第二章《一元二次函数、方程和不等式》同步单元必刷卷（基础卷）-2024-2025学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

第二章《一元二次函数、方程和不等式》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 5．已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．} C． D． 6．下列结论正确的是（    ）． A．当时，的最小值是 B．当时，的最小值是2 C．当时，的最小值是 D．当时，的最小值是2 7．已知，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 8．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 10．已知，，，则（    ） A．且 B． C． D． 11．已知关于的不等式解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则的取值范围是 ． 13．若，则的最小值为 ． 14．不等式恒成立，则实数的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知关于的一元二次不等式的解集为． (1)求和的值； (2)求不等式的解集． 16．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本; （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润. 17．如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm． (1)若，求x的取值范围； (2)设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值． 18．已知实数a，b，c满足a2+b2+c2＝3． （1）求证； （2）求证． 19．已知函数. (1)当时，求关于x的不等式的解集； (2)求关于x的不等式的解集； (3)若在区间上恒成立，求实数a的范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章《一元二次函数、方程和不等式》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解. 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，故A，C，D错误. 故选：B. 2．已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设，由题意可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 3．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】由题可得，，则， 所以 ， 当且仅当，即时，取得等号， 故选:C. 4．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断. 【详解】对于A，取特殊值，，，满足条件，但不满足结论，故A错误； 对于B，由，若，则，故B错误； 对于C，由同向不等式的性质知，，可推出，故C正确； 对于D，取，满足条件，但，故D错误. 故选：C. 5．已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．} C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式可取的最小值，从而可求实数m的取值范围. 【详解】∵，且， ∴， 当且仅当时取等号，∴， 由恒成立可得， 解得：， 故选：D. 6．下列结论正确的是（    ）． A．当时，的最小值是 B．当时，的最小值是2 C．当时，的最小值是 D．当时，的最小值是2 【答案】D 【分析】根据基本不等式的使用条件一正，二定，三相等，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，，不是定值，不能直接应用基本不等式，故A错误. 对于B中，当时，，当且仅当时，即时等号成立， 但题干要求，故不能取到最小值，故B错误. 对于C中，当时，， 当且仅当时，即等号成立， 故有最大值是，故C错误. 对于D中，当时，，因此， 当且仅当，即时等号成立， 故有最小值是2，故D正确. 故选：D 7．已知，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解. 【详解】，， ， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：A 8．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据根与系数的关系利用韦达定理求解系数，然后解不等式即可； 【详解】由不等式的解集为， 知是方程的两实数根， 由根与系数的关系，得，解得：， 所以不等式可化为，解得：或， 故不等式的解集为：. 故选：D. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断. 【详解】A. 取特殊值，，，显然不满足结论； B. 由可知，，由不等式性质可得，结论正确； C. 由同向不等式的性质知，，可推出，结论正确； D. 取，满足条件，显然不成立，结论错误. 故选：BC. 10．已知，，，则（    ） A．且 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由，可得，即可判断，同理判断，判断A；利用基本不等式可判断B，C，D； 【详解】对于A，，，，则，故，同理可得，A正确； 对于B，，，， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，，，则， 则， 当且仅当，即时取等号，C错误； 对于D，由于，故， 当且仅当时取等号，而，故，D正确， 故选：ABD 11．已知关于的不等式解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且,对四个选项逐个求解或判断可得解. 【详解】因为关于的不等式解集为， 所以和是方程的两个实根，且，故错误； 所以，，所以， 所以不等式可化为，因为，所以，故正确； 因为，又，所以，故正确； 不等式可化为，又， 所以，即，即，解得,故正确. 故选：BCD. 【点睛】利用一元二次不等式的解集求出参数的关系是解题关键.本题根据韦达定理可得所要求的关系，属于中档题. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】设， 所以，解得， 因为，，则，， 因此，. 故答案为：. 13．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14．不等式恒成立，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】对分成和两种情况进行分类讨论，由此求得实数的取值范围. 【详解】当时，原不等式可化为恒成立. 当时，，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为 【点睛】本小题主要考查不等式恒成立的条件，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知关于的一元二次不等式的解集为． (1)求和的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）依题意和是方程的两个根，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意知和是方程的两个根且， 由根与系数的关系得，解得； （2）由、，不等式可化为， 即，则该不等式对应方程的实数根为和． 当时，，解得，即不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为空集， 当时，，解得，即不等式的解集为， 综上：当时，解集为， 当时，解集为空集， 当时，解集为． 16．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本; （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润. 【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元. 【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得； （2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值. 【详解】（1）， 当且仅当时，即取“=”，符合题意； ∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元. （2） 又，∴当时，. 答：年产量为110吨时，最大利润为860万元. 17．如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm． (1)若，求x的取值范围； (2)设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由折叠性质可知，进而可得，再利用勾股定理得到，化简整理求出a，根据，求出x的范围即可； （2）根据题意可得，，利用基本不等式即可求出S的最大值以及相应的x的值． 【详解】（1）由矩形周长为，可知，设，则∵，∴． 在中，，即， 得， 由题意，，即， 解得， 由得，，∴， 即x的取值范围是． （2）因为，． 化简得． ∵，∴， 当且仅当，即时，，. 18．已知实数a，b，c满足a2+b2+c2＝3． （1）求证； （2）求证． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）将结论式平方，可得到条件式，再运用重要不等式即可求解. （2）结合“1”的妙用方法，将结论式与条件式相乘，只需证，即可证明不等式. 【详解】(1) ． (2) .当且仅当时取等号. 【点睛】（1）将结论式跟条件联系在一起，只需将结论平方. （2）不等式性质：                   19．已知函数. (1)当时，求关于x的不等式的解集； (2)求关于x的不等式的解集； (3)若在区间上恒成立，求实数a的范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）把代入可构造不等式，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集. （2）根据函数，分类讨论可得不等式的解集. （3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的范围. 【详解】（1）当时，则， 由，得， 原不等式的解集为； （2）由， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）由即在上恒成立，得. 令，则， 当且仅当 ，即时取等号. 则，.故实数a的范围是 2 学科网（北京）股份有限公司 $$