专题强化05：一元二次函数、方程和不等式 题型归纳【8大题型】-2024-2025学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

专题强化05：一元二次函数、方程和不等式 题型归纳 【知识网络】 【题型归纳】 · 题型一、不等式性质的应用 · 题型二、解不等式（不含参） · 题型三、解含参的不等式 · 题型四、一元二次不等式恒(能）成立问题 · 题型五、一元二次不等式在某区间有解问题 · 题型六、基本不等式 · 题型七、基本不等式证明或比较大小问题 · 题型八、一元二次不等式和基本不等式的实际应用 【题型归纳】 题型一、不等式性质的应用 1．（24-25高三上·甘肃兰州）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若,，则 2．（2024高一上·山东·专题练习）已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 3．（23-24高一上·贵州）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 题型二、解不等式（不含参） 4．（24-25高一上·陕西咸阳）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 5．（2025高三·全国·专题练习）解下列关于x的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10). 6．（2025高三·全国·专题练习）求解下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). (6)； (7)； (8)； (9). 题型三、解含参的不等式 7．（24-25高一上·上海）解关于的不等式：． 8．（24-25高一上·上海·假期作业）解关于的不等式： (1)； (2). 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 题型四、一元二次不等式恒(能）成立问题 10．（24-25高一上·全国）已知“，不等式恒成立”，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 12．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五、一元二次不等式在某区间有解问题 13．（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（    ） A．9 B．5 C．6 D． 14．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 15．（22-23高一上·江苏盐城·期末）若命题“，”为假命题，则实数可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 题型六、基本不等式 16．（24-25高一上·上海） （1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 17．（24-25高一上·江苏·开学考试）（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值； （3）若，且，求的最小值. 18．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值． （3）已知，求的最大值． 题型七、基本不等式证明或比较大小问题 19．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 20．（23-24高一下·山东淄博·期中） （1）已知，求证：； （2）求证：． 21．（24-25高一上·上海·课堂例题）（ 1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 题型八、一元二次不等式和基本不等式的实际应用 22．（23-24高一上·贵州·阶段练习）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨． (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润．所以当年产量为吨时，最大利润为万元． 23．（23-24高一下·浙江·阶段练习）空调是人们生活水平提高的一个标志，炎热夏天，空调使温度调节到适合人们工作、学习、生活的舒适环境内，心情好，休息好，工作效率也高，这是社会进步的一个里程碑．为适应市场需求，2024年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x千台空调，需另投入成本万元，当年产量不足30千台时，，当年产量不小于30千台时，．已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量x（千台）的函数解析式． (2)年产量为多少千台时，该厂该型号的变频空调所获利润最大？并求出最大利润． 24．（2024高一·全国·专题练习）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元. (1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价. 【专题训练】 一、单选题 25．（25-26高一上·全国）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 27．（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·上海·课后作业）若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二下·山西临汾·期末）已知，，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 31．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 32．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 二、多选题 33．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列结论中，错误的结论有（    ） A．取得最大值时的值为 B．若，则的最大值为 C．函数的最小值为 D．若，，且，那么的最小值为 35．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．关于x的不等式的解集是 C． D．关于x的不等式的解集为或 36．（23-24高一上·江苏常州·期中）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，则 D．为互不相等的正数，且，则 三、填空题 37．（2024高一上·浙江宁波）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 38．（24-25高一上·全国·随堂练习）若，则不等式的解集为 ． 39．