精品解析：黑龙江省大兴安岭呼玛县高级中学2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题

2022-2023 上学期高二年级数学试题 一、单项选择题 （本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合 题目要求的） 1. 已知等腰梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ ） A. 一个圆台、两个圆锥 B. 一个圆柱、两个圆锥 C. 两个圆台、一个圆柱 D. 两个圆柱、一个圆台 【答案】B 【解析】 【分析】画出简图，将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，进而进行旋转，然后根据多面体的定义得到答案. 【详解】将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，如图所示： 矩形绕其一边旋转一周得到圆柱，直角三角形绕其一条直角边旋转一周得到圆锥； 因此，将该等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，可得几何体为：一个圆柱、两个圆锥. 故选：B. 2. 已知直线，两个不同的平面，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面的位置关系判断即可. 【详解】对于A：因为，则在平面内存在直线使得，又，所以， 由面面垂直的判定定理可得，故A正确； 对于B：若，，则或，故B错误； 对于C：若，，则或与相交，故C错误； 对于D：若，，则或或或与相交（不垂直），故D错误； 故选：A 3. 若 ， 且 ， 则 和 的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得正确答案. 【详解】设的夹角为， 由于，所以， 所以，由于，所以. 故选：B 4. 某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 频率分布直方图中的值为0.004 B. 估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80 C. 估计这20名学生数学考试成绩的众数为80 D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为160 【答案】B 【解析】 【分析】根据所有矩形的面积和为1求出，然后逐一判断即可. 【详解】由可得，故A错误 前三个矩形的面积和为，所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B正确 这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C错误 总体中成绩落在内的学生人数为，故D错误 故选：B 5. 已知复数的共轭复数，则复数的虚部是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数乘除运算化简，求得后得到答案 【详解】，则，则复数的虚部是. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算以及复数的基本概念，属于基础题． 6. 已知直线直线，且与平面相交，那么与平面的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行或在平面内 C. 相交或平行 D. 相交或在平面内 【答案】A 【解析】 【分析】根据线线、线面的位置关系等知识求得正确答案. 【详解】因为，且与平面相交， 所以与平面相交，如下图所示. 故选：A 7. 在长方体 中， 分别是 的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】的中点，连接，则，判断出即为异面直线与所成角.直接解三角形即可求得. 【详解】取的中点，连接，因为， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以异面直线与所成角即为与所成角（或其补角）， 即，因为平面，，所以平面， 平面，所以， 在中，. 故异面直线与所成角的正切值为. 故选：A. 8. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 134石 B. 169石 C. 338石 D. 1365石 【答案】B 【解析】 【详解】设夹谷石，则， 所以， 所以这批米内夹谷约为石，故选B. 考点：用样本的数据特征估计总体. 二、多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分， 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得 5 分， 部分选对的得 3 分， 有选错的得 0 分） 9. 已知 的内角 所对的边分别为 ， 下列四个命题中， 正确的命题是（ ） A. 若，则有两解 B. 若，则是等腰三角形 C. 若在线段 上，且，则 的面积为8 D. 若 ，动点在 所在平面内且 ，则 动点的轨迹的长度为 ． 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理得到，可判定A正确；化简条件得到，求得或，可判定B不正确；设，在中，利用余弦定理求得，得到，求得和，结合面积公式，可判定C正确；根据题意得到点在以为弦的一个圆上， 结合正弦定理和圆的性质，以及弧长公式，可判定D正确． 【详解】对于A中，由，，，由正弦定理可得， 因为，所以有两解，即有两解，所以A正确； 对于B中，由， 可得， 整理得， 由正弦定理得，可得， 因为，可得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，所以B不正确； 对于C中，由在线段上，且，，，， 则，设， 在中，利用余弦定理， 整理得，解得或（舍去）， 所以， 在中，可得， 在中，由余弦定理可得， ，所以， 所以的面积为，所以C正确； 对于D中，在中，因为，， 则点在以为弦的一个圆上， 由正弦定理可得外接圆的直径为，即， 当点在外部时，如图所示， 因为，可得，所以， 所以的长度为， 同理，当点在内部时，可得对应的弧长也是， 所以动点的轨迹的长度为，故D正确． 故选：ACD. 10. 已知复数、，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数 C. 是关于的方程的一个根 D. 若，则在复平面内对应的点的集合是以为圆心，为半径的圆 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数的概念可判断A选项的正误；利用共轭复数的定义可判断B选项的正误；解方程可判断C选项的正误；利用复数的几何意义可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，复数的虚部为，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项， 解方程，即，可得， 解得，C对； 对于D选项，设，则， 所以，，即， 故在复平面内对应的点的集合是以为圆心，为半径的圆，D对. 故选：BCD. 11. 已知在正三棱锥中，底面的边长为4，为的中点，，，下列结论正确的为（ ） A. 正三棱锥的体积为 B. 三棱锥的外接球的表面积为 C. D. 与所成角的正切值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由题知平面，所以，，再根据正棱锥的性质得两两垂直，，进而依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：在正三棱锥中，，，为的中点，， 所以平面，所以，， 因为在正三棱锥中，， 所以两两垂直， 因为底面的边长为4， 所以， 故对于A选项，正三棱锥的体积为，故A选项错误； 对于B选项，三棱锥的外接球即为以为邻边的正方体的外接球，故外接球的半径为满足，即，所以外接球的表面积为，故B选项正确； 对于C选项，由于两两垂直，即，，，所以平面，因为平面，所以，故C选项正确； 对于D选项，因为为的中点，，两两垂直，所以，所以由正弦定理得，即，解得，故，所以，故D选项错误. 故选：BC 12. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ） A. 2个球都是红球的概率为 B. 2个球不都是红球的概率为 C. 至少有1个红球的概率为 D. 2个球中恰有1个红球的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概率计算可判断D. 【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，从“乙袋中摸出一个红球”为事件， 则，， 对于A选项，2个球都是红球为，其概率为，故A选项正确， 对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，故B选项错误， 对于C选项，2个球至少有一个红球的概率为，故C选项正确， 对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率为，故D选项正确． 故选：ACD． 三、填空题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分） 13. 为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，济南市各学校坚持落实“双测温两报告”制度，以下是某宿舍6名同学某日上午的体温记录：36.3，36.1，36.4，36.7，36.5，36.6（单位：），则该组数据的第80百分位数为________. 【答案】36.6 【解析】 【分析】根据第百分位数的概念和计算方法可得答案. 【详解】将6名同学某日上午的体温记录从小到大排列为：36.1，36.3， 36.4，36.5，36.6，36.7， 因为，所以该组数据的第80百分位数为36.6， 故答案为：36.6. 【点睛】本题考查第百分位数的概念和计算方法，属于基础题. 14. 已知向量，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出的坐标，根据平面共线向量的坐标运算列方程求解. 【详解】因为向量，可得， 又因为，可得， 解得，可得. 故答案为:. 15. 某射手射中10环的概率为0.22，那么在一次射击训练中，该射手射击一次不够10环的概率为__________. 【答案】0.78 【解析】 【分析】 根据对立事件加法公式，即可求解. 【详解】∵该射手射击一次不够10环的对立事件是射中10环，∴该射手射击一次不够10环的概率是. 故答案为： 【点睛】本题考查对立事件计算公式，属于基础题. 16. 在四面体ABCD中，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面BC，则四面体ABCD的外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由面面垂直得线面垂直，从而可证得两两垂直，以为棱构造正方体，正方体的外接球就是四面体的外接球，由此得球半径，得球表面积． 【详解】因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，，所以， 所以，于是，即两两垂直， 以为棱构造正方体，正方体的外接球就是四面体的外接球， 可得四面体的外接球半径， 所以表面积为 故答案为：． 【点睛】方法点睛：本题考查求球的表面积，解题关键是求得球的半径，方法是由已知垂直证得两两垂直，然后经它们为棱构造正方体，由正方体的外接球就是四面体的外接球可得球半径． 四、解答题（本大题共 6 小题， 共 70 分． 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知． （1）若， 求与的夹角的余弦值； （2）若， 求实数的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）直接得到，根据向量夹角的余弦的坐标公式计算即可； （2）通过转换得，解方程即可得解. 【小问1详解】 若，则， 所以； 【小问2详解】 因为，， 所以， 解得. 18. 某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人） 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 未参加演讲社团 （1）从该班随机选名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； （2）在既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中，有5名男同学名女同学现从这名男同学和名女同学中各随机选人，求被选中且未被选中的概率. 【答案】（1） ；（2）. 【解析】 【详解】（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有人，故至少参加上述一个社团的共有人，所以从该班级随机选名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 （2）从这名男同学和名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件有： ，共个. 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的. 事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：，共个. 因此被选中且未被选中的概率为. 考点：1.古典概型；2.随机事件的概率. 19. 如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的大小； （3）求点D到平面的距离． 【答案】（1）以D为原点，为x轴，为y轴， 过D作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， ， ，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可； （2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法求出平面与平面夹角的大小； （3）求出平面的法向量，利用向量法求出点D到平面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面的法向量， 又， 设平面的法向量， 则，取， 设平面与平面夹角的大小为， ，所以， 所以平面与平面夹角的大小为； 【小问3详解】 ， 由（2）知平面的法向量， 所以点D到平面的距离． 20. 某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间[40，50）､[50，60）､…､[80，90）､[90，100]. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率； （2）从评分在[40，60）的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率； 【答案】（1）a=0.006，概率为0.68 （2） 【解析】 【分析】（1）由所有小矩形的面积之和为1可求得.根据面积可求得概率. （2）列举出所有情况求概率即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质可知： （0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，解得：a=0.006； 不低于70分频率为：， 故该中学的学生对个性化作业评分不低于70的概率为0.68； 【小问2详解】 [40，50）组共有人， [50，60）组共有人， 把[40，50）的2人记为1､2，把[50，60）组的3人记为3､4､5， 则总可能有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3）， （2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种情况， 设2人评分都在[50，60）为事件A，则满足事件A的有：（3，4），（3，5），（4，5）共3种， 故. 21. 在中，角、、所对的边分别为，，，已知. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，，求的面积的值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】(Ⅰ)利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理确定的值即可求得∠A的大小； (Ⅱ)由题意，首先利用正弦定理求得边c的长度，然后利用面积公式计算△ABC的面积即可. 【详解】(Ⅰ)∵由正弦定理， ∴有，，， 则可化为， 即，即， 又∵余弦定理， ∴， 由，得； (Ⅱ)由（Ⅰ）知，，则，， ∵，， ∴， ∴， 由正弦定理得，， ∴. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 22. 如图，在直角梯形中，，且，直角梯形可以通过直角梯形以直线为轴旋转得到． （1）求证：平面平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用直角梯形的几何性质可得，由线面垂直的判定定理可证得平面，利用面面垂直的判定定理即可证明； （2）利用二面角的定义得，建立恰当的空间直角坐标系，求出点的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量，然后由线面角的计算公式求解即可． 【详解】解：（1）证明：在直角梯形中，，且直角梯形是通过直角梯形 以直线为轴旋转而得，所以， 又，所以， 因为，所以平面， 因为平面， 所以平面平面． （2）由（1）可知， 因为二面角为，所以，过点作平面的垂线， 如图，建立空间直角坐标系． 设，则． 所以，． 设平面的法向量为， 则即 令，则，于是． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023 上学期高二年级数学试题 一、单项选择题 （本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合 题目要求的） 1. 已知等腰梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ ） A. 一个圆台、两个圆锥 B. 一个圆柱、两个圆锥 C. 两个圆台、一个圆柱 D. 两个圆柱、一个圆台 2. 已知直线，两个不同的平面，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 若 ， 且 ， 则 和 的夹角是（ ） A. B. C. D. 4. 某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 频率分布直方图中的值为0.004 B. 估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80 C. 估计这20名学生数学考试成绩的众数为80 D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为160 5. 已知复数的共轭复数，则复数的虚部是 A. B. C. D. 6. 已知直线直线，且与平面相交，那么与平面的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行或在平面内 C. 相交或平行 D. 相交或在平面内 7. 在长方体 中， 分别是 的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 134石 B. 169石 C. 338石 D. 1365石 二、多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分， 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得 5 分， 部分选对的得 3 分， 有选错的得 0 分） 9. 已知 的内角 所对的边分别为 ， 下列四个命题中， 正确的命题是（ ） A. 若，则有两解 B. 若，则是等腰三角形 C. 若在线段 上，且，则 的面积为8 D. 若 ，动点在 所在平面内且 ，则 动点的轨迹的长度为 ． 10. 已知复数、，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数 C. 是关于的方程的一个根 D. 若，则在复平面内对应的点的集合是以为圆心，为半径的圆 11. 已知在正三棱锥中，底面的边长为4，为的中点，，，下列结论正确的为（ ） A. 正三棱锥的体积为 B. 三棱锥的外接球的表面积为 C. D. 与所成角的正切值为 12. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ） A. 2个球都是红球的概率为 B. 2个球不都是红球的概率为 C. 至少有1个红球的概率为 D. 2个球中恰有1个红球的概率为 三、填空题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分） 13. 为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，济南市各学校坚持落实“双测温两报告”制度，以下是某宿舍6名同学某日上午的体温记录：36.3，36.1，36.4，36.7，36.5，36.6（单位：），则该组数据的第80百分位数为________. 14. 已知向量，若，则_____. 15. 某射手射中10环的概率为0.22，那么在一次射击训练中，该射手射击一次不够10环的概率为__________. 16. 在四面体ABCD中，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面BC，则四面体ABCD的外接球的表面积为__________． 四、解答题（本大题共 6 小题， 共 70 分． 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知． （1）若， 求与的夹角的余弦值； （2）若， 求实数的值． 18. 某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人） 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 未参加演讲社团 （1）从该班随机选名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； （2）在既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中，有5名男同学名女同学现从这名男同学和名女同学中各随机选人，求被选中且未被选中的概率. 19. 如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的大小； （3）求点D到平面的距离． 20. 某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间[40，50）､[50，60）､…､[80，90）､[90，100]. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率； （2）从评分在[40，60）的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率； 21. 在中，角、、所对的边分别为，，，已知. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，，求的面积的值. 22. 如图，在直角梯形中，，且，直角梯形可以通过直角梯形以直线为轴旋转得到． （1）求证：平面平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $