专题02 轴对称图形（8个考点清单+16种题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题02 轴对称图形（8个考点清单+16种题型解读） 【清单01】轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 【清单02】设计轴对称图形 设计轴对称图案的步骤： （1）画出对称轴； （2）画出图形的基本形状的部分线条； （3）按照其中一条对称轴画出基本形状的对称图形； （4）按照另一条对称轴继续画对称图形； （5）完成对称图案设计. 【清单03】垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 【清单04】角平分线的性质与判定 1、 角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 3、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图步骤： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。 【清单05】等腰三角形的性质 1、等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 （2）性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 【清单06】等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 【清单07】等边三角形的性质与判定 等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3） 判定： ①三条边都相等的三角形是做等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4） 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 【清单08】最短路径问题 一 两定点在直线的异侧 问题1 作法 图形 原理 在直线l上找一点P,使得 PA+PB的和最小。 连接AB，与直线l的交点P即为所求。 两点之间，线段最短，此时PA+PB的和最小。 二 两定点在直线的同侧 问题2：将军饮马 作法 图形 原理 在直线l上找一点P,使得 PA+PB的和最小。 作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。 化折为直； 两点之间，线段最短，此时PA+PB的和AC最小。 三 两动点一定点问题 问题3：两个动点 作法 图形 原理 点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB 边上找一点D,,使得 PC+PD+CD的和最小。 作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1P2 。 两点之间，线段最短，此时PC+PD+CD的和最小。 四 造桥选址问题 问题4：造桥选址 作法 图形 原理 直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。 将点A乡向下平移MN的长度得A1，连A1B，交n于点N，过N作NM⊥m于M。 两点之间，线段最短，此时AM+MN+BN的最小值为A1B+MN。 【考点题型一 轴对称图形】 【例1】在下列这四个图片中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列图形中，是轴对称图形的有（    ）个 ①一条线段  ②一个角  ③等腰直角三角形  ④等边三角形  ⑤平行四边形  ⑥正方形  ⑦圆 A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-2】下列五种图形：①线段  ②角  ③平行四边形  ④正方形  ⑤等腰三角形，是轴对称图形的有 ．（填序号） 【变式1-3】有些图案，不仅是轴对称图形，而且颜色也“对称”，如图所示的图案只有一条对称轴，把其中无色小正方形中的两个涂上红色，使新图案是轴对称图形且只有一条对称轴，共有 种涂法． 【变式1-4】（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    【考点题型二 利用轴对称的性质进行求解】 【例2】如图，在的正方形网格中，有A，B两点，在直线ɑ上求一点P，使最短，则点P的位置应选在（　　） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 【变式2-1】如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上，若，，，则线段的长为（　　）    A．4 B． C． D．7 【变式2-2】如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字 的格子内． 【变式2-3】如图，在的内部有一点，点、分别是点关于，的对称点，分别交，于，点，若的周长为，则线段的长为 ． 【变式2-4】如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求．（用含的代数式表示） 【考点题型三 折叠问题】 【例3】如图，在中，，，点D在边上（如图1），先将沿着翻折，使点A落在点处，交于点E（如图2），再将沿着翻折，点C恰好落在上的点处（如图3），则的度数为（      ） A． B． C． D． 【变式3-1】把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为G，D、N分别在M、N的位置上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若是直角三角形，则 ． 【变式3-3】将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 ． 【变式3-4】如图，是一张三角形的纸片，点、分别是边、上的点将沿折叠，点A落在点的位置．    (1)如图①，当点落在边上时，若，求的大小． (2)如图②，当点落在内部时，若，，求的大小． (3)当点落在外部时， 如图③，若，，则______； 如图④，、和的数量关系为______． 【考点题型四 角平分线的判定与性质】 【例4】如图，中，，平分，交于点D，，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-1】如图，在中，，，分别平分，，，于点，若的周长为，的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，是的角平分线，于的面积是，则 ． 【变式4-3】如图，已知的周长是22，、分别平分和，于D，且，的面积是 ． 【变式4-4】如图，在中，、的角平分线相交于点E．    (1)求证：点E在的平分线上； (2)过点E作于点D，，的面积为36，则的周长为__________． 【考点题型五 尺规作角平分线】 【例5】已知，求作射线，使平分，那么作法的合理顺序是（    ） ①作射线； ②在射线和上分别截取，使； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 【变式5-1】如图，在中，．以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点，．再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．画射线与交于点，点是上一点，连接．根据以上作图，下列结论正确的是(    )    A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画两条弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是 ． 【变式5-3】如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为 ． 【变式5-4】如图，已知中，．    (1)尺规作图：作的平分线交于点；（不写做法，保留作图痕迹） (2)点在边上，连接，若，求证：． 【考点题型六 垂直平分线的判定与性质】 【例6】如图，在中，，的周长为6，则的周长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【变式6-1】如图，在中，的垂直平分线相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，垂直平分于点D，垂直平分于点F，点E在上，，则 ． 【变式6-3】如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，垂足分别为M，N，已知的周长为22，则的长为 ． 【变式6-4】如图，中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，． (1)若的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 【考点题型七 尺规作垂线】 【例7】如图，在中，点是的中点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧．两弧交于，直线交于点，连接，若，的周长为，则的周长为（    ） A．16 B．17 C．18 D．20 【变式7-1】如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若的周长为15，，则的长为 ． 【变式7-3】如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，若，的周长为，则的周长为 ．    【变式7-4】如图1，两条交叉马路，中间区域建有A，B两个温室花房．现要在两条马路，之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路，的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等．如何确定交易中心P的位置?如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）． 【考点题型八 等腰三角形的判定】 【例8】如图是跷跷板的示意图，支柱与地面垂直，点O是的中点，绕着点O上下转，当A端落地时，，跷跷板上下可转动的最大角度（即）是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】下列能断定△ABC为等腰三角形的是（    ） A．∠A=30º、∠B=60º B．∠A=50º、∠B=80º C．AB=AC=2，BC=4 D．AB=3、BC=7，周长为13 【变式8-2】如图，在中，，，，则图中等腰三角形的个数是 ．    【变式8-3】如图，已知OB、OC为△ABC的角平分线，过点O作DE∥BC交AB、AC于D、E，若AB＝7，AC＝5，则△ADE的周长为 ． 【变式8-4】如图，在和中，，，与相交于点O． (1)求证：； (2)是 三角形． 【考点题型九 等腰三角形的性质】 【例9】如图，D为内一点，平分，，，若，则的长为（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 【变式9-1】如图，在中，，与的平分线交于点，过点作的平行线分别交于点，的周长是，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，在中，，是的中线，点E在上，且，连接，若，则的度数为 °． 【变式9-3】如图，在中，，，若和分别垂直平分和，则的度数是 ．    【变式9-4】如图，在中，已知和的平分线相交于点O．过点O作交于点D，点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【考点题型十 根据等角对等边求边长】 【例10】如图，在中，，，①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点F；③作射线交于点G．若，则长（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式10-1】如图，在中，已知和的平分线相交于点．过点作，交于点，交于点．若，，则线段的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式10-2】如图，四边形中，，，交于点E，，，则的长 ． 【变式10-3】如图，是等边三角形，边长为5，和的角平分线交于点F，过点F作BC的平行线交AB于D，交AC于E，则的周长是 ．    【变式10-4】如图，中，，于D，平分分别与交于点E，F．    (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【考点题型十一 等腰三角形的存在性问题】 【例11】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C有（     ）个． A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【变式11-1】如图，在中，度，，，在直线上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式11-2】如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有 个. 【变式11-3】在中，，点D在边上，点E在边上，，若为等腰三角形，则的度数为 ． 【变式11-4】如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时， ， ；点D从B向C的运动过程中，逐渐变 （填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由． (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数，若不可以，请说明理由． 【考点题型十二 三线合一】 【例12】如图，在中，，、是的两条中线，P是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图，在中，，，点在的延长线上，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【变式12-3】如图，在中，平分于点于点，则 ． 【变式12-4】如图，在中，，，D为的中点，于E． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【考点题型十三 等边三角形的判定】 【例13】在中，， ， 则是（     ） A．锐角且不等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式13-1】下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④ 【变式13-2】已知中，，试添加一个条件，使具有三条对称轴，下列是几个同学的添法：①②③④，其中正确的添法有 个． 【变式13-3】已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．    【变式13-4】如图，在四边形中，，为的中点． (1)求证：． (2)若，试判断的形状并说明理由． 【考点题型十四 等边三角形的性质】 【例14】如图，已知和均是等边三角形，点，，在同一条直线上，与相交于点，与交于点，与相交于点，连接，，有下列结论：①；②平分；③；④，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式14-1】已知，在内有一定点，点，分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（   ） A． B．3 C． D． 【变式14-2】如图，在中，，，三角形内有一点，连接，，，若平分，，则 ．    【变式14-3】如图，过边长为8的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ．    【变式14-4】已知中，；中，；， (1)如图1，当时，①求证：；②求出的度数； (2)如图2，当时，求∶ ①的度数； ②若，，求的长． 【考点题型十五 含30度角的直角三角形】 【例15】如图，过等边三角形的顶点A、B、C依次作、、的垂线、、，三条垂线围成，若，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．20 D．24 【变式15-1】如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的各边上，且与E，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】如图，在中，，点是上一点，若，则 ． 【变式15-3】如图，四边形中，，，，则 ．    【变式15-4】如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，点G是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【考点题型十六 斜边的中线等于斜边的一半】 【例16】如图，在等腰直角三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，，则的长度为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式16-1】如图，在中，是斜边上的中线，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式16-2】如图，在中，，是边的中点，是的中点．若，则的长为 ． 【变式16-3】如图，在中，，垂直平分．若，，垂足分别为点，，连接，则 ． 【变式16-4】综合与实践： (1)问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②线段之间的数量关系为______（直接写出） (2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②证明：线段之间的数量关系；（详细过程） (3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，求四边形的面积．（详细过程） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 轴对称图形（8个考点清单+16种题型解读） 【清单01】轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 【清单02】设计轴对称图形 设计轴对称图案的步骤： （1）画出对称轴； （2）画出图形的基本形状的部分线条； （3）按照其中一条对称轴画出基本形状的对称图形； （4）按照另一条对称轴继续画对称图形； （5）完成对称图案设计. 【清单03】垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 【清单04】角平分线的性质与判定 1、 角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 3、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图步骤： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。 【清单05】等腰三角形的性质 1、等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 （2）性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 【清单06】等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 【清单07】等边三角形的性质与判定 等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3） 判定： ①三条边都相等的三角形是做等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4） 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 【清单08】最短路径问题 一 两定点在直线的异侧 问题1 作法 图形 原理 在直线l上找一点P,使得 PA+PB的和最小。 连接AB，与直线l的交点P即为所求。 两点之间，线段最短，此时PA+PB的和最小。 二 两定点在直线的同侧 问题2：将军饮马 作法 图形 原理 在直线l上找一点P,使得 PA+PB的和最小。 作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。 化折为直； 两点之间，线段最短，此时PA+PB的和AC最小。 三 两动点一定点问题 问题3：两个动点 作法 图形 原理 点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB 边上找一点D,,使得 PC+PD+CD的和最小。 作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1P2 。 两点之间，线段最短，此时PC+PD+CD的和最小。 四 造桥选址问题 问题4：造桥选址 作法 图形 原理 直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。 将点A乡向下平移MN的长度得A1，连A1B，交n于点N，过N作NM⊥m于M。 两点之间，线段最短，此时AM+MN+BN的最小值为A1B+MN。 【考点题型一 轴对称图形】 【例1】在下列这四个图片中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了轴对称图形的判定，如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分能够完全重合，这样的图形叫作轴对称图形．寻找对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的定义，确定图形的对称轴即可得出答案． 【详解】解：选项B、C、D中的图形找不到这样的一条直线，对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，不符合题意； 选项A中的图形能够找到这样的一条直线，沿直线对折后，图形两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，符合题意； 故选 ：A． 【变式1-1】下列图形中，是轴对称图形的有（    ）个 ①一条线段  ②一个角  ③等腰直角三角形  ④等边三角形  ⑤平行四边形  ⑥正方形  ⑦圆 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴”，逐项判断即可，熟练掌握轴对称图形的定义、想象图形是解题的关键． 【详解】解：是轴对称图形的有①②③④⑥⑦，共6个， 故选：C． 【变式1-2】下列五种图形：①线段  ②角  ③平行四边形  ④正方形  ⑤等腰三角形，是轴对称图形的有 ．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】该题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知：线段、角、正方形、等腰三角形是轴对称图形；平行四边形不是轴对称图形． 故是轴对称图形的有①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 【变式1-3】有些图案，不仅是轴对称图形，而且颜色也“对称”，如图所示的图案只有一条对称轴，把其中无色小正方形中的两个涂上红色，使新图案是轴对称图形且只有一条对称轴，共有 种涂法． 【答案】6 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握定义是解题关键．根据轴对称图形的定义找到符合条件的涂法即可． 【详解】解：如图，把1和2，1和3，1和4，1和5，4和5，6和7涂上红色，可使新图案是轴对称图形且只有一条对称轴，故共有6种涂法． 故答案为：6． 【变式1-4】（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    【答案】（1）3， 4，5， 6，7， 8；（2）n；（3）见解析 【分析】（1）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （2）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （3）利用正六边形有偶数条边，画出正六边形的对称轴即可，利用全等三角形的性质或等腰三角形的性质画正五边形的对称轴即可． 【详解】解：（1）正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴， 正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴， 正七边形有7条对称轴，正八边形有8条对称轴； （2）一个正n边形有条对称轴； （3）如图所示，在图①中直线l即为所求；在图②中直线m即为所求．    图②也可以如下作法．    【点睛】本题考查的是正多边形的性质，理解正多边形是轴对称图形，正多边形有几个顶点就有几条对称轴是解本题的关键． 【考点题型二 利用轴对称的性质进行求解】 【例2】如图，在的正方形网格中，有A，B两点，在直线ɑ上求一点P，使最短，则点P的位置应选在（　　） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，先求得点A关于直线a的对称点，连接，即可求得答案． 【详解】如答图，点是点A关于直线a的对称点，连接，则与直线a的交点即为点P，此时最短． ∵与直线a交与点C， ∴点P的位置应选在C点． 同理，也可以找到点B关于直线a的对称点求得． 故选A． 【变式2-1】如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上，若，，，则线段的长为（　　）    A．4 B． C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．根据轴对称的性质可求、的长度，然后根据线段的和差求解即可． 【详解】解：∵点关于的对称点恰好落在线段上，， ∴， 同理， 又∵， ∴． 故选：A． 【变式2-2】如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字 的格子内． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合，所以阴影应该涂在标有数字3的格子内． 【详解】解：根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合， ∴根据题意，阴影应该涂在标有数字3的格子内； 故答案为：3． 【变式2-3】如图，在的内部有一点，点、分别是点关于，的对称点，分别交，于，点，若的周长为，则线段的长为 ． 【答案】30 【分析】本题考查轴对称的性质，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．利用对称性得到，，把求的长转化成的周长，问题得解． 