（24-25高一上·全国·课堂例题）设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 40．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ． 四、解答题 41．（24-25高一上·江苏） （1）已知一元二次不等式的解集为，求实数、的值及不等式的解集． （2）已知，解不等式：． 42．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1); (2). 43．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)解关于的不等式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 44．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，a为常数. (1)若，解关于x的不等式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围. 45．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知二次函数 (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若且，求的最小值； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化05：一元二次函数、方程和不等式 题型归纳 【知识网络】 【题型归纳】 · 题型一、不等式性质的应用 · 题型二、解不等式（不含参） · 题型三、解含参的不等式 · 题型四、一元二次不等式恒(能）成立问题 · 题型五、一元二次不等式在某区间有解问题 · 题型六、基本不等式 · 题型七、基本不等式证明或比较大小问题 · 题型八、一元二次不等式和基本不等式的实际应用 【题型归纳】 题型一、不等式性质的应用 1．（24-25高三上·甘肃兰州）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若,，则 【答案】D 【分析】通过举反例排除A,B两项；利用作差法判断C项，结论错误；运用不等式的性质可推理得到D项结论. 【详解】对于A，若，当时，则，故A错误； 对于B，若，满足，但，故B错误； 对于C，因，，由，可得，故C错误； 对于D，由，得，因，则，故D正确． 故选：D． 2．（2024高一上·山东·专题练习）已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【答案】B 【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故A正确，B错误； 因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故C正确，D正确. 故选：B 3．（23-24高一上·贵州·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】选项A、C、D可有反例推导错误；选项B利用不等式性质推导可得. 【详解】选项A：当时，，故A错误； 选项B：因，，所以，得，故B正确； 选项C：当时，满足，，但，故C错误； 选项D：当时，满足，，但，故D错误， 故选：B 题型二、解不等式（不含参） 4．（24-25高一上·陕西咸阳）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】(1) 化简解一元二次不等式； (2) 先判断分母的正负情况再化简解一元二次不等式； (3)对进行讨论，确定绝对值里面符号，化简变形即可求解. 【详解】（1）由题意知可变形为， 解不等式可得或； （2）由题意知， 则可变行为， 化简，可变行为， 解之可得； （3）当时，原不等式可化简为， 解之可得， 当时，原不等式可化简为， 解之可得， 综上可得或. 5．（2025高三·全国·专题练习）解下列关于x的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】（1）（2）两题用一元二次不等式解法即可求解； （3）（4）（10）三题用解分式方程的解法即可求解； （5）（8）用解绝对值不等式的解法即可求解； （6）（7）（9）解高阶不等式用穿针引线法可以求解； 【详解】（1）由，得，即， 所以，所以不等式的解集为. （2）原不等式可化为或， 所以解集为{或}. （3）由题得 由可得：或，又， 则得或，即不等式的解集为. （4）由，得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. （5）当，即时，，得，此时，， 当，即时，，得，此时，， 综上所述，，即不等式的解集为. （6）原不等式可化为或， 即或． 由图可知，原不等式的解集为或． （7）原不等式可化为，即， 即或，即或． 由图可知，原不等式的解集为或. （8），令，则，原不等式为：，即， 由，则或，即. （9）对于， 当时，，原不等式等价于， 等价于，解得或，即； 当时，，原不等式成立，所以是原不等式的一个解； 综上，原不等式的解集为. （10）对于，变形为，即，与同解， ，即. 6．（2025高三·全国·专题练习）求解下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). (6)； (7)； (8)； (9). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【分析】（1）（2）利用一元二次不等式的解法求解即可； （3）利用绝对值不等式的解法求解即可； （4）（5）利用分式不等式的解法求解即可； （6）（7）利用一元二次不等式的解法求解即可； （8）（9）利用分式不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由可得，解得或， 故原不等式的解集为. （2）由可得，解得， 故原不等式的解集为. （3）由可得，即，解得， 故原不等式的解集为. （4）等价于，解得， 故原不等式的解集为. （5）由可得，等价于， 解得，故原不等式的解集为. （6）由，得，解得， 故不等式的解集为. （7）由，得，即， 解得或，故不等式的解集为. （8）由，得，即，解得， 故不等式的解集为. （9）由，得，解得或， 故不等式的解集为. 题型三、解含参的不等式 7．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论的符号，结合二次函数解不等式. 【详解】当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解得. 8．（24-25高一上·上海·假期作业）解关于的不等式： (1)； (2). 【详解】（1）由可得， 当时，不等式的解为或； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为或 （2）由可得， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将原不等式等价转换为即可求解； （2）由一元二次不等式与一元二次方程根的关系，只需对进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）原不等式等价于，即，． ∵，∴原不等式的解集为． （2）∵的两根为，． ①当即时，，即； ②当即时，，即或； ③当即时，，即或． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 题型四、一元二次不等式恒(能）成立问题 10．（24-25高一上·全国）已知“，不等式恒成立”，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式恒成立求参即可. 【详解】由不等式恒成立， 所以, 故选：A. 11．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】依据题意先将问题等价转化成在上恒成立，接着将恒成立问题转化成最值问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】，使得成立是真命题， 所以,恒成立. 所以在上恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 12．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 题型五、一元二次不等式在某区间有解问题 13．（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（    ） A．9 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】先通过分离参数得到，然后利用基本不等式求解出的最小值，则的最小值可求. 【详解】因为在上有解，所以在上有解， 所以， 又因为，当且仅当即时取等号， 所以，所以，即的最小值为， 故选：B. 14．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最大值，即可求得实数的取值范围. 【详解】当时，由，可得，则， 因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最大值为，故. 故选：A. 15．（22-23高一上·江苏盐城·期末）若命题“，”为假命题，则实数可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“，”为真命题，分离参数转化为在上有解，构造函数求解最小值即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题，即在上有解， 即在上有解，记，，则， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，所以实数可取的最小整数值是. 故选：A 题型六、基本不等式 16．（24-25高一上·上海） （1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 【答案】（1）（i）（ii）；（2）32 【分析】根据基本不等式即可直接求解（i）（2），利用乘 “1”法即可求解（ii）， 【详解】（1）（i）由，及基本不等式，可得， 故，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为64； （ii），，， ，当且仅当且， 即，时等号成立，即 取得最小值18； （2）由可得 当且仅当，即时等号成立 故的最小值为32. 17．（24-25高一上·江苏·开学考试）（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值； （3）若，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）9；（3）9 【分析】（1）（2）对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值； （3）先常数代换变形，再利用基本不等式求解最值； 【详解】（1）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最大值为. （2）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最小值为9. （3）因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，所以的最小值为. 18．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值． （3）已知，求的最大值． 【答案】（1）6；（2）；（3） 【分析】（1）由题意得（），再利用基本不等式可求得其最小值； （2）由题意得，则，再利用基本不等式可求得其最大值； （3）由题意得，则原式化为，再利用基本不等式可求得其最大值. 【详解】（1）∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴当时，取得最小值6． （2）∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴当时，取得最大值． （3）解  ∵，∴，∴， ∴ ， ∵， 当且仅当，即时等号成立． ∴， ∴当时，取得最大值． 题型七、基本不等式证明或比较大小问题 19．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析，当且仅当 (2)证明见解析，当且仅当 【分析】（1）利用作差法证明； （2）利用基本不等式证明； 【详解】（1）因为， ， ， 所以成立； 当且仅当时，等号成立； （2）， ． 所以． 当且仅当时，等号成立． 20．（23-24高一下·山东淄博·期中）（1）已知，求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据重要不等式可得，从而得到，同理得到其余两式，再将三式相加即可得证； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1）因为（当且仅当时取等号），， 所以①； 同理可得②；③； ①、②、③相加得， 所以， 又，所以， 所以，当且仅当时取等号． （2）因为 ，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 即， 又，当时取等号， 所以，当且时取等号． 21．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）变形后，利用基本不等式进行求解； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当时取等号． （2）∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． 题型八、一元二次不等式和基本不等式的实际应用 22．（23-24高一上·贵州·阶段练习）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨． (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】(1)年产量为吨时，最低平均成本为万元 (2)年产量为吨时，最大利润为万元 【分析】（1）根据题意写出生产每吨产品的平均成本的解析式，由基本不等式求解可得； （2）写出利润的解析式，由二次函数最值可求. 【详解】（1）由题意可得，， 因为， 当且仅当时，即时等号成立，符合题意. 所以当年产量为吨时，平均成本最低为万元． （2）设利润为，则， 又， 当时，． 所以当年产量为吨时，最大利润为万元． 23．（23-24高一下·浙江·阶段练习）空调是人们生活水平提高的一个标志，炎热夏天，空调使温度调节到适合人们工作、学习、生活的舒适环境内，心情好，休息好，工作效率也高，这是社会进步的一个里程碑．为适应市场需求，2024年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x千台空调，需另投入成本万元，当年产量不足30千台时，，当年产量不小于30千台时，．已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量x（千台）的函数解析式． (2)年产量为多少千台时，该厂该型号的变频空调所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当该企业该型号的变频空调总产量为25千台时，获利最大，最大利润为2925万元 【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售额成本公式，分类讨论即可求解； （2）根据（1）的结论及分段函数分段处理，利用二次函数的性质及基本不等式即可求解． 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以 （2）当时，，当时， 取得最大值2925万元； 当时，． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取得最大值2830万元． 因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为25千台时，获利最大，最大利润为2925万元． 24．（2024高一·全国·专题练习）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元. (1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价. 【答案】(1)40 (2)102万平方米，售价为30欧元. 【分析】（1）设该种玻璃的售价提高到x欧元/平方米，列不等式计算即可得； （2）结合题意，列出不等式，借助基本不等式计算即可得. 【详解】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米， 则有， 解得：， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. （2）， 整理得：， 除以得：， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时， 才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和， 此时的售价为30欧元/平方米. 【专题训练】 一、单选题 25．（25-26高一上·全国）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质计算可得. 【详解】由题意可知，, 所以. 故选：D. 26．（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】对于ACD，利用不等式的性质分析判断，对于B，举例判断. 【详解】对于A，因为，且，所以，故A正确； 对于B，当时，满足，此时，不满足，故B错误； 对于C，因为，所以，又，所以，故C正确； 对于D，若，则，故D正确. 故选：B. 27．（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，且和是方程的的两个根，利用韦达定理，对所求不等式进行变形求解即可. 【详解】关于的不等式的解集是或， ∴1和3是方程的两个实数根，且． 则解得 所以不等式等价于，即， 解得． 所以不等式的解集是 故选:B． 28．（25-26高一上·上海·课后作业）若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，则化简后利用基本不等式可求出其最小值为4，从而得，解不等式可求得答案. 【详解】由，，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立． 所以，解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：C． 29．（23-24高二下·山西临汾·期末）已知，，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用“1”的代换求得的最小值，再由求解. 【详解】解：设， 则，解得， 则， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2， 又因为对，，且恒成立， 所以， 故选：B 30．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据给定条件，列出不等式组并求解即得. 【详解】由方程有两个不相等的实数根，得， 即，解得，因此且， 所以实数m的取值范围是且. 故选：C 31．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有，列出关于的不等式组，从而可求出的取值范围. 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于x的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 故选：D 32．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据“1”的变形技巧，利用均值不等式求最值即可得解. 【详解】因为，， 所以，即， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 故. 故选：C 二、多选题 33．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】对于AB：根据不等式的性质分析判断；对于C：利用作差法分析判断；对于D：利用基本不等式分析判断. 【详解】对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立， 整理可得，故A正确； 对于选项B：由选项A可知：， 整理可得，即， 且，则，所以，故B错误； 对于选项C：因为， 若，则， 可得，即，故C正确； 对于选项D：因为，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故D正确； 故选：ABCD. 34．（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列结论中，错误的结论有（    ） A．取得最大值时的值为 B．若，则的最大值为 C．函数的最小值为 D．若，，且，那么的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据二次函数的性质判断A，利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】对于A，因为，则函数的对称轴为， 所以取得最大值时的值为，故A错误； 对于B，令， 若，，，，当时取等号， 所以，则，则的最大值为，故B错误； 对于C，函数， 令，当时，解得，不满足题意，故C错误； 对于D，若，，且， 所以， 当时，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABC. 35．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．关于x的不等式的解集是 C． D．关于x的不等式的解集为或 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；用一元二次方程根与系数的关系，用表示，，代入不等式，从而判断BCD. 【详解】由关于x的不等式的解集为或， 知和3是方程的两个实根，且，故A正确； 根据根与系数的关系知：， 所以， 选项B：不等式化简为，解得：， 即不等式的解集是，故B正确； 选项C：由于，故，故C不正确； 选项D：不等式化简为：， 解得：或，故D正确； 故选：ABD. 36．（23-24高一上·江苏常州·期中）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，则 D．为互不相等的正数，且，则 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质，逐个进行判断即可. 【详解】对于A，由，知，由不等式的性质可得，，因此A正确； 对于B，令，则，， 显然，因此B错误； 对于C，由，又，， 则，即，因此C正确； 对于D，由为互不相等的正数，则，又，， 即，，即，， 又， ，即，因此D正确； 故选：ACD. 三、填空题 37．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】由已知得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】正实数且得， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为： 38．（24-25高一上·全国·随堂练习）若，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题可知，对应的一元二次函数开口向上，因此根据口诀“大于取两边，小于取中间”即可一元二次不等式. 【详解】因为， 所以, 所以由， 得, 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 39．（24-25高一上·全国·课堂例题）设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可比较, 【详解】∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当时等号成立， ∵， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为： 40．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 四、解答题 41．（24-25高一上·江苏）（1）已知一元二次不等式的解集为，求实数、的值及不等式的解集． （2）已知，解不等式：． 【答案】（1），；（2）答案见解析 【分析】（1）利用一元二次不等式的解与相应一元二次方程的根的关系，结合韦达定理求得后再解相应的不等式即可； （2）比较和，分、、三种情况解不等式即可. 【详解】（1）由的解集为，知的两根为，2， 所以，解得 所求不等式为， 变形为， 即， 所以不等式的解集为． （2）原不等式为． ①若时，即时，则原不等式的解集为； ②若时，即时，则原不等式的解集为； ③若时，即时，则原不等式的解集为． 综上可得，当时，原不等式的解集为； 当时，则原不等式的解集为； 当时，则原不等式的解集为． 42．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1); (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作“1”代换，根据基本不等式求解； （2）作“1”代换，根据基本不等式求解. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立. （2）， . 当且仅当时，即时等号成立. 43．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)解关于的不等式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对不同参数范围进行讨论，求解不等式即可. （2）利用分离参数法结合换元法对函数进行化简，再利用基本不等式求解范围即可. 【详解】（1）因为， 当时，即时，原不等式可化为，解得， 所以原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式可化为， 当时，即时，， 因为，所以原不等式的解集为； 当时，即时，， 因为，所以原不等式的解集为； （2）因为， 即， 因为恒成立， 所以， 故， 令，因为，所以， 所以对于一切恒成立， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以，且仅当时取等号，即实数的取值范围为. 44．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，a为常数. (1)若，解关于x的不等式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入解分式不等式即可； （2）由于不等式对任意的恒成立，则参变分离，转化为函数的最值解决即可. 【详解】（1）由题意，，即，即，故， 解得. （2）对任意，，即， 恒成立，所以. 令，则，， ， 当且仅当，即，时取“=”，所以， 故实数a的取值范围为. 45．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知二次函数 (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若且，求的最小值； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】(1)不等式的解集为. (2)的最小值为； (3)的最小值为. 【分析】（1）由条件可得是方程的解，由此可求，结合一元二次不等式解法求的解集； （2）由已知可得，结合基本不等式求结论； （3）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式可求其最小值. 【详解】（1）由已知的解集为，且， 所以是方程的解， 所以，， 所以，， 所以不等式可化为， 所以， 故不等式的解集为. （2）因为， 所以 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立， 即当且仅当， 时等号成立； 所以的最小值为； （3）因为对任意，不等式恒成立， 所以，， 所以，， ， 令，则，， 所以， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$