13.1　命题、定理与证明 课件2024-2025学年华东师大版数学八年级上册

第13章 全等三角形 13.1　命题、定理与证明 第1课时　命　题 1. 命题的概念 表示 的语句叫做命题. 注意：命题的定义包含两层涵义：①命题必须是一个完 整的陈述句子；②这个句子必须对某件事作出肯定或者 否定的判断.二者缺一不可. 判断　 知识导航 2. 命题的组成 命题是由 和 两部分组成的，条件是已 知事项，结论是由已知事项推出的事项. 命题可以写成 的形式，用 “如果”开始的部分是 ，而用“那么”开始的 部分是 ⁠. 条件　 结论　 “如果……，那么……”　 条件　 结论　 知识导航 3. 命题的类型 （1）真命题：如果条件成立，那么结论一定 ⁠. 这样的命题，称为真命题. （2）假命题：当条件成立时，结论不一定 .这 样的命题，称为假命题. 注意：要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理的方 法加以论证；要判断一个命题是假命题，只需举出一个 反例加以说明即可. 成立　 成立　 知识导航 题型一　命题的识别　 表示判断的语句叫做命题，那么下列各语句为命题 的有哪些？ （1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？ 解：（1） （2）垂线段最短，对吗？ 解：（2）是疑问句，没有作出判断，故不是命题； （3）等角的补角相等； 解：（3） 典例导思 （4）两条直线相交只有一个交点； 解：（4） （5）同旁内角互补； 解：（5） （6）正方形的对角线相等. [分析] 根据命题的概念可知，判断一个语句是不是命题 的关键是看这个语句是否对某件事作出判断. 解：（6）均作出判断，故是命题. 典例导思 [误区点拨] 命题必须是陈述语句，在命题中，不能存在 “大约”“大概”“差不多”“左右”等含糊不清的词 语.语句是问句的不是命题. 典例导思 1. 下列语句中不是命题的是（　A　） A. 延长线段 AB B. 自然数也是整数 C. 两个锐角的和一定是直角 D. 同角的余角相等 A 典例导思 2. 下面的句子， 是命题， ⁠不是命 题.（填序号） ①画线段 AB ； ②你吃饭了吗？ ③若 ＝ ，则 a ＝ b ； ④内错角相等； ⑤明天可能下雨吗？ ⑥若 a2＞ b2，则 a ＞ b . ③④⑥　 ①②⑤　 典例导思 题型二　命题的结构　 把下列命题改写成“如果……，那么……”的形 式，并指出它们的条件和结论： （1）三条边相等的三角形是等边三角形； 解：改写：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个 三角形是等边三角形. 条件：一个三角形的三条边都相等. 结论：这个三角形是等边三角形. 典例导思 （2）邻补角的平分线互相垂直. 解：改写：如果两个角互为邻补角，那么这两个角的平 分线互相垂直. 条件：两个角互为邻补角. 结论：这两个角的平分线互相垂直. [方法总结] 判断一个命题的条件与结论，要先把它改写 成“如果……，那么……”的形式，改写时，可以适当 地添加一些语句，使之合理、通顺. 典例导思 3. 命题“对顶角相等”的条件是 ⁠. 4. 按下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： （1）“互为相反数的两个数的和为零”； 解：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零. （2）“相等的角是内错角”. 解：如果两个角相等，那么这两个角是内错角. 两个角是对顶角　 典例导思 题型三　命题的真假判断　 下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④同角的补角相等.其中属于假命题的有（　A　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 [分析] 根据平行线的性质、线段的性质、对顶角的定义、补角的性质加以判断即可. [方法总结] 判断一个命题是真命题，必须经过推理论证；判断一个命题是假命题，举出符合题设，而结论不成立的反例即可. A 典例导思 5. （2023·河南）下列命题中，真命题有（　A　） ①若 a ∥ c ， b ∥ c ，则 a ∥ b ； ②两直线平行，同旁内角相等； ③对顶角相等； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤三角形的一个外角大于它的内角. A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 A 典例导思 6. 试用举反例的方法说明下列命题是假命题. （1）如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1＝∠2； 解：（1）令∠1＝70°，∠2＝20°，则∠1＋∠2＝90°， 而∠1≠∠2， ∴命题是假命题. 典例导思 （2）如果∠ A 和∠ B 的两边分别平行，那么∠ A 和∠ B 相等. 解：（2）如答案图， AC ∥ BF ， AD ∥ BE ， 显然∠ A ≠∠ B ，∠ A ＋∠ B ＝180°， ∴命题是假命题. （答案图） 典例导思 $$第13章 全等三角形 13.1　命题、定理与证明 第2课时　定理与证明 1. 定理 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发， 用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进 一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做 ⁠ ⁠. 注意：基本事实和定理都是真命题，都可以作为判定其 他命题的依据. 定 理　 知识导航 2. 证明 根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推 理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫 做 ⁠. 注意：证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依 据，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、 已经学过的定理，以及等式的性质、等量代换等. 证明　 知识导航 3. 证明几何命题的一般步骤 （1）根据题意，画出图形；（2）确定条件、结论，结 合图形，写出已知、求证；（3）经过分析，找出由已 知条件推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据. 知识导航 题型一　基本事实、定理　 下列命题中： ①两点之间，线段最短； ②过直线外一点，能作一条直线与这条直线平行； ③和已知直线垂直的直线有且只有一条； ④在平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线. 属于基本事实的有： .（填序号） [方法总结] 判断基本事实或定理时，一定要依据目前所掌握的基本事实、定理，关注已知条件是否对基本事实、定理作出了准确论述. ①②④　 典例导思 1. “同角或等角的补角相等”是（　C　） A. 定义 B. 基本事实 C. 定理 D. 假命题 2. 请你写一个属于基本事实的命题： ⁠ ⁠. C 开放题，如两点 确定一条直线　 典例导思 题型二　命题的证明　 已知以下基本事实：①对顶角相等；②一条直线截 两条平行直线所得的同位角相等；③两条直线被第三条 直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行；④两点 确定一条直线. （1）在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直 线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有 ⁠ ；（填序号） ① ② 典例导思 （2）根据在（1）中的选择，结合所给图形，请你证明 命题“两直线平行，内错角相等”. 已知：如图， ⁠ ⁠. 求证： ⁠. 如图， a ∥ b ，直线 a 、 b 被直线 c 所 截 ∠1＝∠2 证明：∵ a ∥ b （已知）， ∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）. 又∵∠3＝∠2（对顶角相等）， ∴∠1＝∠2（等量代换）. 典例导思 [分析] 证明几何命题的一般步骤是：①根据题意，画出 图形；②确定条件、结论，结合图形，写出已知、求 证；③经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证 明过程，并注明依据. [方法总结] 解决此题的关键是确定条件与结论，然后结 合图形，从已知出发，应用学过的基本事实进行证明. 典例导思 3. 如图，下列推理不正确的是（　C　） A. ∵ AB ∥ DC ，∴∠ ABC ＋∠ C ＝180° B. ∵∠1＝∠2，∴ AD ∥ BC C. ∵ AD ∥ BC ，∴∠3＝∠4 D. ∵∠ A ＋∠ ADC ＝180°，∴ AB ∥ DC （第3题） C 典例导思 4. 如图，∠ DAC 是△ ABC 的一个外角，则∠ DAC ＝ ＋ ，理由是 ⁠ ，则∠ DAC ＞ ⁠ ，∠ DAC ＞ ，理由是 ⁠ 　. ∠ B 　 ∠ C 　 三角形的一个外角等 于与它不相邻的两个内角的和　 ∠ B 　 ∠ C 　 三角形的外角大于 任何一个与它不相邻的内角　 （第4题） 典例导思 5. 如图，∠ ACD 是∠ ACB 的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题. ① CE ∥ AB ；②∠ A ＝∠ B ；③ CE 平分∠ ACD . （1）由上述条件可得哪几个真命题？请按“ⓧⓧ→ⓧ”的形式一一书写出来； 解：（1）由题中条件可得三个真命题，分别是 命题1：①②→③；命题2：①③→②； 命题3：②③→①. 典例导思 （2）请根据（1）中的真命题，选择一个进行证明. 解：（2）（答案不唯一）选择命题2：①③→②. 证明：∵ CE ∥ AB ， ∴∠ ACE ＝∠ A ，∠ DCE ＝∠ B . 又∵ CE 平分∠ ACD ， ∴∠ ACE ＝∠ DCE . ∴∠ A ＝∠ B . 典例导思 $$