精品解析：福建省厦门集美区诚毅中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

集美区诚毅中学2023-2024学年第一学期期中检测八年级数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 等于（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 2. 使分式 有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 7 5. 整式，的公因式是（ ） A. B. C. D. 6. 用公式对多项式进行因式分解，公式中的可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如果把分式 中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的2倍 D. 扩大为原来的4倍 8. 如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长 为3，则另一边长是（ ） A. m+3 B. m+6 C. 2m+3 D. 2m+6 9. “某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（　　） A. 每天比原计划多修，结果延期10天完成 B. 每天比原计划多修，结果提前10天完成 C. 每天比原计划少修，结果延期10天完成 D. 每天比原计划少修，结果提前10天完成 10. 若关于x的不等式组的解集为，关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，第一小题每空1分，其他小题每题4分，共26分． 11. （1）计算：______；（2）______；（3）______；（4）分解因式：_____；（5）_____；（6）______． 12. 数学就在我们身边，如神奇的天然建筑物—蜜蜂的巢房，它的截面呈正六边形，既节约空间又很坚固，巢房壁的厚度仅为米．数字用科学记数法表示为______． 13. 分式与的最简公分母是 _____． 14. 已知：．则______． 15. 若分式，则的值为______． 16. 已知，，则的值是_______． 三、解答题：本题共9小题，共84分． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，点E在上，大正方形与小正方形的面积差为60，则阴影部分的面积为________． 22. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：________； （2）写出你猜想的第n个等式：________；（用含有n的等式表示），并说明理由． 23. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某学校计划购买甲、乙两种品牌的奖品，在举行的运动会中用于表彰表现突出的学生．已知乙种品牌奖品的单价比甲种品牌奖品的单价的3倍少50元，用600元购买甲种品牌奖品的数量与用800元购买乙种品牌奖品的数量相同． （1）求甲、乙两种品牌奖品的单价各是多少元？ （2）若该学校一次性购买甲、乙两种品牌的奖品共60个，且总费用不高于2000元，则最少要购买多少个甲种品牌奖品？ 24. 阅读下面材料：小颖学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形类比这一特性，小颖发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变太神奇了于是她把这样的式子命名为神奇对称式她还发现像，等神奇对称式都可以用，表示，例如：，于是小颖把和称为基本神奇对称式．请根据以上材料解决下列问题： （1）下列四个代数式：，，，，其中属于神奇对称式的是______ （填序号）； （2）已知． 若，，求神奇对称式的值； 若，求神奇对称式的最小值． 25. 将含角的三角板和含角的三角板及一把直尺按图1方式摆放在一起，使两块三角板的直角顶点，重合，点，，，始终落在直尺的边所在直线上．将含角的三角板沿直线向右平移． （1）当点与点重合，请在备用图中补全图形，并求平移后与形成的夹角的度数； （2）如图2，点在线段上移动，是边上的动点，满足被平分，的平分线与边交于点，请证明在移动过程中，的大小保持不变． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集美区诚毅中学2023-2024学年第一学期期中检测八年级数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 等于（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据非零底数的零指数幂的结果为1进行求解即可 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题主要考查了零指数幂，熟知非零底数的零指数幂的结果为1是解题的关键． 2. 使分式 有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件“分母不能为零”，不等式的性质即可求解． 【详解】解：分式 有意义， ∴，解得，， 故选：． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，不等式的性质的综合，掌握分式有意义的条件是分母不能为零是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题要注意细心．根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的运算法则求解即可求得答案． 【详解】A．，故A选项错误； B．，故B选项错误； C．，故C选项正确； D．，故D选项错误． 【点睛】此题主要考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项等知识，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 4. 如果，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据得到，则，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了多项式乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5. 整式，的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了公因式，先对整式进行因式分解，再根据结果即可求解，正确对整式进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴整式，的公因式是， 故选：． 6. 用公式对多项式进行因式分解，公式中的可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解答本题的关键．直接利用平方差公式得出答案． 【详解】解：∵， ∴∴对上式进行因式分解，公式中的a可以是：． 故选：C． 7. 如果把分式 中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的2倍 D. 扩大为原来的4倍 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，得： 化简后的结果和原式相同， 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 8. 如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长 为3，则另一边长是（ ） A. m+3 B. m+6 C. 2m+3 D. 2m+6 【答案】C 【解析】 【分析】由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长． 【详解】设拼成的矩形一边长为x， 则依题意得：（m+3）2－m2=3x， 解得，x=（6m+9）÷3=2m+3， 故选：C． 9. “某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（　　） A. 每天比原计划多修，结果延期10天完成 B. 每天比原计划多修，结果提前10天完成 C. 每天比原计划少修，结果延期10天完成 D. 每天比原计划少修，结果提前10天完成 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的实际运用．根据设实际每天整修道路，可得表示的含义，由此可得，表示的含义，由此即可求解． 【详解】解：设实际每天整修道路，则表示：实际施工时，每天比原计划多修， ∵方程， 其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间， ∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前10天完成． 故选：B． 10. 若关于x的不等式组的解集为，关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集求出的取值范围，再由分式方程的解求出的范围，得到两个的范围必须同时满足，即求得可得到的整数的值． 【详解】解：解不等式：，得：， 解不等式：，得：， ∵不等式组的解集为， ∴，即：， 解关于的分式方程， 得， ∵分式方程的解为整数解， ∴为整数，且，，即，， ∴所有满足条件的整数的值有：2，，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及应用，解分式方程．解题关键是由条件得到的取值范围． 二、填空题：本题共6小题，第一小题每空1分，其他小题每题4分，共26分． 11. （1）计算：______；（2）______；（3）______；（4）分解因式：_____；（5）_____；（6）______． 【答案】 ①. ②. 2 ③. ④. ⑤. ⑥. 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算与因式分解，解题的关键是： （1）利用幂的乘方法则计算即可； （2）利用负整数指数幂的意义计算即可； （3）利用单项式除以单项式法则计算即可； （4）利用完全平方公式进行因式分解即可； （5）利用提取公因式进行因式分解即可； （6）利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：2； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：； （5）， 故答案为：； （6）， 故答案为：． 12. 数学就在我们身边，如神奇的天然建筑物—蜜蜂的巢房，它的截面呈正六边形，既节约空间又很坚固，巢房壁的厚度仅为米．数字用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用科学记数法的法则转换即可． 【详解】解： ， 故答案为： 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法： ，当m<1时，n<0；当m>1时，n>0． 13. 分式与的最简公分母是 _____． 【答案】18a2b2c 【解析】 【分析】结合题意，根据分式最简公分母的性质计算，即可得到答案． 【详解】6ab2＝3ab•2b， 9a2bc＝3ab•3ac， ∴最简公分母是：3ab•2b•3ac＝18a2b2c， 故答案为：18a2b2c． 【点睛】本题考查了分式的知识；解题的关键是熟练掌握分式的最简公分母的性质，从而完成求解． 14. 已知：．则______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据完全平方公式解决此题． 【详解】解：，， ． ． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键． 15. 若分式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分子等于0，且分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：根据题意可得：且， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0；②分母的值不为0，这两个条件缺一不可． 16. 已知，，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，因式分解的应用，先把已知两式相减，求出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∵， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共84分． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是： （1）利用单项式乘以多项式法则计算即可； （2）利用多项式乘以多项式法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： （1）利用分式的乘方法则计算即可； （2）利用异分母的分式加减法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是： （1）方程两边都乘，得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【小问1详解】 解：方程两边都乘，得 ， 解这个方程，得， 经检验，是原方程的根； 【小问2详解】 解：方程两边都乘，得 ． 解这个方程，得． 经检验是增根，原方程无解． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算将式子化简，再将x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 把代入，． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算法则． 21. 如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，点E在上，大正方形与小正方形的面积差为60，则阴影部分的面积为________． 【答案】30 【解析】 【分析】用含a、b的代数式先表示出两个正方形的面积差，再利用a、b表示出阴影部分的面积，代入计算即可． 【详解】解：∵大正方形ABCM的边长为a，小正方形EBDN的边长为b，大正方形与小正方形的面积差为60， ∴，， ∴ ， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，掌握正方形、三角形的面积公式是解决本题的关键． 22. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：________； （2）写出你猜想的第n个等式：________；（用含有n的等式表示），并说明理由． 【答案】（1） （2） 猜想的第n个等式： ， 证明：∵左边 ， 右边， ∴左边＝右边， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题目中给出的等式，即可写出第6个等式； （2）根据题目中给出的等式，即可第n个等式，分别计算第n个等式的左边和右边即可证明第n个等式成立． 【小问1详解】 由题意可得： 第6个等式：， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了数字的变化、有理数的混合运算，明确题意，发现数学的变化特点与序号的关系是解决问题的关键． 23. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某学校计划购买甲、乙两种品牌的奖品，在举行的运动会中用于表彰表现突出的学生．已知乙种品牌奖品的单价比甲种品牌奖品的单价的3倍少50元，用600元购买甲种品牌奖品的数量与用800元购买乙种品牌奖品的数量相同． （1）求甲、乙两种品牌奖品的单价各是多少元？ （2）若该学校一次性购买甲、乙两种品牌的奖品共60个，且总费用不高于2000元，则最少要购买多少个甲种品牌奖品？ 【答案】（1）甲种品牌奖品的单价为30元，乙种品牌奖品的单价为40元 （2）最少要购买40个甲种品牌奖品 【解析】 【分析】（1）设甲种品牌奖品的单价为元，则乙种品牌奖品的单价为元，根据“用600元购买甲种品牌奖品的数量与用800元购买乙种品牌奖品的数量相同”列出分式方程，解方程即可得到答案； （2）设购买甲种品牌奖品个，则购买乙种品牌奖品个，根据“总费用不高于2000元”列出不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设甲种品牌奖品的单价为元，则乙种品牌奖品的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合实际意义， 则， 答：甲种品牌奖品的单价为30元，乙种品牌奖品的单价为40元； 【小问2详解】 解：设购买甲种品牌奖品个，则购买乙种品牌奖品个， 由题意得：， 解得：， 答：最少要购买40个甲种品牌奖品． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程，一元一次不等式，是解此题的关键． 24. 阅读下面材料：小颖学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形类比这一特性，小颖发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变太神奇了于是她把这样的式子命名为神奇对称式她还发现像，等神奇对称式都可以用，表示，例如：，于是小颖把和称为基本神奇对称式．请根据以上材料解决下列问题： （1）下列四个代数式：，，，，其中属于神奇对称式的是______ （填序号）； （2）已知． 若，，求神奇对称式的值； 若，求神奇对称式的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据“神奇对称式”的定义即可求解； （2）由得，，计算，将和的值整体代入计算即可；利用配方法将原式化为，再将，代入得，再利用配方法可得，根据非负数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 不属于神奇对称式， ， 属于神奇对称式， ， 属于神奇对称式， 交换，得，， 交换，得，， 交换换，得，， 属于神奇对称式， 故于神奇对称式的是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ，， ，， ，， ； ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查新定义、多项式乘多项式、配方法的应用、求代数式的值、非负数的性质，理解新定义，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，灵活运用配方法是解题关键． 25. 将含角的三角板和含角的三角板及一把直尺按图1方式摆放在一起，使两块三角板的直角顶点，重合，点，，，始终落在直尺的边所在直线上．将含角的三角板沿直线向右平移． （1）当点与点重合，请在备用图中补全图形，并求平移后与形成的夹角的度数； （2）如图2，点在线段上移动，是边上的动点，满足被平分，的平分线与边交于点，请证明在移动过程中，的大小保持不变． 【答案】（1） 如图所示， （2） 证明：∵平移， ∴， ∴， 设， ∵被平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即的大小保持不变． 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形，根据平行线的性质即可求解； （2）根据平行线的性质设，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角的性质得出，进而根据三角形内角和定理以及角平分线的定义可得，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵平移， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角板中角度的计算，平行线的性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $