专题02 二次函数（考点清单，知识导图+11个考点清单+6种题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

专题02 二次函数（考点清单，知识导图+11个考点清单+6种题型解读） 【清单01】二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 【清单02】二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【清单03】二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【清单04】待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【清单05】抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【清单06】图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【清单07】二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 【清单08】根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【清单09】二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【清单10】二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 【清单11】二次函数在给定区间上的最值 二次函数在给定区间上的最值． 对y＝ax2+bx+c，（p≤x≤q）， a＞0时， 当﹣≥q，则x＝q时，y取得最小值；x＝p时，y取得最大值 当﹣≤p，则x＝q时，y取得最大值；x＝p时，y取得最小值 当q≥﹣≥时，x＝﹣时，y取得最小值，x＝p时，y取最大值 当≥﹣≥p时，x＝﹣，y取得最小值，x＝q时，y取得最大值 a＜0时， 同样进行分类讨论． 【考点题型一】二次函数的图象和性质 【例1】（23-24九年级上·四川泸州·期中）二次函数图象的对称轴是（　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式1-1】（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）对于二次函数的性质描述正确的是 （    ） A．该函数图象开口朝下 B．该函数图象的对称轴在y 轴右侧 C．当时，y 随 x 的增大而减小 D．该函数图象与y 轴的交点位于y 轴正半轴 【变式1-2】（23-24九年级上·北京海淀·期中）若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系为 （用“”或“”进行连接） 【变式1-3】（23-24九年级上·吉林松原·期中）抛物线上有两点A（1，y1），B（3，y2），则 （填“＞”“＜”或“＝”）． 【变式1-4】（23-24九年级上·天津宁河·期中）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式和顶点 D的坐标； (2)在y轴上确定点M， 使的周长最小，求出此时点 M 的坐标； (3)将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象其余部分不变，得到一个新图象，当新图象与直线恰有三个公共点时，则b的值为 ． 【考点题型二】求二次函数解析式 【例2】（23-24九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象经过，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2-1】（23-24九年级上·云南昭通·期中）抛物线图象经过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式2-2】（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线经过点，则 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）二次函数的图像经过点，则 ． 【变式2-4】（22-23九年级上·广西贺州·期中）已知二次函数的图象经过点和求这个二次函数的解析式． 【考点题型三】二次函数与方程不等式的关系 【例3】（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知函数的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（   ）    A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等实数根 D．以上都不对 【变式3-1】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）已知抛物线的对称轴为直线．若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的值不可能是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【变式3-2】（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，拋物线与轴的一个交点的坐标为，则关于的方程的解为 ，    【变式3-3】（22-23九年级上·福建厦门·期中）抛物线经过点，则关于x的方程的解 ． 【变式3-4】（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数 (1)求函数图象与轴的交点坐标． (2)利用函数图象直接写出不等式的解． 【考点题型四】二次函数的应用 【例4】（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）建筑队在工地一边靠墙（不限长）处，用85米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，则的最大值为（　　） A．418 B．484 C．516 D．648 【变式4-1】（22-23九年级上·浙江·期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为 【变式4-3】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）． (1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式； (2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价﹣总成本﹣研发费用）； (3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围． 