精品解析：内蒙古包头市第二十九中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题

2023--2024学年度3月初三年级数学试题 一、选择题（每题3分共36分） 1. 福布斯2015年全球富豪榜出炉，中国上榜人数仅次于美国，其中王健林以242亿美元的财富雄居中国内在富豪榜榜首，这一数据用科学记数法可表示为（ ） A. 美元 B. 美元 C. 美元 D. 美元 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 有一个不透明的盒子中装有 个除颜色外完全相同的球，这 个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则 的值大约是（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 4. 在Rt△ABC中，，，，则∠A的度数为（ ）． A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 5. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（ ） A. 12πcm2 B. 8πcm2 C. 6πcm2 D. 3πcm2 6. 下面三个命题：①若是方程组的解，则或；②函数通过配方可化为；③最小角等于的三角形是锐角三角形，其中真命题的个数（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 如图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（ ） A. （1） B. （2） C. （3） D. （4） 8. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，平行四边形中，为的中点，已知的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 12. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点，若AE=，∠EAF=135°，则下列结论正确的是（　 　） A. DE=1 B. tan∠AFO= C. AF= D. 四边形AFCE的面积为 二、填空题（每小题3分，共24分） 13. 化简： =________ 14. 计算： _____________． 15. 使式子有意义的x的取值范围为_______． 16. 如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝cm， 且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长_____cm． 17. 在综合实践课上，六名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5，7，3，，6，4；若这组数据的平均数是5，则这组数据的方差是__________ 18. 如图中，，高，正方形如图所示，则正方形边长_________． 19. 已知双曲线经过Rt△OAB斜边OA的中点D，与直角边AB相交于点C，若S△OAC=3，则k=______． 三、解答题（共60分） 20. 为了解某个某个季度的气温情况，用适当的抽样方法从该地这个季度中抽取30天，对每天的最高气温（单位：进行调查，，并将所得的数据按照，，，，分成五组，得到如图频率分布直方图． （1）求这30天最高气温的平均数和中位数（各组的实际数据用该组的组中值代表）； （2）每月按30天计算，各组的实际数据用该组的组中值代表，估计该地这个季度中最高气温超过（1）中平均数的天数； （3）如果从最高气温不低于的两组内随机选取两天，请你直接写出这两天都在气温最高一组内的概率． 21. 如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者．在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米．为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数．参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，≈1.4） 22. 某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示． （1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？ （3）超市销售这种苹果每天要获利150元并要使顾客实惠，那么每千克这种苹果的售价应定为多少元？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． 求一次函数和反比例函数的表达式； 请直接写出时，x的取值范围； 过点B作轴，于点D，点C是直线BE上一点，若，求点C的坐标． 24. 已知：如图所示，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P在该抛物线上滑动，且满足条件=1的点P有几个？并求出所有点P的坐标； （3）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明； 独立思考：（1）请解答老师提出的问题； 实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明； 问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023--2024学年度3月初三年级数学试题 一、选择题（每题3分共36分） 1. 福布斯2015年全球富豪榜出炉，中国上榜人数仅次于美国，其中王健林以242亿美元的财富雄居中国内在富豪榜榜首，这一数据用科学记数法可表示为（ ） A. 美元 B. 美元 C. 美元 D. 美元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．242亿=24200000000用科学记数法表示时，其中，n为所有的整数数位减1，即． 【详解】解：242亿； 故答案选C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用合并同类项法则，二次根式的性质，单项式除以单项式计算法则，二次根式的乘法判断各选项即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，二次根式的性质，单项式除以单项式，二次根式的乘法，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3. 有一个不透明的盒子中装有 个除颜色外完全相同的球，这 个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则 的值大约是（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意得，×100％=20％， 解得，a=15. 故选：B. 4. 在Rt△ABC中，，，，则∠A的度数为（ ）． A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义及特殊角的三角函数值解答即可． 【详解】如图， ∴∠A=30°． 