专题03 勾股定理（3个考点清单+16种题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题03 勾股定理（3个考点清单+16种题型解读） 【清单01 勾股定理】 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 在应用勾股定理时要注意它的变式： 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【清单02 勾股定理的逆定理】 1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 2. 勾股数 满足关系的三个正整数称为勾股数。 常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）7,24,25； 【清单03 勾股定理的应用】 1、已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2、用于解决带有平方关系的证明问题； 3、与勾股定理有关的面积计算； 4、勾股定理在实际生活中的应用． 【考点题型一 勾股定理的证明方法】 【例1】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A．B．C． D． 【变式1-1】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是（    ） A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【变式1-2】如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 【变式1-3】把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点，，在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于，，的代数恒等式，则这个恒等式是 ． 【变式1-4】用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形． 请根据信息解答下列问题： (1)请用含a，b，c的代数式表示大正方形的面积． 方法1：______． 方法2：______． (2)根据图2，求出a，b，c之间的数量关系． (3)如果大正方形的边长为10，且，求小正方形的边长． 【考点题型二 以弦图为背景的计算题】 【例2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 【变式2-1】如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是52，小正方形的面积是4，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2-2】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，小正方形的面积为6，则大正方形的面积为 ． 【变式2-3】如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，若图中大正方形的面积为34，直角三角形较短的直角边长为3，则中间小正方形的面积为 ． 【变式2-4】阅读下列材料，并完成相应的任务： 小明在经过八年级上册的知识学习后，发现用不同的方式表示同一图形的面积不仅可以得到整式的乘法公式，还可以用来证明勾股定理，我们把这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．如图1，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成． 任务一：如图1，请用它验证勾股定理． 任务二：如图1，若，求的面积． 任务三：如图2，在中，，是边上的高，，请直接写出的长． 【考点题型三 勾股数问题】 【例3】下列各组数据为勾股数的是（    ） A．，， B．1，， C．5，12，13 D．2，3，4 【变式3-1】勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】观察以下几组勾股数，并寻找规律：①，，；②，，；③，，；④，，…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数为 ． 【变式3-3】如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，则正方形G的面积为 ． 【变式3-4】阅读材料： 勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组．类似地，还可以得到下列勾股数组：，，，…，等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组，上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示： 勾股数组 各数组的和 和的另一表示法 和与最小数的差 股 弦 3，4，5 12 5，12，13 30 7，24，25 56 观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点： 特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和； 特点2：______． … 回答问题： (1)请你再写出上述勾股数组的一个特点：______； (2)如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为； (3)请你证明（2）中的三个式子是勾股数组． 【考点题型四 用勾股定理解三角形】 【例4】如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于(　　) A． B． C． D．2 【变式4-1】如图，在中，，，分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E．若，则的长为（　　） A．5 B． C．6 D．8 【变式4-2】把两块同样大小的含角的三角尺，按如图方式放置，其中一块三角尺的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上，若，则 ． 【变式4-3】如图，在中，的周长是8，于点于点，且点是的中点，则等于 ． 【变式4-4】定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知是“准等边三角形”，其中，．求的度数． 【解决问题】 （3）如图，在中，，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，直接写出的长． 【考点题型五 勾股定理与网格问题】 【例5】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，方格纸中小正方形的边长为，，两点在格点上，要在图中格点上找到点，使得的面积为2，满足条件的点的个数为（   ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【变式5-2】如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均在格点上． (1)线段的长等于 ； (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出点关于直线的对称点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【变式5-3】“在中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积，我们把上述求面积的方法叫做构图法．    （1）直接写出图1中的面积 ； （2）若中有两边的长分别为、，且的面积为，写出它的第三条边长 （试运用构图法在图2的每个小正方形的边长为的网格中画出符合题意的）． 【变式5-4】问题背景：在中，、、三边的长分别为求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示，这样不需求的高，借用网格就能计算出它的面积． (1)请将的面积直接填写在横线上______； (2)在图中画，使三边、、的长分别为、，，并判断的形状，说明理由． 【考点题型六 勾股定理与折叠问题】 【例6】如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（  ） A． B． C．3 D．5 【变式6-1】如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，有一张的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，得到折痕，则的面积为 ． 【变式6-3】如图，已知在中，，点D是边上的任意一点，以为折痕翻折，使点B落在点E处，连接，当为直角三角形时，的长为 ．    【变式6-4】（1）在中，，，过点作直线的垂线，垂足为． （i）如图1，若，求线段的长； （ii）若，求线段的长． （2）如图2，在中，，过点作直线的垂线，交线段于点．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 【考点题型七 判断三边能否构成直角三角形】 【例7】在中，已知的对边分别是．下列条件不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】下面三角形中是直角三角形的有（   ） ①三角形三内角之比为； ②三角形三内角之比为； ③三角形三边之比为；   ④三角形三边之比为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-2】如图，在中，边上的中线，的长度为 ． 【变式7-3】如图，已知中，，，，是的中点，连接，则的值为 ． 【变式7-4】如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为，若，，，． (1)试说明为直角； (2)记的面积为，的面积为，则的值为 ． 【考点题型八 利用勾股定理的逆定理求解】 【例8】如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则的度数为 ． 【变式8-2】如图，在中，和的垂直平分线和分别交于点D、E，若，，，则的面积等于 ． 【变式8-4】如图，在四边形中，， (1)证明：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 【考点题型九 勾股定理逆定理的实际应用】 【例9】小数同学向东走5米，沿另一个方向又走了12米，再沿着第三个方向走了13米回到原地，那么小数同学向东走5米后所走的方向是（    ） A．向北 B．向南 C．向西 D．向南或向北 【变式9-1】甲，乙两艘客轮同时从港口出发，甲客轮沿北偏东的方向航行到达点处，乙客轮在同一时刻到达距离港口的点处，若，两点间的距离为，则乙客轮的航行方向可能是（   ） A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏西 【变式9-2】海面上有两个疑似漂浮目标．舰艇以海里/时的速度离开港口，向北偏西方向航行；同时，舰艇在同地以海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口小时后两船相距海里，则舰艇的航行方向是 ． 【变式9-3】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中与都应为直角，工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．    （1）这个零件 符合要求吗？（填“是”或“否”） （2）这个四边形的面积为 ． 【变式9-4】如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一条直线上)， 并修建一条路， 测得千米，千米，千米，    (1)问是不是村庄C到河边最近的一条路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【考点题型十 勾股定理的简单应用】 【例10】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵大风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部四尺远，问竹子折断处离地有多高？（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【变式10-1】如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（    ） A． B．3 C． D． 【变式10-2】荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6m，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为 m． 【变式10-3】某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米． 【变式10-4】如图，一个梯子长25米，顶端A靠在墙上（墙与地面垂直），这时梯子下端B与墙角C距离为7米． (1)求梯子顶端A与地面的距离的长； (2)若梯子的顶端A下滑到E，使，求梯子的下端B滑动的距离的长． 【考点题型十一 判断汽车是否超速】 【例11】M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（    ）小时． A．4 B．5 C．6 D．7 【变式11-1】如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路上处距点米．如果火车行驶时，周围米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（  ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【变式11-2】如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．    【变式11-3】如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒． 【变式11-4】“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米．    (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：） 【考点题型十二 选址使两地距离相等】 【例12】23．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【变式12-1】如图，高速公路上有,两点相距，,为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得,两村庄到站的距离相等，则的长是　　．    A．4 B．5 C．6 D． 【变式12-2】如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为 ． 【变式12-3】为了解决 A、B 两个村的村民饮水难，计划在笔直的河边 修建一个水泵站，为节约经费，该水泵站与两村的水管线总长力求做到最短，已知 A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km，则水管线最短要 km(结果保留根号）． 【变式12-4】如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 【考点题型十三 求最短路径问题】 【例13】如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】如图所示，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（　　） A． B． C． D． 【变式13-2】在一个长，宽的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽，它的底面边长为的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是 ．    【变式13-3】如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【变式13-4】数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【思想应用】 （1）已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小军想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含a的代数式表示________，用含b的代数式表示________． ②据此写出的最小值：________． 【类比应用】 （2）根据上述方法，求代数式的最小值． 【考点题型十四 勾股定理中的最值问题】 【例14】如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式14-1】如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=8．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（   ） A．8 B． C．16 D． 【变式14-2】某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：      （1）几何应用：如图2，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）几何拓展：如图3，中，，若在上取一点，则的值最小值是 ． 【变式14-3】数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是 ． 【变式14-4】如图，在中，，，D是边上一点，连接，以为直角边向右作等腰直角三角形，其中．    (1)连接，求证：． (2)当为何值时，的周长最小． 【考点题型十五 勾股定理的动点问题】 【例15】如图，在中，是射线上的动点，，则当是直角三角形时，的长为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】如图，在边上有一点，，，，分别是边和上的动点，则的最小值是（　　） A． B．6 C． D．3 【变式15-2】如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为 【变式15-3】如图，中，，，，平分，动点从点出发，以每秒的速度沿边匀速运动，连接，当是以为腰的等腰三角形时，点的运动时间为 秒． 【变式15-4】如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度；点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度．它们同时出发，设出发的时间为秒．根据以上信息，解答下列问题． (1)求的长． (2)当为何值时，点在边的垂直平分线上． (3)当点在边上运动时，是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【考点题型十六 勾股定理的综合】 【例16】如图，在等边中，点在线段上，，，则以线段，，的长为边组成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 【变式16-1】如图，在中，．分别为上的动点，且，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【变式16-2】在中，，，，以为边在外作等腰直角，连接，则长为 ． 【变式16-3】如图，在中，D为边上一点，连接，将△ABD沿折叠至所在平面内，得到，与交于点F，连接，若，，，则的长为 【变式16-4】已知中，． (1)如图1，在中，若，且，求证：； (2)如图2，在中，若，且垂直平分，，，求的长； (3)如图3，在中，，连接，若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理（3个考点清单+16种题型解读） 【清单01 勾股定理】 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 在应用勾股定理时要注意它的变式： 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【清单02 勾股定理的逆定理】 1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 2. 勾股数 满足关系的三个正整数称为勾股数。 常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）7,24,25； 【清单03 勾股定理的应用】 1、已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2、用于解决带有平方关系的证明问题； 3、与勾股定理有关的面积计算； 4、勾股定理在实际生活中的应用． 