7.4 三角函数应用5题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 7.4 三角函数应用5题型分类 知识点1 函数中，，，的物理意义 1、简谐运动的振幅就是． 2、简谐运动的周期． 3、简谐运动的频率． 4、称为相位． 5、时的相位称为初相． 知识点2 三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术． 1、三角函数模型应用的步骤 （1）建模问题步骤：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题． （2）建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式． 3、三角函数模型应用注意点 （1）一般地，所求出的函数模型只能近似地刻画实际情况，因此应特别注意自变量的取值范围． （2）应用数学知识解决实际问题时，应注意从背景中提取基本的数学关系，并利用相关知识来理解． （一） 处理物理学问题的策略 （1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． （2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 题型1：三角函数模型在物理学中的应用 1-1．（2024高三·全国·对口高考）已知简谐振动的振幅为，其图象上相邻的最高点和最低点间的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（    ） A．， B．， C．， D．， 1-2（2024高一上·江苏宿迁·期末）如图点为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向左运动到平衡位置开始计时，则物体对平衡位置的位移和时间之间的函数关系式为 ．    1-3．（山东省菏泽市鄄城县第一中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：cm）由关系式确定，其中，，.在振动中，小球两次到达最高点的最短时间间隔为1s.且最高点与最低点间的距离为10cm. (1)求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系； (2)若小球在内经过最高点的次数恰为25次，求的取值范围. 1-4．（2024·重庆·模拟预测）已知某弹簧振子的位移（单位：cm）与时间（单位：s）满足，初始时将弹簧振子下压至后松开，经过测量发现弹簧振子每10s往复振动5次，则在第45s时，弹簧振子的位移是 cm. 1-5．（2024高三上·广东揭阳·期末）如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U（单位：V）和时间t（单位：s）满足.在一个周期内，电压的绝对值超过的时间为 .（答案用分数表示）. （二） 解三角函数应用问题的基本步骤 题型2：三角函数模型的实际应用 2-1．（2024高一上·全国·课后作业）车流量被定义为单位时间内通过某路段的车辆数，若上班高峰期某十字路口的车流量F （单位：辆/分钟）与时间t （单位：分钟）的函数关系式为，则车流量增加的时间段是（　　） A． B． C． D． 2-2．（2024高一下·江西萍乡·期中）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温（℃）随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（    ） A．7.3时～11.3时 B．8.7时～11.3时 C．7.3时～12.7时 D．8.7时～12.7时 2-3．（2024高一·全国·随堂练习）某地为发展旅游业，在旅游手册中给出了当地一年每个月的月平均气温表，根据图中提供的数据，试用近似地拟合出月平均气温y（单位：℃）与时间t（单位：月）的函数关系，并求出其周期和振幅，以及气温达到最大值和最小值的时间．（答案不唯一）    2-4．（2024高一·全国·随堂练习）某昆虫种群数量1月1日低到700只，其数量随着时间变化逐渐增加，到当年7月1日高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线规律改变． (1)求出这种昆虫种群数量y（单位：只）关于时间t（单位：月）的函数解析式； (2)画出这个函数的图象． （三） 数据拟合的通法 （1）处理的关键：数据拟合是一项重要的数据处理能力，解决该类问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图在这里起了关键作用． （2）一般方法：数据对→作散点图→确定拟合函数→解决实际问题． 题型3：数据拟合问题 3-1．（2024高一·全国·课后作业）某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据： （小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.    (1)试根据数据表和曲线，求出的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间） 3-2．（2024高一·全国·课后作业）下表所示的是芝加哥1951～1981年的月平均气温(℉)． 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立直角坐标系． (1)描出散点图； (2)用正弦曲线去拟合这些数据； (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A； (5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？ ①＝cos；②＝cos；③＝cos；④＝sin． 3-3．（2024高一上·吉林长春·期末）长春某日气温是时间t(，单位：小时)的函数，下面是某天不同时间的气温预报数据： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7 根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成余弦型函数的图象. （1）根据以上数据，试求(，，)的表达式； （2）大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于.根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段(用区间表示)将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？(忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下哦，奥力给!) 3-4．（2024高一·全国·随堂练习）已知某海滨浴场的浪高是时间（时）（）的函数，记作．下表是某日各时刻的浪高数据.经长期观测，可近似地看成是函数． /时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 (1)根据以上数据，求出该函数的周期、振幅及函数解析式； (2)依据规定，当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放，试依据（1）的结论，判断一天内8：00至20：00之间有多长时间可供冲浪者进行运动． （四） 三角函数应用题的三种模式 （1）给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题． （2）给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题． （3）整理一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题． 题型4：三角函数在圆周中的应用 4-1．（2024高一下·四川绵阳·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为号的个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要.若甲、乙两人分别坐在号和号座舱里且t=0时，1号座舱位于距离地面最近的位置，当时，两人距离地面的高度差（单位：）取最大值时，时间的值是 .    4-2．（2024高一下·辽宁沈阳·期中）一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面1.8米．已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则P点离开水面的高度h关于时间t的函数解析式为 ．    4-3．（2024高一下·北京·阶段练习）如图为一半径是3m的水轮，水轮圆心距离水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点到水面的距离与时间满足函数关系，则 . 4-4．（2024高一下·四川成都·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为号的个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要. (1)求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)若甲、乙两人分别坐在号和号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求的最大值及此时的值. 4-5．（2024高一上·浙江杭州·期末）如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每4min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点． (1)试确定点P距离地面的高度h（单位：m）关于旋转时间t（单位：min）的函数关系式； (2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m？ 题型5：几何中的三角函数模型 5-1．（2024高一下·辽宁沈阳·期中）某市政广场有一块矩形绿地，如图，米，米.为了满足通行及市民休闲的需求，同时考虑到广场的整体规划，施工单位决定在的中点G处，分别向边修两条互相垂直的小路，再修建小路，设. (1)试将的周长l表示成关于的函数关系式，并求出定义域； (2)根据预算及其他因素考虑，最终决定修建的三条小路总长需为500米，求此时的值. 5-2．（2024高一下·浙江杭州·阶段练习）某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径千米，点是半圆的圆心，在圆弧上取点、，使得，把四边形建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段，，和组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设，且； (1)求塑胶跑道的总长关于的函数关系式； (2)当为何值时，塑胶跑道的总长最长，并求出的最大值． 5-3．（2024高一·全国·随堂练习）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，画出点P的运动轨迹，并讨论是否为周期函数．如果是，指出周期；如果不是，请说明理由． 说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．    一、单选题 1．（2024高一下·北京·期中）如图，已知某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数（其中，，），那么12时温度的近似值（精确到1℃）是（    ） A．25℃ B．26℃ C．27℃ D．28℃ 2．（2024高二下·贵州遵义·阶段练习）弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（    ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1 A．， B． C． D．， 3．（2024高一下·陕西西安·期中）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，现根据刘徽的《重差》测景一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和30°，且，则该球体建筑物的高度约为（　　）    A．100m B． C． D． 4．（2024高一下·北京海淀·期末）海洋中的波动是海水的重要运动形式之一．在外力的作用下，海水质点离开其平衡位置做周期性或准周期性的运动，由于流体的连续性，必然带动其邻近质点，从而导致其运动状态在空间的传播．（节选自《海洋科学导论》冯士筰 李风岐 李少菁 主编高等教育出版社）某校海洋研学小组的同学为了研究海水质点在竖直方向上的运动情况，通过数据采集和分析，同学们发现海水质点在某一时间段相对于海平面的位移（米）与时间（秒）的关系近似满足，其中常数．经测定，在秒时该质点第一次到达波峰，在秒时该质点第三次到达波峰．在时，该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为（    ） A．秒 B．2秒 C．秒 D．3秒 5．（2024高一下·黑龙江大庆·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用图明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理图假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车转动的角速度为，如图所示，盛水桶视为质点的初始位置距水面的距离为，则后盛水桶到水面的距离近似为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一下·山东临沂·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动6圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间．根据如图所示的直角坐标系，将点到水面的距离（单位：，在水面下，为负数）表示为时间（单位：）的函数，当时，点到水面的距离为（    ）    A． B． C． D． 7．（2024高一下·北京丰台·期中）半径为2m的水轮如图所示，水轮的圆心距离水面m.已知水轮按逆时针方向每分钟转4圈，水轮上的点到水面的距离(单位：m）与时间(单位：s）满足关系式.从点离开水面开始计时，则点到达最高点所需最短时间为（    ） A．s B．s C．s D．10 s 8．（2024高一·全国·课后作业）海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为米，安全间隙（船底与海底距离）为米，该船在开始卸货，吃水深度以米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择（）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在（    ）（要考虑船只驶出港口需要一定时间） 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 A．至 B．至 C．至 D．至 9．（2024·广东·二模）已知某摩天轮的半径为，其中心到地面的距离为，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 二、多选题 10．（2024高三下·云南·阶段练习）单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为，，，其中x表示时间（s），y表示位移（cm），A表示振幅，表示频率，φ表示初相位.如图甲某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏移的位移为正，竖直方向为平衡位置.图乙表示该小球在秒运动时的位移随时间变化情况.根据秒表记录有：当时，小球第一次到平衡位置；当时，小球的位移第一次到反向最大值.根据以上图文信息，下列选项中正确的是（    ）    A．频率为 B．初相位或 C．振幅 D．当时，小球第三次回到平衡位置 11．（2024高一下·福建福州·期中）如图所示，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈.则该质点到x轴的距离关于时间t的函数记为.下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小正周期为 D．的最小正周期为3 12．（2024高二上·四川绵阳·开学考试）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为(单位：m)(在水下则为负数)、与时间(单位：s)之间的关系是，则下列说法正确的是（    ）      A．筒车的半径为3m，旋转一周用时60s B．筒车的轴心距离水面的高度为 C．盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点 D．时，盛水筒处于向上运动状态 13．（2024高一上·吉林·期末）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）（在水下则为负数）、与时间（单位：s）之间的关系是，则下列说法正确的是（    ）      A．筒车的半径为3m，旋转一周用时30s B．筒车的轴心距离水面的高度为 C．时，盛水筒处于向上运动状态 D．盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点 14．（2024高一下·福建漳州·期中）一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米.已知水轮按顺时针方向绕圆心做匀速转动，每秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（    ）    A．点第一次到达最高点需要秒 B．点第一次到达最低点需要秒 C．在水轮转动的一圈内，有秒的时间，点在水面的下方 D．当水轮转动秒时，点距离水面的高度是米 15．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（   ）    A． B．当时，函数单调递增 C．当时，的最大值为 D．当时， 三、填空题 16．（2024高一下·湖南·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图是一个半径为6m的筒车，筒车转轮的中心到水面的距离为3m，每2分钟逆时针匀速旋转一圈.筒车上的一个盛水筒P（视为质点）从水中浮现（图中点A）时开始记时.建立如图平面直角坐标系，将P到水面距离表示为时间的函数，则 . 17．（2024高一下·北京西城·期中）从本质上来讲，声音实际上是一种简谐振动产生的机械波，也称声波.声音两个最主要的要素：响度和音调，分别由振动的振幅和频率刻画.其中最基本的声波就是简谐振动所产生的正弦波.纯音是以某个固定频率进行简谐振动所产生的声波，且纯音的函数可以表示为：，其中，，则这个函数的频率为 （写出表达式即可）（注：频率是周期的倒数）一般说的，，，，，，又是什么呢？这些唱名是音调的一种记法，音调与频率之间的关系为.已知标准音（也是纯音）的音调为，那么标准音对应的函数中 .已知标准音和标准音的频率比为，那么标准音的音调为 .（取，，结果精确到小数点后两位）. 18．（2024高一·湖南·课后作业）电流随时间变化的函数的图象如图所示，则时的电流为 ． 19．（2024高一下·上海嘉定·期中）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在秒时相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度厘米满足下列关系：，，则每秒钟小球能振动 次. 20．（2024高一下·上海·课后作业）如果音叉发出的声波可以用函数描述，那么音叉声波的频率是 . 21．（2024高一下·云南玉溪·阶段练习）如图是一个半径为2米的水车，水车圆心距离水面1米.水车按逆时针方向匀速转动，每12秒转一圈，当水车上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，设水车所在平面与水面的交线为，以过点且平行于的直线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，设点距离水面的高度（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数为，则 . 22．（2024高一下·江西萍乡·期末）若以函数图像上相邻的四个最值所在的点为顶点恰好构成一个菱形，则 ． 23．（2024高一上·江苏·课前预习） 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2，将筒车简化为圆，以为原点，以与水平平行的直线为轴建立直角坐标系，设时，盛水筒位于，以为始边，以为终边的角为，动点每秒钟逆时针转过，则盛水筒的高度与时间的关系是 .    24．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，一根绝对刚性且长度不变､质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，若函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为 .      25．（2024高一下·四川成都·期中）如图，一个筒车按逆时针方向旋转，每分钟转5圈，若从盛水筒P刚出水面开始计时，则盛水筒到水面的距离y（单位：m）（水面下则y为负数）与时间t（单位：s）之间的关系式为，盛水筒至少经过 s能到达距离水面的位置． 四、解答题 26．（2024高一·江苏·课后作业）已知正弦交流电（单位：）与时间（单位：）的函数关系为，求电流的峰值、周期、频率和初相位． 27．（2024高一下·浙江宁波·期末）今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”.其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画.其中正整数表示月份且，例如时表示1月份，和是正整数，.统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同； ②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式； (2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由. 28．（2024高一下·河南南阳·阶段练习）直径为8m的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2m，已知水轮沿逆时针方向匀速旋转，每分钟转动6圈，当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间． (1)将点距离水面的高度表示为时间的函数； (2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点在水面下？ 29．（2024高一·全国·随堂练习）北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗．请根据年鉴或其他参考资料，统计过去一年不同日期的日出和日落时间． (1)在同一直角坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型； (2)某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？ 30．（2024高一上·全国·课后作业）如图，某动物种群数量在某年1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间呈正弦型曲线变化．    (1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；（其中t 以年初以来的月份为计量单位，如1月用 表示） (2)估计当年3月1日该动物种群数量． 31．（2024高一上·全国·课后作业）潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，其形成是由于海水受日月的引力作用，潮是指海水在一定的时候发生涨落的现象，一般来说，早潮叫潮，晚潮叫汐．某观测站通过长时间的观测，发现潮汐的涨落规律和函数图象 基本一致且周期为，其中x 为时间，为水深．当 时，海水上涨至最高，最高为5米． (1)求函数的解析式，并作出函数在上的简图； (2)求海水持续上涨的时间区间． 32．（2024高一上·江苏·课后作业）已知某海滨浴场海浪的高度（米）是时间（，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时的浪高数据： （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观察，的曲线可近似地看成是函数的图象. (1)根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数解析式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的10：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 33．（2024高一下·四川眉山·期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述． (1)根据以上数据，求出函数的表达式； (2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.25米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该货船在一天内什么时间段能安全进出港口？ 34．（2024高一下·江西景德镇·期中）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据： t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1 该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象． (1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议． 35．（2024高一上·福建福州·阶段练习）某港门的水深y(米)是时间x(，单位：小时)的函数，下面是水深数据：经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象. x(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 （1）试根据以上数据，求出的表达式； （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出所用的时间)？ 36．（2024高一上·江西宜春·期末）某地农业检测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增．下表是今年前四个月的统计情况： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格（元/斤） 6 7 6 5 养殖成本（元/斤） 3 4 4．6 5 现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系． （1）请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式； （2）按照你选定的函数模型，帮助该部门分析一下，今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有没有可能亏损？ 37．（2024高一下·北京房山·期中）将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形．已知摩天轮的半径为40米，其中心点距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮上一点距离地面的高度为（单位：米），若从摩天轮的最低点处开始转动，则与转动时间（单位：分钟）之间的关系为． (1)求，，，的值； (2)摩天轮转动8分钟后，求点距离地面的高度； (3)在摩天轮转动一圈内，求点距离地面的高度超过65米的时长． 38．（2024高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲乙两名同学周末去游乐场游玩，甲同学去坐摩天轮，乙同学因为恐高只能在休息区P处等待．如图，已知摩天轮的半径为40米，按逆时针方向旋转且每20分钟转一圈．摩天轮开始转动后甲从最低点M经过50秒恰好转到A处，此时乙在P处看甲的仰角为15°，又过了200秒转到B处，此时乙在P处看甲的仰角为60°，摩天轮与底座的基点H及休息区P在同一个竖直的平面内． (1)求休息区P与摩天轮底座的基点H之间的距离； (2)求摩天轮的最高点到地面的距离． 39．（2024高一·湖南·课后作业）如图，矩形ABCD的相邻两条边AB，BC的长度分别为1和3，点E，F是BC的三等分点，求证：． 40．（2024高一·全国·课堂例题）已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处．    (1)试确定在时刻时，点离地面的高度； (2)在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过100m的时间有多长？ 41．（2024高一·全国·课堂例题）某港口相邻两次高潮发生时间间隔12h20min，低潮时入口处水的深度为2.8m，高潮时为8.4m，一次高潮发生在10月3日2:00. (1)若从10月3日0:00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深d（单位：m）和时间t（单位：h）之间的函数关系； (2)求10月3日4:00水的深度； (3)求10月3日吃水深度为5m的轮船能进入港口的时间. 42．（2024高一·全国·课堂例题）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口在某天几个时刻的水深. 时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:0 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 (1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值； (2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？ (3)若船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 43．（2024高一·全国·课堂例题）一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间.    (1)将点P距离水面的高度z（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数； (2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？（参考数据：，，第二问精确到） 44．（2024高一下·浙江温州·期中）如图，某公园摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处．    (1)已知在时刻（单位：）时点P距离地面的高度（其中，，），求函数解析式及时点P距离地面的高度； (2)当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 7.4 三角函数应用7题型分类 知识点1 函数中，，，的物理意义 1、简谐运动的振幅就是． 2、简谐运动的周期． 3、简谐运动的频率． 4、称为相位． 5、时的相位称为初相． 知识点2 三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术． 1、三角函数模型应用的步骤 （1）建模问题步骤：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题． （2）建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式． 3、三角函数模型应用注意点 （1）一般地，所求出的函数模型只能近似地刻画实际情况，因此应特别注意自变量的取值范围． （2）应用数学知识解决实际问题时，应注意从背景中提取基本的数学关系，并利用相关知识来理解． （一） 处理物理学问题的策略 （1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． （2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 题型1：三角函数模型在物理学中的应用 1-1．（2024高三·全国·对口高考）已知简谐振动的振幅为，其图象上相邻的最高点和最低点间的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的图象与性质求出振幅、周期，再由过点求出初相即可得解. 【详解】由题意可知，， ， 则， ， . 因为过点， 由，得. ∵， ∴. 因此频率，初相为. 故选：A 1-2（2024高一上·江苏宿迁·期末）如图点为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向左运动到平衡位置开始计时，则物体对平衡位置的位移和时间之间的函数关系式为 ．    【答案】 【分析】依题意设，再根据题意和函数的周期求出，即可得到函数解析式； 【详解】依题意设，则，周期，又，解得，所以. 故答案为：. 1-3．（山东省菏泽市鄄城县第一中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：cm）由关系式确定，其中，，.在振动中，小球两次到达最高点的最短时间间隔为1s.且最高点与最低点间的距离为10cm. (1)求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系； (2)若小球在内经过最高点的次数恰为25次，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据振幅、周期的定义，结合正弦型函数的性质进行求解即可； （2）根据正弦型函数的周期，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为10cm，所以， 因为在振动中，小球两次到达最高点的最短时间间隔为1s，所以周期为1， 即，所以.所以，； （2）由题意，当时，小球第一次到达最高点， 以后每经过一个周期都出现一次最高点， 因为小球在内经过最高点的次数恰为25次，所以， 因为，所以，所以的取值范围为. 1-4．（2024·重庆·模拟预测）已知某弹簧振子的位移（单位：cm）与时间（单位：s）满足，初始时将弹簧振子下压至后松开，经过测量发现弹簧振子每10s往复振动5次，则在第45s时，弹簧振子的位移是 cm. 【答案】 【分析】根据已知可得、且求解析式，将代入求值即可. 【详解】由题意，且最小正周期，即，故， 所以，且，即， 不妨令，故， 当，则. 故答案为： 1-5．（2024高三上·广东揭阳·期末）如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U（单位：V）和时间t（单位：s）满足.在一个周期内，电压的绝对值超过的时间为 .（答案用分数表示）. 【答案】s 【分析】由图象求出函数解析式，然后求得的解，结合图象可得． 【详解】由已知，，， . 在区间内，令，或， 可得，； 同理令，可得，. 综上，电压的绝对值超过的时间为（s）. 故答案为：s． （二） 解三角函数应用问题的基本步骤 题型2：三角函数模型的实际应用 2-1．（2024高一上·全国·课后作业）车流量被定义为单位时间内通过某路段的车辆数，若上班高峰期某十字路口的车流量F （单位：辆/分钟）与时间t （单位：分钟）的函数关系式为，则车流量增加的时间段是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的单调递增区间，根据选项进行判断即可. 【详解】令，得， 因为， 所以当 时，函数 的单调递增区间为； 当 时，函数的单调递增区间为． 因为， 所以车流量在时间段 内是增加的， 故选：C. 2-2．（2024高一下·江西萍乡·期中）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温（℃）随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（    ） A．7.3时～11.3时 B．8.7时～11.3时 C．7.3时～12.7时 D．8.7时～12.7时 【答案】B 【分析】由三角函数的性质结合条件即得. 【详解】当时，， 由，得， 所以(时)； 由，得， 所以(时). 故在6时时中，观花的最佳时段约为时时. 故选：B 2-3．（2024高一·全国·随堂练习）某地为发展旅游业，在旅游手册中给出了当地一年每个月的月平均气温表，根据图中提供的数据，试用近似地拟合出月平均气温y（单位：℃）与时间t（单位：月）的函数关系，并求出其周期和振幅，以及气温达到最大值和最小值的时间．（答案不唯一）    【答案】见详解. 【分析】根据三角函数的图象与性质计算即可. 【详解】不妨设，由图象可知时，，当时，， 结合图象可知，，， 又当时，， 不妨令， 故，周期为14，振幅为6，1月取得最小值15，8月取得最大值27. 2-4．（2024高一·全国·随堂练习）某昆虫种群数量1月1日低到700只，其数量随着时间变化逐渐增加，到当年7月1日高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线规律改变． (1)求出这种昆虫种群数量y（单位：只）关于时间t（单位：月）的函数解析式； (2)画出这个函数的图象． 【答案】(1) (2)图象见解析 【分析】（1）设函数表达式，结合三角函数的最值、最小正周期及特殊点代入即可得解； （2）根据解析式列表作图即可. 【详解】（1）设， 由题意，解得，且，解得， 又因为当时，取最小值， 所以，即， 可取，所以； （2）列表： t 0 1 4 7 10 12 0 y 700 800 900 800 作出函数图象如下：    （三） 数据拟合的通法 （1）处理的关键：数据拟合是一项重要的数据处理能力，解决该类问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图在这里起了关键作用． （2）一般方法：数据对→作散点图→确定拟合函数→解决实际问题． 题型3：数据拟合问题 3-1．（2024高一·全国·课后作业）某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据： （小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.    (1)试根据数据表和曲线，求出的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间） 【答案】(1) (2)16小时. 【分析】（1）根据图象的最高点和最低点可以求出，由两个最高点的之间的距离可以求出，从而可求函数的表达式； （2）在当的前提下，解不等式即可. 【详解】（1）根据数据，， ，，， ， 函数的表达式为； （2）由题意，水深， 即， ， ，，1， 或； 所以，该船在至或至能安全进港， 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时. 3-2．（2024高一·全国·课后作业）下表所示的是芝加哥1951～1981年的月平均气温(℉)． 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立直角坐标系． (1)描出散点图； (2)用正弦曲线去拟合这些数据； (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A； (5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？ ①＝cos；②＝cos；③＝cos；④＝sin． 【答案】(1)作图见解析； (2)答案见解析； (3)12； (4)25.8； (5)③. 【分析】(1)根据表格描点即可，描的点为(月份－1，平均气温)，共12个点； (2)将(1)中的点用光滑的曲线连在一起即可； (3)根据正弦型函数周期的性质可知最低气温和最高气温之间间隔为半个周期； (4)根据最小值和最大值计算； (5)将表格数据代入模型逐一验证即可. 【详解】（1）作出散点图如图所示： （2）如图所示： （3）1月份的气温最低，为21.4℉，7月份气温最高，为73.0℉， 据图知，，． （4）2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8． （5）月份， 不妨取，，代入①，得，①不适合； 代入②，得， ②不适合；同理④不适合，③适合． 3-3．（2024高一上·吉林长春·期末）长春某日气温是时间t(，单位：小时)的函数，下面是某天不同时间的气温预报数据： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7 根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成余弦型函数的图象. （1）根据以上数据，试求(，，)的表达式； （2）大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于.根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段(用区间表示)将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？(忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下哦，奥力给!) 【答案】（1），；（2），8小时. 【解析】（1）由表中数据列方程求出、的值，再求出、和的值即可； （2）令，利用余弦函数的性质求出的取值范围，即可得出结论． 【详解】（1）根据以上数据知，，解得，； 由，解得，所以； 由时，即， 解得，即，； 所以，； 由，解得； 所以，，； （2）令，得， 即，； 解得，； 当时，， 所以一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在，时间段将该种商品放在室外销售， 且单日室外销售时间最长不能超过（小时）． 【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 3-4．（2024高一·全国·随堂练习）已知某海滨浴场的浪高是时间（时）（）的函数，记作．下表是某日各时刻的浪高数据.经长期观测，可近似地看成是函数． /时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 (1)根据以上数据，求出该函数的周期、振幅及函数解析式； (2)依据规定，当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放，试依据（1）的结论，判断一天内8：00至20：00之间有多长时间可供冲浪者进行运动． 【答案】(1)； (2)6个小时. 【分析】（1）根据表中数据可知，再根据最大值和最小值求出和，从而得解析式； （2）解，得，再结合，可得的范围，从而得答案. 【详解】（1）解：由表中数据可知，的最大值为1.5，最小值为0.5， 所以，，， 所以； （2）解：由（1）可知， 由，得， 所以， 所以， 因为， 所以，， 所以一天内从上午9点天下午3点共有6个小时可以冲浪. （四） 三角函数应用题的三种模式 （1）给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题． （2）给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题． （3）整理一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题． 题型4：三角函数在圆周中的应用 4-1．（2024高一下·四川绵阳·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为号的个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要.若甲、乙两人分别坐在号和号座舱里且t=0时，1号座舱位于距离地面最近的位置，当时，两人距离地面的高度差（单位：）取最大值时，时间的值是 .    【答案】10 【分析】设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系，座舱转动的角速度约为，计算，，相减得到，计算最值得到答案. 【详解】如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系， 设时，游客甲位于点，以为终边的角为； 根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为， 由题意可得，. 如图，甲、乙两人的位置分别用点表示， 则， 经过后甲距离地面的高度为， 点相对于点始终落后， 此时乙距离地面的高度为. 则甲、乙距离地面的高度差 ， 因为，所以， 所以得，即开始转动分钟时，甲乙两人距离地面的高度差最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系. 4-2．（2024高一下·辽宁沈阳·期中）一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面1.8米．已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则P点离开水面的高度h关于时间t的函数解析式为 ．    【答案】 【分析】先设P点离开水面的高度h关于时间t的函数解析式为，再利用题给条件求得各参数值，即可得到该解析式. 【详解】P点离开水面的高度h关于时间t的函数解析式可设为 由题给条件可得，，解之得 水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，则运动周期为60秒， 则， 又，，则 则 故答案为： 4-3．（2024高一下·北京·阶段练习）如图为一半径是3m的水轮，水轮圆心距离水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点到水面的距离与时间满足函数关系，则 . 【答案】/ 【分析】根据正弦函数的周期性求解. 【详解】由题意可得，水轮每分钟旋转4圈，所以转一圈需要15s， 所以,所以， 故答案为: . 4-4．（2024高一下·四川成都·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为号的个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要. (1)求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)若甲、乙两人分别坐在号和号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求的最大值及此时的值. 【答案】(1)，. (2)，开始转动或分钟时，甲乙两人距离地面的高度差最大值为. 【分析】(1)设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系，座舱转动的角速度约为，计算得到答案. （2）计算，，相减得到，计算最值得到答案. 【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系， 设时，游客甲位于点，以为终边的角为； 根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为， 由题意可得，. （2）如图，甲、乙两人的位置分别用点表示， 则. 经过后甲距离地面的高度为， 点相对于点始终落后， 此时乙距离地面的高度为. 则甲、乙距离地面的高度差 ， 因为，所以， 所以或，或 所以开始转动或分钟时，甲乙两人距离地面的高度差最大值为. 4-5．（2024高一上·浙江杭州·期末）如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每4min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点． (1)试确定点P距离地面的高度h（单位：m）关于旋转时间t（单位：min）的函数关系式； (2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m？ 【答案】(1) (2)min 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，利用旋转周期可得在 min内转过的角度为，再利用三角函数定义可得；（2）利用（1）中的表达式可解出时，可得，即可求得结果. 【详解】（1）建立如题所示的平面直角坐标系， 根据题意可得在 min内转过的角度为， 设为点在时间内转过的角度，所以； 以轴正半轴为始边，所在位置为终边，所以为终边的角为， 因此点的纵坐标为， 所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式为， 化简得 （2）当时， 解得， 又在一圈内，所以符合题意i的时间段为或， 即在摩天轮转动一圈内，有min点距离地面超过70m. 题型5：几何中的三角函数模型 5-1．（2024高一下·辽宁沈阳·期中）某市政广场有一块矩形绿地，如图，米，米.为了满足通行及市民休闲的需求，同时考虑到广场的整体规划，施工单位决定在的中点G处，分别向边修两条互相垂直的小路，再修建小路，设. (1)试将的周长l表示成关于的函数关系式，并求出定义域； (2)根据预算及其他因素考虑，最终决定修建的三条小路总长需为500米，求此时的值. 【答案】(1)，定义域为 (2)或 【分析】（1）分别用表示出,,用勾股定理即可得,从而得到周长表达式，当点F在D处，点E在C处时，可得到的范围，即定义域； （2）令根据总长500米，即可求得值，然后利用平方和为1即可得到答案. 【详解】（1）在中，，所以， 在中，，所以， 又因为，所为， 所以， 当点F在D处时，最大，此时， 当点E在C处时，最小，此时， 故定义域为. （2）由（1）得， 令， 则， 令，可得， 所以， 又因为， 所以或. 5-2．（2024高一下·浙江杭州·阶段练习）某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径千米，点是半圆的圆心，在圆弧上取点、，使得，把四边形建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段，，和组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设，且； (1)求塑胶跑道的总长关于的函数关系式； (2)当为何值时，塑胶跑道的总长最长，并求出的最大值． 【答案】(1)， (2)当， 取得最大值10千米 【分析】（1）根据角度关系，由知，利用等腰三角形的性质求得底边长，从而得的表达式； （2）利用二倍角公式化简函数式为关于的二次函数，结合二次函数性质、正弦函数性质得最小值． 【详解】（1）由已知得，， 故， 所以，； （2） ， 所以当，时，取得最大值10千米． 5-3．（2024高一·全国·随堂练习）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，画出点P的运动轨迹，并讨论是否为周期函数．如果是，指出周期；如果不是，请说明理由． 说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．    【答案】轨迹见解析，是周期为4的函数. 【分析】分析的运动过程并判断是否存在周期，再画出其轨迹，即可确定是否为周期函数. 【详解】假设落在轴上时开始计时，下一次落在轴上，过程中四个顶点依次落在了轴上， 而相邻两个顶点距离为正方形边长，即为1，因此该函数周期为4. 考查正方形向右滚动时，点运动情况： 首先以为圆心，正方形边长为半径运动个圆， 然后以为圆心，正方形对角线长为半径运动个圆， 最后以为圆心，正方形边长为半径运动个圆，最终运动轨迹如下曲线：      由图知：是周期为4的函数. 一、单选题 1．（2024高一下·北京·期中）如图，已知某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数（其中，，），那么12时温度的近似值（精确到1℃）是（    ） A．25℃ B．26℃ C．27℃ D．28℃ 【答案】C 【分析】利用图象求出三角函数解析式，然后求函数值． 【详解】由题意，， ，， ，又，所以， 所以， 时，(). 故选：C． 2．（2024高二下·贵州遵义·阶段练习）弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（    ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1 A．， B． C． D．， 【答案】D 【分析】根据简谐振动的解析式结合三角函数性质运算求解. 【详解】设简谐振动的解析式为，其中 由表格可知：振幅，周期，过点， 由周期，且，可得， 由过点，可得，即，则， 可得， 所以简谐振动的解析式为. 故选：D. 3．（2024高一下·陕西西安·期中）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，现根据刘徽的《重差》测景一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和30°，且，则该球体建筑物的高度约为（　　）    A．100m B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的切线的性质可得AC，AB的大小，由题意可得OA的大小，进而求出球的高度. 【详解】解：设球的截面圆心为O，连接OB，OC，设球的截面圆的半径为R， 由圆的切线的性质可得：，， 则，， 所以，可得， 即， 又因为， ， 所以， 所以， 所以球的直径.      故选：A. 4．（2024高一下·北京海淀·期末）海洋中的波动是海水的重要运动形式之一．在外力的作用下，海水质点离开其平衡位置做周期性或准周期性的运动，由于流体的连续性，必然带动其邻近质点，从而导致其运动状态在空间的传播．（节选自《海洋科学导论》冯士筰 李风岐 李少菁 主编高等教育出版社）某校海洋研学小组的同学为了研究海水质点在竖直方向上的运动情况，通过数据采集和分析，同学们发现海水质点在某一时间段相对于海平面的位移（米）与时间（秒）的关系近似满足，其中常数．经测定，在秒时该质点第一次到达波峰，在秒时该质点第三次到达波峰．在时，该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为（    ） A．秒 B．2秒 C．秒 D．3秒 【答案】C 【分析】由正弦函数的性质得出解析式，再由得出总时长. 【详解】解：因为秒时该质点第一次到达波峰，在秒时该质点第三次到达波峰． 所以，即， 当时，， ， 即，因为，所以. 则， 由得出或，. 即，或， 因为，所以. 因此该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为. 故选：C 5．（2024高一下·黑龙江大庆·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用图明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理图假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车转动的角速度为，如图所示，盛水桶视为质点的初始位置距水面的距离为，则后盛水桶到水面的距离近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出初始位置时对应的角，再根据题意求出盛水桶到水面的距离与时间的函数关系式，将代入，即可求解. 【详解】设初始位置时对应的角为，则，则， 因为筒车转到的角速度为， 所以水桶到水面的距离， 当时，可得. 故选：A. 6．（2024高一下·山东临沂·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动6圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间．根据如图所示的直角坐标系，将点到水面的距离（单位：，在水面下，为负数）表示为时间（单位：）的函数，当时，点到水面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，利用点到水面的距离求出函数的解析式，计算时的值即可． 【详解】设，则点到水面的距离， 由题可知，与的夹角为， 在时间转过的角度为， 由图可知，点的纵坐标， 因此则点到水面的距离， 当时，，所以点到水面的距离为． 故选：A 7．（2024高一下·北京丰台·期中）半径为2m的水轮如图所示，水轮的圆心距离水面m.已知水轮按逆时针方向每分钟转4圈，水轮上的点到水面的距离(单位：m）与时间(单位：s）满足关系式.从点离开水面开始计时，则点到达最高点所需最短时间为（    ） A．s B．s C．s D．10 s 【答案】B 【分析】由题意求得周期，进而得到，由水轮的圆心距离水面m，可求出，，即可知，令，解得即可得出答案. 【详解】水轮每分钟逆时针转动4圈，则函数的最小正周期为15s，则， 由水轮的半径为2m，水轮圆心O距离水面m， 因为，可得，， 所以， 当水轮上点P从水中浮出时x= 0s开始计时， 令，解得，点P第一次到达最高点需要. 故选：B. 8．（2024高一·全国·课后作业）海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为米，安全间隙（船底与海底距离）为米，该船在开始卸货，吃水深度以米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择（）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在（    ）（要考虑船只驶出港口需要一定时间） 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 A．至 B．至 C．至 D．至 【答案】C 【分析】根据题意，求出函数的表达式为，即可得解. 【详解】由题意得，函数的周期为，振幅，所以， 又因为达到最大值， 所以由，可得， 所以，所以函数的表达式为， 令，解得，所以在可安全离港， 故选：C 9．（2024·广东·二模）已知某摩天轮的半径为，其中心到地面的距离为，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】B 【分析】求出游客到地面的距离为关于转动时间（单位：分钟）的函数关系式，然后解不等式，可得出结果. 【详解】设游客到地面的距离为，设关于转动时间（单位：分钟）的函数关系式为， 则，，可得， 函数的最小正周期为，则， 当时，游客位于最低点，可取， 所以，， 由，即，可得， 所以，，解得， 因此，游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有分钟. 故选：B. 二、多选题 10．（2024高三下·云南·阶段练习）单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为，，，其中x表示时间（s），y表示位移（cm），A表示振幅，表示频率，φ表示初相位.如图甲某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏移的位移为正，竖直方向为平衡位置.图乙表示该小球在秒运动时的位移随时间变化情况.根据秒表记录有：当时，小球第一次到平衡位置；当时，小球的位移第一次到反向最大值.根据以上图文信息，下列选项中正确的是（    ）    A．频率为 B．初相位或 C．振幅 D．当时，小球第三次回到平衡位置 【答案】ACD 【分析】A选项，根据图象性质得到函数的最小正周期，进而求出频率；B选项，根据，求出；C选项，结合图象，代入求出；D选项，根据题意及最小正周期得到时，第三次回到平衡位置. 【详解】A选项，设最小正周期为，据题意，频率为，故A正确； B选项，当时，小球第一次到平衡位置，即是正弦函数减区间上的零点，且，所以，故B错误； C选项，根据图中的信息知在图象上，所以，故C正确； D选项，当时，小球第一次到达平衡位置，当时，小球第三次到达平衡位置，故D正确. 故选：ACD． 11．（2024高一下·福建福州·期中）如图所示，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈.则该质点到x轴的距离关于时间t的函数记为.下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小正周期为 D．的最小正周期为3 【答案】AC 【分析】根据角速度的概念、任意角的三角函数定义以及三角函数的周期公式计算. 【详解】由题可知，质点的角速度为， 因为点P为起始点，沿逆时针方向运动， 设经过时间之后所成角为，则，根据任意角的三角函数定义有： ，所以该质点到x轴的距离为，故A正确，B错误； 因为，所以的最小正周期为，故C正确，D错误. 故选：AC. 12．（2024高二上·四川绵阳·开学考试）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为(单位：m)(在水下则为负数)、与时间(单位：s)之间的关系是，则下列说法正确的是（    ）      A．筒车的半径为3m，旋转一周用时60s B．筒车的轴心距离水面的高度为 C．盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点 D．时，盛水筒处于向上运动状态 【答案】AC 【分析】根据振幅和最小正周期可确定A正确；利用可知B错误；根据正弦型函数，令，由正弦型函数的值可构造方程求得，进而得到，知C正确；再利用三角函数单调性的判断方法可知D错误. 【详解】对于A，的振幅为筒车的半径，筒车的半径为； 的最小正周期，旋转一周用时，A正确； 对于B，，筒车的半径，筒车的轴心距离水面的高度为，B错误； 对于C，令，， ，解得：， 又，当时，，即盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点，C正确. 对于D，当时，，此时单调递减， 盛水筒处于处于向下运动的状态，D错误. 故选：AC. 13．（2024高一上·吉林·期末）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）（在水下则为负数）、与时间（单位：s）之间的关系是，则下列说法正确的是（    ）      A．筒车的半径为3m，旋转一周用时30s B．筒车的轴心距离水面的高度为 C．时，盛水筒处于向上运动状态 D．盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点 【答案】BD 【分析】 根据振幅和最小正周期可确定A错误；利用可知B正确；根据正弦型函数单调性的判断方法可知C错误；令，由正弦型函数的值可构造方程求得，进而得到，知D正确. 【详解】对于A，的振幅为筒车的半径，筒车的半径为； 的最小正周期，旋转一周用时，A错误； 对于B，，筒车的半径，筒车的轴心距离水面的高度为，B正确； 对于C，当时，，此时单调递减， 盛水筒处于处于向下运动的状态，C错误； 对于D，令，， ，解得：， 又，当时，，即盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点，D正确. 故选：BD. 14．（2024高一下·福建漳州·期中）一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米.已知水轮按顺时针方向绕圆心做匀速转动，每秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（    ）    A．点第一次到达最高点需要秒 B．点第一次到达最低点需要秒 C．在水轮转动的一圈内，有秒的时间，点在水面的下方 D．当水轮转动秒时，点距离水面的高度是米 【答案】ACD 【分析】设，利用最值、最小正周期和可求得解析式；利用、可求得AB正误；由可求得的范围，由此知C正确；由可知D正确. 【详解】设点距离水面的高度与时间的函数解析式为， 由题意知：，，最小正周期， ，，， ，即，又，， ； 对于A，令，解得：，即点第一次到达最高点需要秒，A正确； 对于B，令，解得：，即点第一次到达最低点需要秒，B错误； 对于C，，， 令，即， ，解得：， 水轮转动一圈内，点在水面下方的时间为秒，C正确； 对于D，， 当水轮转动秒时，点距离水面的高度是米，D正确. 故选：ACD. 15．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（   ）    A． B．当时，函数单调递增 C．当时，的最大值为 D．当时， 【答案】AD 【分析】根据题意，结合条件可得的值，从而求得函数的解析式，然后根据正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由题意，，，所以， 则， 又点，此时代入可得，解得， 又，所以，故A正确； 因为，当时，， 所以函数先增后减，故B错误； 当时，所以， 则，则，故C错误； 当时，，的纵坐标为，横坐标为， 所以，故D正确； 故选：AD 三、填空题 16．（2024高一下·湖南·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图是一个半径为6m的筒车，筒车转轮的中心到水面的距离为3m，每2分钟逆时针匀速旋转一圈.筒车上的一个盛水筒P（视为质点）从水中浮现（图中点A）时开始记时.建立如图平面直角坐标系，将P到水面距离表示为时间的函数，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数的周期求出角速度，再利用正弦函数求圆上点的纵坐标即可得出. 【详解】由题意周期秒，所以角速度（rad/s）， 当经过时间秒，质点从运动到如图所在位置，如图， 此时， 因为水车半径米，水车中心离水面距离米, 所以，， 所以P到水面距离， 即， 故答案为： 17．（2024高一下·北京西城·期中）从本质上来讲，声音实际上是一种简谐振动产生的机械波，也称声波.声音两个最主要的要素：响度和音调，分别由振动的振幅和频率刻画.其中最基本的声波就是简谐振动所产生的正弦波.纯音是以某个固定频率进行简谐振动所产生的声波，且纯音的函数可以表示为：，其中，，则这个函数的频率为 （写出表达式即可）（注：频率是周期的倒数）一般说的，，，，，，又是什么呢？这些唱名是音调的一种记法，音调与频率之间的关系为.已知标准音（也是纯音）的音调为，那么标准音对应的函数中 .已知标准音和标准音的频率比为，那么标准音的音调为 .（取，，结果精确到小数点后两位）. 【答案】 60.20 【分析】先求出最小正周期，从而得到周期，写出的频率的解析式，代入，求出，设出标准音的音调为，根据标准音的频率和标准音的频率比为列出方程，求出准音的音调为， 【详解】已知：最小正周期，故周期为，故， 当时，，则 因为标准音的频率和标准音的频率比为， 所以标准音的频率为，设标准音的音调为， 则， 解得：， 故答案为：，，60.20 18．（2024高一·湖南·课后作业）电流随时间变化的函数的图象如图所示，则时的电流为 ． 【答案】 【分析】根据图象可求函数的解析式，从而可求对应的函数值. 【详解】由函数的图象可得，且，故， 而，故， 解得，故， 故， 故答案为：. 19．（2024高一下·上海嘉定·期中）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在秒时相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度厘米满足下列关系：，，则每秒钟小球能振动 次. 【答案】 【分析】求正弦型函数的频率. 【详解】函数，的周期，故频率为. 所以每秒钟小球能振动次. 故答案为：. 20．（2024高一下·上海·课后作业）如果音叉发出的声波可以用函数描述，那么音叉声波的频率是 . 【答案】210 【分析】先求出周期，即可求出频率. 【详解】由题可得音叉声波的周期为，所以音叉声波的频率为. 故答案为：210. 21．（2024高一下·云南玉溪·阶段练习）如图是一个半径为2米的水车，水车圆心距离水面1米.水车按逆时针方向匀速转动，每12秒转一圈，当水车上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，设水车所在平面与水面的交线为，以过点且平行于的直线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，设点距离水面的高度（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数为，则 . 【答案】 【分析】设，根据函数的物理意义可求得，根据可求得，再根据函数的周期可求得，即可得解. 【详解】设， 由函数的物理意义可知：， 由可得，所以， 因为则，， 又因为的最小正周期，所以， 所以. 故答案为：. 22．（2024高一下·江西萍乡·期末）若以函数图像上相邻的四个最值所在的点为顶点恰好构成一个菱形，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由条件得到四个顶点的坐标，然后列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】   令，，则，， 不妨取相邻四个最值所在的点分别为，，，，如图所示， 因为以为顶点的四边形恰好构成一个菱形， 所以，所以， 所以，即. 故答案为： 23．（2024高一上·江苏·课前预习） 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2，将筒车简化为圆，以为原点，以与水平平行的直线为轴建立直角坐标系，设时，盛水筒位于，以为始边，以为终边的角为，动点每秒钟逆时针转过，则盛水筒的高度与时间的关系是 .    【答案】. 【分析】由题意得到,再由动点每秒钟逆时针转过，得到t秒后求解. 【详解】解：因为时，盛水筒位于，以为始边，以为终边的角为， 所以, 又因为动点每秒钟逆时针转过， 所以t秒后，则， 所以则盛水筒的高度与时间的关系是， 故答案为： 24．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，一根绝对刚性且长度不变､质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，若函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为 .      【答案】 【分析】根据题意求得，由区间的区间长度个周期，分区间在同一个单调区间和不同一个单调区间，两种情况讨论，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得，解得，所以， 又由，可得，解得 因为，所以，所以， 由区间的区间长度为，即区间长度为个周期， 当区间在同一个单调区间时，不妨设，可得 则， 因为，可得，当或时，取最小值； 当区间在不同一个单调区间时，不妨设，可得， 此时函数在上先增后减，此时， 不妨设，则 ， . 综上可得，最小值为. 故答案为：. 25．（2024高一下·四川成都·期中）如图，一个筒车按逆时针方向旋转，每分钟转5圈，若从盛水筒P刚出水面开始计时，则盛水筒到水面的距离y（单位：m）（水面下则y为负数）与时间t（单位：s）之间的关系式为，盛水筒至少经过 s能到达距离水面的位置． 【答案】 【分析】计算，得到，取，解得答案. 【详解】当时，，即，，故， ，故，故， 取，即， 设盛水筒第一次达到的时间为，则，解得. 故答案为： 四、解答题 26．（2024高一·江苏·课后作业）已知正弦交流电（单位：）与时间（单位：）的函数关系为，求电流的峰值、周期、频率和初相位． 【答案】峰值是，周期是，频率是，初相位是． 【解析】根据题中所给函数关系，直接得出峰值，由周期公式，以及频率和初相位的概念，即可得出结果. 【详解】∵正弦交流电， ∴电流的峰值是， 周期是， 频率是， 初相位是． 27．（2024高一下·浙江宁波·期末）今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”.其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画.其中正整数表示月份且，例如时表示1月份，和是正整数，.统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同； ②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式； (2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由. 【答案】(1)， (2)第月是该地区的旅游旺季，理由见解析 【分析】（1）根据题意首先求出，再根据周期求出，最后根据求出，即可得到函数解析式； （2）令，结合余弦函数的性质计算可得，注意为正整数. 【详解】（1）因为和是正整数，由②可知，解得； 由③可得：，则，且，解得； 所以，又， 即，解得； 所以，. （2）令，则， 因为，则， 可得，解得， 且，则， 所以第月是该地区的旅游旺季. 28．（2024高一下·河南南阳·阶段练习）直径为8m的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2m，已知水轮沿逆时针方向匀速旋转，每分钟转动6圈，当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间． (1)将点距离水面的高度表示为时间的函数； (2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点在水面下？ 【答案】(1) (2)秒． 【分析】（1）结合图形，利用角速度公式、任意角的概念以及三角函数求解. （2）结合图形，根据三角函数的解析式建立不等式，利用正弦函数解不等式. 【详解】（1）由题意可知，， 设角是以Ox为始边，为终边的角， 由条件得， 将，代入，得， ∴，∴； （2）由题意知，即， ∴，． 即，， ∴. 答：在水轮转动的一圈内，点在水下时间为秒． 29．（2024高一·全国·随堂练习）北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗．请根据年鉴或其他参考资料，统计过去一年不同日期的日出和日落时间． (1)在同一直角坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型； (2)某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？ 【答案】(1)详见解析 (2)6：10前 【分析】根据有关数据，把数据转化为散点图，根据散点图的变化规律确定模拟函数，并做出预测. 【详解】（1） 日期 1月1日 2月1日 3月1日 4月1日 5月1日 6月1日 日出时间 6:50 6:40 6:30 6:20 6:10 6:05 日落时间 5:30 5:40 5:50 6:00 6:05 7:00 日期 7月1日 8月1日 9月1日 10月1日 11月1日 12月1日 日出时间 6:00 6:10 6:20 6:30 6:40 6:50 日落时间 7:10 7:00 6:50 6:40 6:30 6:20 散点图如下：    该图象近似看作正弦型函数的模型. （2）从所得表格可以看出，在五月份的时候，日出时间在6：10，而天安门升旗时间是日出的时候，所以某同学想看升旗的话，应该在6：10前到达天安门广场. 30．（2024高一上·全国·课后作业）如图，某动物种群数量在某年1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间呈正弦型曲线变化．    (1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；（其中t 以年初以来的月份为计量单位，如1月用 表示） (2)估计当年3月1日该动物种群数量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设这群数量关于时间的解析式，结合三角函数的性质，求得相应的参数值，即可求解； （2）由（1）中的解析式，令，求得，即可求解. 【详解】（1）设这群数量关于时间的解析式， 则，解得， 又由，可得，所以， 因为时，可得，即，解得， 又因为，所以， 所以. （2）解：由， 当时，， 即当年3月1日该动物种群的数列约为. 31．（2024高一上·全国·课后作业）潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，其形成是由于海水受日月的引力作用，潮是指海水在一定的时候发生涨落的现象，一般来说，早潮叫潮，晚潮叫汐．某观测站通过长时间的观测，发现潮汐的涨落规律和函数图象 基本一致且周期为，其中x 为时间，为水深．当 时，海水上涨至最高，最高为5米． (1)求函数的解析式，并作出函数在上的简图； (2)求海水持续上涨的时间区间． 【答案】(1)，作图见解析 (2) 【分析】 （1）根据题意，结合三角函数的性质，求得函数的解析式，利用描点法作出函数的图象； （2）根据题意转化为海水持续上涨的时间区间，即为函数的单调递增区间，根据三角函数的性质，求得函数的单调递增区间，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的周期为，可得， 当时时，海水上涨至最高，且最高为5米，可得，所以， 且，即，可得， 即，因为，所以，所以， 因为，可得， 列表： 5 0 0 描点并连线，得到函数的图象，如图所示，    （2）解：由（1）知，函数， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为， 海水持续上涨的时间区间，即为函数的单调递增区间， 所以海水持续上涨的时间区间为. 32．（2024高一上·江苏·课后作业）已知某海滨浴场海浪的高度（米）是时间（，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时的浪高数据： （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观察，的曲线可近似地看成是函数的图象. (1)根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数解析式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的10：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 【答案】(1)，， (2)5个小时 【分析】（1）由表中数据知，然后利用周期公式可求出，再由，和，，可求出，从而可求出解析式， （2）利用余弦函数的性质解即可得答案. 【详解】（1）由表中数据知，所以. 由，，得. 由，，得，故，， 所以函数解析式为：. （2）由题意知，当时才可对冲浪者开放，所以， 所以，所以，， 即，. 又因为，故可令 得，或，或. 所以在规定时间10：00至20：00之间，有5个小时可供冲浪者活动，即上午10：00至下午3：00. 33．（2024高一下·四川眉山·期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述． (1)根据以上数据，求出函数的表达式； (2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.25米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该货船在一天内什么时间段能安全进出港口？ 【答案】(1)； (2)在0时至4时或12时至16时进出港. 【分析】（1）根据给定的数表，依次求出，写出解析式作答. （2）由（1）的结论，解不等式即可作答. 【详解】（1）由表格知，，则，， 函数的周期，则，即有，又， 即，而，则， 所以． （2）货船需要的安全水深为米，则当时就可以进港， 由，得，解得， 即，而，因此当时，；当时，， 所以货船应在0时至4时或12时至16时进出港. 34．（2024高一下·江西景德镇·期中）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据： t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1 该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象． (1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议． 【答案】(1)； (2)请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的. 【分析】（1）根据数据,画出散点图、连线，结合正弦型函数的性质进行求解即可； （2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）画出散点图，连线如下图所示： 设，根据最大值13，最小值7，可列方程为：， 再由，得， ； （2）． ∵， ∴， ∴，或 解得，或， 所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的． 35．（2024高一上·福建福州·阶段练习）某港门的水深y(米)是时间x(，单位：小时)的函数，下面是水深数据：经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象. x(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 （1）试根据以上数据，求出的表达式； （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出所用的时间)？ 【答案】（1）；（2）该船在至或至能安全进港,16小时. 【分析】（1）根据数据，，可得，，由，可求，从而可求函数的表达式； （2）由题意，水深，即，从而可求，或，进而可得答案. 【详解】（1）根据数据，， ，， ， ， 函数的表达式为； （2）由题意，水深， 即， ， ，，，1， ，或，； 所以，该船在至或至能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时． 36．（2024高一上·江西宜春·期末）某地农业检测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增．下表是今年前四个月的统计情况： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格（元/斤） 6 7 6 5 养殖成本（元/斤） 3 4 4．6 5 现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系． （1）请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式； （2）按照你选定的函数模型，帮助该部门分析一下，今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有没有可能亏损？ 【答案】（1）模型①；模型②；（2）有可能． 【分析】（1）根据已知中的数据，求出参数的值，可得两个函数解析式； （2）根据（1）中函数模型，求出价格的估算值，与成本比较后可得答案． 【详解】解：（1）对于模型①，由点及可得函数周期满足，即，所以， 又函数最大值为，最小值为，解得，， 所以，又，所以， 又，所以， 所以模型①； 对于模型②，图象过点，， 所以， 解得：，所以模型②； （2）由（1）设，， 若时则盈利，若则亏损； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 这说明第8，9，11，12这四个月收购价格低于养殖成本，生猪养殖户出现亏损．所以今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有可能亏损． 37．（2024高一下·北京房山·期中）将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形．已知摩天轮的半径为40米，其中心点距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮上一点距离地面的高度为（单位：米），若从摩天轮的最低点处开始转动，则与转动时间（单位：分钟）之间的关系为． (1)求，，，的值； (2)摩天轮转动8分钟后，求点距离地面的高度； (3)在摩天轮转动一圈内，求点距离地面的高度超过65米的时长． 【答案】(1)； (2)65米； (3)8分钟. 【分析】（1）利用函数的最大值与最小值求出，利用周期求出，利用旋转起始位置求出作答. （2）把代入函数式中计算作答. （3）解的不等式作答. 【详解】（1）依题意，，于是， 函数的周期，解得，则，而时，， 即有，而，解得， 所以. （2）由（1）知，，， 当时，（米）. （3）由，得，即，解得， 即有，， 所以在摩天轮转动一圈内，有8分钟的时间，点距离地面的高度超过65米. 38．（2024高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲乙两名同学周末去游乐场游玩，甲同学去坐摩天轮，乙同学因为恐高只能在休息区P处等待．如图，已知摩天轮的半径为40米，按逆时针方向旋转且每20分钟转一圈．摩天轮开始转动后甲从最低点M经过50秒恰好转到A处，此时乙在P处看甲的仰角为15°，又过了200秒转到B处，此时乙在P处看甲的仰角为60°，摩天轮与底座的基点H及休息区P在同一个竖直的平面内． (1)求休息区P与摩天轮底座的基点H之间的距离； (2)求摩天轮的最高点到地面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据运动的秒数以及周期可得，进而根据三角函数的定义即可列出等量关系，结合特殊角的三角函数值即可求解， （2）借助第一问的结论，即可加上直径求解. 【详解】（1）如图：过点分别作的垂线，垂足分别为, 由每20分钟转一圈，最低点M经过50秒恰好转到A处，最低点M经过250秒恰好转到B处,故可知, 设，则在直角三角形中，， 所以 又中，， 因此 同理可得 考虑到 ， ， 将其代入 解得 ，所以 （2）由（1）知，故摩天轮最高点到地面的距离为 39．（2024高一·湖南·课后作业）如图，矩形ABCD的相邻两条边AB，BC的长度分别为1和3，点E，F是BC的三等分点，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】由两角和的正切公式求得正切值，然后可得结论． 【详解】由题意，， 所以， 又，都是锐角，所以， 所以． 40．（2024高一·全国·课堂例题）已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处．    (1)试确定在时刻时，点离地面的高度； (2)在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过100m的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以摩天轮的中心点为原点，建立直角坐标系，根据题意，结合三角函数的性质，即可求解； （2）根据题意，令，求得，即可得到答案. 【详解】（1）解：如图所示，以摩天轮所在面为坐标平面，以摩天轮的中心点为原点，轴和轴分别平行和垂直于地平面，建立直角坐标系， 点的初始位置在最低点，设点从最低点沿逆时针方向匀速转动，在时间内所转过的角度为，可得与的夹角为， 于是，点的纵坐标． 因此点离地面的高度．    （2）解：根据题意，令，可得， 因为，所以，解得， 因此在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过的时间有． 41．（2024高一·全国·课堂例题）某港口相邻两次高潮发生时间间隔12h20min，低潮时入口处水的深度为2.8m，高潮时为8.4m，一次高潮发生在10月3日2:00. (1)若从10月3日0:00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深d（单位：m）和时间t（单位：h）之间的函数关系； (2)求10月3日4:00水的深度； (3)求10月3日吃水深度为5m的轮船能进入港口的时间. 【答案】(1) (2)7.1 m (3) 【分析】（1）设，利用低潮时入口处水的深度为2.8m，高潮时为8.4m，求出，再利用相邻两次高潮发生时间间隔12h20min，以及一次高潮发生在10月3日2:00可以求出，进而求得水深d（单位：m）和时间t（单位：h）之间的函数关系. （2）将代入（1）中的表达式即可求解. （3）由题意，结合（1）中求得的不等式即可求解. 【详解】（1）设， 则由题意有，解得， 又因为，所以， 而当时，有，所以， 所以. （2）当时，， 所以10月3日4:00水的深度约为7.1米. （3）由题意，即， 解不等式可知：10月3日吃水深度为5m的轮船能进入港口的时间为. 42．（2024高一·全国·课堂例题）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口在某天几个时刻的水深. 时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:0 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 (1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值； (2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？ (3)若船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 【答案】(1)，答案见解析 (2)该船在0:24至5:36和12:24至17:36期间可以进港 (3)6:42时，该船必须停止卸货，驶向较深的水域. 【分析】（1）考察数据，可选用正弦函数，再利用待定系数法求解； （2）在涉及三角不等式时，可利用图象求解； （3）表示出x时刻的吃水深度，结合题意得，利用图像，数形结合，即可求得答案. 【详解】（1）以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在平面直角坐标系中作出对应的各点， 根据图象可考虑用函数近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，    则由已知数据结合图象可得，，，， 故. 由表中数据可知在0:00,6:00,9:00,12:00,15:00,18:00,21:00,24:00等时刻的水深分别是 5.0m,7.5m,5.0m,2.5m, 5.0m,7.5m,5.0m,2.5m, 5.0m； 在整点时的水深近似为；1:00，5:00，13:00，17:00为6.3m； 2:00，4:00，14:00，16:00为7.2m； 7:00，11:00，19:00，23:00为3.7m；8:00，10:00，20:00，22:00为2.8m. （2）由，得， 画出的图象（如图），    由图象可得或. 故该船在0:24至5:36和12:24至17:36期间可以进港. （3）若，x时刻的吃水深度为， 由，得. 画出和的图象（如上图）， 由图象可知当时，即6:42时，该船必须停止卸货，驶向较深的水域. 43．（2024高一·全国·课堂例题）一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间.    (1)将点P距离水面的高度z（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数； (2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？（参考数据：，，第二问精确到） 【答案】(1) (2)5.5s 【分析】设角（）是以为始边，为终边的角，可知以Ox为始边，OP为终边的角为，结合进而时求得的值，则函数的表达式可得； （2）令最大值为5，即可求得时间； 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系， 设角（）是以为始边，为终边的角， 由在内所转过的角为， 可知以为始边，为终边的角为， 故P点纵坐标为，则， 当时，，可得， 因为且，所以， 故所求函数关系式为；    （2）令，得， 取，解得， 故点P第一次到达最高点大约需要5.5s. 44．（2024高一下·浙江温州·期中）如图，某公园摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处．    (1)已知在时刻（单位：）时点P距离地面的高度（其中，，），求函数解析式及时点P距离地面的高度； (2)当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？ 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）由已知可得，函数的振幅等于圆形的半径即，周期，即，，零时刻处，摩天轮上在最低点，可知初相，这样便可求得的解析式，进而求得时距离地面的高度； （2）从最低处开始到达高度为刚好能看着全貌，经过最高点再下降至时又能看着全貌，求得两次的时间差再乘以3即得能看着全貌的时间． 【详解】（1）由题意可知：， 所以，又，得到，即， 又摩天轮上的点的起始位置在最低点处，即，所以， 即，又，所以， 故， 当时，，所以时点P距离地面的高度为85. （2）因为从最低处开始到达高度为刚好能看着全貌，经过最高点再下降至时又能看着全貌，每个游客可游玩三个周期， 由（1）知，得到，即，得到， 所以在每个周期内，， 又， 所以，游客在游玩过程中共有可以看到公园的全貌. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$