专题03 倍数与因数（3个知识点+14个题型 共54题）2024-2025学年北师大版数学五年级上册考点训练尖子生专题培优系列（学生版+教师版）

2024-2025学年北师大版数学五年级上册尖子生专题培优系列（3个知识梳理+14个题型 共54题） 专题03 倍数与因数 【知识梳理】 1 【题型一 找一个数的倍数及倍数的特征】 3 【题型二 根据倍数的特征解决问题】 4 【题型三 2、5的倍数特征】 6 【题型四 奇数与偶数的认识】 7 【题型五 运算性质（奇数和偶数）】 10 【题型六 3的倍数特征】 11 【题型七 2、3、5的倍数特征综合】 14 【题型八 9的倍数特征找因数】 16 【题型九 找一个数的因数及因数的特征】 18 【题型十 根据因数的特征解决问题】 20 【题型十一 倍数和因数的综合应用】 22 【题型十二 分解质因数】 24 【题型十三 质数与合数的认识】 25 【题型十四 质数与合数的综合应用】 27 【知识梳理】 知识梳理01：倍数与因数的认识及求法 1.倍数与因数的意义。 在乘法算式ａ×ｂ＝ｃ(ａ，ｂ，ｃ 都是不为０ 的自然数)中，ｃ是ａ和ｂ的倍数，ａ和ｂ是ｃ的因数。倍数和因数是相互依存的，不能单独说一个数是倍数或因数。 2.找一个数的倍数的方法。 用这个数分别乘1，2，3，4，…所得的积就是这个数的倍数，一个数的倍数的个数是无限的。 判断两个数成倍数关系的方法: (1)列乘法算式，用积判断。 (2)列除法算式，如果商是整数且没有余数就是倍数关系，反之不是。 3.倍数与因数的关系。 倍数与因数是乘法算式中积和乘数的关系，是相互依存的，没有倍数就不存在因数，没有因数也不存在倍数，不能单独说一个数是倍数或因数。 4.找一个数的因数的方法。 方法一：想这个数可以写出哪些乘法算式，算式中的因数就是这个数的因数。 方法二：想一个数(０除外)除以几得非零自然数(无余数)，除数和商就是这个数的因数。 一个数因数的个数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1。 知识梳理02：2、5、3的倍数的特征 1.2的倍数的特征。 个位上是0，2，4，6，8的数。 2.5的倍数的特征。 个位上是0或5的数。 温馨提示：个位上是０的数，既是２的倍数，又是５的倍数。 3.3的倍数的特征。 一个数各个数位上的数字的和是３的倍数，这个数就是３的倍数。 温馨提示：一个数各个数位上的数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。 4.同时是2，3的倍数的特征。 个位上的数必须是0，2，4，6，8且各个数位上数字之和是3的倍数。 5.同时是3和5的倍数的特征。 个位上必须是0或5，且各个数位上数字之和是3的倍数。 6.同时是2、3、5的倍数的特征. 各个数位上数字之和是3的倍数，且个位上是0。 知识梳理03：奇数偶数质数合数 1.奇数与偶数的意义。 像2，4，6，8，…这样的数，是2的倍数，叫作偶数。 像1，3，5，7，…这样的数，不是2的倍数，叫作奇数。 2.质数与合数的意义。 一个数只有１和它本身两个因数，这个数叫作质数，最小的质数是2。 一个数除了１和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数，最小的合数是4。 3.判断一个数是质数还是合数的方法。 看这个数的因数的个数，只有2个因数的数是质数，有3个或3个以上因数的数是合数。 4.100以内的质数。 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个。 温馨提示：１既不是质数,也不是合数。 【题型一 找一个数的倍数及倍数的特征】 【精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）一个数比20小，它是2的倍数，又是7的倍数，这个数是( )。 【答案】14 【思路点拨】先分别找出2的倍数和7的倍数，从中找出满足是2的倍数又是7的倍数的数，且这个数要比20小，据此解答。 【规范解答】2的倍数有：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，… 7的倍数有：7，14，21，… 比20小，且是2的倍数，又是7的倍数的数是14。 因此一个数比20小，它是2的倍数，又是7的倍数，这个数是14。 【变式训练1】（23-24五年级下·全国·课后作业）为了培养学生的节约意识，锻炼社会实践能力，学校举办了“跳蚤市场”活动。同学们把家里闲置的旧书和旧玩具等用品带来售卖。 【答案】42 【思路点拨】列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 据此求出50以内14的倍数，50以内最大的倍数就是女孩收入的钱数。 【规范解答】14×1＝14（元） 14×2＝28（元） 14×3＝42（元） 14×4＝56（元） 50以内14的倍数有：14、28、42 女孩收入的钱数是42元。 【变式训练2】（22-23五年级上·广东深圳·期末）一个数既是6的倍数又是54的因数，这个数最大是( )。 【答案】54 【思路点拨】 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数，据此解答。 【规范解答】54（包括54）以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48、54； 所以，一个数既是54的因数又是6的倍数，这个数最大是54。 【考点评析】此题考查的目的是理解因数与倍数的意义，掌握求一个数的因数和求一个数的倍数的方法。 【变式训练3】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）从8开始，8的5个连续倍数从小到大依次是( )。 【答案】8＜16＜24＜32＜40 【思路点拨】先写出8的倍数，再从8开始，按从小到大顺序排列5个连续倍数，即可解答。 【规范解答】8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56，… 因此从8开始，8的5个连续倍数从小到大依次是8＜16＜24＜32＜40。 【题型二 根据倍数的特征解决问题】 【精讲】（21-22五年级上·陕西咸阳·期末）五（1）班的学生人数在40－50人之间，一次大扫除，按8人一组分组，则少1人，五（1）班有多少名学生？ 【答案】47名 【思路点拨】根据题意可知，这个班的学生人数在40~50人之间，而这个班的学生比40~50人之间的8的倍数少1，根据求一个数的倍数方法解答。 【规范解答】在40－50人之间8的倍数是48， 48－1＝47（人） 答：五（1）班有47名学生。 【考点评析】此题考查的目的是理解倍数的意义，掌握求一个数的倍数的方法及应用。 【变式训练1】（23-24五年级上·四川成都·期中）舞蹈教室来了19名同学，要求每9名同学排成一队，至少再来（    ）名同学才能排好队形。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【思路点拨】每9名排成一队，每队人数一样多，人数应是9的倍数，据此解答。 【规范解答】19÷9＝2（队）……1（名） 9－1＝8（名） 舞蹈教室来了19名同学，要求每9名同学排成一队，至少再来8名同学才能排好队形。 故答案为：B 【变式训练2】（2023五年级上·辽宁·专题练习）耳顺：六十岁，古稀：七十岁。奶奶已过耳顺之年，未及古稀之年，且年龄是8的倍数，那么奶奶今年是( )岁。 【答案】64 【思路点拨】由题意可知：奶奶的年龄在60~70之间，且是8的倍数。列乘法算式找一个数的倍数，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。据此解答即可。 【规范解答】8×7＝56，8×8＝64，8×9＝72，其中60＜64＜70，所以奶奶今年64岁。 【考点评析】此题考查了找一个数的倍数的方法。 【变式训练3】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）淘气家一共有5口人，妈妈买了一些水果，淘气把其中的苹果平均分给每个人刚好分完没有剩余。爷爷和奶奶更爱吃梨，于是把苹果还给了淘气，淘气把全部的苹果又重新分配了一下，还是刚好分完没有剩余。妈妈买的苹果至少有多少个？ 【答案】15个 【思路点拨】由题可知，平均分给5个人或平均分给3个人都没有剩余，说明苹果的个数是3和5的倍数，求妈妈买的苹果至少有多少个，就是求3和5共同的倍数，据此解答。 【规范解答】3的倍数：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30… 5的倍数：5、10、15、20、25、30… 3和5的倍数：15、30… 所以3和5的共同的倍数是15、30… 答：妈妈买的苹果至少有15个。 【题型三 2、5的倍数特征】 【精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）在网络上，人们利用闲暇时间在蚂蚁森林收集绿色能量，然后选择保护地进行虚拟种树。现实生活中，园林工人在鞍子河保护地种了一百多但不到两百棵梭梭树，种成5列，每列梭梭树棵数相同但有一列少2棵，这些梭梭树最少有多少棵？最多有多少棵？ 【答案】最少：103棵 最多：198棵 【思路点拨】种了一百多但不到两百棵梭梭树，种成5列，每列梭梭树棵数相同但有一列少2棵，由此可知，种树的棵数大于100小于200，根据5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数，据此找出大于100而小于等于200的5的最小倍数和最大倍数，再减去2即可解答。 【规范解答】100到200之间大于100的最小倍数是105，最大倍数是200； 105－2＝103（棵） 200－2＝198（棵） 答：这些梭梭树最少有103棵，最多有198棵。 【变式训练1】（21-22五年级下·甘肃定西·期中）要使126□能被5整除，□中可填（    ）。 A．2、0 B．0、5 C．3、5 【答案】B 【思路点拨】5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 【规范解答】根据5的倍数特征可知，要使126□能被5整除，□中可填0或5。 故答案为：B 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）在(    )里填上合适的数。 (1)使每个数都是2的倍数。                 4( )    5( )    6( )    ( )8 (2)使每个数都是5的倍数。 1( )    9( )    7( )    ( )5 【答案】(1) 0 2 4 9 (2) 0/5 5/0 5/0 1 【思路点拨】根据个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数。据此解答。 【规范解答】（1）使每个数都是2的倍数。 4（0）     5（2）      6（4）      （9）8 （2）使每个数都是5的倍数。 1（0）    9（5）      7（5）      （1）5 【变式训练3】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）按要求填一填。 15        36        60        80        96        100        25        28        23        49 既是2的倍数又是5的倍数的数是（    ）。 【答案】 60；80；100 【思路点拨】观察每个数的个位数字，个位数是0、2、4、6、8的数为偶数，个位数是1、3、5、7、9的数为奇数；个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数；既是2的倍数又是5的倍数的数是个位上是0的数；据此解答。 【规范解答】 既是2的倍数又是5的倍数的数：60；80；100。 【题型四 奇数与偶数的认识】 【精讲】（23-24五年级下·辽宁·假期作业）用0，1，2，3，…，9这10个数字组成5个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数并且尽可能大，这5个两位数的和是多少？ 【答案】351 【思路点拨】10个数字正好组成5个两位数，我们先不考虑“和是奇数”这个条件，只考虑5个两位数的和尽可能大如何解决。要使得0到9这10个数字组成的5个两位数的和尽可能大，那么5个两位数的十位上的数字要取较大的9，8，7，6，5，个位上的数字取较小的0，1，2，3，4，这时，我们再考虑5个两位数和的奇偶性。看几个数的和是奇数还是偶数，只需要看个位上的数字之和，如果个位上的数字之和是奇数（或偶数），那么这几个数的和就是奇数（或偶数）。根据这个原则，我们很容易看出个位是0，1，2，3，4，这5个数字中有2个是奇数，因为偶数个奇数的和是偶数，所以这5个两位数的和是偶数，不满足题目的要求。从已得到的5个两位数出发，尽可能少地调整十位与个位上的数字，调整的两个数字要尽可能地接近。因此，只有4和5这两个数字位置互换，这样5个两位数的十位上的数字分别是4，6，7，8，9，个位上的数字分别是0，1，2，3，5，这样个位上的数字之和就是奇数。 【规范解答】 ＝34×10＋11 ＝340＋11 ＝351 答：这5个两位数的和是351。 【考点评析】一个整数是奇数还是偶数就是数的奇偶性，奇数的个数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意多个偶数的和一定是偶数。 【变式训练1】（19-20五年级上·辽宁沈阳·期末）某月内有3个星期日的日期都是偶数，那么这个月的15日是星期（    ）。 A．五 B．六 C．日 D．一 【答案】B 【思路点拨】我们假设某月的一个星期天的数字偶数，那么下一个星期天为奇数；如此类推，如果要满足某个月内有三个偶数数字的星期天，那么这个月须有5个星期天；这个月的2号是星期天，第五个星期天，刚好是本月的30号，所以这个月的15号为星期六，问题得解。 【规范解答】某月内有三个星期天的日期都是偶数，这个月的2号是星期天，是星期天的是2日、9日、16日、23日、30日，五个星期天，那么这个月的15日就是星期六。 故答案为：B 【考点评析】本题主要考查数的奇偶性，注意如果要满足某个月内有三个偶数数字的星期天，那么这个月有5个星期天。 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）五（2）班学生人数是奇数，在40～50之间。上体育课时，3人一组做游戏，正好全部分完没有剩余。五（2）班有多少人？下面是童童的分析过程，请你根据他的分析过程写出答案。 分析：要求这个班可能有多少人，即求40~50之间3的倍数，且是奇数的数。 想：3×1＝3，3×2＝6，3×3＝9……3×10＝( )，3×11＝( )，3×12＝( )，3×13＝( )，3×14＝( )，3×15＝( )，3×16＝( )，3×17＝( )。 积在40~50之间的有42、45、48，奇数只有45。所以五（2）班有( )人。 【答案】 30 33 36 39 42 45 48 51 45 【思路点拨】已知3人一组做游戏，正好全部分完没有剩余，说明这个班的人数是3的倍数。 找一个非零数的倍数的方法：用这个数和任意一个自然数（0除外）相乘，所得的积都是这个数的倍数。据此把3和自然数1开始乘起，依次乘2，3，4，…，再在40～50之间找出适合的奇数即可。 不能被2整除的数叫做奇数，奇数的个位上是1，3，5，7或9。 【规范解答】通过分析可得：3×1＝3，3×2＝6，3×3＝9……3×10＝30，3×11＝33，3×12＝36，3×13＝39，3×14＝42，3×15＝45，3×16＝48，3×17＝51。 积在40~50之间的有42、45、48，奇数只有45。所以五（2）班有45人。 【变式训练3】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）观察下面各数。（填“奇”或“偶”） (1)左边的数都是( )数，右边的数都是( )数。 (2)从左边任取两个数相加，和是( )数，从右边任取两个数相加，和是( )数。 (3)我发现：偶数＋偶数＝( )数，奇数＋奇数＝( )数，奇数＋偶数＝( )数。 【答案】(1) 奇 偶 (2) 偶 偶 (3) 偶 偶 奇 【思路点拨】（1）观察每个数的个位数字，个位数是0、2、4、6、8的数为偶数，个位数是1、3、5、7、9的数为奇数； （2）分别代入一个具体的数相加，看结果是奇数还是偶数即可； （3）奇数和偶数的和的规律是：如果两个数都是奇数或都是偶数，那么它们的和也是偶数。如果一个数是奇数，另一个数是偶数，那么它们的和是奇数。据此解答。 【规范解答】（1）左边的数的个位数字都是1、3、5、7、9中的一个，它们都是奇数，右边的数的个位数字都是0、2、4、6、8中的一个，它们都是偶数。 （2）比如,，14和230都是偶数，所以从左边任取两个数相加，和是偶数。比如,,32和116都是偶数，所以从右边任取两个数相加，和是偶数。 （3）比如,17是奇数，所以一个奇数与一个偶数的和是奇数。我发现：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。 【题型五 运算性质（奇数和偶数）】 【精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）下图是一个靶，靶上的1，3，5，7，9表示射中该靶区的分数，淘气说：“我打了6枪，每枪都中靶，得分是27分。”笑笑说：“我打了3枪，每枪都中靶，得分是27分。”你知道他们两人中谁说了假话吗？为什么？ 【答案】淘气；理由见解析 【思路点拨】由图可知，所有靶区的分数都是奇数；结合运算定律：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，打了6枪的分数是偶数，打了3枪的分数是奇数，据此解答。 【规范解答】淘气打了6枪，每两枪的分数相加是偶数，即奇数＋奇数＝偶数，把这三次相加的偶数再相加，即偶数＋偶数＝偶数，因此淘气打了6枪的分数是偶数，淘气说了假话。 笑笑打了3枪，前两枪的分数相加是偶数，即奇数＋奇数＝偶数，再与第3枪的分数相加是奇数，即偶数＋奇数＝奇数，因此笑笑打了3枪的分数是奇数，笑笑说的是真话。 答：淘气说了假话。理由是：27是奇数，淘气打了6枪的分数是偶数；笑笑打了3枪的分数是奇数。 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）某场科技竞赛，共10道题，答对一题得10分，答错或不答倒扣2分，扣完为止。那么每名参赛学生的总分一定是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】偶数 【思路点拨】分两种情况：①如果答对的题数是偶数，则答错的题数也是偶数；②如果答对的题数是奇数，则答错的题数也是奇数；根据偶数－偶数＝偶数，偶数－奇数＝奇数，奇数－奇数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；据此解答。 【规范解答】①如果答对的题数是偶数，10－偶数＝偶数，则答错的题数也是偶数。 偶数×10＝偶数，偶数×2＝偶数， 偶数－偶数＝偶数，因此最终得分是偶数。 ②如果答对的题数是奇数，10－奇数＝奇数，则答错的题数也是奇数。 奇数×10＝偶数，奇数×2＝偶数， 偶数－偶数＝偶数，因此最终得分是偶数。 因此每名参赛学生的总分一定是偶数。 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·单元测试）1＋2＋3＋45＋…＋99＋100的和是奇数还是偶数，请说明理由。 【答案】偶数；理由见详解 【思路点拨】根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，据此解答即可。 【规范解答】1＋2＋3＋45＋…＋99＋100的和是偶数，因为1~100中共有50个奇数和50个偶数，50个奇数的和是偶数，50个偶数的和是偶数，则总体的和是偶数。 【变式训练3】（23-24五年级下·辽宁·假期作业）某班21名同学参加竞赛，共有20道竞赛题。每道题的评分方法如下：答对得5分，不答得1分，答错倒扣1分。这21名同学分数的总和是奇数还是偶数？ 【答案】偶数 【思路点拨】此题满分为（分），即总分为偶数，若错1题要从100分里面扣去5＋1＝6（分），6为偶数，若不答从中扣去5－1＝4（分），4也为偶数，根据偶数－偶数＝偶数可知，一人的得分总是偶数，再根据偶数×奇数＝偶数确定21名学生的总和是偶数。 【规范解答】如全对得（分），即总分是偶数；如答错1题要从100分中减去（分），即94分，94也是偶数；如有1题不答，要从100分中减去（分），即96分，96还是偶数。根据偶数－偶数＝偶数，以此类推，每名同学的分数肯定是偶数。 所以这21名同学分数的总和就是偶数。 【考点评析】此题结合实际考查整数的奇偶性，完成本题的关键在与弄明白错题和不答题所扣的分数的奇偶性。 【题型六 3的倍数特征】 【精讲】（20-21五年级上·山西吕梁·期末）在□中，□填最小填（ ），就能使这个数是3的倍数。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【思路点拨】根据3的倍数特征：一个数各个数位上的数字之和如果是3的倍数，那么，这个数一定是3的倍数；□中，有108个2，就是108个2相加的和与□的和，□里填最小的数，是3的倍数，据此解答。 【规范解答】2×108＋□ ＝216＋□ 如果□填最小的数0： 216＋0＝216 216÷3＝72 □最小是0，□是3的倍数。 故答案选：A 【考点评析】本题考查3的倍数特征，根据3的倍数特征进行解答。 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·单元测试）用0、1、2三张数字卡片能组成（    ）个同时被2、3、5整除的三位数。 A．4 B．3 C．2 D．6 【答案】C 【思路点拨】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】0、1、2组成三位数同时被2、3、5整除是120，210；一共2个。 用0、1、2三张数字卡片能组成2个同时被2、3、5整除的三位数。 故答案为：C 【变式训练2】（20-21五年级上·辽宁·期中）商店里有6箱货物，分别重16、19、21、22、24、25千克两个顾客买走了其中五箱，已知一个顾客买的货物是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重( )千克。 【答案】22 【思路点拨】其中一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么这两个顾客买的货物总重量是3的倍数，我们可以先从这一组数字（16＋19＋21＋22＋24＋25）÷3＝42……1，去掉一个除以3余1的数即可，只有22符合题意，由此列式解答即可。 【规范解答】根据分析可知，两个顾客拿走货物的的总重量为： 16＋19＋21＋24＋25 ＝（16＋24）＋（19＋21）＋25 ＝105（千克） 105÷3＝35（千克） 35×2＝70（千克） 两个顾客拿走的重量分别是：21＋24＋25＝70（千克），16＋19＝35（千克） 那么商店剩下的一箱货物重22千克。 【考点评析】解答此题的关键是分析出两位顾客买走的总重量是3的倍数，考查了学生分析问题的能力。 【变式训练3】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）500位同学站成一排，从左往右按“1，2，3”报数，凡报到1和2的离队，报到3的留下。向左看齐并重复同样的报数过程，如此进行若干次后，只留下了两位同学，在开始的队伍中这两位同学分别在从左往右数的第多少位？ 【答案】243位和486位 【思路点拨】从左往右按“1，2，3”报数，凡报到1和2的离队，报到3的留下，先用500除以3求出有多少组零几个，每组有2位同学离开，再加上余数里离开的同学，用500减去离开的同学，求出剩下的同学，同理求出剩下的同学，直到找出最后留下的同学； 从左往右数，首次报数留下的同学是第3，6，9，12，…位同学，恰好是3的倍数；第二次报数留下的同学是开始队伍中的第9，18，27，…位同学，恰好是（3×3）的倍数；第三次报数留下的同学是开始队伍中的第27，54，81，…位同学，恰好是（9×3）的倍数；……依此类推即可解答。 【规范解答】500÷3＝166……2 所以第一次报数后离开了166×2＋2＝334（位），留下的同学是第3，6，9，12，…位同学，恰好是3的倍数； 留下500－334＝166（位）， 166÷3＝55……1 所以第二次报数后离开了55×2＋1＝111（位），留下的同学是开始队伍中的第9，18，27，…位同学，恰好是（3×3）的倍数； 166－111＝55（位） 55÷3＝18……1 所以第三次报数后离开了18×2＋1＝37（位），留下的同学是开始队伍中的第27，54，81，…位同学，恰好是（9×3）的倍数； 55－37＝18（位） 18÷3＝6（位） 6×2＝12（位） 所以第四次报数后离开了12位，留下的同学是开始队伍中的第81，162，324，…位同学，恰好是（27×3）的倍数； 18－12＝6（位） 6÷3＝2 2×2＝4（位）第四次报数后离开了4位，留下的同学是开始队伍中的第243，486，…位同学； 6－4＝2（位） 答：在开始的队伍中这两位同学分别在从左往右数的第243，486位同学。 【考点评析】本题主要是考查3的倍数的应用，重复利用3的倍数解决问题。 【题型七 2、3、5的倍数特征综合】 【精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）从四个数字5，0，6，1中选出三个，按要求组成三位数。（任写一个） 奇数： 偶数： 3的倍数： 5的倍数： 既是2的倍数，又是5的倍数 【答案】 501 516 516 510 510 【思路点拨】（1）根据奇数与偶数定义：是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；（2）3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；（3）5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数；（4）既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数；据此解答。 【规范解答】不是2的倍数的数是奇数，因此组成三位数是奇数的是：501； 是2的倍数的数是偶数，因此组成三位数是偶数的是：516； 组成三位数是3的倍数的是：516； 组成三位数是5的倍数的是：510； 组成三位数既是2的倍数，又是5的倍数的是：510。 因此组成三位数是奇数有：501；是偶数有：516；是3的倍数有：516；是5的倍数有：510；既是2又是5的倍数有：510。（答案不唯一） 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·单元测试）用下面卡片上的数字按要求组成一个四位数。 0     2     3     7 最大的奇数：( )；     最小的偶数：( )； 同时是2，3倍数的最大的四位数：( )； 同时是5，3倍数的最小的四位数：( )； 同时是2，3，5倍数的最大的四位数：( )。 【答案】 7203 2370 7320 2370 7320 【思路点拨】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】最大的奇数：7203；     最小的偶数：2370； 同时是2，3倍数的最大的四位数：7320； 同时是5，3倍数的最小的四位数：2370； 同时是2，3，5倍数的最大的四位数：7320。 【变式训练2】（19-20五年级上·辽宁·期中）在□内填入合适的数． （1）24□，□内填( )既是3的倍数又是5的倍数。 （2）5□0，□内填( )既是2的倍数又是3的倍数。 （3）□69，□内填( )既是3的倍数又是9的倍数。 【答案】 0 1、4、7 3 【思路点拨】（1）要使24□是5的倍数，则□是0或5，由于24□又是3的倍数，则2＋4＋□的和是3的倍数，所以□只能填0。 （2）5□0的个位上是偶数，所以5□0是2的倍数，要使5□0是3的倍数，则5＋□＋0的和是3的倍数，所以□里可以填1、4、7。 （3）要□69是9的倍数，则□＋6＋9的和是9的倍数，所以□里只能填3，9是3的倍数，所以369是9的倍数就一定是3的倍数。 【规范解答】（1）根据分析可知，24□，□内填0既是3的倍数又是5的倍数。 （2）根据分析可知，5□0，□内填1、4、7既是2的倍数又是3的倍数。 （3）根据分析可知，□69，□内填3既是3的倍数又是9的倍数。 【变式训练3】（17-18五年级·全国·单元测试）向阳小学四年级共110人站队到科技馆参观，2人一排，每行的人数相等吗？如果3人排一排，每行的人数相等吗？如果每排5人呢？ 【答案】相等；不相等；相等 【思路点拨】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数，3的倍数特征：各个数位上数字之和是3的倍数的数，5的倍数特征：个位上是0或5的数；110如果是2、3、5的倍数，就能使每行的人数相等，如果不是2、3、5的倍数，每行的人数不相等，据此解答即可。 【规范解答】110的个位上是0，所以110是2和5的倍数； ，2不是3的倍数，所以110不是3的倍数； 答：四年级共110人站队到科技馆参观，2人一排，每行的人数相等；如果3人排一排,每行的人数不相等；如果每排5人，每行的人数相等。 【题型八 9的倍数特征找因数】 【精讲】（23-24五年级上·安徽阜阳·期中）（1）下面各数中，哪些数是9的倍数？请用“○”圈出来。 48    36    69    72    108    99    296    369    1026 （2）针对第1题数据列表探究。 9的倍数 各个数位上的数之和 （3）由第2题我发现是9的倍数的数的特征是______________。 （4）根据你的发现写出两个是9的倍数的四位数：（        ）、（        ）。 【答案】（1）（2）见详解 （3）各个数位上的数字之和是9的倍数 （4）1062，6021 【思路点拨】（1）能够被9整除的数就是9的倍数；据此即可圈出9的倍数； （2）将（1）中9的倍数的数填入表中，再将各个数位上的数相加即可； （3）根据各个数位上的数字之和的特征解答即可； （4）列举出符合要求的四位数即可，答案不唯一。 【规范解答】（1）48÷9＝5……3 36÷9＝4 69÷9＝7……6 72÷9＝8 108÷9＝12 99÷9＝11 296÷9＝32……8 369÷9＝41 1026÷9＝114 如下： （2）列表如下： 9的倍数 36 72 108 99 369 1026 各个数位上的数之和 9 9 9 18 18 9 （3）我发现是9的倍数的数的特征是：各个数位上的数字之和是9的倍数。 （4）是9的倍数的四位数有：1062，6021。（答案不唯一） 【变式训练1】（18-19五年级上·辽宁·课后作业）一个数是3的倍数，这个数（　　）是9的倍数。 A．一定 B．不一定 C．一定不 【答案】B 【思路点拨】各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，各个数位上数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数，据此即可解答。 【规范解答】1101各个数位上数字之和是3的倍数，但不是9的倍数，所以1101是3的倍数，但不是9的倍数，18090各个数位上数字之和是3的倍数，也是9的倍数，所以18090既是3的倍数，也是9的倍数；所以一个数是3的倍数，这个数不一定是9的倍数。 故答案为：B 【变式训练2】（18-19五年级上·辽宁·课后作业）下面哪些数是9的倍数？圈一圈。 180    342    659    405    783    207    427 【答案】圈出的数是：180  342  405  783  207 【思路点拨】9的倍数与3的倍数有一样的特点，都是把各个数位上的数加起来，如果和是9的倍数，这个数就是9的倍数，如180，1＋8＋0＝9.9是9的倍数，据此即可解答。 【规范解答】所以180是9的倍数；又如659，6＋5＋9＝20.20不是9的倍数，所以659不是9的倍数，按此方法一一判断即可． 【变式训练3】（2022六年级·全国·竞赛）在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数。请随便填出一种，并检查自己填的是否正确。 【答案】49320 【思路点拨】一个数是9的倍数，那么它各个数位上的数字之和就应该是9的倍数，4＋3＋2＝9本身就是9的倍数，所以方框中的两个数之和也是9的倍数，和可以是9，也可以是18。 【规范解答】当方框里的两个数的和是9时，方法比较多，比如49320； 49320÷9＝5480，确实可以整除。 【考点评析】本题考查的是9的整除特征，3和9的整除特征都是通过各位数字之和来判断的。 【题型九 找一个数的因数及因数的特征】 【精讲】（23-24五年级上·辽宁·单元测试）古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数，6＝1＋2＋3，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面数中是“完全数”的是（    ）。 A．12 B．15 C．28 D．36 【答案】C 【思路点拨】根据“完全数”的概念，先找出选项中数的所有因数，再将除了本身之外的因数相加，和本身比较即可。 【规范解答】A．12的因数1、2、3、4、6、12 1＋2＋3＋4＋6＝16，12≠16，则12不是“完全数”； B．15的因数1、3、5、15 1＋3＋5＝9，9≠15，则15不是“完全数”； C．28的因数1、2、4、7、14、28 1＋2＋4＋7＋14＝28，28是“完全数”； D．36的因数1、2、3、6、12、18、36 1＋2＋3＋6＋12＋18＝42，42≠36，则36不是“完全数”。 故答案为：C 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）写出54的所有因数，笑笑写了7个：1，54，2，3，18，6，9，按照笑笑的思考方法，她漏写了排在( )后面的( )。 【答案】 2 27 【思路点拨】笑笑的思考方法是看哪两个因数的积是54，这些因数都是54的因数，据此写出54的所有因数即可解答。 【规范解答】54＝1×54＝2×27＝3×18＝6×9 所以54的因数有1，54，2，27，3，18，6，9 所以笑笑写了7个：1，54，2，3，18，6，9，按照笑笑的思考方法，她漏写了排在2后面的27。 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）按要求做一做。 （    ）既是40的因数，又是48的因数。 【答案】 图见详解； 1，2，4，8 【思路点拨】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【规范解答】40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8 48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40； 48的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 1，2，4，8既是40的因数，又是48的因数。 【变式训练3】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）“每天一苹果，不去卫生所。”苹果素来享有“水果之王”的美誉，它的营养价值和医疗价值都很高，被越来越多的人称为“大夫第一药”。妈妈买来一篮苹果，现在要把它们全部取出来，至少分成2堆，使每堆中苹果的个数相同（至少2个），有几种分法？ 【答案】4种 【思路点拨】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。因为至少分成2堆，且每堆至少2个，因此找出除1和50之外50的所有因数即可。 【规范解答】50＝1×50＝2×25＝5×10 50的因数有1、2、5、10、25、50。 可以分成2堆，每堆25个；分成5堆，每堆10个；分成10堆，每堆5个；分成25堆，每堆2个。 答：共有4种分法。 【题型十 根据因数的特征解决问题】 【精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）一个长方形的面积是36平方厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有多少种？长和宽分别是多少厘米？当长和宽都是几厘米时，这个图形是正方形？ 【答案】5种；长和宽分别是36cm，1cm；18cm，2cm；12cm，3cm；9cm，4cm；6cm，6cm。当长和宽都是6cm时，这个图形是正方形。 【思路点拨】长方形的面积＝长×宽，长方形的长和宽都是整厘米数，长方形的面积是36平方厘米，找出36可以是哪两个因数相乘的积（0除外），就是长和宽，当长和宽相等时就是正方形。 【规范解答】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 当长和宽都是6cm时，这个图形是正方形。 答：这样的长方形有5种、长和宽分别是36厘米，1厘米；18厘米，2厘米；12厘米，3厘米；9厘米，4厘米；6厘米，6厘米；当长和宽都是6cm时，这个图形是正方形。 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·单元测试）今年植树节，王老师带五（2）班的同学去植树，一共植树141棵，已知五（2）班人数不超过50，王老师植树的棵数和平均每名同学植树的棵数一样。五（2）班有多少名同学？平均每名同学植树多少棵？ 【答案】46名；3棵 【思路点拨】根据每人植树棵数×总人数＝植树总棵数，可知每人植树棵数和总人数是植树总棵数的因数，据此确定每人植树棵数和总人数，总人数－1＝学生人数，据此列式解答。 【规范解答】141＝1×141＝3×47 学生人数不超过50，结合实际情况学生人数排除1、3和141。 47－1＝46（人） 46＜50 答：五（2）班有46名同学，平均每名同学植树3棵。 【变式训练2】（20-21五年级上·陕西西安·期中）把36块糖装在小罐子里，每个小罐子装同样多（每小罐里糖的数量要大于3块，小于36块），有几种装法？每种装法个需要几个小罐子？如果有37块糖呢？ 【答案】5种装法；每种装法分别需要9个、6个、4个、3个、2个小罐子；37块糖不能按要求分装 【思路点拨】每小罐里糖的数量必须是36的因数，先求出36的所有因数，找到大于3小于36的因数，是每个小罐子装的个数；糖的总数量÷每个小罐子装的个数＝需要的小罐子数量；根据同样的想法，先找到37的所有因数，没有大于3小于36的因数，就不能按要求分装。 【规范解答】36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36 所以：36÷4＝9（个） 36÷6＝6（个） 36÷9＝4（个） 36÷12＝3（个） 36÷18＝2（个） 37的因数有：1、37。 答：有5种装法，每种装法分别需要9个、6个、4个、3个、2个小罐子，37块糖不能按要求分装。 【考点评析】关键是理解因数的意义，掌握一个数的因数的求法。 【变式训练3】（20-21五年级上·甘肃定西·期中）为配合全民健身运动，春苑小区40名老年人参加体操表演，队形不能为一行1人或一行40人，要求每行人数相同，有几种排法？ 【答案】6种 【思路点拨】列乘法算式找出40的所有因数，即：40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8，可得，40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40，注意“40＝1×40”不符合题意，据此解题即可。 【规范解答】40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8 所以，可以排成：2行每行20人；20行每行2人；4行每行10人，10行每行4人；5行每行8人；8行每行5人； 答：一共有6种排法。 【考点评析】找一个数的因数的方法：（1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个乘数都是这个数的因数。（2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 【题型十一 倍数和因数的综合应用】 【精讲】（23-24五年级上·安徽阜阳·期中）一个数既是8的倍数，又是32的因数，这个数可能是下面的（    ）。 A．16 B．4 C．24 【答案】A 【思路点拨】根据求一个数倍数的方法，求出32以内8的倍数；根据求一个数因数的方法，求出32的因数，据此分析解答。 【规范解答】32以内8的倍数有：8，16，24，32 32的因数有：1，2，4，8，16，32 即一个数既是8的倍数，又是32的因数，这个数可能是下面的16。 故答案为：A 【变式训练1】（20-21五年级上·山西吕梁·期中）一个数既是40的因数，又是4的倍数，这个自然数不可能是（    ）。 A．4 B．8 C．10 【答案】C 【思路点拨】根据求一个数因数的方法和求一个数倍数的方法，求出40的全部因数，40以内4的倍数，即可解答。 【规范解答】40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40， 4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40， 4、8、20、40既是40的因数，又是4的倍数。 一个数既是40的因数，又是4的倍数，这个自然数不可能是10。 故答案为：C 【考点评析】熟练掌握求一个数因数和一个数倍数的方法是解答本题的关键。 【变式训练2】（23-24五年级上·四川成都·期中）一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是 。（写出符合条件的所有数） 【答案】9，18，27，54 【思路点拨】先列举出54的因数，然后列举出54以内9的倍数，再找它们共同的数，这些数既是9的倍数，又是54的因数。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【规范解答】54的因数：1，2，3，6，9，18，27，54； 9的倍数：9，18，27，36，45，54…； 所以，一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是9，18，27，54。 【变式训练3】（22-23五年级上·安徽阜阳·期中）一个旅行团去参观水立方，这个旅行团的人数既是40的因数，又是5的倍数。这个旅行团一共有( )人。    【答案】20 【思路点拨】先写出40的所有因数，再从中找出5的倍数的数，最后找出在15～30之间的数，即是这个旅行团的人数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【规范解答】40的因数：1，2，4，5，8，10，20，40； 其中又是5的倍数的有：5，10，20，40； 15＜20＜30 这个旅行团一共有20人。 【考点评析】本题考查找一个数的因数以及5的倍数特征的应用。 【题型十二 分解质因数】 【精讲】（21-22五年级上·陕西汉中·期末）若两个质数的积是35，则这两个质数的和是（    ）。 A．9 B．12 C．16 D．36 【答案】B 【思路点拨】根据分解质因数的方法，把35分解质因数即可看出是哪两个质数，再求和即可。 【规范解答】因为35＝5×7，所以这两个质数分别为：5和7 这两个质数的和是：5＋7＝12 故答案为：B 【考点评析】此题考查的目的是掌握分解质因数的方法。 【变式训练1】（23-24五年级上·陕西西安·期末）如果两个质数的和是18，积是65，那么它们是( )和( )。 【答案】 13 5 【思路点拨】根据题意得：两个质数的和是18，积是65，可通过分解质因数的方法，可计算得出答案。 【规范解答】将65分解质因数为：，两个质因数之和为：，符合题干中的条件。即这两个数是13和5。 【变式训练2】（22-23五年级上·辽宁·单元测试）把下面各数写成质数相乘的形式。 81＝ 48＝ 121＝ 91＝ 【答案】 3×3×3×3 2×2×2×2×3 11×11 13×7 【思路点拨】分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，一般先从较小的质数试着分解。 【规范解答】81＝3×3×3×3 48＝2×2×2×2×3 121＝11×11 91＝13×7 【考点评析】熟练掌握质数的意义和分解质因数的意义是解答本题的关键。 【变式训练3】（23-24五年级上·辽宁·课时练习）茶叶店把84个小青柑装在不同的盒子里，每个盒子装的小青柑个数相同且为质数个，有几种不同的装法？每种装法各需要几个盒子？ 【答案】3种；每盒装2个，需要42个盒子，每盒装3个，需要28个盒子，每盒装7个，需要12个盒子。 【思路点拨】首先对84分解质因数，得到84＝2×2×3×7，有几个不同的质因数就有几种不同的装法；题目要求每个盒子装同样多小青柑且为质数个，所以可以将2、3、7看作小青柑的数量，用总个数分别除以每盒装的个数，可得需要几个盒子。 【规范解答】由分析可得： 84＝2×2×3×7，分别有2、3、7三种不同质因数，所以有3种不同装法； 84÷2＝42（个） 84÷3＝28（个） 84÷7＝12（个） 答：有3种不同的装法。每盒装2个，需要42个盒子，每盒装3个，需要28个盒子，每盒装7个，需要12个盒子。 【考点评析】本题考查了分解质因数的灵活运用，解题的关键是明确分解出来的质因数就是每个盒子装的小青柑的个数。 【题型十三 质数与合数的认识】 【精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）某个成年人的心脏约为克。这个三位数既是2的倍数，又是5的倍数；十位上的数是5的倍数，百位上的数是最小的质数。这个成年人的心脏约为( )克。 【答案】250 【思路点拨】根据既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数；十位上的数是5的倍数，找出5的倍数； 根据质数的定义：一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，找出最小的质数； 据此可以得出这个三位数是多少，也就是这个成年人心脏的克数。 【规范解答】既是2的倍数，又是5的倍数，则这个三位数个位上的数是0； 5的倍数有：5，10，15，…，则这个三位数十位上的数是5； 最小的质数是2，则这个三位数百位上的数是2；所以这个三位数是250。 因此这个成年人的心脏约为250克。 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）著名的“哥德巴赫猜想”中说：“任何不小于4的偶数都可以表示成2个质数相加的形式。”下面的算式符合这个猜想的是（    ）。 A．4＝1＋3 B．36＝17＋19 C．62＝49＋13 D．15＝2＋13 【答案】B 【思路点拨】根据奇数与偶数定义：是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；根据质数和合数的定义：一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；一个大于1的自然数，除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数；结合题干中“哥德巴赫猜想”逐项进行验证，据此解答。 【规范解答】A．4＝1＋3，4是偶数，但1既不是质数也不是合数，不符合猜想； B．36＝17＋19，36是偶数，17和19都是质数，符合猜想； C．62＝49＋13，62是偶数，13是质数，但49是合数，不符合猜想； D．15＝2＋13，2是质数，13是质数，但15是奇数不是偶数，不符合猜想。 故答案为：B 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）组数游戏。从1、0、5、2、7中选出两个数字组成一个两位数，使组成的数符合下面的需要。 (1)质数（写出所有可能）：( )。 (2)合数（写出3个）：( )。 (3)90的因数（写出所有可能）：( )。 (4)奇数（写出3个）：( )。 【答案】(1)17、71 (2)15、25、75 (3)10、15 (4)21、25、57 【思路点拨】（1）只有1和它本身两个因数的数叫作质数； （2）除了1和它本身以外还有别的因数的数叫作合数； （3）写出90的所有因数，在这些因数中找出由1、0、5、2、7中任意两个数字组成的两位数即可； （4）不是2的倍数的数叫奇数。 【规范解答】（1）从 1、0、5、2、7 中选出两个数字组成的两位数的质数有：17、71。 （2）从 1、0、5、2、7 中选出两个数字组成的两位数的合数有：15、25、75。（答案不唯一） （3）90的因数有：1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90。 从1、0、5、2、7 中选出两个数字组成的两位数是90的因数有10、15。 （4）从 1、0、5、2、7 中选出两个数字组成的两位数的奇数有：21、25、57。（答案不唯一） 【变式训练3】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）齐白石是近代中国绘画大师，世界文化名人，他画的虾栩栩如生。兵兵是个国画爱好者，他临摹了一幅画，已知画整体是长方形，长和宽都是质数，并且周长是36分米，这幅画的面积最大是多少平方分米？ 【答案】77平方分米 【思路点拨】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知：长方形的周长是36分米，则长与宽的和是36÷2＝18（分米）。再把18写成两个质数相加的和有：11＋7和13＋5两种情况，最后根据长方形的面积＝长×宽，得出其中面积最大是11×7＝77（平方分米）。 【规范解答】长与宽的和：36÷2＝18（分米） 18＝11＋7＝13＋5 11×7＝77（平方分米） 13×5＝65（平方分米） 答：这幅画的面积最大是77平方分米。 【题型十四 质数与合数的综合应用】 【精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）果园里有几行果树，每行棵树相等。下面是三个小朋友数出的总棵数，其中只有一个小朋友数对了，你知道这个小朋友是谁吗？为什么？ 【答案】米米；因为每行棵数相等，所以总棵数是合数。43，36，47中只有36是合数，所以米米数对了。 【思路点拨】从题目可知，果园里有几行果树，每行棵树相等，根据总棵数＝每行棵数行数，总棵数是一个合数，据此判断即可。 【规范解答】43的因数只有1和43，所以43是质数； 36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，所以36是合数； 47的因数只有1和47，所以47是质数。 其中只有米米数对了，因为每行棵数相等，所以总棵数是合数。43，36，47中只有36是合数，所以米米数对了。 【变式训练】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）读一读，做一做。 哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。例如： ，，，… 哥德巴赫猜想（奇数情形）：任何不小于7的奇数都可以写成三个质数的和。例如： ，，… 对于哥德巴赫猜想的奇数情形，目前已经证明， 对于哥德巴赫猜想的偶数情形，目前最好的结果是我国数学家陈景润证明的结果：任何充分大的偶数都可以写成一个质数加上不超过两个质数的乘积的形式，通常称“”。例如： ，，… 阅读了以上材料，请你在下面的括号里填上合适的质数。 ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) 【答案】 7 3 2 2 7 13 3 2 2 11 23 17 2 2 17 【思路点拨】40以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37；再根据10、16、40分别是两个质数的和，11、15、21分别是3个质数的和，从40以内的质数，找到合适的质数即可。 【规范解答】； （答案不唯一）；（答案不唯一） （答案不唯一）；（答案不唯一） 【考点评析】本题考查质数，解答本题的关键是掌握质数的特征。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学五年级上册尖子生专题培优系列（3个知识梳理+14个题型 共54题） 专题03 倍数与因数 【知识梳理】 1 【题型一 找一个数的倍数及倍数的特征】 3 【题型二 根据倍数的特征解决问题】 3 【题型三 2、5的倍数特征】 4 【题型四 奇数与偶数的认识】 5 【题型五 运算性质（奇数和偶数）】 6 【题型六 3的倍数特征】 7 【题型七 2、3、5的倍数特征综合】 7 【题型八 9的倍数特征找因数】 8 【题型九 找一个数的因数及因数的特征】 9 【题型十 根据因数的特征解决问题】 10 【题型十一 倍数和因数的综合应用】 10 【题型十二 分解质因数】 11 【题型十三 质数与合数的认识】 12 【题型十四 质数与合数的综合应用】 12 【知识梳理】 知识梳理01：倍数与因数的认识及求法 1.倍数与因数的意义。 在乘法算式ａ×ｂ＝ｃ(ａ，ｂ，ｃ 都是不为０ 的自然数)中，ｃ是ａ和ｂ的倍数，ａ和ｂ是ｃ的因数。倍数和因数是相互依存的，不能单独说一个数是倍数或因数。 2.找一个数的倍数的方法。 用这个数分别乘1，2，3，4，…所得的积就是这个数的倍数，一个数的倍数的个数是无限的。 判断两个数成倍数关系的方法: (1)列乘法算式，用积判断。 (2)列除法算式，如果商是整数且没有余数就是倍数关系，反之不是。 3.倍数与因数的关系。 倍数与因数是乘法算式中积和乘数的关系，是相互依存的，没有倍数就不存在因数，没有因数也不存在倍数，不能单独说一个数是倍数或因数。 4.找一个数的因数的方法。 方法一：想这个数可以写出哪些乘法算式，算式中的因数就是这个数的因数。 方法二：想一个数(０除外)除以几得非零自然数(无余数)，除数和商就是这个数的因数。 一个数因数的个数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1。 知识梳理02：2、5、3的倍数的特征 1.2的倍数的特征。 个位上是0，2，4，6，8的数。 2.5的倍数的特征。 个位上是0或5的数。 温馨提示：个位上是０的数，既是２的倍数，又是５的倍数。 3.3的倍数的特征。 一个数各个数位上的数字的和是３的倍数，这个数就是３的倍数。 温馨提示：一个数各个数位上的数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。 4.同时是2，3的倍数的特征。 个位上的数必须是0，2，4，6，8且各个数位上数字之和是3的倍数。 5.同时是3和5的倍数的特征。 个位上必须是0或5，且各个数位上数字之和是3的倍数。 6.同时是2、3、5的倍数的特征. 各个数位上数字之和是3的倍数，且个位上是0。 知识梳理03：奇数偶数质数合数 1.奇数与偶数的意义。 像2，4，6，8，…这样的数，是2的倍数，叫作偶数。 像1，3，5，7，…这样的数，不是2的倍数，叫作奇数。 2.质数与合数的意义。 一个数只有１和它本身两个因数，这个数叫作质数，最小的质数是2。 一个数除了１和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数，最小的合数是4。 3.判断一个数是质数还是合数的方法。 看这个数的因数的个数，只有2个因数的数是质数，有3个或3个以上因数的数是合数。 4.100以内的质数。 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个。 温馨提示：１既不是质数,也不是合数。 【题型一 找一个数的倍数及倍数的特征】 【精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）一个数比20小，它是2的倍数，又是7的倍数，这个数是( )。 【变式训练1】（23-24五年级下·全国·课后作业）为了培养学生的节约意识，锻炼社会实践能力，学校举办了“跳蚤市场”活动。同学们把家里闲置的旧书和旧玩具等用品带来售卖。 【变式训练2】（22-23五年级上·广东深圳·期末）一个数既是6的倍数又是54的因数，这个数最大是( )。 【变式训练3】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）从8开始，8的5个连续倍数从小到大依次是( )。 【题型二 根据倍数的特征解决问题】 【精讲】（21-22五年级上·陕西咸阳·期末）五（1）班的学生人数在40－50人之间，一次大扫除，按8人一组分组，则少1人，五（1）班有多少名学生？ 【变式训练1】（23-24五年级上·四川成都·期中）舞蹈教室来了19名同学，要求每9名同学排成一队，至少再来（    ）名同学才能排好队形。 A．7 B．8 C．9 D．10 【变式训练2】（2023五年级上·辽宁·专题练习）耳顺：六十岁，古稀：七十岁。奶奶已过耳顺之年，未及古稀之年，且年龄是8的倍数，那么奶奶今年是( )岁。 【变式训练3】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）淘气家一共有5口人，妈妈买了一些水果，淘气把其中的苹果平均分给每个人刚好分完没有剩余。爷爷和奶奶更爱吃梨，于是把苹果还给了淘气，淘气把全部的苹果又重新分配了一下，还是刚好分完没有剩余。妈妈买的苹果至少有多少个？ 【题型三 2、5的倍数特征】 【精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）在网络上，人们利用闲暇时间在蚂蚁森林收集绿色能量，然后选择保护地进行虚拟种树。现实生活中，园林工人在鞍子河保护地种了一百多但不到两百棵梭梭树，种成5列，每列梭梭树棵数相同但有一列少2棵，这些梭梭树最少有多少棵？最多有多少棵？ 【变式训练1】（21-22五年级下·甘肃定西·期中）要使126□能被5整除，□中可填（    ）。 A．2、0 B．0、5 C．3、5 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）在(    )里填上合适的数。 (1)使每个数都是2的倍数。                 4( )    5( )    6( )    ( )8 (2)使每个数都是5的倍数。 1( )    9( )    7( )    ( )5 【变式训练3】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）按要求填一填。 15        36        60        80        96        100        25        28        23        49 既是2的倍数又是5的倍数的数是（    ）。 【题型四 奇数与偶数的认识】 【精讲】（23-24五年级下·辽宁·假期作业）用0，1，2，3，…，9这10个数字组成5个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数并且尽可能大，这5个两位数的和是多少？ 【变式训练1】（19-20五年级上·辽宁沈阳·期末）某月内有3个星期日的日期都是偶数，那么这个月的15日是星期（    ）。 A．五 B．六 C．日 D．一 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）五（2）班学生人数是奇数，在40～50之间。上体育课时，3人一组做游戏，正好全部分完没有剩余。五（2）班有多少人？下面是童童的分析过程，请你根据他的分析过程写出答案。 分析：要求这个班可能有多少人，即求40~50之间3的倍数，且是奇数的数。 想：3×1＝3，3×2＝6，3×3＝9……3×10＝( )，3×11＝( )，3×12＝( )，3×13＝( )，3×14＝( )，3×15＝( )，3×16＝( )，3×17＝( )。 积在40~50之间的有42、45、48，奇数只有45。所以五（2）班有( )人。 【变式训练3】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）观察下面各数。（填“奇”或“偶”） (1)左边的数都是( )数，右边的数都是( )数。 (2)从左边任取两个数相加，和是( )数，从右边任取两个数相加，和是( )数。 (3)我发现：偶数＋偶数＝( )数，奇数＋奇数＝( )数，奇数＋偶数＝( )数。 【题型五 运算性质（奇数和偶数）】 【精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）下图是一个靶，靶上的1，3，5，7，9表示射中该靶区的分数，淘气说：“我打了6枪，每枪都中靶，得分是27分。”笑笑说：“我打了3枪，每枪都中靶，得分是27分。”你知道他们两人中谁说了假话吗？为什么？ 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）某场科技竞赛，共10道题，答对一题得10分，答错或不答倒扣2分，扣完为止。那么每名参赛学生的总分一定是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·单元测试）1＋2＋3＋45＋…＋99＋100的和是奇数还是偶数，请说明理由。 【变式训练3】（23-24五年级下·辽宁·假期作业）某班21名同学参加竞赛，共有20道竞赛题。每道题的评分方法如下：答对得5分，不答得1分，答错倒扣1分。这21名同学分数的总和是奇数还是偶数？ 【题型六 3的倍数特征】 【精讲】（20-21五年级上·山西吕梁·期末）在□中，□填最小填（ ），就能使这个数是3的倍数。 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·单元测试）用0、1、2三张数字卡片能组成（    ）个同时被2、3、5整除的三位数。 A．4 B．3 C．2 D．6 【变式训练2】（20-21五年级上·辽宁·期中）商店里有6箱货物，分别重16、19、21、22、24、25千克两个顾客买走了其中五箱，已知一个顾客买的货物是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重( )千克。 【变式训练3】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）500位同学站成一排，从左往右按“1，2，3”报数，凡报到1和2的离队，报到3的留下。向左看齐并重复同样的报数过程，如此进行若干次后，只留下了两位同学，在开始的队伍中这两位同学分别在从左往右数的第多少位？ 【题型七 2、3、5的倍数特征综合】 【精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）从四个数字5，0，6，1中选出三个，按要求组成三位数。（任写一个） 奇数： 偶数： 3的倍数： 5的倍数： 既是2的倍数，又是5的倍数 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·单元测试）用下面卡片上的数字按要求组成一个四位数。 0     2     3     7 最大的奇数：( )；     最小的偶数：( )； 同时是2，3倍数的最大的四位数：( )； 同时是5，3倍数的最小的四位数：( )； 同时是2，3，5倍数的最大的四位数：( )。 【变式训练2】（19-20五年级上·辽宁·期中）在□内填入合适的数． （1）24□，□内填( )既是3的倍数又是5的倍数。 （2）5□0，□内填( )既是2的倍数又是3的倍数。 （3）□69，□内填( )既是3的倍数又是9的倍数。 【变式训练3】（17-18五年级·全国·单元测试）向阳小学四年级共110人站队到科技馆参观，2人一排，每行的人数相等吗？如果3人排一排，每行的人数相等吗？如果每排5人呢？ 【题型八 9的倍数特征找因数】 【精讲】（23-24五年级上·安徽阜阳·期中）（1）下面各数中，哪些数是9的倍数？请用“○”圈出来。 48    36    69    72    108    99    296    369    1026 （2）针对第1题数据列表探究。 9的倍数 各个数位上的数之和 （3）由第2题我发现是9的倍数的数的特征是______________。 （4）根据你的发现写出两个是9的倍数的四位数：（        ）、（        ）。 【变式训练1】（18-19五年级上·辽宁·课后作业）一个数是3的倍数，这个数（　　）是9的倍数。 A．一定 B．不一定 C．一定不 【变式训练2】（18-19五年级上·辽宁·课后作业）下面哪些数是9的倍数？圈一圈。 180    342    659    405    783    207    427 【变式训练3】（2022六年级·全国·竞赛）在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数。请随便填出一种，并检查自己填的是否正确。 【题型九 找一个数的因数及因数的特征】 【精讲】（23-24五年级上·辽宁·单元测试）古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数，6＝1＋2＋3，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面数中是“完全数”的是（    ）。 A．12 B．15 C．28 D．36 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）写出54的所有因数，笑笑写了7个：1，54，2，3，18，6，9，按照笑笑的思考方法，她漏写了排在( )后面的( )。 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）按要求做一做。 （    ）既是40的因数，又是48的因数。 【变式训练3】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）“每天一苹果，不去卫生所。”苹果素来享有“水果之王”的美誉，它的营养价值和医疗价值都很高，被越来越多的人称为“大夫第一药”。妈妈买来一篮苹果，现在要把它们全部取出来，至少分成2堆，使每堆中苹果的个数相同（至少2个），有几种分法？ 【题型十 根据因数的特征解决问题】 【精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）一个长方形的面积是36平方厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有多少种？长和宽分别是多少厘米？当长和宽都是几厘米时，这个图形是正方形？ 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·单元测试）今年植树节，王老师带五（2）班的同学去植树，一共植树141棵，已知五（2）班人数不超过50，王老师植树的棵数和平均每名同学植树的棵数一样。五（2）班有多少名同学？平均每名同学植树多少棵？ 【变式训练2】（20-21五年级上·陕西西安·期中）把36块糖装在小罐子里，每个小罐子装同样多（每小罐里糖的数量要大于3块，小于36块），有几种装法？每种装法个需要几个小罐子？如果有37块糖呢？ 【变式训练3】（20-21五年级上·甘肃定西·期中）为配合全民健身运动，春苑小区40名老年人参加体操表演，队形不能为一行1人或一行40人，要求每行人数相同，有几种排法？ 【题型十一 倍数和因数的综合应用】 【精讲】（23-24五年级上·安徽阜阳·期中）一个数既是8的倍数，又是32的因数，这个数可能是下面的（    ）。 A．16 B．4 C．24 【变式训练1】（20-21五年级上·山西吕梁·期中）一个数既是40的因数，又是4的倍数，这个自然数不可能是（    ）。 A．4 B．8 C．10 【变式训练2】（23-24五年级上·四川成都·期中）一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是 。（写出符合条件的所有数） 【变式训练3】（22-23五年级上·安徽阜阳·期中）一个旅行团去参观水立方，这个旅行团的人数既是40的因数，又是5的倍数。这个旅行团一共有( )人。    【题型十二 分解质因数】 【精讲】（21-22五年级上·陕西汉中·期末）若两个质数的积是35，则这两个质数的和是（    ）。 A．9 B．12 C．16 D．36 【变式训练1】（23-24五年级上·陕西西安·期末）如果两个质数的和是18，积是65，那么它们是( )和( )。 【变式训练2】（22-23五年级上·辽宁·单元测试）把下面各数写成质数相乘的形式。 81＝ 48＝ 121＝ 91＝ 【变式训练3】（23-24五年级上·辽宁·课时练习）茶叶店把84个小青柑装在不同的盒子里，每个盒子装的小青柑个数相同且为质数个，有几种不同的装法？每种装法各需要几个盒子？ 【题型十三 质数与合数的认识】 【精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）某个成年人的心脏约为克。这个三位数既是2的倍数，又是5的倍数；十位上的数是5的倍数，百位上的数是最小的质数。这个成年人的心脏约为( )克。 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）著名的“哥德巴赫猜想”中说：“任何不小于4的偶数都可以表示成2个质数相加的形式。”下面的算式符合这个猜想的是（    ）。 A．4＝1＋3 B．36＝17＋19 C．62＝49＋13 D．15＝2＋13 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）组数游戏。从1、0、5、2、7中选出两个数字组成一个两位数，使组成的数符合下面的需要。 (1)质数（写出所有可能）：( )。 (2)合数（写出3个）：( )。 (3)90的因数（写出所有可能）：( )。 (4)奇数（写出3个）：( )。 【变式训练3】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）齐白石是近代中国绘画大师，世界文化名人，他画的虾栩栩如生。兵兵是个国画爱好者，他临摹了一幅画，已知画整体是长方形，长和宽都是质数，并且周长是36分米，这幅画的面积最大是多少平方分米？ 【题型十四 质数与合数的综合应用】 【精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）果园里有几行果树，每行棵树相等。下面是三个小朋友数出的总棵数，其中只有一个小朋友数对了，你知道这个小朋友是谁吗？为什么？ 【变式训练】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）读一读，做一做。 哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。例如： ，，，… 哥德巴赫猜想（奇数情形）：任何不小于7的奇数都可以写成三个质数的和。例如： ，，… 对于哥德巴赫猜想的奇数情形，目前已经证明， 对于哥德巴赫猜想的偶数情形，目前最好的结果是我国数学家陈景润证明的结果：任何充分大的偶数都可以写成一个质数加上不超过两个质数的乘积的形式，通常称“”。例如： ，，… 阅读了以上材料，请你在下面的括号里填上合适的质数。 ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$