【详解】解：∵点关于、的对称点分别为、， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式2-4】如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，，再结合角的和差运算可得答案； 【详解】（1）解：∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴的周长 ； （2）如图，连接，，， ∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴． 【考点题型三 折叠问题】 【例3】如图，在中，，，点D在边上（如图1），先将沿着翻折，使点A落在点处，交于点E（如图2），再将沿着翻折，点C恰好落在上的点处（如图3），则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折后对应角相等，三角形的内角和等于，根据翻折后对应角相等得到，利用已知条件和三角形的内角和等于，建立等量关系可求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠可得， ∴， 故选B． 【变式3-1】把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为G，D、N分别在M、N的位置上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，先由平行线的性质得到，，再由折叠的性质可得，则． 【详解】解：∵， ∴，， 由折叠的性质可得 ∴， 故选：C． 【变式3-2】如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若是直角三角形，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，图形的折叠，利用分类讨论思想解答是解题的关键．先求出，，再根据折叠的性质可得，，然后分两种情况讨论：当时，当时，结合三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， 又∵， ∴，， 由折叠的性质得：，， 当时， 则， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，度数为或． 故答案为：或． 【变式3-3】将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 ． 【答案】/41度 【分析】本题考查了折叠的性质，由长方形和折叠的性质结合题意可求出．再根据，即可求出答案．掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由长方形的性质可知： ， ∴， 即， 由折叠的性质可知，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3-4】如图，是一张三角形的纸片，点、分别是边、上的点将沿折叠，点A落在点的位置．    (1)如图①，当点落在边上时，若，求的大小． (2)如图②，当点落在内部时，若，，求的大小． (3)当点落在外部时， 如图③，若，，则______； 如图④，、和的数量关系为______． 【答案】(1)； (2)； (3)①；②． 【分析】（1）利用折叠的性质及三角形的内角和定理可求解； （2）由折叠的性质及三角形的内角和定理可求解，再利用三角形的内角和定理可求解； （3）①由折叠的性质及三角形的内角和定理可求解，再利用三角形的内角和定理可求解，即可解答．②由折叠的性质及三角形的内角和定理可求解，再根据折叠性质得，再根据三角形内角和定理可求解． 【详解】（1）由折叠可知：， ， ； （2）由折叠可知：，， ，， ， ，， ， ， ； （3）如图，由折叠可知：，，   ，， ， ，， ， ， ， 故答案为：； 如图，由折叠可知：，，   ， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，折叠与对称的性质，灵活运用折叠与对称的性质求解角的关系是解题的关键． 【考点题型四 角平分线的判定与性质】 【例4】如图，中，，平分，交于点D，，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等． 过点D作于点E，根据三角形的面积公式求出，结合角平分线的性质即可解答． 【详解】解：过点D作于点E，则， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， 故选：A．    【变式4-1】如图，在中，，，分别平分，，，于点，若的周长为，的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图所示：    ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， 设， ∵的周长为， ∴的面积的面积的面积的面积 ， ∵的面积为， ∴， 解得：，即， 故选：C． 【变式4-2】如图，是的角平分线，于的面积是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法列方程求解即可得到答案，熟记角平分线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，如图所示： 是的角平分线，于， ， 的面积是， ，即，解得， 故答案为：． 【变式4-3】如图，已知的周长是22，、分别平分和，于D，且，的面积是 ． 【答案】33 【分析】本题考查的是角平分线的性质，割补法求解三角形的面积，熟记角平分线的性质定理是解本题的关键． 如图，连接，由、分别平分和，可得点O到、、的距离都相等，再利用可得答案． 【详解】解：如图，连接，    ∵、分别平分和， ∴点O到、、的距离都相等， ∵的周长是22，于D，且， ∴． 故答案为：33． 【变式4-4】如图，在中，、的角平分线相交于点E．    (1)求证：点E在的平分线上； (2)过点E作于点D，，的面积为36，则的周长为__________． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和判定， 对于（1），先作辅助线，根据角平分线的性质得，再根据角平分线的判定定理得出答案； 对于（2），结合（1）图，根据大三角形的面积等于3个小三角形的面积列出算式，可得答案． 【详解】（1）证明：过E作于D，于F，于G，   、的角平分线相交于点E， ， 点E在的平分线上； （2）解：、的角平分线相交于点E，点E在的平分线上， 于D，于F，于G， . ，的面积为36， ， . 故答案为：18． 【考点题型五 尺规作角平分线】 【例5】已知，求作射线，使平分，那么作法的合理顺序是（    ） ①作射线； ②在射线和上分别截取，使； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 【答案】C 【分析】本题考查基本作图—角平分线．根据角平分线的作图方法，进行排序判断即可． 【详解】解：作法的合理顺序是： ②在射线和上分别截取，使； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C． ①作射线； 故选：C． 【变式5-1】如图，在中，．以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点，．再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．画射线与交于点，点是上一点，连接．根据以上作图，下列结论正确的是(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作角平分线；由作图可知，是的角平分线，故，即可得到答案． 【详解】解：由作图可知，是的角平分线， ，故B正确，符合题意； 而选项A，C，D都不一定正确，不符合题意； 故选：B． 【变式5-2】如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画两条弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，由作图方法可得平分，则由角平分线上的点到角两边的距离相等可得，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， 由作图方法可知，平分， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：40． 【变式5-3】如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查作图基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．如图，过点作于．根据角平分线的性质定理证明，利用垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于． 由作图可知，平分， ，， ， 根据垂线段最短可知，的最小值为2， 故答案为：2 【变式5-4】如图，已知中，．    (1)尺规作图：作的平分线交于点；（不写做法，保留作图痕迹） (2)点在边上，连接，若，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）利用基本作图作的平分线即可； （2）过点作于点，如图，先根据角平分线的性质得到，再证明得到，接着证明，得到，然后利用等线段代换得到结论． 本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质． 【详解】（1）解：如图，为所作；    （2）证明：过点作于点，如图， 为的平分线，，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ， ． 【考点题型六 垂直平分线的判定与性质】 【例6】如图，在中，，的周长为6，则的周长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的定义及其性质，先判断出是线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得到，进而根据三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵， ∴是线段的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为6， ∴， ∴的周长是， 故选：C． 【变式6-1】如图，在中，的垂直平分线相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理．连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵、的垂直平分线交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式6-2】如图，垂直平分于点D，垂直平分于点F，点E在上，，则 ． 【答案】/20厘米 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出，求出即可． 【详解】∵垂直平分于点F， ∴， ∵， ∴， 即， ∵垂直平分于点D， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，垂足分别为M，N，已知的周长为22，则的长为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．由的垂直平分线分别交于，垂足分别是，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可得的周长等于的长； 【详解】解：因为的垂直平分线分别交于点， 所以， 所以，即为的周长， 又因为的周长为22， 所以． 故答案为：． 【变式6-4】如图，中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，． (1)若的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂直平分线，三角形的内角和的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，三角形的内角和，即可． （1）根据垂直平分线的性质，则，；根据的周长为，，即可； （2）根据垂直平分线的性质，则，，根据三角形的内角和，求出，再根据等量代换，，即可． 【详解】（1）∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴． （2）∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点题型七 尺规作垂线】 【例7】如图，在中，点是的中点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧．两弧交于，直线交于点，连接，若，的周长为，则的周长为（    ） A．16 B．17 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段中点的定义可得，根据题意可得是的垂直平分线，从而可得，然后根据的周长为，可得，从而求出的周长，即可解答．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】∵点是的中点， ∴， 由题意得：是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：C． 【变式7-1】如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查作图基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键． 根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知为的中垂线， ， ， ， 故选A 【变式7-2】如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若的周长为15，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换，根据的周长为15可计算出的长． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：8． 【变式7-3】如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，若，的周长为，则的周长为 ．    【答案】19 【分析】根据作图可知垂直平分，得到，，根据的周长为，进行求解即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴，， ∴的周长， ∴的周长； 故答案为：19． 【点睛】本题考查基本作图—作垂线，以及中垂线的性质．熟练掌握中垂线上的点到线段的两端点相等，是解题的关键． 【变式7-4】如图1，两条交叉马路，中间区域建有A，B两个温室花房．现要在两条马路，之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路，的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等．如何确定交易中心P的位置?如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的实际应用，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的性质．作的平分线和线段的垂直平分线，则交点即为所求点． 【详解】解：如图，点为所求； 【考点题型八 等腰三角形的判定】 【例8】如图是跷跷板的示意图，支柱与地面垂直，点O是的中点，绕着点O上下转，当A端落地时，，跷跷板上下可转动的最大角度（即）是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当端着地时，如图，即为上下转动的最大角度，利用三角形外角的性质即可解决问题； 【详解】解：当端着地时，如图，即为上下转动的最大角度， 是的中点， ， ． 故选：B． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及邻补角的定义，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 【变式8-1】下列能断定△ABC为等腰三角形的是（    ） A．∠A=30º、∠B=60º B．∠A=50º、∠B=80º C．AB=AC=2，BC=4 D．AB=3、BC=7，周长为13 【答案】B 【详解】试题分析：A．因为∠A=30º、∠B=60º，所以∠C="180" º-30º- 60º =90 º，所以是直角三角形； B．因为∠A=50º、∠B=80º，所以∠C=180 º-50º-80º =50 º，所以∠A=∠C，所以是等腰三角形；C．虽然AB=AC=2，BC=4，但是2+2=4，所以不能组成三角形；D．因为AB=3、BC=7，周长为13，所以第三边长为3，但是3+3＜7，所以不能组成三角形，故选B. 考点：1. 等腰三角形的判定；2.三角形的三边关系. 【变式8-2】如图，在中，，，，则图中等腰三角形的个数是 ．    【答案】3 【分析】根据等腰三角形的定义即可找到两个等腰三角形，然后利用等边对等角、三角形的内角和、三角形外角的性质求出图中各个角的度数，再根据等角对等边即可找出所有的等腰三角形． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，，都是等腰三角形，共3个． 故答案为：3． 【变式8-3】如图，已知OB、OC为△ABC的角平分线，过点O作DE∥BC交AB、AC于D、E，若AB＝7，AC＝5，则△ADE的周长为 ． 【答案】12 【分析】根据DE∥BC，可得∠DOB=∠OBC，再由角平分线的定义，可得∠DBO=∠OBC，从而∠DBO=∠DOB，得到DO=BD，同理可得EO=EC，则有DE=DO+OE=BD+EC，再根据三角形的周长等于三边长度之和，即可求解． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴∠DOB=∠OBC， ∵BO平分∠ABC， ∴∠DBO=∠OBC， ∴∠DBO=∠DOB， ∴DO=BD， 同理可得EO=EC， ∴DE=DO+OE=BD+EC， ∴AD+AE+DE=AD+DO+OE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=7+5=12， 即△ADE的周长为12． 故答案为：12 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边是解题的关键． 【变式8-4】如图，在和中，，，与相交于点O． (1)求证：； (2)是 三角形． 【答案】(1)见解析 (2)等腰 【分析】本题主要考查了等角对等边，全等三角形的性质与判定： （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的判定定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰． 【考点题型九 等腰三角形的性质】 【例9】如图，D为内一点，平分，，，若，则的长为（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．延长与交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出，，根据，即可推出的长度． 【详解】解：延长与交于点E，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【变式9-1】如图，在中，，与的平分线交于点，过点作的平行线分别交于点，的周长是，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质的综合，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据角平分线和平行性的性质可得是等腰三角形，可得的值，再根据三角形的周长即可求解． 【详解】解：∵与的平分线交于点， ∴，， ∵过点作的平行线分别交于点，即， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形，即，， ∵， ∴，即， ∴，即的周长是， 故选：． 【变式9-2】如图，在中，，是的中线，点E在上，且，连接，若，则的度数为 °． 【答案】50 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键．由，是的中线，可得，，即，则，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵，是的中线， ∴，，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-3】如图，在中，，，若和分别垂直平分和，则的度数是 ．    【答案】/度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理．先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由线段垂直平分线的性质得到，进而求出，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∵分别垂直平， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-4】如图，在中，已知和的平分线相交于点O．过点O作交于点D，点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据角平分线的定义，得根据平行线的性质，得，进行角的等量代换，得，即可作答． （2）与（1）过程同理，得再由等角对等边，得最后进行边的运算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵和的平分线相交于点O． ∴ ∵交于点D，交于点E． ∴， ∴， ∴， 即为等腰三角形； （2）解：∵和的平分线相交于点O． ∴ ∵交于点D，交于点E． ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 【考点题型十 根据等角对等边求边长】 【例10】如图，在中，，，①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点F；③作射线交于点G．若，则长（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了作图——基本作图，等腰三角形的判定和含直角三角形的性质． 根据作法可知，为的平分线，由，，则，，即可得出，然后利用含直角三角形的性质，即可解答．熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 根据作法可知，为的平分线， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式10-1】如图，在中，已知和的平分线相交于点．过点作，交于点，交于点．若，，则线段的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定，根据，可知；根据角平分线的定义，可知，通过角度的等量代换，得到，等角对等边，则；同理可得，问题随之得解． 【详解】∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，则； 同理可得：， ∵，， ∴， 故选：C． 【变式10-2】如图，四边形中，，，交于点E，，，则的长 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、平行线的性质、等腰三角形的判定，根据证得，进而得，在根据平行线的性质及等腰三角形的判定得，进而可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：6． 【变式10-3】如图，是等边三角形，边长为5，和的角平分线交于点F，过点F作BC的平行线交AB于D，交AC于E，则的周长是 ．    【答案】10 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义推出，得到，同理，则由三角形周长公式可得的周长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴的周长， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，证明，是解题的关键． 【变式10-4】如图，中，，于D，平分分别与交于点E，F．    (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）由可得，根据平分得，根据，，得，即可得是等边三角形； （2）可得，则，由（1）知是等边三角形，得，由此可得的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵， ∴， ∴， 由（1）知是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ， ， ． 【考点题型十一 等腰三角形的存在性问题】 【例11】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C有（     ）个． A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】B 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰底边；②为等腰其中的一条腰． 【详解】解：如图：分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的C点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个； 共有8个， 故选：B． 【变式11-1】如图，在中，度，，，在直线上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的判定定理，分情况讨论，正确作图，即可得到结论． 【详解】解：如下图，    作垂直平分线与相交于点P，可得， 以A为圆心，为半径画圆，交有两个交点，可得，， 以B为圆心，为半径画圆，交有一个交点，可得， ∴符合条件的点P共有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质 ，解题的关键是正确作图，分情况讨论． 【变式11-2】如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有 个. 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题。根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在AC上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边于延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故答案为：6． 【变式11-3】在中，，点D在边上，点E在边上，，若为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或/36或24 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先求出，设，则，再分当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴可设，则， ∴， 分三种情况： ①当时，则，即， 解得； ②当时，则，即， 解得； ③当时，则，即，方程无解， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 【变式11-4】如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时， ， ；点D从B向C的运动过程中，逐渐变 （填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由． (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数，若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小 (2)，理由见解析 (3)可以，或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小． （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 【考点题型十二 三线合一】 【例12】如图，在中，，、是的两条中线，P是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点间线段最短，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是关键．由等腰三角形三线合一的性质，得到垂直平分，则，从而得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，是的中线， ，， 垂直平分， ， ， 即的最小值是线段的长， 故选：C． 【变式12-1】如图，在中，，，点在的延长线上，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，过点作，垂足为，根据垂直定义可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用含度角的直角三角形的性质可得，从而可得，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式12-2】如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】9.6 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，线段垂直平分线的性质．连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到当点B，P，Q三点共线时，取得最小值，最小值为的长，且当时，最小，再由，求出的长，即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵，是的平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点B，P，Q三点共线时，取得最小值，最小值为的长，且当时，最小， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9.6 【变式12-3】如图，在中，平分于点于点，则 ． 【答案】2.6 【分析】本题考查等腰三角形中求线段长，涉及等腰三角形性质、三角形面积等知识，由等腰三角形三线合一得到，根据三角形面积公式代值列方程求解即可得到答案，熟记等腰三角形性质是解决问题的关键． 【详解】解：在中，平分， 是的中线，则， ，即， ， ， 故答案为：2.6． 【变式12-4】如图，在中，，，D为的中点，于E． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”，含角的直角三角形的性质等知识， （1）连接，根据等腰三角形的“三线合一”即可作答； （2）根据含角的直角三角形的性质即可作答． 【详解】（1）连接， ∵，， ∴，平分， ∴，， ∵于E， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， 则． 【考点题型十三 等边三角形的判定】 【例13】在中，， ， 则是（     ） A．锐角且不等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理的应用，三角形的三个内角的和等于；熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 根据三角形内角和定理求出和的度数，判断的形状即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故选：D． 【变式13-1】下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④ 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定是解决问题的关键． 根据等边三角形的判定定理，对题目中给出的四个三角形逐一进行甄别即可得出答案． 【详解】解：根据等边三角形的判定可知：有两个角等于的三角形是等边三角形，故①可以判定为等边三角形； 根据等边三角形的判定可知：有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，故②可以判定为等边三角形； ∵三角形的外角和等于， 又∵三角形的三个外角都相等， ∴这个三角形的三个外角都等于， ∴这个三角形的三个内角都等于， ∴这个三角形是等边三角形， ∴三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形是等边三角形，故③可以判定为等边三角形； ∵一腰上的中线也是这条腰上的高， ∴这条线是腰的垂直平分线， ∴腰与底相等， 又∵腰与底相等的等腰三角形是等边三角形， ∴一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形，故④可以判定为等边三角形． 综上所述：①②③④都能判定为等边三角形，共有4个． 故选：A． 【变式13-2】已知中，，试添加一个条件，使具有三条对称轴，下列是几个同学的添法：①②③④，其中正确的添法有 个． 【答案】3 【分析】根据题意使△ABC为等边三角形即可，故可依次判断. 【详解】要使具有三条对称轴，则需△ABC为等边三角形 ∵在中，， 添加①，可使△ABC为等边三角形，故正确； 添加②，△ABC为等腰直角三角形，故错误； 添加③，可使△ABC为等边三角形，故正确； 添加④，即三边相等，可使△ABC为等边三角形，故正确； 故答案为：3. 【点睛】此题主要考查等边三角形的判定，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及等边三角形的判定方法. 【变式13-3】已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．    【答案】等边 【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定，解答时先由三线合一得到，再证明可得到，进而证明为等边三角形． 【详解】解：∵中，，，于点， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴为等边三角形． 故答案为：等边 【变式13-4】如图，在四边形中，，为的中点． (1)求证：． (2)若，试判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定： （1）由直角三角形斜边上的中线性质推出，等边对等角，即可得出结论； （2）先证明是的垂直平分线，进而得到，等边对等角，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，为的中点， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【考点题型十四 等边三角形的性质】 【例14】如图，已知和均是等边三角形，点，，在同一条直线上，与相交于点，与交于点，与相交于点，连接，，有下列结论：①；②平分；③；④，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．证可得，得①正确；和的大小不确定，得点的位置不确定，又是定值，得不一定平分，得②错误；先证，再证是等边三角形，即可得③正确；过作于，于，证，得，再利用角平分线的判定定理即可得④正确． 【详解】解：和均是等边三角形， ，，， ，， ， ， 故①正确； 和的大小不确定， 点的位置不确定， 又是定值， 不一定平分， 故②错误； ， ， 又，， ， ， 又， 是等边三角形， ， 故③正确； 过作于，于， ， ， ，， ， ， ，， ， 故④正确； 故正确的有个， 故选：C． 【变式14-1】已知，在内有一定点，点，分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质；由对称的性质得出，，；，，，得出，证出是等边三角形，可得，即可得出结果． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、，如图所示： 点关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ，， ， 是等边三角形， ， 周长的最小值是3， ， ， 即， 故选：B． 【变式14-2】如图，在中，，，三角形内有一点，连接，，，若平分，，则 ．    【答案】/度 【分析】如图所示，延长到H使得，连接，先求出，再由等边对等角和三角形内角和定理得到，则，可推出，证明，得到，再求出，，进而证明是等边三角形，推出，则． 【详解】解：如图所示，延长到H使得，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，通过作出辅助线证明是解题的关键． 【变式14-3】如图，过边长为8的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质．通过添加辅助线构造全等是解题的关键． 如图，作交于，则是等边三角形，，由，可得，证明，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作交于，    ∵等边，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式14-4】已知中，；中，；， (1)如图1，当时，①求证：；②求出的度数； (2)如图2，当时，求∶ ①的度数； ②若，，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)①；② 【分析】（1）①根据题意证明，利用全等三角形性质即可解题． ②根据，以及等边三角形性质计算即可． （2）①根据题意得到为等腰直角三角形，结合（1）①同理可证，利用全等三角形性质和等腰直角三角形性质即可解题． ②根据，结合角平分线的性质和等腰三角形性质计算即可． 【详解】（1）①证明：， ， ， ，， ， ； ②，， 为等边三角形， ， ， ， ； （2）解：①，， 为等腰直角三角形， ， 由（1）同理可证， ， ； ②， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【考点题型十五 含30度角的直角三角形】 【例15】如图，过等边三角形的顶点A、B、C依次作、、的垂线、、，三条垂线围成，若，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质，以及含30度角的直角三角形的性质，根据题意可判定是等边三角形，在中利用含30度角的直角三角形的性质得，利用可判定，则，结合即可求得周长． 【详解】解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴是等边三角形． ∴． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 【变式15-1】如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的各边上，且与E，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的特征，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用等边三角形的性质证明三角形全等．由题可证，，则，由直角三角形的性质得，，因为，所以． 【详解】解：， ， ， 同理， 又，， ，，， ， ， ， ， 故选：C． 【变式15-2】如图，在中，，点是上一点，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查含角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，由等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质推出，由含角的直角三角形得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 【变式15-3】如图，四边形中，，，，则 ．    【答案】/60度 【分析】作，使，证明，可得，，根据，可得，设，所以，得，进而可解决问题． 【详解】解：如图，作，使，    ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∵，， ∴. ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是正确作出辅助线得到． 【变式15-4】如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，点G是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4 【分析】（1 ）根据等腰三角形性质得，由此可得，进而得，据此可得出结论； （2 ）根据线段垂直平分线性质得，则，进而得，从而得为等边三角形，则，在中根据，得，由此得，进而可得的长． 此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形是解决问题的关键． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点题型十六 斜边的中线等于斜边的一半】 【例16】如图，在等腰直角三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，，则的长度为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，证明三角形全等，是解题的关键． 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一，证明，求出，从而求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图所示：    等腰直角三角形中，为边上中点， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 故选：B． 【变式16-1】如图，在中，是斜边上的中线，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题关键．首先根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得，再根据三角形外角的定义和性质可得，然后结合，由求解即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式16-2】如图，在中，，是边的中点，是的中点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形三线合一性质，根据等腰三角形三线合一性质推出是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出，即可得解．掌握等腰三角形三线合一性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，是边的中点， ∴， ∴是直角三角形； ∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 【变式16-3】如图，在中，，垂直平分．若，，垂足分别为点，，连接，则 ． 【答案】/45度 【分析】根据题意可证是等腰直角三角形，，根据等腰三角形三线合一可得，根据同角的余角相等可得，根据直角三角形斜边中线性质可证是等腰三角形，进而求出其外角的度数． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴，是等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴（等腰三角形底边上的高也是顶角的角平分线）， ∵在直角和直角中，和都和互余， ∴， ∵（三线合一）， ∴点F是BC中点，是直角的中线， ∴， ∴， ∴（等边对等角）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质与判定，根据三线合一证明，直角三角形斜边中线性质，运用等腰三角形三线合一证明是解题关键． 【变式16-4】综合与实践： (1)问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②线段之间的数量关系为______（直接写出） (2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②证明：线段之间的数量关系；（详细过程） (3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，求四边形的面积．（详细过程） 【答案】(1)①，② (2)①；②， (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． （1）先得出，进而判断出，即可得出结论； （2）①同（1）的方法，即可得出结论； ②由得出，再判断出，即可得出结论． （3）根据（2）的结论求得，再根据四边形的面积的面积的面积，通过计算即可求解． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：①，② （2）解：同（1）的方法得，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： ②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（2）得： ， ∵均为等腰直角三角形，为中边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积＝的面积+的面积 ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司74 学科网（北京）股份有限公司 $$