故选：D． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．特殊角三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主． 5. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（ ） A. 12πcm2 B. 8πcm2 C. 6πcm2 D. 3πcm2 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：首先判断出该几何体，然后计算其面积即可： 观察三视图知：该几何体为圆柱，高为3cm，底面直径为2cm， 侧面积为：πdh=2×3π=6π（cm2）．故选C． 6. 下面三个命题：①若是方程组的解，则或；②函数通过配方可化为；③最小角等于的三角形是锐角三角形，其中真命题的个数（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，二元一次方程组解的定义，把二次函数解析式化为顶点式，三角形内角和定理，根据方程组解的定义把代入原方程组得到，再根据绝对值的定义讨论a的值，进而求出b的值即可判断①；把解析式化为顶点式即可判断②；根据三角形内角和定理可得最大的角的度数不超过80度，即可判断③． 【详解】解：①若是方程组的解，则， ∴， 当时，，则，故， 当时，，则，故，原命题是假命题； ②，原命题是真命题； ③三角形中最小的角为，那么最大的角一定小于等于，故该三角形是锐角三角形，原命题是真命题； ∴真命题有2个， 故选：C． 7. 如图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（ ） A. （1） B. （2） C. （3） D. （4） 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，∴通过轴对称得到的是（1）．故选A． 8. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵， ∴对称轴为x=1，P2（3，），P3（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∵3＜5， ∴， 根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，）与（3，）关于对称轴对称， 故， 故选：D． 9. 已知抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】【分析】依据抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，即可得到k＜0，进而得出一次函数y=kx﹣k的图象经过第一二四象限，反比例函数y=的图象在第二四象限，据此即可作出判断. 【详解】∵抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点， ∴△=4﹣4（k+1）＞0， 解得k＜0， ∴一次函数y=kx﹣k的图象经过第一二四象限， 反比例函数y=的图象在第二四象限， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与x轴的交点问题、反比例函数图象、一次函数图象等，根据抛物线与x轴的交点情况确定出k的取值范围是解本题的关键. 10. 如图，平行四边形中，为的中点，已知的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于四边形是平行四边形，那么，，证明，再根据E是中点，易求出相似比，从而可求的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴ 又∵E是中点， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解题的关键． 11. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，一元二次方程的根的判别式，解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式被开方数非负，以及得到方程组，求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：B． 12. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点，若AE=，∠EAF=135°，则下列结论正确的是（　 　） A. DE=1 B. tan∠AFO= C. AF= D. 四边形AFCE的面积为 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质求出AO的长，用勾股定理求出EO的长，然后由∠EAF＝135°及∠BAD＝90°可以得到相似三角形，根据相似三角形的性质求出BF的长，再一一计算即可判断． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB＝CD＝AD＝1，AC⊥BD，∠ADO＝∠ABO＝45°， ∴OD＝OB＝OA＝，∠ABF＝∠ADE＝135°， 在Rt△AEO中，EO＝， ∴DE＝，故A错误． ∵∠EAF＝135°，∠BAD＝90°， ∴∠BAF＋∠DAE＝45°， ∵∠ADO＝∠DAE＋∠AED＝45°， ∴∠BAF＝∠AED， ∴△ABF∽△EDA， ∴， ∴， AF＝，故C正确， OF= tan∠AFO＝，故B错误， ∴S四边形AECF＝•AC•EF＝××＝，故D错误， 故选C． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据正方形的性质，运用勾股定理求出相应线段的长，再根据∠EAF＝135°和∠BAD＝90°，得到相似三角形，用相似三角形的性质求出AF的长，然后根据对称性求出四边形的面积． 二、填空题（每小题3分，共24分） 13. 化简： =________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键，直接根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解： = = = =， 故答案为：． 14. 计算： _____________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别计算化简负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：5． 15. 使式子有意义的x的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出不等式，解不等式求解即可 【详解】由题意得：1﹣2x＞0，解得:； 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 16. 如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝cm， 且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长_____cm． 【答案】36 【解析】 【分析】根据tan∠EFC的值，可设CE=3k，在Rt△EFC中可得CF=4k，EF=DE=5k，根据∠BAF=∠EFC，利用三角函数的知识求出AF，然后在Rt△AEF中利用勾股定理求出k，继而代入可得出答案． 【详解】解： tan∠EFC＝， ∴设CE=3k，则CF=4k， 由勾股定理得EF=DE=5k， ∴DC=AB=8k， ∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°， ∴∠BAF=∠EFC， ∴tan∠BAF=tan∠EFC= ∴BF=6k，AF=BC=AD=10k， 在Rt△AFE中由勾股定理得AE= 解得：k=1， 故矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（8k+10k）=36cm， 故答案为：36． 【点睛】此题考查了矩形的性质以及翻折变换的知识，解答本题关键是根据三角函数值，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答． 17. 在综合实践课上，六名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5，7，3，，6，4；若这组数据的平均数是5，则这组数据的方差是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．先由平均数的公式计算出的值，再根据方差的公式计算． 【详解】解：由题意得：， 数据的方差． 故答案为：． 18. 如图中，，高，正方形如图所示，则正方形边长_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题关键．设正方形的边长为，然后表示出的长度，再根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式，计算即可得解． 【详解】解：如下图，设与交于点，设正方形的边长为， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵为的高，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即 解得， ∴正方形边长． 故答案为：． 19. 已知双曲线经过Rt△OAB斜边OA的中点D，与直角边AB相交于点C，若S△OAC=3，则k=______． 【答案】﹣2． 【解析】 【详解】解：设D（m，）．∵双曲线经过Rt△OAB斜边OA的中点D，∴A（2m，）．∵S△OAC=3，∴•（﹣2m）• +k=3，∴k=﹣2．故答案为﹣2． 点睛：本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 三、解答题（共60分） 20. 为了解某个某个季度的气温情况，用适当的抽样方法从该地这个季度中抽取30天，对每天的最高气温（单位：进行调查，，并将所得的数据按照，，，，分成五组，得到如图频率分布直方图． （1）求这30天最高气温的平均数和中位数（各组的实际数据用该组的组中值代表）； （2）每月按30天计算，各组的实际数据用该组的组中值代表，估计该地这个季度中最高气温超过（1）中平均数的天数； （3）如果从最高气温不低于的两组内随机选取两天，请你直接写出这两天都在气温最高一组内的概率． 【答案】（1）这30天最高气温的平均数为20.4℃；中位数为22℃；（2）该地这个季度中最高气温超过（1）中平均数的天数为48天；（3）这两天都在气温最高一组内的概率为． 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，平均数以及中位数的计算，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．解题时注意：如果一组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． （1）根据30天的最高气温总和除以总天数，即可得到这30天最高气温的平均数，再根据第15和16个数据的位置，判断中位数； （2）根据30天中，最高气温超过（1）中平均数的天数，即可估计这个季度中最高气温超过（1）中平均数的天数； （3）从6天中任选2天，共有15种等可能的结果，其中两天都在气温最高一组内的情况有6种，据此可得这两天都在气温最高一组内的概率． 【详解】解：（1）这30天最高气温的平均数为： ∵中位数落在第三组内， ∴中位数为22℃； （2）∵30天中，最高气温超过（1）中平均数的天数为16天， ∴该地这个季度中最高气温超过（1）中平均数的天数为（天）； （3）从6天中任选2天，共有15种等可能的结果，其中两天都在气温最高一组内的情况有6种， 故这两天都在气温最高一组内的概率为 21. 如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者．在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米．为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数．参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，≈1.4） 【答案】云梯需要继续上升的高度约为9米． 【解析】 【分析】过点作于点，于点，在中，求得AD的长；在中，求得CD的长，根据即可求得BC的长． 【详解】过点作于点，于点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． ∴米． ∴（米）， 由题意可知，，， ∵， ∴， 在中，， ∴（米）． 在中，， ∴（米）． ∴（米）． 答：云梯需要继续上升的高度约为9米． 【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，添加辅助线，构造直角三角形，建立直角三角形模型是解决问题的关键． 22. 某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示． （1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？ （3）超市销售这种苹果每天要获利150元并要使顾客实惠，那么每千克这种苹果的售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）售价为20元，利润最大且为200元 （3）15元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，因式分解法解一元二次方程．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． （1）把、代入一次函数，即可求解； （2）设利润，则：，求函数的最大值即可； （3）由题意得，解方程即可． 【小问1详解】 解：设解析式为：， 把、代入一次函数， ， 解得：，， 函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：设利润为， 则：， ∵函数的对称轴为：， ∴当时，最大，元， ∴售价为20元时，利润最大且为200元； 【小问3详解】 解：由题意得 解得：或25， 为了让顾客得到实惠，商场将销售价定为15时，利润最大． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． 求一次函数和反比例函数的表达式； 请直接写出时，x的取值范围； 过点B作轴，于点D，点C是直线BE上一点，若，求点C的坐标． 【答案】反比例函数的解析式为，一次函数解析式为：；当或时，；当点C的坐标为或时，． 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法求出k，求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式； (2)利用数形结合思想，观察直线在双曲线上方的情况即可进行解答； (3)根据直角三角形的性质得到∠DAC=30°，根据正切的定义求出CD，分点C在点D的左侧、点C在点D的右侧两种情况解答． 【详解】点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点在反比例函数的图象上， ， 则点B的坐标为， 由题意得，， 解得，， 则一次函数解析式为：； 由函数图象可知，当或时，； ，， ， 由题意得，， 在中，，即， 解得，， 当点C在点D的左侧时，点C的坐标为， 当点C在点D的右侧时，点C的坐标为， 当点C的坐标为或时，． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、灵活运用分类讨论思想、数形结合思想是解题的关键． 24. 已知：如图所示，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P在该抛物线上滑动，且满足条件=1的点P有几个？并求出所有点P的坐标； （3）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为y=-x2+4x-3； （2）满足条件的点P有三个，坐标分别为（2，1），（，-1），（，-1）； （3）存在，存在点M（2，-1），可使△MAC的周长最小． 【解析】 【分析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入抛物线y=-x2+bx+c中，列方程组可求抛物线解析式； （2）由于AB=3-1=2，而S△PAB=1，故△PAB中，AB边上的高为1，即P点纵坐标为±1，代入抛物线解析式可求P点横坐标； （3）过点C作抛物线的对称轴的对称点C'，根据抛物线的对称性求得C′（4，-3），连接直线AC′，求直线AC′的解析式，直线AC′与对称轴的交点即为所求点M． 【小问1详解】 解：由题意得，将A（1，0），B（3，0）分别代入y=-x2+bx+c得： ， ∴b=4，c=-3， ∴抛物线解析式为y=-x2+4x-3； 【小问2详解】 设P（x，y） ∵AB=2，S△PAB=1 ∴ ∴y=±1 当y=1时，x1=x2=2， 当y=-1时，x=2±， ∴满足条件的点P有三个坐标分别为（2，1），（2+，-1），（2-，-1）； 【小问3详解】 存在，过点C作抛物线的对称轴的对称点C′， ∵点C（0，-3），对称轴为x=2， ∴C′（4，-3）， 设直线AC′的解析式为y=kx+b，则， ∴k=-1，b=1， ∴直线AC′的解析式为y=-x+1， 直线AC′与对称轴x=2的交点为（2，-1），即M（2，-1）， ∴存在点M（2，-1），可使△AMC的周长最小． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．关键是利用待定系数法求抛物线解析式，根据面积公式求P点纵坐标，根据抛物线解析式求P点横坐标，根据抛物线的对称性求三角形的最小周长． 25. 综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明； 独立思考：（1）请解答老师提出的问题； 实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明； 问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果． 【答案】（1）； 证明：如图，分别延长，相交于点P， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，, ∵为的中点， ∴， 在△PDF和△BCF中，， ∴△PDF≌△BCF， ∴，即为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ； （2）， 证明： ∵将沿着所在直线折叠，点的对应点为， ∴∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴∠FDC′=∠FC′D， ∵=∠FDC′+∠FC′D， ∴， ∴∠FC′D=∠C′FB， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，DC=AB， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． （3）． 【解析】 【分析】（1）如图，分别延长，相交于点P，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，，利用AAS可证明△PDF≌△BCF，根据全等三角形的性质可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，即可得； （2）根据折叠性质可得∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，FC=FC′，可得FD=FC′，根据等腰三角形的性质可得∠FDC′=∠FC′D，根据三角形外角性质可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可证明四边形DGBF是平行四边形，可得DF=BG=，可得AG=BG； （3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，根据平行四边形的面积可求出BH的长，根据折叠的性质可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根据可得A′B⊥AB，即可证明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，进而可证明△A′NH∽△CBH，根据相似三角形的性质可得A′H、NH的长，根据NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根据相似三角形的性质可求出MQ的长，根据S阴=S△A′MB-S△A′NH即可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q， ∵的面积为20，边长，于点， ∴BH=50÷5=4， ∴CH=，A′H=A′B-BH=1， ∵将沿过点的直线折叠，点A的对应点为， ∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH， ∵于点，AB//CD， ∴， ∴∠MBH=45°， ∴△MBQ是等腰直角三角形， ∴MQ=BQ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C， ∴∠A′=∠C， ∵∠A′HN=∠CHB， ∴△A′NH∽△CBH， ∴，即， 解得：NH=2， ∵，MQ⊥A′B， ∴NH//MQ， ∴△A′NH∽△A′MQ， ∴，即， 解得：MQ=， ∴S阴=S△A′MB-S△A′NH=A′B·MQ-A′H·NH=×5×-×1×2=． 【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $