单元教学设计14 基于核心素养的数学建模-高中数学单元教学设计

175 << 一、单元内容及其解析 （一）单元内容 本单元的研究内容是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学 方法构建模型解决问题．现实世界中的问题是多样化的，因此，数学建模的方法也 是多样化的．数学建模的过程和方法有规律可循，我们只要掌握了规律和共性，便 可以更加轻松地应对建模任务． （二）内容解析 函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．本书选择以 初等函数模型、周期模型、回归模型、优化模型为例的数学建模进行单元教学设计， 意在引导学生选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问题的变化规律．通过数 正定县第一中学  崔彦清 单元教学设计 14    基于核心素养的数学建模 >> 176 　高中数学单元教学设计　 学建模核心素养的培养，学生能够了解数学建模的定义和基本流程，学会选择适当的 数学建模，解决实际问题，积累应用数学建模解决实际问题的经验．同时通过数学建 模单元教学，能够培养学生的团队合作精神和创新思维，提高其数学运算、数学抽象 和推理能力．通过上述分析，可以确定本单元的教学重点，本单元的教学重点如下： 选择合适的函数类型构建数学模型，体会建立数学模型解决实际问题的一般过程． 二、单元目标及其解析 （一）单元目标 （1）简单建模：这是学生在数学建模基础阶段的目标，教师主要需要在这个阶 段让学生理解数学建模的概念以及方法，培养其建模意识． （2）典型案例建模：这是培养学生建模能力的关键阶段，教师需要结合案例让 学生学会如何正确建模． （3）综合建模：在学生积累了较多案例之后，可以将学生分为小组，为学生组 织以建模为核心的课外实践活动，并在这个过程中培养学生的创新能力和合作精神． （二）目标解析 在数学学科的六大核心素养中，数学建模是一项重要的内容，在数学教学中占 据着十分重要的地位．通过对数学建模单元教学设计的研究，可以有效提升教师的 教学能力，同时可以有效锻炼学生的数学建模素养以及数学应用能力．高中数学建 模教学可以充分体现学生在课堂上的主体地位．在新课改背景下，教师应该充当引 导者和启发者，让学生在学习过程中发挥能动性．当学生感觉自己被关注之后，他 们的学习潜力可以得到最大限度的发挥．数学建模教学与传统教学的模式不同，教 师不再用灌输的方式向学生传授知识，学生会有更多的参与课堂活动的机会，这可 以更加全方位地锻炼学生的能力． 达成上述目标的标志如下： 　单元教学设计 14 基于核心素养的数学建模　 177 << （1）能够根据图象或实际背景选择合适的函数类型并求出其解析式． （2）理解数学建模的概念，能够总结用数学模型解决实际问题的一般过程． （3）加深对数学与现实之间关联性的感悟，学会用数学的眼光去观察世界，提 升数学综合素养． 三、课时安排及教学评价 （一）课时安排 第 1 课时：初等函数模型． 第 2 课时：周期模型． 第 3 课时：回归模型、优化模型． 在进行课时安排时，教师应将新课标的要求作为依据，在建模过程中加强对学 生数学思维的培养，最终促进学生数学核心素养的提高．高中数学建模的教学过程 实际上就是引导学生学会利用多种方式去解决实际问题的过程．在数学建模教学中， 教师应对各种数学思维方法进行渗透．通过安排建模活动，对数学思维模式进行挖 掘，将有助于建模的数学思想和方法的提出，在这个过程中可以培养学生的数学思 维、创新能力、实践能力以及合作意识，加强学生对数学的理解．为此，可以将数 学建模课程分为如下 3 课时： 第 1 课时主要是对基础知识的讲解．学生需要在第 1 课时对数学基础知识有良 好的把握，从而在后续课程中对数学建模的方法有更好的理解和应用． 第 2 课时主要让学生掌握数学建模的方法和技巧．这一课时主要让学生掌握数 学模型的构建方法、数学模型的求解方法以及对模型的评价和优化．学生可以通过 这一课时学会选择数学建模的方法和技巧，从而将其应用于实际问题的解决中． 第 3 课时主要是实例分析和实践操作，使学生对相关知识有了更好的理解和掌 握．通过对真实的数学建模案例进行分析，学生可以学会应用数学建模的方法来解 决实际问题．同时，在实践操作的过程中，学生要亲自动手，这对于培养学生的操 作能力非常有利． >> 178 　高中数学单元教学设计　 在此过程中，教师可以将学生分成小组，让学生通过合作的方式完成数学建模 项目，并且在完成后撰写报告，促进学生团队合作能力和科学写作能力的提升． （二）教学评价 （1）学生在本单元教学之前已经结合实例学习了高中阶段各类函数的概念、图 象和性质，并能够应用它们解决一些学科内的问题和简单的实际问题，但是面对较 复杂的实际问题，如何将其转化为数学问题，特别是如何选择函数模型来刻画实际 问题，大多数学生既缺乏这方面的经验，也缺乏数学抽象的能力以及对不同函数模 型的深刻认识．教师在教学时可以多从以下两方面帮助学生克服困难：一是根据实 际问题的条件建立等量关系，从而将实际问题抽象为数学问题；二是从数和型出发， 定性和定量地分析实际问题的变化规律，从而选择合适的函数模型． （2）在利用函数模型解决问题的过程中，大多数学生还没有养成利用信息技术 根据函数模型进行运算求解的良好习惯，教师在教学中可以鼓励学生使用信息技术 进行复杂的运算求解，画图、列表多元联系地表示数学对象并分析问题，从而逐步 形成利用信息技术研究实际问题的意识． 本单元的教学难点是如何选择合适的函数类型，建立实际问题的数学模型． 四、课时典例分析 第1课时  初等函数模型 （一）教学内容 初等函数模型． 　单元教学设计 14 基于核心素养的数学建模　 179 << （二）教学目标 通过对初等函数模型的简单应用的学习，学生初步学会了由图象求解析式的方 法，了解了数学建模的概念和方法，培养了建模能力、分析能力以及抽象思维能力． （三）教学重点、难点 教学重点、难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出函数模型， 用函数思想解决实际问题． （四）教学过程设计 1. 活动 1：观察实际问题，发现和提出问题 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型、水的温度有关．经验表明，某 种绿茶用 85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至 60 ℃时饮用，可以产生较佳口感， 那么在 25 ℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到较佳饮用口感？ 问题 1 ：这个问题涉及的变量有哪些？ 追问 1 ：这两个变量是否具有函数关系？ 师生互动：教师通过实际问题引入新课，引导学生思考：这个问题涉及的变量 有哪些，这两个变量是否具有函数关系，帮助学生通过建立函数模型解决实际问题． 设计意图：通过实际情境，可以让学生在熟悉的问题情境中进入主题，激发 学生的学习兴趣． 2. 活动 2：收集数据，选择函数模型 问题 2 ：如何获取这两个变量的相关数据？ 师生互动：利用秒表、温度计等工具来收集茶水温度随时间变化的数据．若条 件允许，应用计算机、数据采集器、温度传感器等信息技术的效果会更理想． 追问 1 ：间隔多长时间获得一组数据比较合适？ 追问 2 ：用什么形式表达所获取的数据？ >> 180 　高中数学单元教学设计　 师生互动：教师引导学生对相关数据进行收集，并用表格表示出来． 设计意图：通过收集数据，培养学生的探究能力． 例如，某人每隔 1min 测量一次茶水温度，得到的数据如下表所示． 时间 /min 0 1 2 3 4 5 水温 /℃ 85.00 79.19 74.75 71.19 68.19 65.10 问题 3 ：如何更直观地分析数据的变化规律？ 追问 3 ：通过观察图象，应选择哪种函数模型？ 师生互动：教师和学生一起画出散点图，一起对数据进行分析． 设计意图：茶水温度是时间的函数，但并不存在现成的函数模型．因此，可 以先将散点图画出来，利用图象的方式直观分析数据的变化规律，选择函数类 型．对散点图的分布状况进行认真分析，并考虑茶水温度降至室温就不能再降的 事实，可选择 y=kax+25（k∈R，0<a<1，x ≥ 0）来近似刻画茶水温度随时间变 化的规律． 通过画图和分析的方式，培养学生的观察、分析、应用能力． 由实际情况可知，当 x=0 时，y=85，可得 k=60．为了求出温度的衰减比例 a， 可从第 2 min 的温度数据开始，计算每分（y-25）的值与上一分（y-25）值的比值， 列出下表． x 0 1 2 3 4 5 y-25 60.00 54.19 49.75 46.19 43．.19 40.10 比值 — 0.903 2 0.918 1 0.928 4 0.935 1 0.928 5 计算各比值的平均值，得 a= 1 5 ×（0.903 2+0.918 1+0.928 4+0.935 1+0.928 5）≈0.922 7． 我们把这个平均值作为衰减比例，就得到一个函数模型 y=60×0.922 7x+25 （x ≥ 0）． 问题 4 ：能否直接将上表中的一组数据代入 y=60ax+25 求 a ？ 　单元教学设计 14 基于核心素养的数学建模　 181 << 追问 4 ：这与用比值求得的平均值作为 a 建立函数模型有什么差异？ 师生互动：教师带领学生建立数学模型． 设计意图：提高学生的建模能力，加深学生对本节课知识的理解． 3. 活动 3：检验模型并求解相关问题 代入已知数据可知，函数模型与实际数据基本吻合，这说明该模型能够将茶水 温度随时间的变化规律反映出来． 师生互动：教师引导学生对前面构建的模型进行检验． 设计意图：让学生通过检验领悟数学建模的方法． 问题 5 ：将 y=60 代入 y=60×0.922 7x+25，得 60×0.922 7x+25=60，解得 x = log0.922 7 12 7 ． 由信息技术得 x ≈ 6.699 7．所以刚泡好的茶水大约需要放置 7 min 才能达到较 佳的饮用口感． 师生互动：教师带领学生得出最后的结果． 设计意图：在求解过程中，培养学生解决实际问题的能力． 4. 活动 4：巩固应用 若用函数模型 y=ax2 来描述汽车紧急刹车后滑行的距离 y m 与刹车时的速度 x km/h 的关系，而某种型号的汽车在速度为 60 km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为 20 m．在限速为 100 km/h 的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离 为 50 m，那么这辆车是否超速行驶？ 5. 小结及反思 新课标鼓励学生内化概念而不是记忆概念，积极地参与教学过程而不是被动地 接受教师的传授．本节课旨在培养学生对函数及函数模型的基本认知能力，为之后 的进一步教学奠定基础．因此，教学设计的重点在于通过有趣的教学内容和方式， 吸引学生的注意力和培养学生的学习兴趣，进而将其带入本节课的具体教学实践中． >> 182 　高中数学单元教学设计　 在此过程中，教师注意到部分学生在日常生活中较少接触函数及其模型，为此，教 师可在今后的教学中采取分组教学法，通过小组学习的形式，促进学生之间的有效 交流． 第2课时  周期模型 （一）教学内容 周期模型． （二）教学目标 （1）了解周期模型的概念，会对函数的周期性做出判断，并会求简单三角函数 的周期． （2）通过分析实际背景，建立周期模型，运用周期模型解决实际问题． （三）教学重点、难点 教学重点、难点：周期模型概念的生成和理解，利用三角函数构建刻画事物周 期变化的模型． （四）教学过程设计 1. 活动 1：观察实际情境，发现和提出问题 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生 产中使用． 问题 1 ：假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周 运动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒距离水面的相对高度与时间的关 系吗？ 师生互动：教师讲述水车原理，点题“周期”．学生同时思考生活中的现象． 　单元教学设计 14 基于核心素养的数学建模　 183 << 设计意图：让学生学会用数学的眼光观察世界，凸显学习周期的必要性． 2. 活动 2：求解函数模型并解决相关问题 对各个量之间的关系进行分析，建立盛水筒 M 运动的数学模型．如图，以 O 为 原点，以与水平面平行的直线为 x 轴建立直角坐标系．设 t=0 时，盛水筒 M 位于点 P0，以 Ox 为始边，OP0 为终边的角为 ϕ，经过 t s 后运动到点 P（x，y）．于是，以 Ox 为始边，OP 为终边的角为 ω ϕt + ，并且有 y r t= +sin( )ω ϕ ，所以盛水筒 M 距离水 面的高度 H 与时间 t 的关系是 H r t= +sin( )ω ϕ +h． O r P h x y P0 师生互动：教师带领学生分析数量关系，建立模型，学生谈数学建模的方法． 设计意图：通过典型例题，学生学会分析问题和解决问题，在这一过程中突 破难点． 问题 3 ：如何检验模型的正确性呢？ 代入已知数据可知，函数模型与实际数据相吻合． 师生互动：教师带领学生检验模型的正确性． 设计意图：培养学生的反思习惯，有助于提高学生的数学核心素养． 3. 活动 3：巩固应用 如图，一个半径为 3 m 的筒车按逆时针方向每分钟转 1．5 圈，筒车的轴心 O 距离水面的高度为 2．2 m，设筒车上的某个盛水筒 P 到水面的距离为 d（单位：m）（在 水面下 d 为负数），若在盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间，则 d 与时间 t（单位： s）之间的关系为 >> 184 　高中数学单元教学设计　 d A t k A= + + > > − < <sin( ) 0 0ω ϕ ω ϕ     ， ， π π 2 2 ． O P d （1）求 A，ω，φ，k 的值（精确到 0.000 1）； （2）盛水筒出水后至少经过多长时间可以达到最高点（精确到 0.01s）？ 4. 小结及反思 本节课需要注意以下情况： （1）学生在掌握数学建模的操作和意义方面的挑战． （2）通过数学建模实例以及任务解决函数问题的挑战． 具体来说，部分学生致力捕捉数学模型结构的意义，而没有注意模型中的操作 规则．为此，在今后教学中，教师要注意教学任务的平衡．为此，教师应制定旨在 支持学生学习数学建模的识别、解释和决定的流程．例如，教师由生活中常见的现 象引出问题，引导学生进行思考合作探究、动手实践，借助小组利用数据表格来确 定可行的函数模型，并展示自己的结果，并引导学生对结果进行检验． 第3课时  回归模型、优化模型 （一）教学内容 回归模型、优化模型． （二）教学目标 （1）了解构建一元线性回归模型的方法，理解一元线性回归模型． （2）结合具体实例，通过分析变量之间的关系能建立一元线性回归模型，并能 说明模型参数的统计意义，提高数据分析能力． 　单元教学设计 14 基于核心素养的数学建模　 185 << （三）教学重点、难点 教学重点、难点：一元线性回归模型的概念，随机误差的概念．回归模型与函 数模型的区别，随机误差产生的原因与影响． （四）教学过程设计 1. 活动 1：观察实际情境，发现和提出问题 生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高有关．一般来说，父亲的身高较 高时，儿子的身高通常也较高．为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了 14 名 男大学生及其父亲的身高，得到的数据如下表所示． 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲 身高 /cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子 身高 /cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 问题 1 ：由这组样本数据能否推断儿子的身高与父亲的身高有关系？ 追问 1 ： （1）关系的相关程度如何？ （2）关系是函数关系还是线性相关关系？为什么？ （3）如果是线性相关关系，那么，影响儿子身高的因素还有哪些？ 师生互动：教师要求学生整理和表示数据，通过分小组合作完成． 设计意图：从生活中的实例出发，激发学生主动探究的精神，为后面的学习 提供方向． 2. 活动 2：分析数据，构建函数模型 问题 2 ：你能否考虑到这些随机因素的作用，用类似函数的表达式，表达儿子 >> 186 　高中数学单元教学设计　 身高与父亲身高的关系？ 师生互动：教师引导学生写出 Y bx a e E e D e= + + = =， ，( ) 0 ( ) σ 2 ，我们称这个 关系式为 Y 关于 x 的一元线性回归模型，其中 Y 称为因变量或响应变量，x 称为自变 量或解释变量；a 和 b 为模型的未知参数，a 称为截距参数，b 称为斜率参数；e 是 Y 与 bx a+ 之间的随机误差．模型中的 Y 也是随机变量，其值虽然不能由变量 x 的值确 定，但却能表示为 bx a+ 与 e 的和（叠加），前一部分是由 x 确定的，后一部分是随 机的．如果 e=0，那么 Y 与 x 之间的关系就可以用一元函数模型来描述． 设计意图：了解随机现象，并尝试用数学语言描述随机现象． 3. 活动 3：模型理解 问题 3 ：已知父亲的身高 xi，能用一元线性回归模型 Y bx a e= + + ， E e( ) = 0 ， D e( ) = σ 2 确定儿子的身高 Y 吗？ 师生互动：教师引导学生分析问题，并得出结论：不能，因为随机误差 e 不可 事先设定，当父亲的身高为 xi，对应的儿子身高 yi 不是唯一确定的，而是有很多可 能的取值，记作 y bx a ei i= + + ．它们的均值为 E y E bx a e bE x E a E e bx a bx a( i i i i i) = + + = + + = + + = +( ) 0( ) ( ) ( ) ， 这可以解释为父亲身高为 xi 的所有男大学生的身高组成一个子总体，该子总体的均 值为 bx ai + ，即该子总体的均值与父亲的身高是线性函数关系，而对于父亲身高为 xi 的某一名男大学生而言，他的身高 yi 并不一定为 bx ai + ，仅是该子总体的一个观 测值，这个观测值与均值有一个误差 ei= yi -( bx ai + )． 设计意图：通过具体实例，加深学生对一元线性回归模型的理解． 4. 活动 4：巩固应用 某人计算出儿子身高与父亲身高的一元线性回归模型 Y=bx+a+e， E e( ) = 0 ， D e( ) = σ 2 中参数 b=0.839，参数 b 的含义是什么？ 　单元教学设计 14 基于核心素养的数学建模　 187 << 师生互动：教师引导学生分析问题，并适时指出：父亲身高每增加 1 cm，儿子 身高的均值增加 0.839 cm． 设计意图：通过具体实例，学生认识了一元线性回归模型中参数的统计 意义． 5. 小结及反思 通过计算器与作图，利用小组合作在完成任务的同时理解本节课的重点并突破 难点；通过日常生活的例子引出本节课的主要内容，提高学生的学习兴趣，提高小 组的学习效率；学生利用小组合作在完成任务的同时形成本节课重点的框架：用函 数刻画实际问题的基本过程，从而实现教学目标．