第４章　相似三角形章节复习讲义　　2024—2025学年沪教版（上海）数学九年级第一学期

相似三角形专题复习 知识点1:相似形 1．图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动． 2．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形． 3．形状相同的两个图形叫做相似的图形，即相似形． 【总结】 1．相似图形的大小不一定相同，如果两个相似图形的大小相同，则两个相似形全等，当两个多边形 是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1； 2．对于大小不同的两个相似图形，可以看作是大（小）的图形由小（大）的图形放大（缩小）得到． 4．如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例． 【注意】1．理解相似多边形的定义，明确“对应”关系； 2．多边形的相似，要求边数相同，形状相同（对应角相等，对应边的长度成比例）． 【典例分析】 【例1】下列各组中的图形，不是相似图形的是（ ） ．同一座城市的两张比例尺不同的地图； ．一个人现在的照片和他十年前的照片； ．两个正方形； ．国旗上的五角星． 【例2】下列各组图形中一定是相似形的是 （填序号）． （1）两个平行四边形一定相似；（2）两个矩形一定相似；（3）两个正方形一定相似； （4）两个菱形一定相似； （5）两个下底角相等的等腰梯形相似； （6）有一个内角为80°的两个等腰三角形相似；（7）有一个内角为100°的两个等腰三角形相似； （8）等边三角形都相似；（9）直角三角形都相似；（10）邻边之比都为2︰1的两个等腰三角形相似． 【例3】如图所示，△与△是相似图形，若，，，，试求与． 【例4】如图，在正方形网格上，若使△∽△，则点应在（ ） ．处； ．处； ．处； ．处． 【例5】若顶点在格点上的三角形称为格点三角形，请在图中画一个格点三角形与原三角形相似 　　　 【过关练习】 1．下列各命题中，真命题的是（ ） ．矩形都相似 　　　　　　　　　　　 ．一个角为400的两个等腰三角形一定相似 ．有两条边对应成比例的两个直角三角形相似 ．有一个锐角相等的两直角三角形相似 2．下列说法中，一定正确的是（ ） ．有一个角对应相等的两个平行四边形相似 ．有一个边对应相等的两个菱形相似 ．两个矩形的长和宽对应成比例，这两个矩形相似 ．底角是60°的两个等腰梯形相似 3．下列判断中，正确的是（ ） ．各有一个角是67°的两个等腰三角形相似 ．邻边之比都为2︰1的两个等腰三角形相似 ．各有一个角是45°的两个等腰三角形相似 ．邻边之比都为2︰3的两个等腰三角形相似 4．在正方形的网格上的三角形①②③中,与相似的三角形是 (填序号) 知识点2:比例线段 1．一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作：（或），其中． 除以所得的商叫做与的比值．如果：的比值等于，那么． 2．两条线段的长度的比叫做两条线段的比． 3．如果（或），那么就说成比例．其中叫做第一比例项，叫做第二比例项；叫做第三比例项；叫做第四比例项． 4．在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段， 简称比例线段． 【注意】要注意比例线段的顺序性与单位要统一． 5．如果比例的两个内项（或两个外项）相同，那么这个相同的项叫做比例中项．如 （）时，叫做和的比例中项．、、满足：． 【注意】比例中项的应用一定要注意题目中的表述：比如题目中若出现“线段”或“单位”时，值为正值；否则，取正、负两个值． 6．比例的基本性质： （1）如果，那么． （2）比例线段的比例式中，只要乘积形式不变，的位置可以灵活变化． 若，则、、、、、、． 【思考】判断命题“如果，那么”是真命题还是假命题，为什么？ 7．合比性质：如果，那么； 如果，那么； 8．等比性质：如果，那么（）； 推广：如果，那么（）． 【注意】等比性质的存在条件． 9．如果点把线段分割成和（>）两段，其中是和的比例中项，那么称 这种分割为黄金分割．点称为线段的黄金分割点．与的比值称为黄金分割数，它的近似值为． 【注意】一般来说，一条线段的黄金分割点有两个；2．利用黄金分割时一定是： ． 【典例分析】 【例1】比例的基本性质：若，则下列比例式中不正确的是（ ） A． B． ． D． 【例2】比例中项：已知线段＝2cm，＝9cm，那么线段和的比例中项为_________ ． 【例3】合比性质：设2y－3x＝0（y≠0），则＝ ． 【例4】等比性质的应用： （1）若则 ． （2）若,且, 则 ； ； ． （3）若, 则 【例5】黄金分割：已知线段长为2cm，是的黄金分割点，则较长线段= ；= ． 【例6】比例尺：图纸上画出的某个零件的长是，如果比例尺是，这个零件的实际长是 ． 【过关练习】 1．中的= ． 2．如果，则下列各式不成立的是（ ） A． B． C． D． 3．下列各组中的四条线段成比例的是( ) A． B． C． 　D． 4．已知线段，求作线段，使，以下做法正确的是（ 　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　A　　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　　D 5．已知线段＝10，是的黄金分割点，且，则＝ _． 6．在1∶5000的地图上，某两地间的距离是，那么这两地的实际距离为_____ _千米. 7．已知∶∶= 3∶4∶5 , 且, 那么． 8．已知，，则的值为__________． 9．已知线段，则的第四比例项＝ ． 10．已知，且是的比例中项，则＝ ，若是的比例中项，则＝ ． 11．已知是线段的黄金分割点，，若米，则= 米． 12．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感． 如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效 果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ） ．4cm ．6cm ．8cm ．10cm 13. 在△中，，∠＝36°，∠的平分线交于点，求：． 知识点3:三角形一边的平行线 1．三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 2．三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 3．三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直 线平行于三角形的第三边． 4．三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第 三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 【总结】三角形一边平行线的定理可以理解为两个基本图形：“”字形与“8”字形． 【注意】在运用判定定理时一定要是两边上的比才能得平行。 5．平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 【总结】平行线分线段成比例定理可以理解为基本图形：“井”字形． 6．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等． 【典例分析】 一、“A”字型： 【例1】如图,，则 ． 【例2】如果梯形两底的比为5：9，其中一腰的长为16cm，那么将这腰从大底向小底方向延伸________cm能与另一腰所在的直线相交． 【例3】在中，分别是上的点，下列比例式中不能判定的是（ ） ． 　． ．　　． 【例4】如图，在中，，四边形为内接正方形，，则 = ． 【例5】如图，，，则下列式子中成立的是（ ） ． 【例6】已知：如图，在中，，，若，，，求：四边形的周长． 【例7】在中，是边边上的点，且平分，已知，．求的长． 【例8】如图，相交于，∥，∥，求证：∥． 【例9】如图，在中，，，下列结论正确的是（ ） 【例10】如图，已知点在的边上，且，以为一边作平行四边形，延长、交于点，连接，求证：． 【例11】如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG＝4m，如果小明得身高为1.6m，求B、D之间距离和路灯杆AB的高度． ( B D F E G A C ) 【例12】已知：如右图，，与交于点，过点作，交于点。当， 时，求的长． 二、“8”字型： 【例1】如图，在平行四边形ABCD中，为的中点,是的中点,与交于，则= ． 【例2】如图，中，点分别在和的延长线上, 则 ． 【例3】如图，梯形中，∥,对角线、交于点,∥交延长线与，求证：． 【例4】己知菱形的边长是3，点在直线上，=1，联结与对角线相交于点，则 的值是 ． 三、“A”与“8”字的综合应用 【例1】如图，梯形中，为上下底中点，交于，交于，连接，求证：． 四、做辅助线构造“A”字构造“8”字 【例1】如图，中，是中线，点在上，且，的延长线交于，求的值． 【例2】已知：如图，在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，点F在边BC上，且CF=3BF，EF与BD相交于点G，求的值． 【例3】如图在中，为上的一点，，，交于，则= ． 五、“井”字型： 【例1】如图,,,,则 ． 【例2】如图，若,则，这是一个 命题（填“真”或“假”）． 【例3】如图，已知：,,，则 ． 【例4】如图，已知AD//BE//CF，下列比例式成立的是（ ） 【过关练习】 1．中,直线交于,交于点,那么能推出的条件是 ( ) ． ．； ． ．． 2．如图、已知是上一点，如果∥，∥，点，分别在，上，那么下列比例式中正确的是（ ） ．; ． ． ． 3．如图．已知菱形,,，则 ． 4．在中，已知点、分别在边、上，．如果，，，那么 ． 5．如图，在中，，， 则＝ ． 6．已知：如图，在中，是的平分线，过点作，交于点，， ，则 ． 7．如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么_________． 8．如图，，与交于点，若，则= ． 9．如图，四边形中，、相交于，若，=8，=12， =15，则= ． 10．如图，是平行四边形边上一点，且，与交于点，则= ． 11．中，在线段上，平分，交于点，,求EC的长． 12．中，点和点分别在上，且，，则 = ． 13．已知：如图，在梯形中，．且，点分别是和的中点，与 相交于点．求证：． 14．已知：如图，，．求证：． 15．某校九年级（1）班学生在学习了相似三角形一章后，设计并实施了测量学校国旗旗杆高度的方案， 请你帮助他们计算： （1）方案1（晴天用）：在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是 米． （2）方案2（阴天用）：如图，在处站立一位身高1.8米的学生甲，在点处站立着学生乙，学生乙从点处看到学生甲的头顶，旗杆顶在一直线上（点、、也在一直线上），已知=1.5米，=34米，=1米，求旗杆的高度． 16．如图，中，点为边上的一点，点在线段上，过作，交于，， 交于． （1）若为中点，且,求； （2）若为中点，求证：； （3）若为边上任意一点，求证：． 17．梯形中，点在上,点在上，且，， (1)如图，如果点分别为的中点，求证且；(2)如图，如果，判断和是否平行，请证明你的结论,并用的代数式表示． （⑴题图） （⑵题图） 知识点4:三角形的重心 1．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 2．三角形重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 【相关结论】 【思考】以上结论如何证明？ 【典例分析】 【例1】在中，∠＝90°，＝3.6，＝4.8，点为的重心，则点到中点的距离为 ． 【例2】如图在中，是重心，过作∥，= 4，则= ． 【例3】如图，点是的重心，交于点，若＝2，那么＝__________． 【例4】中，点是重心，∥，+=7.2cm，则＝__________． 【例5】已知点是的重心，连接、，那么 ． 【例6】如图，中，，，平分，是边上的中线，、交于点，则长为_________． 【过关练习】 1．如果直角三角形的斜边长为18，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离为 ． 2，如图，是的边上的中线，且相交于点．则＝ ． 3．如图，已知点是的重心，过点作，分别交于点，若，则= ． 4．已知：如图，点是的重心，，，求证：是的边上的中线． 5．已知三角形中，为边上一点，连接，是的重心，是的重心， 已知，求的长． 知识点5:相似三角形的概念 1．如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三条边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．两个三角形是相似三角形也可以表述为“两个三角形相似”、“一个三角形与另一个三角形相似” ． 2．对应相等的角的顶点是这两个相似三角形的对应顶点，以对应顶点为端点的边是这两个相似三角形的对应边． 3．相似三角形的对应角相等，对应边成比例.两个相似三角形的对应边的比，叫做这个三角形的相似比（或相似系数）. 【注意】两个三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关． 4．两三角形相似用相似符号“∽”来表示，读作“相似于”. 例如，在△与△中，若，，，，则△与△相似，其中点与点、点与点、点与点分别是对应点，记作△∽△． 【注意】用符号表示两个三角形相似时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“△”后的相应位置上. 思考：用符号表示两个相似三角形相似时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“△”后的相应的位置上.所以 ∽ 就一定意味着点“”与点“”的对应关系么？ 若已知“△∽△”或“△相似于△”，除非题目中给出点的对应关系，否则不能够确定点与点、点与点、点与点分别是对应点． 【总结】全等三角形是相似三角形的特例. 当两个相似三角形的相似比时，这两个相似三角形就成为全等三角形.两个全等三角形一定是相似三角形；两个相似三角形不一定是全等三角形． 【典例分析】 【例1】下列各组图形中，一定相似的是（ ） ．两个矩形； ．两个菱形； ．两个正方形； ．两个等腰梯形． 【例2】下列四个命题中，假命题是（ ） ．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似； ．有一个锐角相等的两个直角三角形相似； ．底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似； ．斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似． 【过关练习】 1．下列各组图形中不一定相似的有（ ） ①两个矩形； ②两个正方形； ③两个等腰三角形； ④两个等边三角形； ⑤两个直角三角形； ⑥两个等腰直角三角形． ．2个； ．3个； ．4个； ．5个． 2．下列图形中一定相似的一组是（ ） ．邻边对应成比例的两个平行四边形； 　．有一个内角相等的两个菱形； 　．腰长对应成比例的两个等腰三角形； ．有一条边相等的两个矩形． 知识点6:相似三角形的判定 1．三角形相似的传递性：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2．相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 【总结】 直线截△两边、两边所在的直线，截得的三角形与原三角形△相似. 3．相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 相似三角形判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 相似三角形判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 4．直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角 三角形相似.简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似. 【记忆技巧】类比全等三角形的判定“、”、“”、“”、“”，相似的判定可以对照 来理解记忆. 【注意】通过相似的判定应明确：相似只是图形的放缩，与位置无关． 知识延伸※ 两个三角形中，如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似． 注意：因为三角形的高线可能不在三角形内部，所以高线不具备相关的判定推论． 【典例分析】 【例1】如图，在△中，如果与不平行，那么下列条件中，不能判断△∽△的是（ ） ．；．；．；．． 【例2】如图，△在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，其中点、 、 、也是小正方形的顶点，那么与△相似的是（ ） ．以点、 、 为顶点的三角形； ．以点、 、 为顶点的三角形； ．以点、 、 为顶点的三角形； ．以点、 、 为顶点的三角形． 【例3】如图，四边形的对角线、相交于点，且将这个三角形分成①、②、③、④ 四个三角形，若∶=∶，则下列结论中一定正确的是（ ） ．①和②相似； ．①和③相似； ．①和④相似； ．②和④相似． 【例4】如图，已知：在中，,， 是边的中点，分别是边、上的一点，,与的延长线相交于点， （1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对； （2）联结结，当 时，求的长． ( A M B C E F G ) 【例5】如图8：四边形对角线与相交于点，，． （1）求证：∽； （2）点在线段上，若∥，求证：． ( D A B C O E ) ( A B C D E F )【例6】已知：如图，在△中，，点、分别在边、上，，与相交于点，∠ =∠．求证：（1）； （2）． 【例7】如图，△中，点、分别在和上，点是边上一点，且，联结．（1）求证：；（2）求证：． 【过关练习】 1．如图已知△中，为边上一点，为边上一点，，，，当的长度为 时，△和△相似． 2．如图，在△中，若，是边上一点，且，则线段的长为 ． 3．如图，将矩形纸片 ()的一角沿着过点的直线折叠，使点与边上的点重合，折痕交于点若，则 ． 4．如图，在△中，，，点为腰中点，点在底边上，且，则的长为 ． 5．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）． ( B C A D E F G ) 6．已知∶如图，在梯形中，∥，90°，对角线、相交于点，且⊥． （1）求证：； （2）点是边上一点，连接，与相交于点，如果．求证：． 7.己知分别是△的边、上的高，高、所在的直线相交于点． (如图) （1）当是锐角时，求证：△∽△； （2）当是钝角时，（1）中的结论还成立吗？直接写出结论，无需说明理由； （3）如果,求的值． 知识点7:相似三角形的性质 1．当我们知道两个三角形是相似的，我们能得到什么结论呢？ 根据相似三角形的定理，我们可以直接得到相似三角形最基本的性质： 相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 【思考】 我们一般从哪些角度来讨论一个三角形？ 我们一般从角和边两方面出发来讨论三角形，当我们知道边角的对应关系之后，那么相关的对应高、对应中线、对应角平分线的比，分别与相似比有什么关系呢？ 【总结】我们由相似三角形的对应角相等，对应边成比例可以联想到它们对应的特殊线段及周长、面积，这样就形成了对于“对应特殊线段的比”、“周长比”、“面积比”分别与相似比之间的关系进行研究探索的三个问题.整个相似三角形性质的学习内容，就是围绕这些问题展开. 【注意】“相似比”是揭示相似三角形本质特征与重要性质的一个基本概念，也是有关几何证明与计算中经常运用的一个数值． 2. 我们利用相似三角形的判定和相似三角形的基本性质可以得到： 相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的和对应角平分线的比都等于相似比. 三角形的周长是三边之和，面积可用一边及这边上的高来表示，可见两个相似三角形的周长比、面积比与相似比之间有直接关系： 相似三角形性质定理2 相似三角形的周长之比等于相似比. 相似三角形性质定理3 相似三角形的面积的比等于相似比的平方. 【总结】 全等三角形的性质 相似三角形的性质 全等三角形的对应角相等，对应边相等． 全等三角形对应高、对应中线的和对应角平分线都相等 全等三角形的周长相等. 全等三角形的面积相等. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 相似三角形对应高的比、对应中线的和对应角平分线的比都等于相似比. 相似三角形的周长之比等于相似比. 相似三角形的面积的比等于相似比的平方. 【典例分析】 【例1】如果两个相似三角形的周长之比是2∶3，其中小三角形一角的角平分线长是6，那么大三角形对应角的角平分线长是 ． 【例2】已知△和△相似，且△的三边长为3、4、5，如果△的周长为6，那么下列不可能是△一边长的是（ ） ．1.5； ．2； ．2.5； ．3． 【例3】如图，、、、是△边上的点，且∥∥，，将△分成三个部分，它们的面积比为，那么 ． 【例4】如图，已知在中，边，高，正方形的顶点在边上，顶点分别在边和上，那么这个正方形的边长等于（ ） ．3；．2.5；．2；．1.5. 【例5】将△绕点按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的倍得△，即如图①，∠，，我们将这种变换记为．如图②，在△中，∠＝90°，将△绕点旋转，作变换得△，如果点、、恰好在同一直线上，那么 ． 【例6】已知：如图，点、、分别在、、上，且∥，∥，，四边形的面积比三角形的面积大17．（1）求证：∥；（2）求：三角形的面积． 【过关练习】 1．已知、、分别为等腰△边、、上的点，如果，，，，，，那么的长为（ ） ．5.5； ．4.5； ．4； ．3.5． 2．如图，在△中，若，是边上一点，且，则线段的长为 ． 3．如图所示，在△中，∥∥，且到、的距离之比为1:2.若△的面积为32，△的面积为2，△的面积等于（ ） ．6； ．8； ．10； ．12． 4．如图，△是等边三角形，被一平行 于的矩形所截（即：∥），若被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的（ ） ．； ．； ．； ．． 5．如图，在正方形中，为边的中点，⊥，与边相交于点如果△的面积等于1，那么△的面积等于 ． ( A B C D E F ) 6．如图，将边长为2的正方形纸片折叠，折痕为，顶点恰好落在边上的中点处，点落 在点处，与交于点．设为△的周长，为△的周长，则 ． 7．如图，点是的重心， ，垂足为点，若，则点到的距离为　　　　． 知识点8:向量的有关概念 1．规定了方向的线段叫做有向线段．有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，我们把前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向． 【思考】我们知道线段与线段是一样的，那么有向线段与有向线段一样吗？如果不一样，那么它们有什么差别？ 2．既有大小、又有方向的量叫做向量．向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）． 【思考】在数学中，时间和速度都是向量吗？ 3．向量的表示 （1）向量可以用有向线段表示，有向线段的长度就表示向量的长度，有向线段的方向就表示向量的方向．如果有向线段表示一个向量，通常就直接说向量．这个向量的长度记作，它是一个数量； （2）向量还可以用一个小写的英文字母在上方加箭头表示，如、、、……．向量的长度记作． 【注意】（1）用有向线段表示向量时，通常与有向线段的位置无关，我们把有向线段的起点和终点称为它所表示的向量的起点和终点； （2）两条不同的有向线段分别表示的向量，我们就说是“两个向量”． 【典例分析】 【例1】化简： ． 【例2】已知非零向量，，，下列条件中，不能判定∥的是（ ） ．； ．； ．∥，∥； ．，． 【例3】下列命题正确的是（ ） ．长度相等两个非零向量相等； ．平行向量一定在同一直线上； ．与零向量相等的向量必定是零向量； ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点． 【例4】若是非零向量，则下列等式正确的的是（ ） ．； ．； ．； ．． 【例5】下列命题中是假命题的是（ ） ．若，，则； ．； ．若，则∥； ．若，则 【过关练习】 1．点、、分别是△三边的中点，那么与相等的向量__________． 2．如图，已知向量、、，那么下列结论正确的是（ ） ．； ．； ．； ．． 3．已知等边△的边长为1，设，那么向量的模 ． 4．在△中， . 5．在矩形中，如果，,那么 ．[来源:学_科_网] 6．如图，在平行四边形中，如果，，那么等于（ ） ．； ．； ．； ．． 知识点9:向量的线性运算 1．方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量． 2．方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量．向量的相反向量用表示． 3．方向相同或相反的两个向量叫做平行向量． 【思考】向量与是什么关系？ 4．一般地，我们把长度为零的向量叫做零向量，记作． 规定的方向可以是任意的（或者说不确定）；． 5．长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则． 对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作，则，． 【注意】（1）表示一个向量，0表示一个数量，它们是不一样的； （2）单位向量有无数个，不同的单位向量是指它们的方向不同． 知识延伸※ 1．零向量的方向是任意的，与任何向量都平行． 2．平行向量 （1）平行向量不具有传递性，即根据∥，∥，只有在时才可以得到∥； （2）方向相同或相反的两个向量叫做平行向量，也可以叫做共线向量； （3）当向量∥时，直线与直线的位置关系有两种：平行或共线． 【典例分析】 【例1】若与的方向相反，且，则的方向与的方向 ． 【例2】如果向量与单位向量方向相反，且长度为，那么向量用单位向量表示为（ ） ．； ．； ．； ．． 【例3】计算： ．源:学*科*网] 【例4】如图，点是△的重心，∥， ，，用、表示 ． 【例5】已知△中，是中线，点是△的重心，， 如果用向量表示向量，那么 ． 【例6】如图，已知在平行四边形中，向量在向量、方向上的分向量分别是（ ） ．、； ．、； ．、； ．、． ( )【例7】如图，已知点是△边上一点，设，． （1）当时，= 　　 ；（用与表示） （2）当时， 　　　 ；（用、与表示） （3）当时， 　　 ． ( A B C E F 图7 )【例8】已知：如图，是△的中位线，设，． （1）求向量、（用向量、表示）； （2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法， 但要指出所作图中表示结论的向量） 【过关练习】 1．下列关于向量的说法中，不正确的是（ ） &网] ．； ．； ．若，则或； ．． 2．在△中，点 在边 上，，， ，那么 ． 3．已知，，且与反向，如果用向量表示向量，那么 ． 4．如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 5．如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1，已知向量和的起点、终点都是小正方形的顶点，请完成下列问题： （1）设：， ．判断向量、是否平行，说明理由； （2）在正方形网格中画出向量：，并写出的模．（不需写出做法，只要写出哪个向量是所求向量）． 6．如图，已知在平行四边形中，、分别是边、的中点，设，． （1）求向量、（用向量、表示）；（2）求作向量在、方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 7．△和△的顶点与重合，已知，， ，，． （1）如图①，与边、分别交于点、，且．设，在射线上取一点，记：，联结．设△的面积为，求关于的函数解析式，并写出定义域； （2）在（1）的条件下，求当为何值时∥． 【链接中考】 （上海2013）如图，已知在△中，点、、分别是边、、上的点， ∥，∥，且∶= 3∶5，那么∶等于（ ） ．5∶8 ； ．3∶8 ； ．3∶5 ； ．2∶5． （上海2010）下列命题中，是真命题的为（ ） ．锐角三角形都相似； ．直角三角形都相似； ．等腰三角形都相似； ．等边三角形都相似． （上海2010中考16）如图，△中，点在边上，满足∠ =∠，若，，则__________． （上海2012中考16）在△中，点、分别在、上，，如果，△的面积为4，四边形的面积为5，那么的长为 ． （上海2012中考17）我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为 ． （2018上海）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是　 　． （上海2013中考10）计算：2 (─) + 3= ___________． （上海2010中考15）如图，平行四边形中，对角线、交于点， 设向量 ，则向量__________．（结果用、表示） （上海2012中考15）如图，已知梯形，∥，， 如果，，那么 （用，表示）． （上海2011中考15）如图1，AM是△ABC的中线，设向量，，那么向量________（结果用、表示）． （上海2014中考15）如图，已知在平行四边形中，点在边上，且．设，，那么 （结果用、表示）． （2018上海）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设=，=那么向量用向量、表示为　 　． （上海2010中考25）如图9，在Rt△中，∠＝90°.半径为1的圆与边相交于点，与边相交于点，连结并延长，与线段的延长线交于点． （1）当∠＝30°时，连结，若△与△相似，求的长； （2020上海）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BE＝FD， AF的延长线交BC的延长线于点H， AE的延长线交DC的延长线于点G. (1)求证： △AFD∽△GAD（2）如果，求证： BE＝GH （上海2014中考23）已知：如图，梯形中，∥，，对角线、相交于点，点是边延长线上一点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）联结，交于点，求证：． （上海2012中考23）己知：如图，在菱形中，点、分别在边、，∠ =∠，与交于点． （1）求证：（2）当=时，求证：四边形是平行四边形． (2015上海)已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，联结DE．(1)求证：DE⊥BE； (2)如果OE⊥CD，求证：BD·CE＝CD·DE． （上海2022中考24）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：(1)∠CAE=∠BAF；(2)CF·FQ=AF·BQ （上海2013中考24）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，= 2，． （1）求这条抛物线的表达式；（2）联结，求的大小； （3）如果点在轴上，且△与△相似，求点的坐标． （上海2011中考25）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，． （1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长； （2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长． 图1 图2 备用图 （2021上海）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E. (1)当点E在边CD上，①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值; (2)若DE=2，OE=3，求CD的长. 25．（2016•上海）如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB． （1）求线段CD的长；（2）如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长； （3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 相似三角形专题复习 知识点1:相似形 1．图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动． 2．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形． 3．形状相同的两个图形叫做相似的图形，即相似形． 【总结】 1．相似图形的大小不一定相同，如果两个相似图形的大小相同，则两个相似形全等，当两个多边形 是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1； 2．对于大小不同的两个相似图形，可以看作是大（小）的图形由小（大）的图形放大（缩小）得到． 4．如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例． 【注意】1．理解相似多边形的定义，明确“对应”关系； 2．多边形的相似，要求边数相同，形状相同（对应角相等，对应边的长度成比例）． 【典例分析】 【例1】下列各组中的图形，不是相似图形的是（ ） ．同一座城市的两张比例尺不同的地图； ．一个人现在的照片和他十年前的照片； ．两个正方形； ．国旗上的五角星． 【正确答案】． 【例2】下列各组图形中一定是相似形的是 （填序号）． （1）两个平行四边形一定相似；（2）两个矩形一定相似；（3）两个正方形一定相似； （4）两个菱形一定相似； （5）两个下底角相等的等腰梯形相似； （6）有一个内角为80°的两个等腰三角形相似；（7）有一个内角为100°的两个等腰三角形相似； （8）等边三角形都相似；（9）直角三角形都相似；（10）邻边之比都为2︰1的两个等腰三角形相似． 【正确答案】（3）、（7）、（8）、（10）． 【例3】如图所示，△与△是相似图形，若，，，，试求与． 【正确答案】，． 【例4】如图，在正方形网格上，若使△∽△，则点应在（ ） ．处； ．处； ．处； ．处． 【正确答案】． 【例5】若顶点在格点上的三角形称为格点三角形，请在图中画一个格点三角形与原三角形相似 【正确答案】 　　　 【总结】 在“网格”中画出与已知图形相似的图形的方法：首先确定对应边所成的比例数；其次根据比例数在格点上找出对应边的长度；最后根据对应角相等，即可作出图形“格点问题两个相似形的对应边的比值通常为 【过关练习】 1．下列各命题中，真命题的是（ ） ．矩形都相似 　　　　　　　　　　　 ．一个角为400的两个等腰三角形一定相似 ．有两条边对应成比例的两个直角三角形相似 ．有一个锐角相等的两直角三角形相似 3．下列说法中，一定正确的是（ ． ） ．有一个角对应相等的两个平行四边形相似 ．有一个边对应相等的两个菱形相似 ．两个矩形的长和宽对应成比例，这两个矩形相似 ．底角是60°的两个等腰梯形相似 4．下列判断中，正确的是（． ） ．各有一个角是67°的两个等腰三角形相似 ．邻边之比都为2︰1的两个等腰三角形相似 ．各有一个角是45°的两个等腰三角形相似 ．邻边之比都为2︰3的两个等腰三角形相似 5．在正方形的网格上的三角形①②③中,与相似的三角形是 ①②． (填序号) 知识点2:比例线段 1．一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作：（或），其中． 除以所得的商叫做与的比值．如果：的比值等于，那么． 2．两条线段的长度的比叫做两条线段的比． 3．如果（或），那么就说成比例．其中叫做第一比例项，叫做第二比例 项；叫做第三比例项；叫做第四比例项． 4．在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简 称比例线段． 【注意】要注意比例线段的顺序性与单位要统一． 5．如果比例的两个内项（或两个外项）相同，那么这个相同的项叫做比例中项．如 （）时，叫做和的比例中项．、、满足：． 【注意】比例中项的应用一定要注意题目中的表述：比如题目中若出现“线段”或“单位”时，值为正值；否则，取正、负两个值． 6．比例的基本性质： （1）如果，那么． （2）比例线段的比例式中，只要乘积形式不变，的位置可以灵活变化． 若，则、、、、、、． 【思考】判断命题“如果，那么”是真命题还是假命题，为什么？ 7．合比性质：如果，那么； 如果，那么； 8．等比性质：如果，那么（）； 推广：如果，那么（）． 【注意】等比性质的存在条件． 9．如果点把线段分割成和（>）两段，其中是和的比例中项，那么称这 种分割为黄金分割．点称为线段的黄金分割点．与的比值称为黄金分割数，它的近似值为． 【注意】1．一般来说，一条线段的黄金分割点有两个；2．利用黄金分割时一定是： ． 【典例分析】 【例1】比例的基本性质：若，则下列比例式中不正确的是（ ） A． B． ． D． 【解题指导】:乘积形式不变． 【正确答案】． 【例2】比例中项：已知线段＝2cm，＝9cm，那么线段和的比例中项为_________ ． 【解题指导】:． 【正确答案】． 【例3】合比性质：设2y－3x＝0（y≠0），则＝ ．【解指导】:．【正确答案】． 【例4】等比性质的应用： （1）若则 ． 【解题指导】:（1）设k法；（2）设．【正确答案】． （2）若,且, 则 ； ； ． 【解题指导】: 设k法．【正确答案】 （3）若, 则．【解题指导】:等比性质的应用．【正确答案】． 【例5】黄金分割：已知线段长为2cm，是的黄金分割点，则较长线段= ；= ． 【解题指导】:．【正确答案】． 【例6】比例尺：图纸上画出的某个零件的长是，如果比例尺是，这个零件的实际长是 ． 【解题指导】:设实际长为x,则．【正确答案】． 【过关练习】 1．中的= ．． 2．如果，则下列各式不成立的是（ ． ） A． B． C． D． 3．下列各组中的四条线段成比例的是( ． ) A． B． C． 　D． 4．已知线段，求作线段，使，以下做法正确的是（ ．　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　A　　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　　D 5．已知线段＝10，是的黄金分割点，且，则＝__．_． 6．在1∶5000的地图上，某两地间的距离是，那么这两地的实际距离为_____ _千米. 7．已知∶∶= 3∶4∶5 , 且, 那么．． 8．已知，，则的值为__________．． 9．已知线段，则的第四比例项＝ ．． 10．已知，且是的比例中项，则＝ ，若是的比例中项，则＝ ．． 11．已知是线段的黄金分割点，，若米，则= 米．． 12．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感． 如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效 果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ） ．4cm ．6cm ．8cm ．10cm 13. 在△中，，∠＝36°，∠的平分线交于点，求：． ． 知识点3:三角形一边的平行线 1．三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成 比例． 2．三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形 的三边与原三角形的三边对应成比例． 3．三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线 平行于三角形的第三边． 4．三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三 边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 【总结】三角形一边平行线的定理可以理解为两个基本图形：“”字形与“8”字形． 【注意】在运用判定定理时一定要是两边上的比才能得平行。 5．平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 【总结】平行线分线段成比例定理可以理解为基本图形：“井”字形． 6．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在 另一条直线上截得的线段也相等． 【典例分析】 一、“A”字型： 【例1】如图,，则 ． 【解题指导】A字型的简单应用。 由得，． 【正确答案】． 【例2】如果梯形两底的比为5：9，其中一腰的长为16cm，那么将这腰从大底向小底方向延伸________cm能与另一腰所在的直线相交． 【解题指导】本题仍是A字型的应用．如图： 【正确答案】． 【例3】在中，分别是上的点，下列比例式中不能判定的是（ ） ． 　． ．　　． 【解题指导】必须由边上的比得平行．【正确答案】 【例4】如图，在中，，四边形为内接正方形，，则 = ． 【正确答案】． 【例5】如图，，，则下列式子中成立的是（ ） ． 【解题指导】这类题型首先排除涉及到的的比． 【正确答案】． 【例6】已知：如图，在中，，，若，，，求：四边形的周长． 【解题指导】转化为即：．【正确答案】． 【例7】在中，是边边上的点，且平分，已知，．求的长． 【解题指导】A字型与角平分线与平行的结合． 【正确答案】． 【例8】如图，相交于，∥，∥，求证：∥． 【解题指导】需找中间比． 【正确答案】． 【例9】如图，在中，，，下列结论正确的是（ ） 【解题指导】需找中间比． 【正确答案】． 【例10】如图，已知点在的边上，且，以为一边作平行四边形，延长、交于点，连接，求证：． 【解题指导】较复杂的找中间比 【正确答案】略 【例11】如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG＝4m，如果小明得身高为1.6m，求B、D之间距离和路灯杆AB的高度． ( B D F E G A C ) 【解题指导】A字型的应用． 【正确答案】． 【例12】已知：如右图，，与交于点，过点作，交于点。当， 时，求的长． 【解题指导】两个比例式相加． 【正确答案】． 二、“8”字型： 【例1】如图，在平行四边形ABCD中，为的中点,是的中点,与交于，则= ． 【正确答案】 【例2】如图，中，点分别在和的延长线上, 则 ． 【正确答案】 【例3】如图，梯形中，∥,对角线、交于点,∥交延长线与，求证： ． 【解题指导】需找中间比 【正确答案】略 【例4】己知菱形的边长是3，点在直线上，=1，联结与对角线相交于点，则 的值是 ． 【解题指导】多解问题【正确答案】 三、“A”与“8”字的综合应用 【例1】如图，梯形中，为上下底中点，交于，交于，连接，求证：． 【解题指导】A字型与8字型的综合应用． 【正确答案】：由：8字型可得由中点可得． 所以，所以． 四、做辅助线构造“A”字构造“8”字 【例1】如图，中，是中线，点在上，且，的延长线交于，求的值． 【解题指导】需做辅助线：做平行线 【正确答案】： 【例2】已知：如图，在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，点F在边BC上，且CF=3BF，EF与BD相交于点G，求的值． 【解题指导】延长即可． 【正确答案】：． 【例3】如图在中，为上的一点，，，交于，则= ． 【解题指导】需做平行线．【正确答案】． 五、“井”字型： 【例1】如图,,,,则 ． 【正确答案】4 【例2】如图，若,则，这是一个 命题（填“真”或“假”）． 【正确答案】假 【例3】如图，已知：,,，则 ． 【正确答案】7 【例4】如图，已知AD//BE//CF，下列比例式成立的是（ ） 【正确答案】 【过关练习】 1．中,直线交于,交于点,那么能推出的条件是 ( A ) ． ．； ． ．． 2．如图、已知是上一点，如果∥，∥，点，分别在，上，那么下列比例式中正确的是（ B） ．; ． ． ． 3．如图．已知菱形,,，则 9 ． 4．在中，已知点、分别在边、上，．如果，，，那么 12 ． 5．如图，在中，，， 则＝ ． ． 6．已知：如图，在中，是的平分线，过点作，交于点，， ，则 ． 答案：8 7．如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么________． 答案： 8．如图，，与交于点，若，则= ． 答案： 9．如图，四边形中，、相交于，若，=8，=12， =15，则= ． 答案：10 10．如图，是平行四边形边上一点，且，与交于点，则= ．． 答案： 11．中，在线段上，平分，交于点，,求EC的长． 答案：． 12．中，点和点分别在上，且，，则 = ． 答案：． 13．已知：如图，在梯形中，．且，点分别是和的中点，与 相交于点．求证：． 答案：略． 14．已知：如图，，．求证：． 答案：略． 15．某校九年级（1）班学生在学习了相似三角形一章后，设计并实施了测量学校国旗旗杆高度的方案， 请你帮助他们计算： （1）方案1（晴天用）：在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是 米． （2）方案2（阴天用）：如图，在处站立一位身高1.8米的学生甲，在点处站立着学生乙，学生乙从点处看到学生甲的头顶，旗杆顶在一直线上（点、、也在一直线上），已知=1.5米，=34米，=1米，求旗杆的高度． （1）12米；（2）12米． 16．如图，中，点为边上的一点，点在线段上，过作，交于，， 交于． （1）若为中点，且,求； （2）若为中点，求证：； （3）若为边上任意一点，求证：． 17．梯形中，点在上,点在上，且，， (1)如图，如果点分别为的中点，求证且；(2)如图，如果，判断和是否平行，请证明你的结论,并用的代数式表示． （⑴题图） （⑵题图） 答案：． 知识点4:三角形的重心 1．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 2．三角形重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 【相关结论】 【思考】以上结论如何证明？ 【典例分析】 【例1】在中，∠＝90°，＝3.6，＝4.8，点为的重心，则点到中点的距离为 ． 【正确答案】1． 【例2】如图在中，是重心，过作∥，= 4，则= ． 【正确答案】6 【例3】如图，点是的重心，交于点，若＝2，那么＝__________． 【正确答案】6 【例4】中，点是重心，∥，+=7.2cm，求． 【正确答案】4.32． 【例5】已知点是的重心，连接、，那么 ． 【正确答案】． 【例6】如图，中，，，平分，是边上的中线，、交于点，则长为_________． 【正确答案】 【过关练习】 1．如果直角三角形的斜边长为18，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离为 6 ． 2，如图，是的边上的中线，且相交于点．则＝ ． ． 3．如图，已知点是的重心，过点作，分别交 于点，若，则= 4 ． 4．已知：如图，点是的重心，，，求证：是的边上的中线． 答案：略 5．已知三角形中，为边上一点，连接，是的重心，是的重心， 已知，求的长． 答案：2 知识点5:相似三角形的概念 1．如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三条边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．两个三角形是相似三角形也可以表述为“两个三角形相似”、“一个三角形与另一个三角形相似” ． 2．对应相等的角的顶点是这两个相似三角形的对应顶点，以对应顶点为端点的边是这两个相似三角形的对应边． 3．相似三角形的对应角相等，对应边成比例.两个相似三角形的对应边的比，叫做这个三角形的相似比（或相似系数）. 【注意】两个三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关． 4．两三角形相似用相似符号“∽”来表示，读作“相似于”. 例如，在△与△中，若，，，，则△与△相似，其中点与点、点与点、点与点分别是对应点，记作△∽△． 【注意】用符号表示两个三角形相似时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“△”后的相应位置上. 思考：用符号表示两个相似三角形相似时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“△”后的相应的位置上.所以 ∽ 就一定意味着点“”与点“”的对应关系么？ 若已知“△∽△”或“△相似于△”，除非题目中给出点的对应关系，否则不能够确定点与点、点与点、点与点分别是对应点． 【总结】全等三角形是相似三角形的特例. 当两个相似三角形的相似比时，这两个相似三角形就成为全等三角形.两个全等三角形一定是相似三角形；两个相似三角形不一定是全等三角形． 【典例分析】 【例1】下列各组图形中，一定相似的是（ ） ．两个矩形； ．两个菱形； ．两个正方形； ．两个等腰梯形． 【正确答案】． 【例2】下列四个命题中，假命题是（ ） ．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似； ．有一个锐角相等的两个直角三角形相似； ．底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似； ．斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似． 【正确答案】． 【过关练习】 1．下列各组图形中不一定相似的有（ B ） ①两个矩形； ②两个正方形； ③两个等腰三角形； ④两个等边三角形； ⑤两个直角三角形； ⑥两个等腰直角三角形． ．2个； ．3个； ．4个； ．5个． 2．下列图形中一定相似的一组是（ C ） ．邻边对应成比例的两个平行四边形； 　．有一个内角相等的两个菱形； 　．腰长对应成比例的两个等腰三角形； ．有一条边相等的两个矩形． 知识点6:相似三角形的判定 1．三角形相似的传递性：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2．相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 【总结】 直线截△两边、两边所在的直线，截得的三角形与原三角形△相似. 3．相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 相似三角形判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 相似三角形判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 4．直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角 三角形相似.简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似. 【记忆技巧】类比全等三角形的判定“、”、“”、“”、“”，相似的判定可以对照 来理解记忆. 【注意】通过相似的判定应明确：相似只是图形的放缩，与位置无关． 知识延伸※ 两个三角形中，如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似． 注意：因为三角形的高线可能不在三角形内部，所以高线不具备相关的判定推论． 【典例分析】 【例1】如图，在△中，如果与不平行，那么下列条件中，不能判断△∽△的是（ ） ．； ．； ．； ．． 【正确答案】． 【例2】如图，△在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，其中点、 、 、也是小正方形的顶点，那么与△相似的是（ ） ．以点、 、 为顶点的三角形； ．以点、 、 为顶点的三角形； ．以点、 、 为顶点的三角形； ．以点、 、 为顶点的三角形． 【正确答案】． 【例3】如图，四边形的对角线、相交于点，且将这个三角形分成 ①、②、③、④四个三角形，若∶=∶，则下列结论中一定正确的是（ ） ．①和②相似； ．①和③相似； ．①和④相似； ．②和④相似． 【参考答案】． 【例4】如图，已知：在中，,， 是边的中点，分别是边、上的一点，,与的延长线相交于点， （1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对； （2）联结结，当 时，求的长． ( A M B C E F G ) 【参考答案】 （1）一定相似的三角形：△AEM∽△BMG，△FEM∽△FMA， 2分 以下证明△AEM∽△BMG 证明: ∵Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC， ∴∠A＝∠B=45° 1分 ∵∠EMB＝∠EMG＋∠GMB＝∠A＋∠AEM ∠EMG＝45° ∴∠AEM＝∠BMG， 1分 ∴△AMF∽△BGM． 2分 （2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=4 ∴AB= 1分 ∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝ ∵△AMF∽△BGM ，∴ ∴ 2分 ∴， 2分 ∴ 1分 【例5】如图8：四边形对角线与相交于点，，． （1）求证：∽； ( D A B C O E ) （2）点在线段上，若∥，求证：． 【参考答案】 证明： （1） ∵，， ∴. 2分 又， 2分 ∴∽. 2分 （2）由（1）得：∽. ∴. 1分 ∵∥， ∴. 1分 ∴. 1分 ∵， ∴∽. 1分 ∴. 1分 ∴. 1分 ( A B C D E F )【例6】已知：如图，在△中，，点、分别在边、上，，与相交于点，∠ =∠．求证：（1）； （2）． 【答案】证明：（1）∵， ∴ =， 2分 ∵=， ∴180º- =180º-， 即 =． 2分 ∵， ∴≌． 1分 ∴． 1分 （2）∵≌， ∴． 1分 ∵ =，=， ∴∽． 2分 ∴． 1分 ∴． 1分 ∵，， ∴． 【例7】如图，△中，点、分别在和上，点是边上一点，且，联结．（1）求证：；（2）求证：． 【参考答案】 （1）证明：∵，，∴△∽△． ∴．∴． （2）证明：∵，， ∴∽． ∴． ∴． ∵，∴．∴． ∵， ∴． ∴． 【过关练习】 1．如图已知△中，为边上一点，为边上一点，，，，当的长度为 4或9． 时，△和△相似． 2．如图，在△中，若，是边上一点，且，则线段的长为 ． ( 第18题 )3．如图，将矩形纸片 ()的一角沿着过点的直线折叠，使点与边上的点重合，折痕交于点若，则 ． 4．如图，在△中，，，点为腰中点，点在底边上，且，则的长为 ． ． 5．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）． ( B C A D E F G ) 证明：（1）∵， ∴． 1分 ∵，∴，． 1分 ∴． 1分∵， ∴． 2分 （2）由，得． 1分 ∴． 1分 由，得． 1分 ∵，∴． 1分 ∴． 1分 ∴． 1分 ∴． 1分 6．已知∶如图，在梯形中，∥，90°，对角线、相交于点，且⊥． （1）求证：； （2）点是边上一点，连接，与相交于点，如果． 求证：． 证明：（1）∵∥，， ∴． 1分 又∵⊥， ∴90°． 1分 ∴． 1分 ∴△∽△． 2分 ∴，即． 1分 （2）方法一：∵∥，． ∴ ∵， ∴． 1分 ∵， ∴∽△． 1分 ∴． 1分 ∴． 又由于， ∴． 1分 ∴． 1分 ∴． 1分 方法二：∵∥，． ∵， ∴． 1分 ∵， ∴． 1分 ∴． 2分 而，∴． 2分 7.己知分别是△的边、上的高，高、所在的直线相交于点． (如图) （1）当是锐角时，求证：△∽△； （2）当是钝角时，（1）中的结论还成立吗？直接写出结论，无需说明理由； （3）如果,求的值． 解：（1）如图，∵分别是的边上的高， ∴． 1分 又∵，∴． ∴． 2分 ∴． 又∵， ∴△∽△． 2分 解：（2）当是钝角时，(1)中的结论依然成立． 2分 解：（3）∵△∽△，∴． 2分 在中，∵，∴． ∴．∴． 知识点7:相似三角形的性质 1．当我们知道两个三角形是相似的，我们能得到什么结论呢？ 根据相似三角形的定理，我们可以直接得到相似三角形最基本的性质： 相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 【思考】 我们一般从哪些角度来讨论一个三角形？ 我们一般从角和边两方面出发来讨论三角形，当我们知道边角的对应关系之后，那么相关的对应高、对应中线、对应角平分线的比，分别与相似比有什么关系呢？ 【总结】我们由相似三角形的对应角相等，对应边成比例可以联想到它们对应的特殊线段及周长、面积，这样就形成了对于“对应特殊线段的比”、“周长比”、“面积比”分别与相似比之间的关系进行研究探索的三个问题.整个相似三角形性质的学习内容，就是围绕这些问题展开. 【注意】“相似比”是揭示相似三角形本质特征与重要性质的一个基本概念，也是有关几何证明与计算中经常运用的一个数值． 2. 我们利用相似三角形的判定和相似三角形的基本性质可以得到： 相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的和对应角平分线的比都等于相似比. 三角形的周长是三边之和，面积可用一边及这边上的高来表示，可见两个相似三角形的周长比、面积比与相似比之间有直接关系： 相似三角形性质定理2 相似三角形的周长之比等于相似比. 相似三角形性质定理3 相似三角形的面积的比等于相似比的平方. 【总结】 全等三角形的性质 相似三角形的性质 全等三角形的对应角相等，对应边相等． 全等三角形对应高、对应中线的和对应角平分线都相等 全等三角形的周长相等. 全等三角形的面积相等. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 相似三角形对应高的比、对应中线的和对应角平分线的比都等于相似比. 相似三角形的周长之比等于相似比. 相似三角形的面积的比等于相似比的平方. 【典例分析】 【例1】如果两个相似三角形的周长之比是2∶3，其中小三角形一角的角平分线长是6，那么大三角形对应角的角平分线长是 ． 【参考答案】9． 【例2】已知△和△相似，且△的三边长为3、4、5，如果△的周长为6，那么下列不可能是△一边长的是（ ） ．1.5； ．2； ．2.5； ．3． 【参考答案】． 【例3】如图，、、、是△边上的点，且∥∥，，将△分成三个部分，它们的面积比为，那么 ． 【参考答案】1∶∶ 【例4】如图，已知在中，边，高，正方形的顶点在边上，顶点分别在边和上，那么这个正方形的边长等于（ ） ．3；．2.5；．2；．1.5. 【参考答案】． 【例5】将△绕点按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的倍得△，即如图①，∠，，我们将这种变换记为．如图②，在△中，∠＝90°，将△绕点旋转，作变换得△，如果点、、恰好在同一直线上，那么 ． 【参考答案】． 【例6】已知：如图，点、、分别在、、上，且∥，∥，，四边形的面积比三角形的面积大17． （1）求证：∥； （2）求：三角形的面积． 【参考答案】 (1)证明：∵∥∴ 1分 ∵∥ ∴ 1分∴ 1分∴∥ 1分 (2) ∵∥ ∴∽ 1分∴ 1分 由题意设，则； 且 ∴ 1分∴ 1分∴三角形的面积是25． 1分 【过关练习】 1．已知、、分别为等腰△边、、上的点，如果，，，，，，那么的长为（ C ） ．5.5； ．4.5； ．4； ．3.5． 2．如图，在△中，若，是边上一点，且，则线段的长为 ． ． 3．如图所示，在△中，∥∥，且到、的距离之比为1:2.若△的面积为32，△的面积为2，△的面积等于（ B ） ．6； ．8； ．10； ．12． 4．如图，△是等边三角形，被一平行 于的矩形所截（即：∥），若被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的（ C ） ．； ．； ．； ．． ( A B C D E F )5．如图，在正方形中，为边的中点，⊥，与边相交于点 如果△的面积等于1，那么△的面积等于 4 ． 6．如图所示，将边长为2的正方形纸片折叠，折痕为，顶点恰好落在边上的中点处，点落 在点处，与交于点．设为△的周长，为△的周长，则 4:3． ． 7．如图，点是的重心， ，垂足为点，若，则点到的距离为　　9　　． 知识点8:向量的有关概念 1．规定了方向的线段叫做有向线段．有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，我们把前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向． 【思考】我们知道线段与线段是一样的，那么有向线段与有向线段一样吗？如果不一样，那么它们有什么差别？ 2．既有大小、又有方向的量叫做向量．向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）． 【思考】在数学中，时间和速度都是向量吗？ 3．向量的表示 （1）向量可以用有向线段表示，有向线段的长度就表示向量的长度，有向线段的方向就表示向量的方向．如果有向线段表示一个向量，通常就直接说向量．这个向量的长度记作，它是一个数量； （2）向量还可以用一个小写的英文字母在上方加箭头表示，如、、、……．向量的长度记作． 【注意】（1）用有向线段表示向量时，通常与有向线段的位置无关，我们把有向线段的起点和终点称为它所表示的向量的起点和终点； （2）两条不同的有向线段分别表示的向量，我们就说是“两个向量”． 【典例分析】 【例1】化简： ． 【参考答案】． 【例2】已知非零向量，，，下列条件中，不能判定∥的是（ ） ．； ．； ．∥，∥； ．，． 【参考答案】． 【例3】下列命题正确的是（ ） ．长度相等两个非零向量相等； ．平行向量一定在同一直线上； ．与零向量相等的向量必定是零向量； ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点． 【参考答案】． 【例4】若是非零向量，则下列等式正确的的是（ ） ．； ．； ．； ．． 【参考答案】． 【例5】下列命题中是假命题的是（ ） ．若，，则； ．； ．若，则∥； ．若，则 【参考答案】． 【过关练习】 1．点、、分别是△三边的中点，那么与相等的向量_______和．___． 2．如图，已知向量、、，那么下列结论正确的是（ C ） ．； ．； ．； ．． 3．如图，已知等边△的边长为1，设，那么向量的模 1 ． 4．在△中， ． . 5．在矩形中，如果，,那么 ． ．[来源:学_科_网] 6．如图，在平行四边形中，如果，，那么等于（ B ） ．； ．； ．； ．． 知识点9:向量的线性运算 1．方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量． 2．方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量．向量的相反向量用表示． 3．方向相同或相反的两个向量叫做平行向量． 【思考】向量与是什么关系？ 4．一般地，我们把长度为零的向量叫做零向量，记作． 规定的方向可以是任意的（或者说不确定）；． 5．长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则． 对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作，则，． 【注意】（1）表示一个向量，0表示一个数量，它们是不一样的； （2）单位向量有无数个，不同的单位向量是指它们的方向不同． 知识延伸※ 1．零向量的方向是任意的，与任何向量都平行． 2．平行向量 （1）平行向量不具有传递性，即根据∥，∥，只有在时才可以得到∥； （2）方向相同或相反的两个向量叫做平行向量，也可以叫做共线向量； （3）当向量∥时，直线与直线的位置关系有两种：平行或共线． 【典例分析】 【例1】若与的方向相反，且，则的方向与的方向 ． 【参考答案】相同． 【例2】如果向量与单位向量方向相反，且长度为，那么向量用单位向量表示为（ ） ．； ．； ．； ．． 【参考答案】． 【例3】计算： ．源:学*科*网] 【参考答案】． 【例4】如图，点是△的重心，∥， ，，用、表示 ． 【参考答案】． 【例5】已知△中，是中线，点是△的重心，， 如果用向量表示向量，那么 ． 【参考答案】． 【例6】如图，已知在平行四边形中，向量在向量、方向上的分向量分别是（ ） ．、； ．、； ．、； ．、． 【参考答案】． ( ) 【例7】如图，已知点是△边上一点，设，． （1）当时，= 　　 ；（用与表示） （2）当时， 　　　 ；（用、与表示） （3）当时， 　　 ． 【参考答案】（1）；（2）；（3）． ( A B C E F )【例8】已知：如图，是△的中位线，设，． （1）求向量、（用向量、表示）； （2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法， 但要指出所作图中表示结论的向量） 【参考答案】 （1）、； （2）取边中点，、是在、方向上的分向量． 【过关练习】 1．下列关于向量的说法中，不正确的是（ C ） &网] ．； ．； ．若，则或； ．． 2．在△中，点 在边 上，，， ，那么 ． ． 3．已知，，且与反向，如果用向量表示向量，那么 ． ． 4．如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） ． 5．如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1，已知向量和的起点、终点都是小正方形的顶点，请完成下列问题： （1）设：， ．判断向量、是否平行，说明理由； （2）在正方形网格中画出向量：，并写出的模．（不需写出做法，只要写出哪个向量是所求向量）． 6．如图，已知在平行四边形中，、分别是边、的中点，设，． （1）求向量、（用向量、表示）；（2）求作向量在、方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 略 7．△和△的顶点与重合，已知，， ，，． （1）如图①，与边、分别交于点、，且．设，在射线上取一点，记：，联结．设△的面积为，求关于的函数解析式，并写出定义域； （2）在（1）的条件下，求当为何值时∥． 7．解：（1）如图，过作⊥于． ∵， ∴． 又∵， ∴△≌． ∴． ∵，且， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在△中，， ∴，，，． ∴． ∴． （2）∵∥， ∴． ∵， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 若，则是的中点． 在△中，，， ∴． ． ∴． 【链接中考】 （上海2013）如图1，已知在△中，点、、分别是边、、上的点， ∥，∥，且∶= 3∶5，那么∶等于（ A ） ．5∶8 ； ．3∶8 ； ．3∶5 ； ．2∶5． （上海2010）下列命题中，是真命题的为（ D ） ．锐角三角形都相似； ．直角三角形都相似； ．等腰三角形都相似； ．等边三角形都相似． （上海2010中考16）如图，△中，点在边上，满足∠ =∠，若，，则____3______． （上海2012中考16）在△中，点、分别在、上，，如果，△的面积为4，四边形的面积为5，那么的长为 3 ． （上海2012中考17）我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为 4 ． （2018上海）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是　　． 【解答】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，∵△ABC的面积是6， ∴BC•AH=6，∴AH==3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴=，即=，解得x=， 即正方形DEFG的边长为．故答案为． 　 （上海2013中考10）计算：2 (─) + 3= ______．_____． （上海2010中考15）如图，平行四边形中，对角线、交于点， 设向量 ，则向量__________．（结果用、表示） （上海2012中考15）如图，已知梯形，∥，，如果，，那么 ． （用，表示）． （上海2011中考15）如图1，AM是△ABC的中线，设向量，，那么向量___．．_____（结果用、表示）． （上海2014中考15）如图，已知在平行四边形中，点在边上，且．设，，那么 ． （结果用、表示）． （2018上海）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设=，=那么向量用向量、表示为　+2　． （上海2010中考25）如图，在Rt△中，∠＝90°.半径为1的圆与边相交于点，与边相交于点，连结并延长，与线段的延长线交于点． （1）当∠＝30°时，连结，若△与△相似，求的长； 解：∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°， ∵AD=AE ∴∠AED＝60°=∠CEP， ∴∠EPC＝30°，………………………………………………（1分） ∴三角形BDP为等腰三角形， ∵△AEP与△BDP相似， ∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°， ∴AE=EP=1，………………………………………………（1分） ∴在Rt△ECP中，EC=EP=．………………………………………………（2分） （2020上海）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BE＝FD， AF的延长线交BC的延长线于点H， AE的延长线交DC的延长线于点G (1)求证： △AFD∽△GAD（2）如果，求证： BE＝GH （上海2014中考23）已知：如图，梯形中，∥，，对角线、相交于点，点是边延长线上一点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）联结，交于点，求证：． 证明：（1）∵四边形是梯形，∥，， ∴． ∵∥， ∴． ∴． 在△和△中， ∴△≌△． ∴． 又∵∥， ∴四边形是平行四边形． （2）∵四边形是平行四边形， ∴∥．∴． ∵∥，∴．又∵，∴． （上海2012中考23）己知：如图，在菱形中，点、分别在边、，∠ =∠，与交于点． （1）求证：（2）当=时，求证：四边形是平行四边形． 证明：（1）∵，∴, ∴．……………………………………………………（1分） ∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，．…………（2分） ∴△ABE≌△ADF，……………………………………………………（1分） ∴BE=DF．………………………………………………………………（1分） （2）∵，，∴．………………………（1分） ∵AD∥BC，∴,……………………………………………（1分） ∴,……………………………………………………………（1分） ∴GF∥BC．………………………………………………………………（1分） ∵BE=DF,BC=DC, ∴,……………………………………………………………（1分） ∴EF∥BD．………………………………………………………………（1分） ∴四边形BEFG是平形四边形．…………………………………………（1分） (2015上海)已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，联结DE．(1)求证：DE⊥BE； (2)如果OE⊥CD，求证：BD·CE＝CD·DE． （上海2022中考24）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：(1)∠CAE=∠BAF；(2)CF·FQ=AF·BQ (1) 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CF=BE，∴CE=BF，在△ACE和△ABF中，， ∴△ACE≌△ABF（SAS），∴∠CAE=∠BAF； (2)证明：∵△ACE≌△ABF，∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，∵AE²=AQ·AB，AC＝AB， ∴，即，∴△ACE∽△AFQ，∴∠AEC=∠AQF，∴∠AEF=∠BQF， ∵AE＝AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BQF=∠AFE，∵∠B=∠C，∴△CAF∽△BFQ， ∴，即CF·FQ=AF·BQ． （上海2013中考24）如图9，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，= 2，． （1）求这条抛物线的表达式；（2）联结，求的大小； （3）如果点在轴上，且△与△相似，求点的坐标． ( 图9 ) （上海2013中考24）解：（1）过点作垂直于轴，垂足为， ∵，，∴． 又∵，∴， ． ∴点的坐标为．……………………………………………………………（1分） ∵点在轴正半轴上，， ∴点坐标为． ∵拗物线经过点和点， ∴…………………………………………………………………………（1分） 解这个方程组，得………………………………………………………（1分） ∴这条抛物线的表达式是，……………………………………（1分） （2）由题意得，顶点M的坐标为， ……………………………………（2分） ∴，．……………………………………………………（1分） ∴．………………………………………………（1分） （3）∵， ∴， ∴，， ∵，，∴． ∵△与△相似，∴点应在线段的延长线上． ∵， ∴． ∴．…………………………………………………………………（2分） ∵点的坐标为，点的坐标为，∴． 分两种情况讨论： ①，即, ∴,∴．…………………………（1分） ②，即，∴，∴．………………………（1分） 综上所述，△与△相似时，点的坐标为或． （上海2011中考25）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，． （1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长； （2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长． 图1 图2 备用图 （上海2011中考25）（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵BC=30，AB=50，∴AC=40． ∵CP⊥AB，易得 ， ∴．…………………………………………………（2分） 在Rt△CMP中，∠CPM=90°，∵， ∴，∴CM=26．………………………………………………………（2分） （2）在Rt△AEP与Rt△ABC中，， ∵，，BC=30，AC=40． ∴．……………………………………………………………………（1分） 在Rt△EMP中，90°，∵， 易得 ，． ∴，．……………………………………………………（1分） ∵△EMN中，EM=EN，，∴．…………………（1分） ∴， ∴函数关系式为，定义域为．……………（1分+1分） （3）∵，∴．……………………………………（1分） 即． 当点E在边AC上时， 由（2）可得 ，， ， ∴． 解得 （舍去），． ∴AP=22．………………………………………………………………………（2分） 当点E在边BC上时， 设BP=k，同理可得 ， , ， ∴． 解得 (舍去)，． ∴．…………………………………………………………（2分） 综上所述：AP的长为22或42． （2021上海）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E. (1)当点E在边CD上，①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值; (2)若DE=2，OE=3，求CD的长. 25.解： （1） ①如图2， ∵AC=CD ∴∠1=∠2∵AC∥BC∴∠1=∠3∵BO是Rt△ABC的斜边AC上的中线 ∴OB=OC∴∠3=∠4∴∠1=∠2=∠3=∠4∴△DAC∽△OBC ②如图3，若BE⊥CD，那么在Rt△BCE中，由∠2=∠3=∠4可得：∠2=∠3=∠4=30°， 如图4，作DH⊥BC于H，设AD=CD=2m，那么BH=AD=2m, 在Rt△DCH中，∠DCH=60°，CD=2m， 所以CH=m，BC=BH+CH=3m∴ （2） ①如图5，当点E在边AD上时， ∵AD∥BC，O是AC中点 ∴OB=OE， ∴四边形ABCE是平行四边形 ∵∠ABC=90° ∴四边形ABCE是矩形 设AD=CD=X，因为DE=2,所以AE=x-2，因为OE=3，所以AC=6 在Rt△ACE和Rt△DCE中，由勾股定理可得： 解出：x=1+或x=1-（舍去负值） ②如图6，当点E在边CD上时， 设AD=CD=X，因为DE=2,所以CE=x-2， 设OB=OC=m，因为OE=3，所以EB=m+3 ∵△DAC∽△OBC ∴ ∴ ∴ ∵∠2=∠4，∠BEC是公共角 ∴△EOC∽△ECB ∴ ∴ 等量代换得：，消去m，得： 解得：x=3+或x=3-（舍去负值） 25．（2016•上海）如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB． （1）求线段CD的长；（2）如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长； （3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【分析】（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，则DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长； （2）分类讨论：当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，则判断G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=，通过证明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，可证明AE=AD=15， （3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，先利用勾股定理表示出DE=，再证明△EAG∽△EDA，则利用相似比可表示出EG=，则可表示出DG，然后证明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系． 【解答】解：（1）作DH⊥AB于H，如图1， 易得四边形BCDH为矩形， ∴DH=BC=12，CD=BH， 在Rt△ADH中，AH===9， ∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7， ∴CD=7； （2）当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE， ∵∠AGE=∠DAB， ∴∠GAE=∠DAB， ∴G点与D点重合，即ED=EA， 作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=， ∵∠MAE=∠HAD， ∴Rt△AME∽Rt△AHD， ∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=：9，解得AE=； 当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG， ∵∠AGE=∠DAB， 而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG， ∴∠GAE=∠ADG， ∴∠AEG=∠ADG， ∴AE=AD=15， 综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或15； （3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9， 在Rt△ADE中，DE==， ∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA， ∴△EAG∽△EDA， ∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：， ∴EG=， ∴DG=DE﹣EG=﹣， ∵DF∥AE， ∴△DGF∽△EGA， ∴DF：AE=DG：EG，即y：x=（﹣）：， ∴y=（9＜x＜）． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$