精品解析：2024年湖北省初中学业水平考试数学试题

2024年湖北省初中学业水平考试 数学试题卷 本试题卷共6页，24个小题，全卷满分为120分，考试时间120分钟 注意事项： 1．考生答题全部在答题卷上，答在试题卷上的无效． 2．开考前考生需将自己的姓名、准考证号码用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卷及试题卷上，并认真核对条形码上的信息． 3．选择题作答必须使用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后再选填其他答案．非选择题作答必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须使用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．如需添加辅助线请务必在答题卷上使用2B铅笔添加． 5．考生应保持答题卷的整洁、不得折叠答题卷．考试后，请将试题卷和答题卷一并上交． 一、单项选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，数轴上点表示的数的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 以下计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 中华文化博大精深，下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 吉 B. 祥 C. 如 D. 意 4. 如图所示的是一正方体的展开图，则在原正方体中“考”字对面的字是（ ） A. 预 B. 祝 C. 试 D. 顺 5. 如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得则（ ） A. B. C. D. 6. 2021年1月1日，三峡集团发布消息称，截至2020年12月31日24时，三峡水电站全年累计生产清洁电能1118亿度，为历年三峡发电量之最．那么1118亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 小鄂在数学书中看到了斐波那契曲线，于是将曲线画在了纸上小明看到后想计算阴影部分面积于是他们决定在纸上随机戳点，并记录数据于下表 总点数 10 20 40 100 阴影部分点数 4 11 23 47 若正方形的边长为4，则阴影部分面积约为（ ） A. 4.7 B. 7.52 C. 7.98 D. 8 8. 如图有一直角边为3和4的直角三角形，现欲在该三角形中裁出一个面积最大的正方形，小鄂给出了两种裁法则（ ） A. 裁法一所得的正方形面积最大 B. 裁法二所得的正方形面积最大 C. 裁法一与裁法二所得的正方形面积均不是最大值 D. 裁法一与裁法二所得的正方形面积相等且面积均为最大值 9. 反比例函数与一次函数的图像如图所示，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③；④若均在反比例函数上且，则且 A. ① B. ①③ C. ①②④ D. ①②③④ 10. 函数的图像如图所示且其对称轴为直线，E为x轴上方抛物线上一点，在抛物线AE段上有一点F使得三角形AEF面积最大，同理做出M、N使得三角形EFM与三角形AFN面积最大，则下列结论正确的有（ ） ① ②连接则 ③ ④当的最大值为时抛物线定过、 A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 的算术平方根是______． 12. 一几何体的主视图、俯视图如图所示，则该几何体是______． 13. 的一个根是，则它的另一个根是______． 14. 若有意义，则实数的取值范围是______． 15. 如图，以直角三角形斜边作边向外做正方形，该正方形对角线交于点D，连接，已知，则______． 16. 已知，则______． 三、简答题（本大题共有8个大题，17至21题每题8分，22题10分，29题10分，30题12分，共72分） 17. 先化简再求值：，其中． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90° （1）求证：四边形ABDF是矩形； （2）若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S． 19. 湖北省某校为提升学生安全知识储备就开展了安全知识竞赛，本次竞赛满分为10分，现从该校随机抽出十名学生他们的成绩（单位：分）分别是： 10、9、9、8、10、8、10、9、7、10 （1）请直接出这十位同学的竞赛成绩的平均数和中位数． （2）若该校有800人参加本次竞赛，请用以上十位同学的成绩估算该校本次竞赛满分人数． 20. 阅读以下材料并完成问题 材料一：数形结合是一种重要的数学思想如可看做是图一中的长，可看做是的长． 材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在中有一点使得的值最小．著名法学家费马给出的证明方法如下： 将绕点向外旋转得到，并连接易得是等边三角形、，则，则，所以的值最小为． 请结合以上两材料求出的最小值 21. 在某小区内有两栋楼房（A楼在B楼的左侧）从A楼向B楼的楼底看去，若视线大地的夹角，从B楼向A楼楼顶的最左侧看去，视线与楼顶的夹角，若两楼楼体均与地面垂直，两楼楼体均宽5米，A楼高米，求B楼的高．（可能有用的数据：、、） 22. 某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为扩大销售量，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现．若每件衬衫每降价元，则商场每天可多销售件． （1）若商场平均每天盈利元．则每件衬衫应降价多少元？ （2）降价多少元时，平均每天盈利最大？ 23. 在平行四边形中，，，是上一点，且．有一点以三个单位每秒的速度从出发到再到，将绕点顺时针旋转到，连接，，． （1）请求出与点运动时间间的关系． （2）当在平行四边形的对角线上时，求出的值． （3）连接，当在上且分线段为的两部分时，请直接写出的值． 24. 若抛物线交x轴于交y轴于 （1）请求出抛物线的解析式并直接写出的解集． （2）在抛物线对称轴上有一点P．当三角形为直角三角形时请求出P点的坐标． （3）以B为圆心2为半径做圆，上有一点M，连接．请求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年湖北省初中学业水平考试 数学试题卷 本试题卷共6页，24个小题，全卷满分为120分，考试时间120分钟 注意事项： 1．考生答题全部在答题卷上，答在试题卷上的无效． 2．开考前考生需将自己的姓名、准考证号码用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卷及试题卷上，并认真核对条形码上的信息． 3．选择题作答必须使用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后再选填其他答案．非选择题作答必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须使用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．如需添加辅助线请务必在答题卷上使用2B铅笔添加． 5．考生应保持答题卷的整洁、不得折叠答题卷．考试后，请将试题卷和答题卷一并上交． 一、单项选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，数轴上点表示的数的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，以及相反数，根据数轴得出数轴上点表示的数为，结合相反数的定义：只有符合不同的两个数互为相反数，进行作答即可． 【详解】解：数轴上点表示的数为， 则的相反数是2， ∴数轴上点表示的数的相反数是2， 故选A． 2. 以下计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式，同底数幂的乘法，计算即可． 本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：A. ，错误，不符合题意； B. ，错误，不符合题意； C. ，正确，符合题意； D. ，错误，不符合题意； 故选C． 3. 中华文化博大精深，下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 吉 B. 祥 C. 如 D. 意 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 根据轴对称图形的定义，逐个判断即可． 【详解】解：B、C、D均不能找到一条直线，使B、C、D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故B、C、D不是轴对称图形，不符合题意； A能找到一条直线，使A沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A是轴对称图形，符合题意； 故选：A． 4. 如图所示的是一正方体的展开图，则在原正方体中“考”字对面的字是（ ） A. 预 B. 祝 C. 试 D. 顺 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方体展开图的应用，运用空间想象把展开图复原是解题关键 ． 根据正方体的展开图的特点作答即可． 【详解】解：把正方体的表面展开图复原后，正方体中“考”字对面的字是“顺”； 故选D ． 5. 如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的性质结合对顶角得，再根据外角定理即可求解． 【详解】解：两条平行线记为， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 2021年1月1日，三峡集团发布消息称，截至2020年12月31日24时，三峡水电站全年累计生产清洁电能1118亿度，为历年三峡发电量之最．那么1118亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：1118亿． 故选A． 7. 小鄂在数学书中看到了斐波那契曲线，于是将曲线画在了纸上小明看到后想计算阴影部分面积于是他们决定在纸上随机戳点，并记录数据于下表 总点数 10 20 40 100 阴影部分点数 4 11 23 47 若正方形的边长为4，则阴影部分面积约为（ ） A. 4.7 B. 7.52 C. 7.98 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，几何概率，根据频率估计出概率，再利用几何概率进行求解即可． 【详解】解：由表格数据可知：点落在阴影部分的概率为， ∵正方形的边长为4， ∴正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为：； 故选：B． 8. 如图有一直角边为3和4的直角三角形，现欲在该三角形中裁出一个面积最大的正方形，小鄂给出了两种裁法则（ ） A. 裁法一所得的正方形面积最大 B. 裁法二所得的正方形面积最大 C. 裁法一与裁法二所得的正方形面积均不是最大值 D. 裁法一与裁法二所得的正方形面积相等且面积均为最大值 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，设两个正方形的边长分别为，，利用锐角三角函数，分别求出，的值，进而求出两个正方形的面积进行判断即可． 【详解】解：裁法一，如图，设正方形的边长为，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：，经检验，是原方程的解； ∴正方形的面积为； 裁法二，如图，设正方形的边长为，则：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴正方形的面积为； ∵，且当正方形的顶点不全在三角形的边上时，边长必然小于裁法一所得的正方形的边长， ∴裁法一所得的正方形面积最大； 故选A． 9. 反比例函数与一次函数的图像如图所示，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③；④若均在反比例函数上且，则且 A. ① B. ①③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由一次函数的图像可得：，，由反比例函数的图像可得：，可得①符合题意，②不符合题意；求解，，设，，再结合勾股定理与一元二次方程根与系数的关系可判断③符合题意；由均在反比例函数上且，可得，可得④不符合题意． 【详解】解：由一次函数的图像可得：，， 由反比例函数的图像可得：， ∴，故①符合题意，②不符合题意； ∵直线， 当，，则， 当，则，则， 设，， ∴，， 联立， ∴整理得：， ∴，， ∴，即，，， ∴，， ∴， ∴，故③符合题意； ∵均在反比例函数上且， ∴， 解得：，故④不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的综合题，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理的应用，反比例函数的性质，本题难度大，掌握基础知识是解本题的关键． 10. 函数的图像如图所示且其对称轴为直线，E为x轴上方抛物线上一点，在抛物线AE段上有一点F使得三角形AEF面积最大，同理做出M、N使得三角形EFM与三角形AFN面积最大，则下列结论正确的有（ ） ① ②连接则 ③ ④当的最大值为时抛物线定过、 A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据开口方向和与y轴交点的位置可得，再由对称轴计算公式得到，据此可判断①；设，，直线解析式为，联立得：，则；设在直线上方且平行于直线的直线解析式为，当直线与抛物线只有一个交点时，直线到直线的距离最大（二者有交点的情况下），即此时点A，点B和直线与抛物线的交点组成的三角形面积最大，联立得：，则可得，即，，同理可得，；求出，则可得到，再证明表示的是直线的一次项系数，同理表示的是直线的一次项系数，则直线与直线的一次项系数相同，据此可判断②；当抛物线解析式为时，且点E坐标为时，则，由②可得，分别求出三个三角形的面积即可判断③；求出的最大值为则，推出，当时，解得或，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴抛物线解析式为 设，，直线解析式为， 联立得：， ∴； 设在直线上方且平行于直线的直线解析式为， 当直线与抛物线只有一个交点时，直线到直线的距离最大（二者有交点的情况下），即此时点A，点B和直线与抛物线的交点组成的三角形面积最大， 联立得：， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴，， ∵点A是抛物线与x轴的交点， ∴， ∴， ∴ ； ， ∴， ∵， ∴， ∴表示的是直线的一次项系数， 同理表示的是直线的一次项系数， ∴直线与直线的一次项系数相同， ∴，故②正确； 当抛物线解析式为时，且点E坐标为时，则， 由②可得， ∴， ∴， ∴， ∴此时有，故③错误； 在中，当时，， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴的最大值为 当的最大值为时，则， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，解得或 ∴此时抛物线定过、，故④正确； ∴正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解题的关键在于确定． 二、填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 的算术平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，先计算，再求的算术平方根，即可求解． 【详解】解： 5的算术平方根是. 故答案为：. 12. 一几何体的主视图、俯视图如图所示，则该几何体是______． 【答案】圆柱体 【解析】 【分析】本题考查根据三视图确定几何体，根据俯视图，得到几何体的上下底面为圆，再根据主视图为长方形，即可得出结论． 【详解】解：由主视图和俯视图可知，该几何体为圆柱体； 故答案为：圆柱体． 