【变式4-4】（2024•武汉）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为， ①直接写出，的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【考点题型五】数形结合思想 【例5】（23-24九年级上·山东烟台·期中）小颖用计算器探索方程的根，作出如图所示的函数的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24九年级上·河北保定·期中）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与x轴的一个交点，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④；⑤当时，有其中正确的有个（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的部分图象如图所示，则方程的解是 【变式5-3】（23-24九年级上·湖北恩施·期中）直线和抛物线都经过点，． (1)结合图象，方程的根为______； (2)结合图象，不等式解集为______． (3)当时，的取值范围是______； 【变式5-4】（23-24九年级上·河北保定·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．    (1)求的取值范围． (2)二次函数的部分图象如图所示，求的值． 【考点题型六】建模思想 【例6】（22-23九年级上·河北邯郸·期中）将进货单价为90元的某种商品按100元售出时，能卖出500个；价格每上涨1元，其销售量就减少10个，为了获得最大利润，售价应定为（    ） A．110元 B．120元 C．130元 D．150元 【变式6-1】（23-24九年级上·山东泰安·期中）某商厦将进货单价为70元的某种商品，按销售单价100元出售时，每天能卖出20个，通过市场调查发现，这种商品的销售单价每降价1元，日销量就增加1个，为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降 元． 【变式6-2】（23-24九年级上·江苏苏州·期中）某商场打出促销广告：某款球鞋20双，每双售价240元，若一次性购买不超过10双时，售价不变，若一次性购买超过10双时，每多买1双，则购买的所有球鞋的售价均降低10元．已知该球鞋进价是每双120元，若要使该商店从中获利最多，则顾客需一次性购买 双． 【变式6-3】（23-24九年级上·广西柳州·期中）某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个． (1)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ (2)如果商场要想每月的销售利润最多，这种台灯的售价又将定为多少？这时应进台灯多少个？ 【变式6-4】（22-23九年级上·广东韶关·期中）有一种产品的质量分成6种不同档次，若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件；如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品． (1)若最低档次的产品每件利润17元时，生产哪一种档次的产品的利润最大？并求最大利润． (2)由于市场价格浮动，生产最低档次的产品每件利润可以从8元到24元不等，那么生产哪种档次的产品所得利润最大？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数（考点清单，知识导图+11个考点清单+6种题型解读） 【清单01】二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 【清单02】二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【清单03】二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【清单04】待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【清单05】抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【清单06】图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【清单07】二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 【清单08】根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【清单09】二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【清单10】二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 【清单11】二次函数在给定区间上的最值 二次函数在给定区间上的最值． 对y＝ax2+bx+c，（p≤x≤q）， a＞0时， 当﹣≥q，则x＝q时，y取得最小值；x＝p时，y取得最大值 当﹣≤p，则x＝q时，y取得最大值；x＝p时，y取得最小值 当q≥﹣≥时，x＝﹣时，y取得最小值，x＝p时，y取最大值 当≥﹣≥p时，x＝﹣，y取得最小值，x＝q时，y取得最大值 a＜0时， 同样进行分类讨论． 【考点题型一】二次函数的图象和性质 【例1】（23-24九年级上·四川泸州·期中）二次函数图象的对称轴是（　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了学生对于二次函数顶点式的应用，学会通过顶点式得到对称轴是本题的关键． 【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线， 故选A． 【变式1-1】（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）对于二次函数的性质描述正确的是 （    ） A．该函数图象开口朝下 B．该函数图象的对称轴在y 轴右侧 C．当时，y 随 x 的增大而减小 D．该函数图象与y 轴的交点位于y 轴正半轴 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．根据二次函数图象与系数的关系判断． 【详解】A、，该函数图象开口朝上，故A不符合题意； B、对称轴为，该函数图象的对称轴在y 轴右侧，故B符合题意； C、对称轴为，当时，y 随 x 的增大而增大，故C不符合题意； D、时，即与y轴交点为原点，故D不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（23-24九年级上·北京海淀·期中）若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系为 （用“”或“”进行连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（23-24九年级上·吉林松原·期中）抛物线上有两点A（1，y1），B（3，y2），则 （填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和抛物线解析式，可以判断和的大小关系． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的开口向上，对称轴为直线， 点，在抛物线上，在对称轴的右侧y随着x的增大而增大． ∵， ， 故答案为： 【变式1-4】（23-24九年级上·天津宁河·期中）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式和顶点 D的坐标； (2)在y轴上确定点M， 使的周长最小，求出此时点 M 的坐标； (3)将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象其余部分不变，得到一个新图象，当新图象与直线恰有三个公共点时，则b的值为 ． 【答案】(1)二次函数为 ， (2)点M 的坐标为 (3)或 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质： （1）把，两点代入，求出的值，得抛物线解析式，再运用配方法求出顶点坐标即可； （2）由于点D，B坐标已知，得是定值，要使的周长最小，则最小，作点B关于为由的对称点，连接交轴于点，此时最小，求出的解析式即可得出点的坐标； （3）先求出翻折后的图象解析式，联立方程，求出的值，再结合图象求出直线过点B时的值，从而可确定新图象与直线恰有三个公共点时，则b的值 【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于，两点， ∴把，两点代入，得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为 ∴， ∴顶点D的坐标为； （2）解：作点关于轴的对称点，连接与交于点，连接此时的周长最小，    ∵关于轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为v； （3）解：把抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方后，顶点坐标为 由，可设翻折后的解析式为，    把顶点坐标代入得，， 解得，， ∴， 当翻折后的抛物线与直线相切时，直线与新图象有三个公共点， ∴ 整理得， ∴， 解得，； 当直线经过点时，即，与新图形有3个公共点 经过点时，直线与新图形有3个公共点， 所以，当时，新图象与直线恰有三个公共点， 综上所述，当新图象与直线恰有三个公共点时，则b的值为或， 故答案为：或 【考点题型二】求二次函数解析式 【例2】（23-24九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象经过，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】将代入，求解即可．掌握图象上的点的坐标满足函数关系式，是解题的关键． 【详解】解：将代入，得：； 故选：D． 【变式2-1】（23-24九年级上·云南昭通·期中）抛物线图象经过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．将点代入即可得． 【详解】解：将点代入得： ， 整理得， 解得， 故选：A． 【变式2-2】（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查利用待定系数法求函数解析式，把点代入求解是解决问题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）二次函数的图像经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，将已知点代入函数解析式中求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴，解得， 故答案为：． 【变式2-4】（22-23九年级上·广西贺州·期中）已知二次函数的图象经过点和求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式．运用二次函数的交点是即可求出这个函数的解析式． 【详解】解：二次函数的图象经过点和， ， ， 故此二次函数的解析式为：． 【考点题型三】二次函数与方程不等式的关系 【例3】（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知函数的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（   ）    A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等实数根 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次函数图象的交点与一元二次方程的解的关系，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．根据的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧可得出答案． 【详解】解：由函数图象可得：的图象与有两个交点， ∴关于x的方程即有两个不相等实数根， 故选：C． 【变式3-1】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）已知抛物线的对称轴为直线．若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的值不可能是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握这些知识是关键；由抛物线的对称轴可求得抛物线的解析式，则可求出时的函数值，结合抛物线的图象与性质可确定t的取值范围，从而求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ，即， ； 当时，；当时，； 画出二次函数的图象如下： 如图，当时，直线与抛物线有交点， 则关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解； 而不在此范围内，故答案为A； 故选：A． 【变式3-2】（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，拋物线与轴的一个交点的坐标为，则关于的方程的解为 ，    【答案】 【分析】由拋物线，可求出对称轴为根据抛物线与轴的一个交点的坐标为，可求出另外一个交点即可得到关于的方程的解， 【详解】解：∵拋物线， ∴对称轴为： ∵与轴的一个交点的坐标为 ∴与轴的一个交点的坐标为 ∴关于的方程的解为： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的关系，求出二次函数的对称轴是解此题的关键． 【变式3-3】（22-23九年级上·福建厦门·期中）抛物线经过点，则关于x的方程的解 ． 【答案】/ 【分析】先确定抛物线的对称轴为直线，再根据对称性，得，从而得到方程的解． 【详解】设抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为， 因为抛物线经过点， 所以称轴为直线， ∴， 解得， 所以关于x的方程的解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线的对称轴，对称性与坐标的关系，抛物线与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线的对称轴是解题的关键 【变式3-4】（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数 (1)求函数图象与轴的交点坐标． (2)利用函数图象直接写出不等式的解． 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）令，求出该方程的解，即可得到该图象与x轴的交点坐标； （2）先确定图象开口方向，再利用图象直接写出x轴下方的图象的横坐标的范围即可． 【详解】（1）令， 解得：， ∴函数图象与轴的交点坐标为和． （2）∵该函数二次项系数大于0， ∴该图象开口向上， ∴不等式的解集为． 【点睛】本题考查了二次函数以及二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握求函数图象与x轴的交点坐标以及能利用图象得到不等式的解集 【考点题型四】二次函数的应用 【例4】（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）建筑队在工地一边靠墙（不限长）处，用85米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，则的最大值为（　　） A．418 B．484 C．516 D．648 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，正确列出解析式是解题的关键．设仓库的宽为米，根据题意可求得仓库的长为米，再由矩形的面积公式列出函数解析式，最后根据函数性质求最值即可． 【详解】解：设仓库的宽为米 则仓库的长为：米 根据题意可得： 当时，有最大值，最大值为484． 故选：B． 【变式4-1】（22-23九年级上·浙江·期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是理解“单价没上涨1元，其销售量就减少5元”的含义． 根据获得的利润销售量每个利润，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元；即每个利润为元，销售量为：个，结合获得的利润为元，可得与的函数关系式，化简即可． 【详解】上涨前每件商品的利润为元，能卖出200个，上涨元后利润为元，能卖出个，根据题意得： 即： 故选：C 【变式4-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为 【答案】/8米 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．根据实心球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可． 【详解】解：由题意可知，将代入， ， 解得（舍去）或， 故答案为：． 【变式4-3】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）． (1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式； (2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价﹣总成本﹣研发费用）； (3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)万元 (3) 【分析】（1）用待定系数法可得； （2）由年利润总售价总成本研发费用可得，根据二次函数性质可得答案； （3）依题意，记扣除捐赠后的利润为，则，则，开口向下，对称轴，结合题意，列式，即可作答． 本题考查一次函数、二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）解：设（万件）与销售价格（元件）之间的函数关系式是，将，代入得： ， 解得， ； （2）解：根据题意得：， ， 时，取最大值，最大值为， 答：，第一年年利润的最大值时万元； （3）解：由（2）得出 依题意，记扣除捐赠后的利润为 则 ∴，开口向下，对称轴 ∵公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小， ∴ ∴ 【变式4-4】（2024•武汉）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为， ①直接写出，的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【分析】（1）①、易得火箭第二级的引发点的坐标为，分别代入抛物线的解析式和直线的解析式可得和的值； ②、把①中得到的抛物线的解析式整理成顶点式，可得火箭运行的最高点的坐标，取纵坐标减去即为相应的高度，把所得高度分别代入①中得到的两个函数解析式，求得合适的的值，相减即为两个位置间的距离； （2）假设火箭落地点与发射点的水平距离为．用表示出火箭第二级的引发点的坐标，把火箭第二级的引发点的坐标和代入直线解析式可得火箭落地点与发射点的水平距离恰好为时和的值，进而结合抛物线开口向下可得的取值范围． 【解答】解：（1）①经过点， ． 解得：． 经过点， ． 解得：； ②由①得： ． 火箭运行的最高点是． ． ． 整理得：． 解得：（不合题意，舍去），． 由①得：． ． 解得：． ． 答：这两个位置之间的距离为； （2）当时，． 火箭第二级的引发点的坐标为． 设火箭落地点与发射点的水平距离为． 经过点， ． 解得：． 时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【点评】本题考查二次函数的应用．比火箭运行的最高点低的高度，要从求得的两个函数解析式去考虑合适的自变量的取值；求火箭落地点与发射点的水平距离超过时的取值范围，需要求出火箭落地点与发射点的水平距离恰好是时的值． 【考点题型五】数形结合思想 【例5】（23-24九年级上·山东烟台·期中）小颖用计算器探索方程的根，作出如图所示的函数的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用图像法求一元二次方程的近似根，二次函数的图像与性质，掌握二次函数的对称性和抛物线与轴的交点与一元二次方程的解的关系是解题的关键．根据一元二次方程的个近似根，得到抛物线与轴的一个交点，再根据抛物线的对称轴，求出另外一个交点，即可得到方程的另一个近似跟． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点，且抛物线的对称轴为：， 抛物线与轴的另一个交点为， 则方程的另一个近似根为， 故选：D． 【变式5-1】（23-24九年级上·河北保定·期中）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与x轴的一个交点，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④；⑤当时，有其中正确的有个（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数形结合．根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， ， ，故①正确； ②抛物线开口向下，与轴相交于正半轴， ，， ， ，故②错误； 抛物线的顶点坐标， 方程有两个相等的实数根，故③正确； 由抛物线对称性，与轴的一个交点，则另一个交点坐标为， 当时，， ， ，故④错误； 由图象可知，当时，，故⑤正确． 故正确的有：①③⑤． 故选：B 【变式5-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的部分图象如图所示，则方程的解是 【答案】， 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．解题的关键是掌握抛物线与轴的交点坐标的横坐标即为一元二次方程的解．图象法求一元二次方程的解即可． 【详解】解：根据图像可知，二次函数解析式对称轴为， 故可得函数与轴交于， 故方程的解是，， 故答案为：，． 【变式5-3】（23-24九年级上·湖北恩施·期中）直线和抛物线都经过点，． (1)结合图象，方程的根为______； (2)结合图象，不等式解集为______． (3)当时，的取值范围是______； 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】主要考查了待定系数法求二次函数表达式、二次函数的图象的性质及二次函数与一元二次方程关系． （1）根据图象可知，的根即为两图象交点横坐标的值； （2）根据图象可知，的图象上的范围是或，即为不等式解集； （3）当时，求出二次函数对应部分图象的最值即可得到范围． 【详解】（1）解：根据图象可知，的根即为两图象交点横坐标的值， ，， 方程的根为，， 故答案为：，； （2）解：直线和抛物线都经过点，， 根据图象可知，的图象上的范围是或，即为不等式解集； 故答案为：或； （3）解：把点分别代入抛物线得： ， 解得：， 所以， ， 时，y最小值为， 当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 【变式5-4】（23-24九年级上·河北保定·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．    (1)求的取值范围． (2)二次函数的部分图象如图所示，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，解一元二次方程，二次函数图像的对称轴，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解答本题的关键． （1）根据题意一元二次方程有两个不相等的实数根，，其判别式，得到． （2）由图象可知，点是二次函数图象上的一点，将代入方程求得或，由对称轴的位置可以舍去，最终得到． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 故答案为． （2）由图象可知，点是二次函数图象上的一点， ，即， 解得或． 二次函数图象的对称轴在轴的左侧， ，即， 因此不合题意，舍去， ． 故答案为． 【考点题型六】建模思想 【例6】（22-23九年级上·河北邯郸·期中）将进货单价为90元的某种商品按100元售出时，能卖出500个；价格每上涨1元，其销售量就减少10个，为了获得最大利润，售价应定为（    ） A．110元 B．120元 C．130元 D．150元 【答案】B 【分析】设售价在100元的基础上涨x元，结合涨价后销售量的变化情况可知涨价x元后销售量为个，每个的利润是元，据此列出表示利润的函数关系即可求得答案 【详解】解：设售价在100元的基础上涨x元， 因为这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个， 所以若涨x元，则销售量减少，按100元一个能售出500个，则按元售出时，能售出个，每个的利润是元，设总利润为y元，则， 对称轴为， ， 所以时，y有最大值， ， 所以售价定为每个120元时，利润最大． 故选：B． 【点睛】本题属于二次函数的应用问题，关键是结合已知条件建立适当的函数模型 【变式6-1】（23-24九年级上·山东泰安·期中）某商厦将进货单价为70元的某种商品，按销售单价100元出售时，每天能卖出20个，通过市场调查发现，这种商品的销售单价每降价1元，日销量就增加1个，为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降 元． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设利润为W元，销售单价降价x元，根据利润（实际售价进价）销售量列出W关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解；设利润为W元，销售单价降价x元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W最大， ∴为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降5元， 故答案为：5． 【变式6-2】（23-24九年级上·江苏苏州·期中）某商场打出促销广告：某款球鞋20双，每双售价240元，若一次性购买不超过10双时，售价不变，若一次性购买超过10双时，每多买1双，则购买的所有球鞋的售价均降低10元．已知该球鞋进价是每双120元，若要使该商店从中获利最多，则顾客需一次性购买 双． 【答案】11 【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．根据题意，写出与的函数关系式，分别根据一次函数和二次函数的性质得到两种情况下获得的最大利润，然后比较大小即可． 【详解】解：由题意可得， 当时，， 当时，， 由上可得，与的函数关系式为； 当时，，， ∴y随x的增大而增大， 当时，取得最大值1200， 当时，， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，取得最大值1210， ， 当时，该鞋店获利最多， 答：当顾客一次性购买11双时，该网店从中获利最多． 故答案为：11． 【变式6-3】（23-24九年级上·广西柳州·期中）某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个． (1)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ (2)如果商场要想每月的销售利润最多，这种台灯的售价又将定为多少？这时应进台灯多少个？ 【答案】(1)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为50元或80元 (2)如果商场要想每月的销售利润最多，这种台灯的售价又将定为65元，这时应进台灯350个； 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用； （1）设这种台灯的售价应定为x元，根据利润=一个台灯的利润×数量列式计算即可； （2）设销售利润为w，根据利润=一个台灯的利润×数量列式，再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设这种台灯的售价应定为x元， 由题意得： 解得： ∴为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为50元或80元； （2）解：设销售利润为w， 由题意得：， 整理得：， ∴当售价为65元时，每月的销售利润最多， 台灯个数为：个， ∴如果商场要想每月的销售利润最多，这种台灯的售价又将定为65元，这时应进台灯350个； 【变式6-4】（22-23九年级上·广东韶关·期中）有一种产品的质量分成6种不同档次，若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件；如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品． (1)若最低档次的产品每件利润17元时，生产哪一种档次的产品的利润最大？并求最大利润． (2)由于市场价格浮动，生产最低档次的产品每件利润可以从8元到24元不等，那么生产哪种档次的产品所得利润最大？ 【答案】(1)当生产第2档次或第3档次的产品时所获得利润最大，最大利润为684元 (2)见解析 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）设生产第档次的产品，获得利润为元，列出等量关系并求最值即可； （2）设生产最低档次的产品每件利润为元，生产第档次的产品，获得利润为元，列出等量关系求解即可． 【详解】（1）解：设生产第档次的产品，获得利润为元，则 即 ∴当时，y的最大值为684.5 ∵为正整数 ∴时，，时，， ∴当生产第2档次或第3档次的产品时所获得利润最大，最大利润为684元； （2）设生产最低档次的产品每件利润为元，生产第档次的产品，获得利润为元， 则 即， ∵， ∴， ∴①当时，时，利润最大， ②当时，时，利润最大， ③当时，时，利润最大． 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