．该体育用品店决定降价销售该品牌衬衫，经过市场调查发现：如果衬衫每降价1元，则每天多售出2件，设该品牌衬衫每件降价x元，每天销售y件． (1)直接写出y与x之间的函数关系式，不要求写出自变量的取值范围； (2)如果该体育用品店销售该品牌衬衫每天盈利1250元，那么衬衫每件降价了多少元? 【答案】(1) (2)衬衫每件降价了15元 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系． （1）根据题意列出一次函数解析式即可； （2）根据该品牌衬衫每天盈利1250元列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵每天销售20件，每件衬衫盈利40元，衬衫每降价1元，则每天多售出2件， ∴该品牌衬衫每件降价x元，每天销售； （2）解：根据题意得：， 整理得:， 解得:， 答:衬衫每件降价了15元． 23．如图，矩形中，，点M，N分别为上一点，且，连接． (1)当时，求证：四边形是菱形； (2)填空：①当 时，四边形是矩形；②当 时，以为对角线的正方形的面积为． 【答案】(1)见解析 (2)①4；②或 【分析】（1）求出四边形的各个边长即可； （2）设，①四边形是矩形时，列方程计算即可； ②以为对角线的正方形的面积为解方程即可． 【详解】（1）∵矩形中， ∴, ∵， ∴，，， ∴ ∴四边形是菱形 （2）设，则 ①∵四边形是矩形 ∴， ∴，解得 即当时，四边形是矩形； 故答案为：4； ②当或时，以为对角线的正方形的面积为 证明：当时， 过N作于，则四边形是矩形 ∴， ∴， ∴， ∵以为对角线的正方形的面积为， ∴ ∴， 解得或， 即当或时，以为对角线的正方形的面积为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质，解一元二次方程，理解矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 24．某超市销售一种商品，成本价为50元/千克，规定每千克售价不低于成本价，且不高于85元．经市场调查，该商品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，如图所示： (1)求y与x之间的函数表达式； (2)该商场销售这种商品要想每天获得1350元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)65元 【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解； （2）根据“总利润=每千克利润×销售量”，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为： 把（50，120），（70，80）代入得： ∴ ∴y与x的函数关系式为：； （2）解：由题意得： ∴，（舍去） ∴每件商品的售价应定为65元． 【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 25．某文具店购进A，B两种型号的笔袋，两次购进笔袋的情况如表： 进货批次 A型笔袋（个） B型笔袋（个） 总费用（元） 一 100 50 4000 二 50 100 3500 (1)求A，B两种型号的笔袋进价各是多少元？ (2)在销售过程中，为了增大A型笔袋的销售量，超市决定对A型笔袋进行降价销售，当销售单价为40元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市将每个A型笔袋降价多少元时，每天售出A型笔袋的利润为240元？ 【答案】(1)A种型号的笔袋进价是30元，乙种型号的笔袋进价是20元． (2)设超市应将A型笔袋降价2或4元时，使得超市每天销售A型笔袋的利润为240元． 【分析】本题考查了二元一次方程组及一元二次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设、两种型号的笔袋进价各是、元，根据题意列出方程组即可完成； （2）设型笔袋降价元时，每天售出型笔袋的利润为240元，可得关于的一元二次方程，即可求的结果． 【详解】（1）解：设种型号的笔袋进价是元，乙种型号的笔袋进价是元， 由题意可知：，解得， 答：A种型号的笔袋进价是30元，乙种型号的笔袋进价是20元． （2）解：设超市应将型笔袋降价元， 由题意可知：， 整理的：， ， 解得， 答：设超市应将A型笔袋降价2或4元时，使得超市每天销售A型笔袋的利润为240元． 26．数学活动课上，老师提出问题:如图1，有一张长,宽的长方形纸板,在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成-一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大.下 面是探究过程，请补充完整: （1）设小正方形的边长为，体积为，根据长方体的体积公式得到和的关系式 ; （2）确定自变量的取值范围是 （3）列出与的几组对应值. ··· ··· （4）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点画出该函数的图象如图2，结合画出的函数图象，当小正方形的边长约为 时， 盒子的体积最大，最大值约为.(估读值时精确到) 【答案】（1）；（2）；（3）3,2；（4）0.55 【分析】（1）根据长方形和正方形边长分别求出长方体的长、宽、高，然后即可得出和的关系式； （2）边长都大于零，列出不等式组，求解即可； （3）将的值代入关系式，即可得解； （4）根据函数图象，由最大值即可估算出的值. 【详解】（1）由题意，得 长方体的长为，宽为，高为 ∴y和x的关系式： （2）由（1）得 ∴变量x的取值范围是； （3）将和代入（1）中关系式，得 分别为3，2； （4）由图象可知，与3.03对应的值约为0.55. 【点睛】此题主要考查展开图折叠成长方体，以及与函数的综合运用，熟练掌握，即可解题. 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