13. 的一个根是，则它的另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，设另一根为，根据一元二次方程根与系数的关系，得到，求解即可． 【详解】解：，即：， 设另一根为，则：， ∴， ∴另一根为：； 故答案为：． 14. 若有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 15. 如图，以直角三角形斜边作边向外做正方形，该正方形对角线交于点D，连接，已知，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，延长至点，使，证明，进而得到，，进而推出，勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：延长至点，使，如图， ∵以斜边作边向外做正方形， ∴，，， ∴， ∴，即：， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 16. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，令，将首尾两项依次组合即可化简求值． 【详解】解：，令， 原式 ， ∴原式 故答案为： 三、简答题（本大题共有8个大题，17至21题每题8分，22题10分，29题10分，30题12分，共72分） 17. 先化简再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值问题，根据分式混合运算法则化简，再代入的值即可求解．熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：原式 将代入得 原式． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90° （1）求证：四边形ABDF是矩形； （2）若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，即AB∥CF， ∴∠BAE=∠FDE， ∵E为线段AD的中点， ∴AE=DE， 又∵∠AEB=∠DEF， ∴≌（ASA）， ∴AB=DF， 又∵AB∥DF， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∵∠BDF=90°， ∴四边形ABDF是矩形； （2）18． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得≌，即可得到AB=DF，从而证明四边形ABDF是平行四边形，再根据∠BDF=90°即可证明四边形ABDF是矩形； （2）根据全等的性质、矩形性质及勾股定理得到AB=DF=3，AF=4，由平行四边形性质求得CF=6，最后利用梯形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形ABDF是矩形， ∴AB=DF=3，∠AFD=90°， ∴在中，， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=3， ∴CF=CD+DF=3+3=6， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握各性质及判定定理进行推理是解题的关键． 19. 湖北省某校为提升学生安全知识储备就开展了安全知识竞赛，本次竞赛满分为10分，现从该校随机抽出十名学生他们的成绩（单位：分）分别是： 10、9、9、8、10、8、10、9、7、10 （1）请直接出这十位同学的竞赛成绩的平均数和中位数． （2）若该校有800人参加本次竞赛，请用以上十位同学的成绩估算该校本次竞赛满分人数． 【答案】（1）平均数：9；中位数：9 （2）该校本次竞赛满分人数约为320人 【解析】 【分析】本题考查平均数和中位数，利用样本估计总体： （1）根据平均数和中位数的计算方法进行求解即可； （2）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：平均数 将数列由小到大排列为：7、8、8、9、9、9、10、10、10、10 中位数； 【小问2详解】 解：设该校本次竞赛满分人数为 该校本次竞赛满分人数约为320人． 20. 阅读以下材料并完成问题 材料一：数形结合是一种重要的数学思想如可看做是图一中的长，可看做是的长． 材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在中有一点使得的值最小．著名法学家费马给出的证明方法如下： 将绕点向外旋转得到，并连接易得是等边三角形、，则，则，所以的值最小为． 请结合以上两材料求出的最小值 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，将原式转化为，构造直角三角形，，，以为坐标原点构造直角坐标系，设为，进而得到，，，将绕点点逆时针旋转得到，并做，根据旋转的性质，含30度角的性质，求出的长，根据，进行求解即可． 【详解】解：原式 可看做下图中的，其中为 则，， 将绕点点逆时针旋转得到，并做 ，，，，， ，为等边三角形， ，，， 又 ， ∵， ∴， ∴的最小值为； 的最小值为． 21. 在某小区内有两栋楼房（A楼在B楼的左侧）从A楼向B楼的楼底看去，若视线大地的夹角，从B楼向A楼楼顶的最左侧看去，视线与楼顶的夹角，若两楼楼体均与地面垂直，两楼楼体均宽5米，A楼高米，求B楼的高．