【考点题型一 勾股定理的证明方法】 【例1】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：A、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故A选项不能说明勾股定理， B、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故B选项可以证明勾股定理， C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故C选项可以证明勾股定理， D、整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故D选项可以证明勾股定理， 故选：A． 【变式1-1】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是（    ） A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】在①选项中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故①不能说明勾股定理； 在②选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故②可以证明勾股定理； 在③选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故③可以证明勾股定理； 在④选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故④可以证明勾股定理． ∴能证明勾股定理的是②③④． 故选：D． 【变式1-2】如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 【答案】 【分析】本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键． 先根据勾股定理得出大正方形的面积，再得出三角形的面积，最后根据小正方形的面积=大正方形面积4个三角形面积，即可解答． 【详解】解；大正方形的面积， 三角形的面积， ∴小正方形的面积， 故答案为：． 【变式1-3】把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点，，在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于，，的代数恒等式，则这个恒等式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．先证是等腰直角三角形，由面积和差关系可得结论． 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-4】用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形． 请根据信息解答下列问题： (1)请用含a，b，c的代数式表示大正方形的面积． 方法1：______． 方法2：______． (2)根据图2，求出a，b，c之间的数量关系． (3)如果大正方形的边长为10，且，求小正方形的边长． 【答案】(1)；[或] (2) (3)小正方形的边长为2 【分析】本题考查勾股定理的几何背景，完全平方公式与几何图形的面积： （1）直接法和分割法两种方法表示出大正方形的面积即可； （2）根据等积法得到数量关系即可； （3）利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：方法一：大正方形的面积=； 方法二：大正方形的面积=； （2）由（1）可知：， 整理，得：； （3）由（2）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为2． 【考点题型二 以弦图为背景的计算题】 【例2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 【答案】C 【分析】此题考查了完全平方公式与几何图形．熟练掌握正方形性质，勾股定理，完全平方公式，平方差公式 ，是解题的关键． 根据几何图形得到，，，利用完全平方公式变形求出，再求出，根据，求出，的值，根据即可得到答案． 【详解】解：∵大正方形的面积是29，小正方形的面积是9， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，∴， ∴． 故选：C． 【变式2-1】如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是52，小正方形的面积是4，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的相关知识是解题的关键． 先求出小三角形的面积，然后根据勾股定理分析即可． 【详解】解：因为大正方形的面积是52，小正方形的面积是4， 所以一个小三角形的面积是，三角形的斜边为， 所以，， 所以， 所以． 故选：C． 【变式2-2】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，小正方形的面积为6，则大正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ，即①， ∵， ②， 得， ∴大正方形的面积， 故答案为：． 【变式2-3】如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，若图中大正方形的面积为34，直角三角形较短的直角边长为3，则中间小正方形的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股弦图、正方形的性质等知识点理解勾股定理的内容成为解题的关键． 根据大正方形的面积可得，再运用勾股定理可得，进而得到，最后求小正方形的面积即可． 【详解】解：∵大正方形的面积为34， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴中间小正方形的面积为． 故答案为4． 【变式2-4】阅读下列材料，并完成相应的任务： 小明在经过八年级上册的知识学习后，发现用不同的方式表示同一图形的面积不仅可以得到整式的乘法公式，还可以用来证明勾股定理，我们把这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．如图1，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成． 任务一：如图1，请用它验证勾股定理． 任务二：如图1，若，求的面积． 任务三：如图2，在中，，是边上的高，，请直接写出的长． 【答案】任务一：见解析；任务二：；任务三： 【分析】本题考查了勾股定理，以弦图为背景的计算题，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务一：根据正方形的面积个全等的直角三角形的面积＋一个小正方形的面积，列式，化简即可作答； 任务二：结合，化简得出，再代入直角三角形的面积公式进行计算，即可作答． 任务三：先运用勾股定理计算，再运用等面积法列式计算，即可作答． 【详解】解：任务一：正方形的面积，且正方形的面积个全等的直角三角形的面积＋一个小正方形的面积， ， 整理得． 任务二：， ， ， ， 的面积． 任务三：∵在中，， ． 是边上的高， ， ， ． 【考点题型三 勾股数问题】 【例3】下列各组数据为勾股数的是（    ） A．，， B．1，， C．5，12，13 D．2，3，4 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，，，都不是正整数，则不可能是勾股数，故选项不合题意； B、1，，不都是正整数，则不可能是勾股数，故选项不合题意； C、，能构成直角三角形，且都是正整数，故选项符合题意； D、，不能构成直角三角形，故选项不合题意． 故选：C． 【变式3-1】勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股定理求勾股数是解题的关键． 由题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵为正整数，∴为偶数， 设其股是，则弦为， 由勾股定理得，， 解得， 弦是， 故选：A． 【变式3-2】观察以下几组勾股数，并寻找规律：①，，；②，，；③，，；④，，…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股数的规律题、勾股定理等知识点，发现勾股数与组数的规律是解题的关键． 先根据给出的数据找出规律，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，…，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第6组勾股数的第一个数是13； 又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1， 故设第二个数为x，第三个数为， 根据勾股定理可得：，解得． ∴第6组数是：． 故答案为：． 【变式3-3】如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，则正方形G的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查勾股树，根据根据勾股定理的几何意义，可得正方形A，B的面积的和等于正方形E的面积，可得正方形C，D的面积的和等于正方形F的面积，正方形E，F的面积的和等于正方形G的面积． 【详解】解：正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5， ，， ， 故答案为：12． 【变式3-4】阅读材料： 勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组．类似地，还可以得到下列勾股数组：，，，…，等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组，上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示： 勾股数组 各数组的和 和的另一表示法 和与最小数的差 股 弦 3，4，5 12 5，12，13 30 7，24，25 56 观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点： 特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和； 特点2：______． … 回答问题： (1)请你再写出上述勾股数组的一个特点：______； (2)如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为； (3)请你证明（2）中的三个式子是勾股数组． 【答案】(1)勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积；（答案不唯一） (2)，； (3)见解析 【分析】本题考查了勾股数的概念，整式的混合运算，熟记勾股数的概念是解题关键． （1）根据勾股数组的特点解答即可； （2）根据已知表格，先求出勾股数组的和，进而得到勾股数组的和与最小数的差，再求出股和弦即可； （3）根据正数的混合运算法则计算即可证明． 【详解】（1）解：上述勾股数组的一个特点：勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积； 故答案为：勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积； （2）解：为最小的勾股数， 勾股数组的和为， 勾股数组的和与最小数的差为， 股为，弦为， 勾股数组可以表示为， 故答案为：，； （3）证明： ， 即是勾股数组． 【考点题型四 用勾股定理解三角形】 【例4】如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于(　　) A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】延长交于点，作，垂足为．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出的长，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于点，作，垂足为． 在中，，， ． 为的中点， ． ， ， 解得． 由翻折的性质可知，， ，． ，， ． ． ， ，， 又，， ， 为直角三角形， ． 故选：A． 【点睛】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型． 【变式4-1】如图，在中，，，分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E．若，则的长为（　　） A．5 B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】连接，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再由作法得垂直平分，所以， 所以， 从而得到， 然后根据含度角的直角三角形三边的关系求的长，进而求出的长． 【详解】连接， 如图 ∵， ∴， 由作法得垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了作图基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式4-2】把两块同样大小的含角的三角尺，按如图方式放置，其中一块三角尺的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定及勾股定理的综合应用，充分利用等腰直角三角形这一条件，作边的高，构造直角三角形是本题的重点．根据等腰三角形的判定，可知也是等腰三角形，从而求出的长，作边上的高，求出和，再利用勾股定理求出，最后利用计算即可． 【详解】解：过点A作于F，如下图所示，    在中，， ∴， ∴，， 又∵和是两个同样大小的含角的三角尺， ∴， ∴在中，根据勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】如图，在中，的周长是8，于点于点，且点是的中点，则等于 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的性质即可求出答案．本题考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练运用直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，本题属于中等题型． 【详解】解：，， 是的中线，， 是的中点， 是的中位线， 设， ， ，点是的中点，点是的中点， ，， 的周长为8， ， ， ， 由勾股定理可知：， 故答案为： 【变式4-4】定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知是“准等边三角形”，其中，．求的度数． 【解决问题】 （3）如图，在中，，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，直接写出的长． 【答案】（1）不是（2）的度数为或（3）的长为或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求得三角形的内角，再根据“准等边三角形”即可求解； （2）分两种情况求解，或，分别求解即可； （3）是“准等边三角形”，分两种情况，或，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵等腰三角形的顶角为， ∴等腰三角形的两个底角度数分别为，， ∴顶角为的等腰三角形不是“准等边三角形”； （2）∵是“准等边三角形”，，， ∴分两种情况： 当时，∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或； （3）的长为或． ∵，，， ∴，， ∵是“准等边三角形”， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 当时， 过点D作，垂足为E，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上所述： 的长为或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解问题． 【考点题型五 勾股定理与网格问题】 【例5】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长． 【详解】由题可得： ，， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式5-1】如图，方格纸中小正方形的边长为，，两点在格点上，要在图中格点上找到点，使得的面积为2，满足条件的点的个数为（   ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题考查的是勾股定理和网格问题，掌握用勾股定理解直角三角形和三线合一的性质是解决此题的关键． 如解图中的、D，连接，根据勾股定理即可求出和，然后根据三线合一即可求出，然后根据平行线之间的距离处处相等即可求出另外一个点，然后同理可找出、、、，从而得出结论． 【详解】解：设如下图所示中的两个格点为、D，连接 根据勾股定理可得 ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴此时点即为所求， 过点作的平行线，交如图所示的格点于，根据平行线之间的距离处处相等，此时也符合题意； 同理可得：， ∴点即为所求，过点作的平行线，交如图所示的格点于、，根据平行线之间的距离处处相等，此时、、也符合题意． 满足条件的点C共有6个， 故选：C． 【变式5-2】如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均在格点上． (1)线段的长等于 ； (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出点关于直线的对称点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】（）根据网格特征即勾股定理即可求解； （）先作，再作即可； 本题考查了作图，勾股定理，格点图形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由网格可知：， 故答案为：； （2）如图， 取格点，连接； 取格点，，连接与相交，得交点， ∴点即为所求： 【变式5-3】“在中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积，我们把上述求面积的方法叫做构图法．    （1）直接写出图1中的面积 ； （2）若中有两边的长分别为、，且的面积为，写出它的第三条边长 （试运用构图法在图2的每个小正方形的边长为的网格中画出符合题意的）． 【答案】 //3.5 【分析】本题考查勾股定理与无理数，借助网格计算三角形的面积： （1）利用分割法求三角形的面积即可； （2）根据题意，画出，求解即可． 【详解】解：（1）由图可知： 的面积； 故答案为：． （2）如图：    此时：， ，满足题意， ∴； 故答案为：． 【变式5-4】问题背景：在中，、、三边的长分别为求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示，这样不需求的高，借用网格就能计算出它的面积． (1)请将的面积直接填写在横线上______； (2)在图中画，使三边、、的长分别为、，，并判断的形状，说明理由． 【答案】(1)； (2)画图见解析，是直角三角形，见解析 【分析】（1）用割补法把三角形补成一个矩形，用矩形的面积减去个三角形的面积即可解答； （2）根据，即可找出线段、、，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 本题考查三角形的面积，勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 【详解】（1）． 故答案为：； （2）由，确定，，， 如图所示，即为所求： ，即， 是直角三角形． 【考点题型六 勾股定理与折叠问题】 【例6】如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（  ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理得出，然后求出，设，则，根据勾股定理得出，解方程即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 【变式6-1】如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，根据折叠，可知，，进一步可知，设，在中，根据勾股定理列方程，求解即可 【详解】解：根据折叠，可知 ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵ ∴ ∴ 在中，根据勾股定理，得 解得， 所以，的长为， 故选：C 【变式6-2】如图，有一张的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，得到折痕，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，明确翻折前后对应边相等是解题关键． 求解即可．设，由翻折易得，利用直角三角形，利用勾股定理列方程可求得长，即可求得，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得， 设，则， ∵， ∴在中， 根据勾股定理得：， ∵， ∴，解得，即：， ∴， ∴的面积为． 故答案为6． 【变式6-3】如图，已知在中，，点D是边上的任意一点，以为折痕翻折，使点B落在点E处，连接，当为直角三角形时，的长为 ．    【答案】12或6/6或12 【分析】本题考查了翻折变换——折叠问题、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论思想的应用是解题的关键．根据勾股定理可得，然后分两种情况讨论：若，若，分别画出图形，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 根据题意得：，，， 若，点E在上，如图，    ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得：， 即； 若，则，如图，      根据题意得： ， ∵， ∴， ∴； 综上所述，当为直角三角形时，的长为12或6, 故答案为：12或6． 【变式6-4】（1）在中，，，过点作直线的垂线，垂足为． （i）如图1，若，求线段的长； （ii）若，求线段的长． （2）如图2，在中，，过点作直线的垂线，交线段于点．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 【答案】（1）（i）12；（ii）14或4；（2）． 【分析】此题考查了勾股定理、折叠问题等知识． （1）（i）设，则，利用勾股定理得到，则，求出，则； （i）分为锐角和钝角两种情况进行解答即可； （2）连接交于点，则，过点作于，在中，，在中，，根据折叠得到，设，则，由勾股定理得到，求出，进一步由勾股定理进行解答即可． 【详解】解：（1）（i）设，则， ， ， 在中，， 在中，， ， ，， ， ， ， ； （i）在中，， 在中，， 当为锐角时，如图，， 当为钝角时，如图，； （2）如图2，连接交于点，则，过点作于， 在中， 在中， 垂直平分， ∴ ， ， ， 设，则 ， ， ， 【考点题型七 判断三边能否构成直角三角形】 【例7】在中，已知的对边分别是．下列条件不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，∴， ∴三角形是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故C不符合题意； ∵，三角形内角和为， ∴最大角为， ∴此时三角形不是直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 【变式7-1】下面三角形中是直角三角形的有（   ） ①三角形三内角之比为； ②三角形三内角之比为； ③三角形三边之比为；   ④三角形三边之比为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，解题的关键是明确只要满足勾股定理的逆定理或者有一个角为直角都可证明是直角三角形．分别讨论四个选项是否满足勾股定理的逆定理或者有一个角是直角即可，若满足则是直角三角形，否则不是． 【详解】①设三个内角为，则，．此时三个内角分别为，即有一个角是直角，所以该三角形是直角三角形； ②设三个内角为，则，．此时三个内角分别为，没有角为直角，所以该三角形不是直角三角形； ③设该三角形的三边为，则，不能构成三角形； ④设该三角形的三边为，则，满足勾股定理逆定理，所以是直角三角形． 则是直角三角形的有①④， 故选：B． 【变式7-2】如图，在中，边上的中线，的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理及逆定理；延长到E使，连接，由可判定，由全等三角形的性质得，，勾股定理的逆定理得，再由勾股定理即可求解；掌握判定方法及性质，能作出辅助线，用“倍长中线法”是解题的关键． 【详解】解：延长到E使，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ； ∴ 故答案为：． 【变式7-3】如图，已知中，，，，是的中点，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线的性质，关键是证明是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而根据直角三角形的性质得出的长． 【详解】解：在中，，，， ， ， 是直角三角形， 是的中点， ． 故答案为：． 【变式7-4】如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为，若，，，． (1)试说明为直角； (2)记的面积为，的面积为，则的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)66 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的面积． （1）根据勾股定理求出，进而推出，据此即可得解； （2）根据题意推出，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ，， ∴， ，，， ， 是直角三角形，且为直角； （2）解：，， ，， ， ，， ， 故答案为：66． 【考点题型八 利用勾股定理的逆定理求解】 【例8】如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理及其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．本题难点是添加辅助线构造直角三角形． 根据线段垂直平分线的性质得出，的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，， ∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 由勾股定理可得：， 故选：A． 【变式8-1】如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出是直角三角形是解此题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形的面积公式分别求出和的面积，即可得出答案． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， 四边形的面积 ． 故选：A． 【变式8-2】如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则的度数为 ． 【答案】/150度 【分析】本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．由等边三角形的性质得，根据全等三角形的性质得，，，，证明是等边三角形，得，证明，得，可得结论．掌握等边三角形的判定和性质及勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，，，， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 【变式8-2】如图，在中，和的垂直平分线和分别交于点D、E，若，，，则的面积等于 ． 【答案】18 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理，掌握线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 连接、，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接、，如图， 是线段的垂直平分线，， 是线段的垂直平分线，， ， ∴， ∴， ， 故答案为：18． 【变式8-4】如图，在四边形中，， (1)证明：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形． （1）根据，，，易得，可证是直角三角形，； （2）首先把求四边形的面积分割为求和的面积，然后利用三角形的面积公式分别求出这两个三角形的面积，最后将两个三角形的面积相加就可以求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：，，， ，， ， 是直角三角形，且； （2）解：解：，，， ， 四边形的面积的面积的面积 ． 【考点题型九 勾股定理逆定理的实际应用】 【例9】小数同学向东走5米，沿另一个方向又走了12米，再沿着第三个方向走了13米回到原地，那么小数同学向东走5米后所走的方向是（    ） A．向北 B．向南 C．向西 D．向南或向北 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理应用，作出图形是解题的关键．根据题意画出图形，利用勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】解：如图，， ， ， 故小数同学向东走5米后所走的方向是向南或向北， 故选D． 【变式9-1】甲，乙两艘客轮同时从港口出发，甲客轮沿北偏东的方向航行到达点处，乙客轮在同一时刻到达距离港口的点处，若，两点间的距离为，则乙客轮的航行方向可能是（   ） A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏西 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，根据题意可得，，再利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，从而求出∠，然后分两种情况，画出图形，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得，，， ，， ， ， 分两种情况： 如图1， ， 乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东， 如图2， ， 乙客轮离开港口时航行的方向是：北偏西 ， 综上所述：乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东或北偏西， 故选：A． 【变式9-2】海面上有两个疑似漂浮目标．舰艇以海里/时的速度离开港口，向北偏西方向航行；同时，舰艇在同地以海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口小时后两船相距海里，则舰艇的航行方向是 ． 【答案】北偏东 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用和方位角的知识，根据题意判断出是直角三角形是解决问题的关键．根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，求出的度数即可． 【详解】解：如图， 由题意得，（海里），（海里） 又∵海里， ∵，即， ∴， ∵， ∴， 则另一艘舰艇的航行方向是北偏东， 故答案为：北偏东． 【变式9-3】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中与都应为直角，工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．    （1）这个零件 符合要求吗？（填“是”或“否”） （2）这个四边形的面积为 ． 【答案】 是 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理可求，是直角三角形，且，然后作答即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，是直角三角形，且， ∴这个零件符合要求， 故答案为：是； （2）解：由题意知， 故答案为：． 【变式9-4】如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一条直线上)， 并修建一条路， 测得千米，千米，千米，    (1)问是不是村庄C到河边最近的一条路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是村庄C到河边最近的一条路，理由见解析 (2)原来的路线的长为千米 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形． （1）根据勾股定理逆定理，得出，结合垂线段最短，即可解答； （2）设千米，则千米，根据勾股定理可得，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵千米，千米，千米， ∴， ∴ ，即， ∴是村庄C到河边最近的一条路； （2）解：设千米， ∵千米， ∴千米， ∵， ∴根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴原来的路线的长为千米． 【考点题型十 勾股定理的简单应用】 【例10】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵大风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部四尺远，问竹子折断处离地有多高？（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】A 【分析】 此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 竹子折断后刚好构成直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，根据勾股定理得： ， 解得： 所以，竹子折断处离地有尺． 故选：A． 【变式10-1】如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， 因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2， 所以AC2=DC2+AD2=20， 所以AC=， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键． 【变式10-2】荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6m，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为 m． 【答案】10 【分析】先根据题意得出，，在设，得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知：，，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，读懂题意并熟练运用勾股定理是解题的关键． 【变式10-3】某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作出辅助线、构造直角三角形、利用勾股定理求得线段的长度是解题的关键． 如图：过点D作于点E，构造，再利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图：过点D作于点E，则米， ∵米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得到：（米）， 故答案为：2． 【变式10-4】如图，一个梯子长25米，顶端A靠在墙上（墙与地面垂直），这时梯子下端B与墙角C距离为7米． (1)求梯子顶端A与地面的距离的长； (2)若梯子的顶端A下滑到E，使，求梯子的下端B滑动的距离的长． 【答案】(1)梯子顶端A与地面的距离的长为24米 (2)梯子的下端B滑动的距离的长为8米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理得出的长； （2）利用勾股定理得出的长进而得出答案． 【详解】（1）由勾股定理可得：24（米）， 答：梯子顶端A与地面的距离的长为24米； （2）∵梯子的顶端A下滑到E，使， ∴（米）， ∴15（米）， 则（米）， 答：梯子的下端B滑动的距离的长为8米． 【考点题型十一 判断汽车是否超速】 【例11】M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（    ）小时． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题． 【详解】解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km 在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°， ∴ME=PM=120km， ∴EF=EH==90（km）， ∴FH=180km， ∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）． 故选：A 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式11-1】如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路上处距点米．如果火车行驶时，周围米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（  ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】B 【分析】首先过点A作AD⊥MN，求出最短距离AD的长度，然后在MN上去点E、F，是AE=AF=200，求出DE的长度，根据DF=DE得出EF的长度，然后计算出时间. 【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米， ∵∠QON=30°，OA=240米， ∴AC=120米， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米， ∵AB=200米，AC=120米， ∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米， ∵72千米/小时=20米/秒， ∴影响时间应是：320÷20=16秒． 故选B． 【变式11-2】如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得：， 故小汽车的速度为s． 故答案为：． 【变式11-3】如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒． 【答案】 80 12 【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可． 【详解】解：作于， ，m， m， 即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m． 如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，m， m， 重型运输卡车的速度为36千米时米秒， 重型运输卡车经过的时间（秒， 故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒． 故答案为：80，12． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式11-4】“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米．    (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)观测点C到公路的距离为米 (2)此车没有超速，理由见解析 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． （1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案． 【详解】（1）过点C作于H， 在中， ， ． 米 米 米 即观测点C到公路的距离为米．    （2）米， 米 米 ∴车速为米/秒 千米/小时米秒， ∴此车没有超速． 【考点题型十二 选址使两地距离相等】 【例12】23．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在和中，，，得出，设为，则，将代入关系式即可求得． 【详解】解：∵C、D两村到蔬菜批发厂E距离相等， ∴， 在和中，，， ∴． 设为，则， 将，代入关系式为， 解得， ∴蔬菜批发厂E应建在距A点处， 故选：D． 【变式12-1】如图，高速公路上有,两点相距，,为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得,两村庄到站的距离相等，则的长是　　．    A．4 B．5 C．6 D． 【答案】A 【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设km，则， 在中， ， 在中， ， 由题意可知：， ∴， 解得：． 所以，=． 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据题意构造方程，是本题的关键． 【变式12-2】如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为 ． 【答案】km 【分析】首先在Rt△AMN中，求出AN，设PN=PM=x，在Rt△PAM中，利用勾股定理列出方程即可解决问题． 【详解】如图， 连接MP，在Rt△MAN中，MA=3，MN=4， 由勾股定理得， 设NP=xkm，则PM=xkm， ∴PA=（ -x）km， 在Rt△MAP中，由勾股定理得 ， 解得． 故答案为：km 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题． 【变式12-3】为了解决 A、B 两个村的村民饮水难，计划在笔直的河边 修建一个水泵站，为节约经费，该水泵站与两村的水管线总长力求做到最短，已知 A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km，则水管线最短要 km(结果保留根号）． 【答案】 【分析】作点A关于直线的对称点A′，连接BA′与直线交于点P，此时PA+PB最小，先在Rt△ABM中利用勾股定理求出线段AM的长，再在Rt△A′BN中利用勾股定理求出线段A′B即可． 【详解】如图， 作点A关于直线的对称点A′，连接BA′与直线交于点P，此时PA+PB最小． 作A′N∥，AM∥，BN⊥与AM、A′N分别交于点M、N， ∵A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km， ∴Rt△ABM中，BM=1km，AB=4km， ∴AM=(km)， 在Rt△A′BN中，∵A′N= AM=(km)，BN=1+2=3(km)， ∴A′B=(km)， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、勾股定理的应用等知识，利用对称找到点P的位置是解题的关键，属于中考常考题型． 【变式12-4】如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 【答案】(1)475米 (2)1000米 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，确定出Q、P的位置是本题的关键． （1）设，则，根据利用勾股定理即可得出结果． （2）作A关于l的对称点，连接，交l于P，由对称性得的最小值为线段的长，作于点E，在中，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1， 根据题意得：， 设，则， ， 解得， 即的长为475米； （2）如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P． 则， ， 的最小值为， 如图，作于点E， 在中， 米，米， 米， 的最小值为1000米． 【考点题型十三 求最短路径问题】 【例13】如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题的是平面展开−最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图所示： ∵长方体的底面边长分别为和，高为． ∴，， ∴． ∴蚂蚁爬行的最短路径长为； 故选：B． 【变式13-1】如图所示，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆柱的计算、侧面展开——路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：圆柱体的展开图如下图所示：用一根棉线从顺着圆柱侧面绕圈到的运动最短路线是：， 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成个小长方形，从沿着个长方形的对角线运动到的路线最短． 圆柱底面半径为， 长方形的宽即圆柱体的底面周长为：， 又圆柱高为， 小长方形的一条边长是， 根据勾股定理求得， ， 故选：B． 【变式13-2】在一个长，宽的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽，它的底面边长为的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是 ．    【答案】17 【分析】本题主要考查了立体图形的展开图和勾股定理．将正三棱柱的木块展开看作平面是解题的关键． 将木块展开看作平面后，由两点之间线段最短知蚂蚁的最短距离为线段，由勾股定理计算即可． 【详解】将长方形纸片与木块展开后如图所示， 由两点之间线段最短可知蚂蚁的最短距离为线段， 此时， ∵，， ∴， ∴蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是． 故答案为：17．    【变式13-3】如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【答案】10 【分析】将圆柱侧面展开再进行点标注，此时长方形的长为圆柱底面周长的一半，如图，作关于的对称点，连接，过点作于点，则即为最短距离，的长度即为所求，接下来结合已知数据，根据勾股定理相信你可以求出的长了． 本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】解：如图：作关于的对称点，连接，过点作于点，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为：10． 【变式13-4】数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【思想应用】 （1）已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小军想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含a的代数式表示________，用含b的代数式表示________． ②据此写出的最小值：________． 【类比应用】 （2）根据上述方法，求代数式的最小值． 【答案】（1）①，；②；（2） 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，求解特定的代数式的最小值，矩形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）①直接利用勾股定理列式表示即可；②由，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，证明四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可； （2）如图，设，，，，则，表示，，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，证明四边形为矩形，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：①在中， ， ， 在中， ， ， ②，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，如图， ∴四边形ABDH为矩形， ∴， 在中， ， ， ∴的最小值为， 即的最小值为． 故答案为：①，；② （2）如图，设，，，，则， 在中，， 在中，， ， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交CA的延长线于H，， 如图， ∴四边形ABDH为矩形， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 即的最小值为． 【考点题型十四 勾股定理中的最值问题】 【例14】如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图，取中点，连接，由题意知，，证明，则，，可知当三点共线时，最小，最小为，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，取中点，连接，   ∵，，点D是的中点，∴， ∵，，，∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，最小为， 由勾股定理得，， 故选：C． 【变式14-1】如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=8．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（   ） A．8 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，根据轴对称的性质可得PQ＝P1Q，PR＝P2R，从而得到△PQR的周长＝P1P2并且此时有最小值，连接P1O、P2O，根据轴对称的性质和已知条件可得△P1OP2为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，则PQ＝P1Q，PR＝P2R，所以△PQR的周长＝PQ+QR+PR＝P1Q+QR+P2R＝P1P2， 由两点之间线段最短可得：此时△PQR周长最小， 连接P1O、P2O，则∠AOP＝∠AOP1，OP1＝OP，∠BOP＝∠BOP2，OP2＝OP， 所以OP1＝OP2＝OP＝8，∠P1OP2＝2∠AOB＝2×45°＝90°， 所以△P1OP2为等腰直角三角形，所以P1P2＝OP1＝8， 即△PQR最小周长是8． 故选：B． 【点睛】本题考查了由轴对称确定最短路线问题、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，难点在于作辅助线得到与△PQR周长相等的线段． 【变式14-2】某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：      （1）几何应用：如图2，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）几何拓展：如图3，中，，若在上取一点，则的值最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题，熟知相关性质定理是正确解决本题的关键. （1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，根据勾股定理求的长即可求解； （2）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，证明为等边三角形，进而即可求解． 【详解】解：（1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，如图，    因为点E是的中点，由对称性可得 ∴ 的最小值的值为： 故答案为：． （2）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，如图，    ∴ ∴ ∴为等边三角形， ，， 垂直平分， 同理， ， ， ，即， ，， ∴， ∴的最小值为 故答案为：． 【变式14-3】数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用勾股定理是解题的关键．仿照例题，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，问题转化为求的最小值，利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：依题意如图，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长， 故问题转化为求的最小值，连接，则的最小值为的长， ∴，，，，，∴， ∴， 代数式的最小值是5． 故答案为：5． 【变式14-4】如图，在中，，，D是边上一点，连接，以为直角边向右作等腰直角三角形，其中．    (1)连接，求证：． (2)当为何值时，的周长最小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，进而证明，即可根据证明； （2）首先根据题意得到是等腰直角三角形，然后得到当的长度最小时，的周长最小，进而得到当时，的长度最小，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ， ， ， 在与中 ； ； （2）∵ ∴， ∴，即 ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴的周长 ∴当的长度最小时，的周长最小 ∴当时，的长度最小 ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴，解得． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 【考点题型十五 勾股定理的动点问题】 【例15】如图，在中，是射线上的动点，，则当是直角三角形时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定及性质，含直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 【详解】解：当时， ； 在中，， 当， ，， ，， 为等边三角形，， ，； 情况二： ，， ，为等边三角形， ； 故选C． 【变式15-1】如图，在边上有一点，，，，分别是边和上的动点，则的最小值是（　　） A． B．6 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 作点关于直线的对称点，过作于交于，则此时，的值最小，且最小值为的长度，连接，则，，根据勾股定理即可得到结论．． 【详解】解：作点关于直线的对称点，过作于交于， 则此时，的值最小，且最小值为的长度， 连接， 则，， ， ， ， ， ， 即的最小值是， 故选：C． 【变式15-2】如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为 【答案】，或4.8 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理， 30度角所对的直角边是斜边的一半，分三种情况讨论，当时，则，，当时，，再分别列出方程求解即可 【详解】解：①如图（1），当时，则，， ∵∴解得：； ②如图（2），当时， ∵，∴，∴ 若则，解得， ③当时， ∵ ∴， ∴， 若时，则； 故答案为 ，或4.8 【变式15-3】如图，中，，，，平分，动点从点出发，以每秒的速度沿边匀速运动，连接，当是以为腰的等腰三角形时，点的运动时间为 秒． 【答案】或4或 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的定义，全等三角形的性质与判定；分三种情形：①当时，点在上，②当时，分别构建方程求解即可； 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵中，，，，∴， 设，， ∵平分， ∴，则， 在中， ∴ ∴，则 在中， 解得： ∴，则 ①当时， 动点从点出发，以每秒的速度沿边匀速运动， ∴点的运动时间为秒， ②当时，当在上时， ∵ ∴ ∴点的运动时间为秒， 当在上时， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴点的运动时间为秒 综上所述，点的运动时间或4或 故答案为：或4或． 【变式15-4】如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度；点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度．它们同时出发，设出发的时间为秒．根据以上信息，解答下列问题． (1)求的长． (2)当为何值时，点在边的垂直平分线上． (3)当点在边上运动时，是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在．当为秒或秒或秒时，为等腰三角形 【分析】本题考查的是中垂线的性质、勾股定理的运用、三角形面积公式的运用及等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）由勾股定理即可求解； （2）点在边的垂直平分线上，则，，在中，由即可求解； （3）分、、，利用等腰三角形的性质和面积公式即可求解． 【详解】（1）解：，，， ． 答：． （2）解：∵点在边的垂直平分线上， ，， 在中，，即， 解得． （3） 解：存在．当为秒或秒或秒时，为等腰三角形． 分三种情况进行讨论： ①如图1，当时，则． ， ，， ， ， ， ， ； ②如图2，当时，，； ③如图3，当时，过点B作于点E， ， ， ， ， ， ． 综上所述，当为秒或秒或秒时，为等腰三角形． 【考点题型十六 勾股定理的综合】 【例16】如图，在等边中，点在线段上，，，则以线段，，的长为边组成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点C作于点D，结合等边三角形的性质和勾股定理可求出的长．画出以线段，，的长为边组成的三角形为，且令，，，过点作于点H，设，则．根据勾股定理可求出，从而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵，， ∴． ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 如图，令，，，过点作于点H， 设，则． ∵，， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 故选A． 【变式16-1】如图，在中，．分别为上的动点，且，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形的三边关系、勾股定理，过点B作，且，作于点，交的延长线于点，证得，推出，可得，求出即可求解，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：过点B作，且，作于点，交的延长线于点，如图： , , 在和中， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 设， ， ， 解得：， ，， ， ， ， 的最小值， 故选B． 【变式16-2】在中，，，，以为边在外作等腰直角，连接，则长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．分三种情况画出图形，由全等三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】解：如图1，， 延长，过点作于点， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 根据勾股定理得：； 如图2，，过点作，垂足为点． ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 根据勾股定理得：； 如图3，，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点． ， ， ， ， ，， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ． 综合以上可得的长为 或或． 故答案为：或或． 【变式16-3】如图，在中，D为边上一点，连接，将△ABD沿折叠至所在平面内，得到，与交于点F，连接，若，，，则的长为 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，得到，求得过B作交的延长线于H，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：将沿折叠至所在平面内，得到，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过B作交的延长线于H， ， ， 设，则， ， ， ， 解得（负值舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考査了翻折变换(折叠问题)全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式16-4】已知中，． (1)如图1，在中，若，且，求证：； (2)如图2，在中，若，且垂直平分，，，求的长； (3)如图3，在中，，连接，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 (3) 【分析】（1）先证，再证即可； （2）先证是等边三角形，推出，，同（1）可证，可证，，最后用勾股定理解即可； （3）作且，连接，，先证是直角三角形，得出，同（1）可证，得出． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：垂直平分， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 同（1）可证， ，， ， 在中，，， ； （3）解：如图，作，且，连接，， ∴，，， ， ， ， ， ． ， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， 在和中，， ，， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$