专题03 位置与坐标单元过关（培优版）-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

专题03 位置与坐标单元过关（培优版） 考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，下列各选项的点在第四象限的是（      ） A． B． C． D． 2．下列各点中，在第二象限的点是(　　) A． B． C． D． 3．点到轴的距离是（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 5．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点，则点关于轴的对称点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是，则经过第2014次变换后所得A点坐标是（　　）    A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D． 8．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中→→→→→…根据这个规律，则第2018个点的纵坐标为（　　）      A．6 B．7 C．8 D．9 9．如图，在一个单位为 1 的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，是斜边在 x 轴上、斜边长分别为 2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2019的横坐标为(    ) A．-1008 B．2 C．1 D．1011 10．如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，……，照此规律，点第2020次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，经过点且垂直轴的直线可以表示为直线 ． 12．如果mn＜0，且m＞0，那么点P（m，n）在第 象限． 13．在平面直角坐标系中，已知点，存在点E，使和全等，写出所有满足条件的E点的坐标 ． 14．在平面直角坐标系内原点第一次跳动到点，第二次从点跳动到点，第三次从点跳动到点，第四次从点跳动到点，…，按此规律下去，则点的坐标是 ． 15．如图，平面直角坐标系中，直线轴于点A，，B，C分别为线段OA和射线AE上的一点，若点B从点A出发向点O运动，同时点C从点A出发沿射线AE方向运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，点D在y轴正半轴上，若使与全等，则D点的坐标为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，点、点，点P是x轴正半轴上—动点，给出4个结论： ①线段AB的长为； ②在，若，则的面积是5； ③当时，点P的坐标为； ④设点P的坐标为，则的最小值为． 其中正确的结论有 ． 评卷人 得分 三、解答题 17．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，求的值． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，线段经过原点与关于y轴成轴对称，点A、B、C的对应点分别为点、、 (1)在图中作出； (2)写出点、、的坐标； (3)连接、，请直接回答：与这两个图形是否成轴对称． 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度）．    (1)请画出，使与关于轴对称； (2)求的面积； (3)若点为轴上一点，要使的值最小，请在图中作出点的位置．（保留作图痕迹） 20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上．    (1)画出关于y轴的对称图形．并写出点，，的坐标； (2)在x轴上找一点M，使得的值最小．（保留作图痕迹） 21．如图，在平面直角坐标系内，各顶点的坐标分别是，，．线段两端点的坐标分别为，． (1)请在图中作出关于y轴的轴对称图形（点，，的对称点分别是，，），并直接写出，，的坐标； (2)若与全等，请直接写出满足条件的点的坐标． 22．（1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点）； （2）直接写出，，三点的坐标．    23．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． （1）______；______；______． （2）画出关于成轴对称的； （3）在直线上找一点，使的周长最小，请用画图的方法确定点的位置，并直接写出周长的最小值为______． 24．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足（a+b）2+|a-b+4|=0，过点C作CB⊥x轴于B， （1）如图1，求△ABC的面积. （2）如图2，若过B作BD∥AC交y轴于D，在△ABC内有一点E，连接AE.DE，若∠CAE+∠BDE=∠EAO+∠EDO，求∠AED的度数. （3）如图3，在（2）的条件下，DE与x轴交于点M，AC与y轴交于点F，作△AME的角平分线MP，在PE上有一点Q，连接QM，∠EAM+2∠PMQ=45°，当AE=mAM，FO=2QM时，求点E的纵坐标（用m表示）. 25．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，a），点B（b，0），且实数a，b满足+（b﹣8）2＝0． （1）求点A和点B的坐标； （2）点P从点B出发，沿x轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为t，△APO的面积为S，求用含t的式子表示S，并直接写出的t取值范围； （3）在（2）的条件下，点Q在AO上，射线BQ与AP交于点M，过点A作AN⊥BQ交直线BQ于点N，交x轴于点R，当△ANM的面积等于△ONM的面积时，求点R的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 位置与坐标单元过关（培优版） 考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，下列各选项的点在第四象限的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查象限点的特点，根据平面直角坐标系的特点，第四象限的点，横坐标为正、纵坐标为负来判断． 【详解】∵第四象限的横坐标为正，纵坐标为负， ∴符合的点的坐标为， 故选D． 2．下列各点中，在第二象限的点是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了第二象限的点坐标的特征．熟练掌握第二象限的点坐标为是解题的关键． 根据第二象限的点坐标为，进行判断作答即可． 【详解】解：∵第二象限的点坐标为， ∴是第二象限的点坐标，A符合要求； 故选：A． 3．点到轴的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，根据到轴的距离等于纵坐标的长度解答即可，熟记到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键． 【详解】解：∵点， ∴到轴的距离是， 故选：． 4．在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，根据点到y轴的距离为横坐标的绝对值，点到x轴的距离为纵坐标的绝对值建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 故选D． 5．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点，则点关于轴的对称点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，﹣2），即（2，﹣2）， 则点B关于x轴的对称点B′的坐标是（2，2）， 故选B． 考点：1.关于x轴、y轴对称的点的坐标；2.坐标与图形变化﹣平移． 6．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是，则经过第2014次变换后所得A点坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标规律的变化，得出A点变化规律是解题关键．利用已知得出图形的变换规律，进而得出经过第2014次变换后所得A点坐标与第1次变换后的坐标相同求出即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换， ∴对应图形3次循环一周， ∵， ∴经过第2014次变换后所得A点坐标与第1次变换后的坐标相同，A点在第二象限 故其坐标为：． 故选：A． 7．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，结合易知，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∴， ∴点到原点的距离为5． 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用，理解并掌握点到坐标轴的距离即为点的横（纵）坐标的绝对值是解题关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中→→→→→…根据这个规律，则第2018个点的纵坐标为（　　）      A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】有图形可知，图中各点分别组成了正方形点阵，各个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点横坐标的平方，且当正方形最右下角点的横坐标为奇数时，这个点可以看作按照运动方向到达x轴，当正方形最右下角点的横坐标为偶数时，这个点可以看作按照运动方向离开x轴，按照此方法计算即可． 【详解】解：根据图形，以最外边的正方形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方， 例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，， 右下角的点的横坐标为2时，共有4个，， 右下角的点的横坐标为3时，共有9个，， 右下角的点的横坐标为4时，共有16个，， 右下角的点的横坐标为n时，共有个， ∵，45是奇数， ..第2025个点是， ∴第2018个点是， ∴第2018个点的纵坐标为7， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了规律题型点的坐标，准确判断是解题的关键． 9．如图，在一个单位为 1 的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，是斜边在 x 轴上、斜边长分别为 2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2019的横坐标为(    ) A．-1008 B．2 C．1 D．1011 【答案】A 【分析】观察图形可以看出每四个为一组，可知在轴负半轴上，纵坐标为零，再根据横坐标变化找到规律即可解答． 【详解】观察图形可知，奇数点在x轴上，偶数点在象限内， 所以A2019在x轴上， A1，A5，A9，A13……，A4n－3在x正半轴，4n－3=2019，n=505．5，所以A2019不在x正半轴上； A3(0，0)，A7(－2，0)，A11(－4，0)，A15(－8，0)……， 3=4×0+3，7=4×1+3，11=4×2+3，15=4×3+3，……，2019=4×504+3， ∴－2×504=－1008， 即A2019的坐标为(－1008，0)， 故选：A 【点睛】本题考查了点的坐标规律的变化，仔细观察图形，确定出在轴负半轴是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，……，照此规律，点第2020次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第2020次跳动后，纵坐标为；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第2020次的跳动得到的横坐标也在y轴的右侧。的横坐标为1，的横坐标为2，的横坐标为3，依此类推可得到的横坐标． 【详解】经过观察可得：和的纵坐标均为1，和的纵坐标均为2，和的纵坐标均为3，因此可以推知点的纵坐标为；再观察图可知4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第2020次的跳动得到的横坐标也在y轴的右侧．的横坐标为1，的横坐标为2，的横坐标为3，依此类推可得到的横坐标为（n是4的倍数）．故点的横坐标是；所以点第2020次跳动至点的坐标是． 故选：C． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，经过点且垂直轴的直线可以表示为直线 ． 【答案】y=5 【分析】根据垂直于y轴的直线的纵坐标与点M的纵坐标相同解答． 【详解】解：∵经过点M（2，5）且垂直于y轴， ∴直线可以表示为y=5． 故答案为：y=5． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，是基础题． 12．如果mn＜0，且m＞0，那么点P（m，n）在第 象限． 【答案】四 【分析】根据mn＜0，且m＞0，可以判断出n＜0，再结合各象限内点的坐标符号即可判断． 【详解】解：∵mn＜0，且m＞0， ∴n＜0， ∴P（m，n）在第四象限， 故答案为：四． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，解题关键是根据已知条件判断出点P纵坐标的符号． 13．在平面直角坐标系中，已知点，存在点E，使和全等，写出所有满足条件的E点的坐标 ． 【答案】或或 【分析】先画出点B关于直线的对称点，然后画出点B、点关于的垂直平分线的对称点，从而得到满足条件的E点坐标． 【详解】解：如图，E点坐标为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了坐标与图形性质． 14．在平面直角坐标系内原点第一次跳动到点，第二次从点跳动到点，第三次从点跳动到点，第四次从点跳动到点，…，按此规律下去，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据给出点的坐标得出横、纵坐标规律，求出的坐标即可． 【详解】解：∵，，，…， ∴的纵坐标为1，的纵坐标为2，的纵坐标为3，的纵坐标为4，则的纵坐标为n， ∴的纵坐标为2023， ∵从第2个点开始，每三个点的横坐标的绝对值相同， 又∵， ∴为第674组的最后一个点， ∴的横坐标为， 即点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题考查规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化，找出点的横、纵坐标规律，是解题的关键． 15．如图，平面直角坐标系中，直线轴于点A，，B，C分别为线段OA和射线AE上的一点，若点B从点A出发向点O运动，同时点C从点A出发沿射线AE方向运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，点D在y轴正半轴上，若使与全等，则D点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】设，则，使与全等，分两种情况，或，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，∵， ∴, ∵，使与全等， 分两种情况，当时， ∴， ∴ 即， 解得：， ∴ 当时， ∴， ∴ 即， 解得：， ∴， 综上所述， 或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，点、点，点P是x轴正半轴上—动点，给出4个结论： ①线段AB的长为； ②在，若，则的面积是5； ③当时，点P的坐标为； ④设点P的坐标为，则的最小值为． 其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【分析】①直接利用根据两点间距离的坐标公式计算AB的长度即可；②先证明为直角三角形，然后根据三角形面积的公式直接计算面积即可；③先求出△ABO和△ABP的面积，然后过点B作轴于点D，继而求出梯形AOBD的面积，设点P的坐标，最后根据求出点P的坐标即可；④作A点关于x轴的对称点M，设出点P的坐标，继而表示出AP、MP和BP的长度，可以得到，当且仅当B，P，M三点共线时，代数式取得最小值； 【详解】①根据两点间距离的坐标公式可知，，故①正确； ②在中，，，， ∴(1，0)， ∴， 在中，， ∴为直角三角形， ∴，故②正确. ∵， ∴， 过点B作轴于点D，即，， ∴ ， 设P点坐标为(m，0)， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴当时，点P的坐标为(3，0)，故③错误. 作A点关于x轴的对称点M， 连接BM交x轴于点P， 此时， ∵P点坐标为(x，0)， ∴ ， ， ∴ ， 当且仅当B，P，M三点共线时， 代数式取得最小值， 最小值即为线段BM的长度， ∵(0，-3)，B(4，1) ∴， ∴的最小值为. 故④正确. ∴正确的有①②④. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查了图形与坐标的特点，直角三角形的判定，三角形的面积公式，两点之间距离公式，求最值的问题，是一个考点比较全面的综合题，难度适中，熟练掌握知识点的应用是解题的关键； 评卷人 得分 三、解答题 17．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，求的值． 【答案】3 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， 解得 ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，代数式求值，熟知关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，线段经过原点与关于y轴成轴对称，点A、B、C的对应点分别为点、、 (1)在图中作出； (2)写出点、、的坐标； (3)连接、，请直接回答：与这两个图形是否成轴对称． 【答案】(1)见详解 (2)，， (3)与关于y轴成轴对称． 【分析】本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）根据轴对称的性质可知，与关于y轴成轴对称． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）由图可得，点，，． （3）与关于y轴成轴对称． 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度）．    (1)请画出，使与关于轴对称； (2)求的面积； (3)若点为轴上一点，要使的值最小，请在图中作出点的位置．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)的面积为 (3)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、轴对称—最短路线问题； （1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到； （2）依据割补法进行计算，即可得到的面积． （3）连接与轴交于点，点即为所求； 【详解】（1）如图，即为所求． （2）的面积为 （3）如图所示；连接与轴交于点，点即为所求 20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上．    (1)画出关于y轴的对称图形．并写出点，，的坐标； (2)在x轴上找一点M，使得的值最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)画图见解析，，， (2)画图见解析 【分析】（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同求出A、B、C对应点的坐标，再描出，最后顺次连接即可； （2）如图所示，作点A关于x轴的对称点D，连接交x轴于M，则点M即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∴，，； （2）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点D，连接交x轴于M，则点M即为所求．      【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化轴对称，轴对称最短路径问题，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解题的关键． 21．如图，在平面直角坐标系内，各顶点的坐标分别是，，．线段两端点的坐标分别为，． (1)请在图中作出关于y轴的轴对称图形（点，，的对称点分别是，，），并直接写出，，的坐标； (2)若与全等，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)图见解析，，， (2) 【分析】本题考查了坐标与图形变换——轴对称变换，全等三角形的性质． （1）根据关于轴对称的点的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，找出点，，关于轴对称的对应点，，的位置，然后顺次连接即可； （2）由图可知，根据与全等，利用网格特点找到点即可． 【详解】（1）解：如图，为所求作，，，； （2）如图，点的坐标为． 22．（1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点）； （2）直接写出，，三点的坐标．    【答案】（1）见解析；（2），， 【分析】（1）先画出点A、B、C关于轴对称的对应点、、，再依次连接即可； （2）根据所画图形，即可解答． 【详解】解：（1）如图所示：即为所求；    （2）由图可知：，，三点的坐标分别为，，． 【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，写出点的坐标，解题的关键是掌握轴对称的作图方法． 23．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． （1）______；______；______． （2）画出关于成轴对称的； （3）在直线上找一点，使的周长最小，请用画图的方法确定点的位置，并直接写出周长的最小值为______． 【答案】（1），，；（2）见解析；（3）图见解析， 【分析】(1) 根据勾股定理结合每一格点都是1个单位分别计算即可； (2) 根据根据轴对称的意义找到对称轴作图即可； (3)作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B与MN交于点P，此时A′B的长即为周长的最小值． 【详解】（1）根据勾股定理可得： ， ， ； 故答案为：，，； （2）如图： （3）如图： 作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B与MN交于点P， △APB的周长为AP+BP+AB， ∵A′P=AP， ∴△APB的周长为AP+BP+AB= A′P+BP+AB=A′B+AB， 由勾股定理得： , ∴△APB的周长为． 【点睛】此题考查坐标系中关于轴对称的坐标点的变化，最小值作对称图形根据关于轴对称的线段相等的性质解题即可． 24．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足（a+b）2+|a-b+4|=0，过点C作CB⊥x轴于B， （1）如图1，求△ABC的面积. （2）如图2，若过B作BD∥AC交y轴于D，在△ABC内有一点E，连接AE.DE，若∠CAE+∠BDE=∠EAO+∠EDO，求∠AED的度数. （3）如图3，在（2）的条件下，DE与x轴交于点M，AC与y轴交于点F，作△AME的角平分线MP，在PE上有一点Q，连接QM，∠EAM+2∠PMQ=45°，当AE=mAM，FO=2QM时，求点E的纵坐标（用m表示）. 【答案】（1）4；（2）45°；（3） 【分析】（1）由题意可求a=-2，b=2，即可得点A，点C坐标，即可求△ABC的面积； （2）根据题意可求∠CAE+∠BDE=∠EAO+∠EDO=45°，根据三角形内角和可求∠AED的度数； （3）如图3，先根据三角形的中位线定理可得：QM=，过E作EG⊥x轴于G，设∠PMQ=x，则∠EAM=45-2x，证明MQ⊥AE，利用面积法可得：S△AEM=AE•MQ＝AM•EG，可得EG=1，即点E的纵坐标是1． 【详解】（1）∵（a+b）2≥0，|a-b+4|≥0，（a+b）2+|a-b+4|=0， ∴a=-b，a-b+4=0， ∴a=-2，b=2， ∵CB⊥AB ∴A（-2，0），B（2，0），C（2，2）， ∴△ABC的面积=×4×2=4； （2）如图2，连接AD， ∵BD∥AC， ∴∠CAD+∠BDA=180°， ∵∠OAD+∠ODA=90°， ∴∠CAB+∠BDO=90°， ∵∠CAE+∠BDE=∠EAO+∠EDO， ∴∠CAE+∠BDE=∠EAO+∠EDO=45°， △ADE中，∠AED=180°-（∠EAO+∠EDO）-（∠OAD+∠ODA）=180°-45°-90°=45°； （3）如图3， ∵OF∥BC，OA=OB=2， ∴AF=FC， ∴OF=BC=1， ∵OF=2QM， ∴QM=， 过E作EG⊥x轴于G， 设∠PMQ=x，则∠EAM=45-2x， 由（2）知：∠EAM+∠EDO=45°， ∴∠EDO=45°-（45°-2x）=2x， ∴∠EMG=∠OMD=90°-2x， ∵PM平分∠AME， ∴∠AMP=∠PME==45°+x， ∴∠QPM=∠EAM+∠AMP=45°-2x+45°+x=90°-x， ∴∠QPM+∠PMQ=90°， ∴MQ⊥AE， S△AEM=AE•MQ＝AM•EG， ∵AE=mAM， ∴mAM•=AM•EG， ∴EG=, 即点E的纵坐标是． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是坐标与图形的性质、非负数的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、三角形面积等知识，第三问有难度，证明MQ⊥AE是关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，a），点B（b，0），且实数a，b满足+（b﹣8）2＝0． （1）求点A和点B的坐标； （2）点P从点B出发，沿x轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为t，△APO的面积为S，求用含t的式子表示S，并直接写出的t取值范围； （3）在（2）的条件下，点Q在AO上，射线BQ与AP交于点M，过点A作AN⊥BQ交直线BQ于点N，交x轴于点R，当△ANM的面积等于△ONM的面积时，求点R的坐标． 【答案】（1）B（8，0），A（0，8）；（2）S＝；（3）R（﹣4，0） 【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论． （2）分两种情形：①当点P在BO上时，如图1，②当点P在BO延长线上时，如图2，分别求解即可． （3）利用面积法证明AN＝OK，再证明△ANQ≌△OKQ，△BOQ≌△AOR，可得结论． 【详解】解（1）∵+（b﹣8）2＝0， 又∵≥0，（b﹣8）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣8＝0， ∴a＝b＝8， ∴B（8，0），A（0，8）． （2）①当点P在BO上时，如图1， S＝•OA•OP＝•（8﹣2t）•8＝32﹣8t（0≤t＜4）． ②当点P在BO延长线上时，如图2， S＝•OA•OP＝•（2t﹣8）•8＝8t﹣32（t＞4）． 综上所述，S＝． （3）①当点P在BO上时，如图3， 过点O作OK⊥BN于点K， ∵S△ANM＝MN•AN， S△OMN＝MN•OK， ∵S△ANM＝S△OMN， ∴MN•AN＝MN•OK， ∴AN＝OK， 在△ANQ和△OKQ中， ， ∴△ANQ≌△OKQ（AAS）， ∴AQ＝OQ， ∵OA＝8， ∴OQ＝4， ∵∠OBQ+∠BRN＝90°， ∠OAR+∠ARO＝90°， ∴∠OBQ＝∠OAR， 在△BOQ和△AOR中， ， ∴△BOQ≌△AOR（AAS）， ∴OR＝OQ＝4， ∴R（﹣4，0）． ②当点P在BO延长线上时，如图4， 同理可证△ANQ≌△OKQ，△BOQ≌△AOR， ∴OR＝OQ＝4， ∴R（﹣4，0）， 综上：R（﹣4，0）． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，求出OQ是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$