（可能有用的数据：、、） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于，分别解直角三角形和直角三角形，即可求解． 【详解】解：延长交于，如图所示： ，， 米， 米， 米， 又， ， 米， 又米， 米． 22. 某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为扩大销售量，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现．若每件衬衫每降价元，则商场每天可多销售件． （1）若商场平均每天盈利元．则每件衬衫应降价多少元？ （2）降价多少元时，平均每天盈利最大？ 【答案】（1）每件衬衫应降价元 （2）降价元时，平均每天盈利最大． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设每件衬衫降价元，根据题意得，求解后再根据扩大销售量确定，即可求解． （2）设商场平均每天盈利，根据题意可得，将其化为顶点式，即可得出结果． 【小问1详解】 解：设每件衬衫降价元， 根据题意得， 解得， ∵根据题意要为扩大销售量， ∴在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，即， 答：若商场平均每天要盈利元．则每件衬衫应降价元． 【小问2详解】 解：设商场平均每天盈利， 根据题意可得：， 即：， ∴当时，取最大值，最大值为元． ∴降价元时，平均每天盈利最大． 23. 在平行四边形中，，，是上一点，且．有一点以三个单位每秒的速度从出发到再到，将绕点顺时针旋转到，连接，，． （1）请求出与点运动时间间的关系． （2）当在平行四边形的对角线上时，求出的值． （3）连接，当在上且分线段为的两部分时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）或1或 （3）或 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，当点在线段上时，；当点在线段上时，； （2）分类讨论：当时，点落在上，点落在上；当时，点落在上，通过锐角三角函数，等角的三角函数值相等，以及构造一线三等角的全等解决问题； （3）分类讨论：当及，构造辅助线，利用平行线分线段成比例定理，矩形的性质，全等三角形的性质解决问题． 【小问1详解】 解：依题意，平行四边形中，，且有一点以三个单位每秒的速度从出发到再到 ∴①当点在线段上时，即时，； ∴②当点在线段上时，当时，． ∴ 【小问2详解】 解： 过点作延长线于点， 四边形是平行四边形， ，，，， ， 在，由， ， 设，， 由勾股定理得：， 解得：， ，， 中，． 依题意，由旋转知，， 当时，点落在上，如图1， 由得，， 解得：； 点落在上时，如图2，过点作于点， 同（1）可求，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 解得：， 当时，点落在上，过点，分别作的垂线，垂足为，，如图3， 由，得：， ∴ 则 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ，， 在中，， ， 解得． 综上所述：的值为，1，． 【小问3详解】 ①当时，构造如图4辅助线（均是水平线，铅垂线）， 由平行线分线段成比例定理的：， ∵过点作延长线于点H， ∴设 ∵，， ∴， ∴ 则 ， ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ， 设， 则， ，， ， ， 而， ， ，， ， ， 解得：， ， ； ②当时，构造如图5辅助线（均是水平线，铅垂线）， 同理可得：， 解得：， ， ． 综上所述：或． 【点睛】本题是以平行四边形为背景的动点压轴题，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形，化动为静，注意分类讨论的思想，解题关键在于熟练掌握全等三角形的构造，锐角三角函数的应用，正确添加辅助线是解决本题的关键． 24. 若抛物线交x轴于交y轴于 （1）请求出抛物线的解析式并直接写出的解集． （2）在抛物线对称轴上有一点P．当三角形为直角三角形时请求出P点的坐标． （3）以B为圆心2为半径做圆，上有一点M，连接．请求出的最小值． 【答案】（1）， （2）当的坐标为、、或时三角形为直角三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）将、、代入即可求解；由图象可知当时，；据此即可求解； （2由题意得其对称轴，设，分别求出直线、直线、直线的解析式，分类讨论、、三种情况即可求解； （3） 在上做一点，使，可证，推出，即可求解； 【小问1详解】 解：抛物线过、、 可得方程组 解得 由图象可知：当时，； ∴的解集为 【小问2详解】 解： ∵ 抛物线的对称轴为直线 设， ∵、 ∴，， 当时，， 即： 解得； 当时，有, 即： 解得 ； 当时，有; 即： 解得、 ； 当的坐标为、、或时三角形为直角三角形 【小问3详解】 解：在上做一点，使，连TC，TM，MB 在与中， ， ， ， ， ， 的最小值为， 的最小值为即 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及了二次函数与不等式的关系、待定系数法、二次函数与特殊三角形综合、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相关函数性质是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $