精品解析：八年级下学期期中检测卷（考试范围：第1章--第3章）-2023-2024学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

2023－2024学年八年级（下）期中检测卷 【北师大版】 考试范围：第1章－－第3章，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 先移项，再把x的系数化为1，再在数轴上表示出来即可． 【详解】移项，得：， 系数化为1，得：， 将不等式解集表示在数轴上如下： 故选：A． 3. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变；由不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，，故原选项错误，不符合题意； B、，，故原选项错误，不符合题意； C、，，故原选项正确，符合题意； D、，，故原选项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，直线经过点和； 直线过点A，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式，找到直线在轴下方且在直线上方的部分对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象可知：的解集为； 故选A． 5. 如图，在中，，平分，平分，，相交于点F，若，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了角平分线定义，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，先求出，进而利用勾股定理即可得出，进而求出即可． 【详解】解：如图， 过点作于， ∵，是分别是和的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得， ， 故选：A． 6. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. . 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，又由已知及即可得到的度数，此题考查了图形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键. 【详解】解：由旋转的性质可得，， 又∵， ∴， 故选A 7. 在平直角坐标系中，点与点关于原点对称，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，熟记坐标特点是解题的关键，据此即可解题． 【详解】解：点与点关于原点对称， 点的坐标是， 故选：D． 8. 若三角形的三边长分别是下列各组数，则能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. ，3，4 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理，找出两短边和最长边，依据“两小边的平方和是否等于最长边的平方”进行判断． 【详解】解：A选项：，不能构成直角三角形，故选项错误； B选项：，不能构成直角三角形，故选项错误； C选项：，不能构成直角三角形，故选项错误； D选项：能构成直角三角形，故选项正确． 故选D． 9. 若关于的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的已知数的值． 把看作已知数表示出方程组的解，代入已知不等式求出的范围即可． 【详解】解：方程组， 解得：， 解得：． 故选：A． 10. 如图，四边形中，沿着折叠，则点恰好落在的点上处，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作于，如图所示，由折叠性质及等腰三角形性质求出，再由等腰直角三角形的判定与性质得到，在中，由勾股定理求出，数形结合，根据，代值求解即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 将沿着折叠，点恰好落在的点上处， 由折叠性质得到，， ， ， ， 由等腰三角形三线合一可得是的角平分线、是线段的中垂线， ，， ， ， 在中，，则，即是等腰直角三角形， ， 在中，，，则由勾股定理可得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查求线段长，涉及折叠性质、等腰三角形性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠性质及等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数必须大于或等于零是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零列出不等式求解即可． 【详解】解：代数式有意义， ，解得． 故答案为：． 12. 如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着方向平移线段的距离，就得到此图形，阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查平移的性质及图形的面积，理解题意，掌握平移的性质是解题关键．根据平移的性质可判断，，求出，根据平移得出，说明，即可得出答案． 【详解】解：根据平移可知，，， ∴， ∵原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着方向平移线段的距离，就得到此图形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，中，，，以点为旋转中心顺时针旋转后得到，且点在边上，则旋转角的度数为________________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的运用，掌握旋转的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理可得的度数，根据旋转的性质，可得是等腰三角形，由此即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 绕点旋转得到， ，， ， 在中，， 旋转角的度数为， 故答案为：． 14. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．根据同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解求解即可． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，根据等边三角形的性质求出，再根据等边三角形的性质得出，从而求出即可． 【详解】解：∵为等边三角形，为中线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 16. 如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据题意作P作交于点F，证是等边三角形，再证明，利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】过P作交于点F． ∵是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17. 如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC． 【答案】 证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴∠OBC=∠OCB， ∴BO=CO． 【解析】 【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以∠ACB=∠DBC，故OB=OC． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先把每个不等式的解集解出来，再取它们的公共解集，即可作答． 【详解】解：∵ ∴由，得，解得 ∴由，得，解得 ∴原不等式组的解集为 19. 如图，是的边上一点，， 交于点，． （1）求证：≌； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：， ， 在 和中， ； （2）1． 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据（1）可得，即由，根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）得 ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 20. 若a、b、c是的三边，且a、b满足关系式，c是不等式组的最大整数解，求的周长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，一元一次不等式组的整数解，掌握不等式组的解法是解题的关键．根据非负数的性质得到、的值；再由不等式组的解集求出的值，进而求出三角形的周长． 【详解】解：∵ ，， ，． 由不等式组的解得， 是不等式组的最大整数解， ． 的周长为． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21. 如图，在中，，D是边上一点，，过点D作于E，过点C作于F． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，勾股定理等等： （1）先证明得到，再由等边对等角推出，进而证明，即可证明． （2）设，则．在中，根据勾股定理，得，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设． ∵， ∴． 又∵， ∴在中，根据勾股定理，得， ， ∴， ． 22. 某体育用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳根，乙种跳绳5根，需要元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要元． （1）求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？ （2）若该体育用品店刚好用了元购进这两种跳绳，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于根，那么该文具店共有哪几种购买方案？ （3）若该体育用品店销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元 （2）有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案②购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案③购进甲种跳绳根，乙种跳绳根 （3）购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，获利最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，然后根据题意建立二元一次方程组求出其解即可； （2）设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳个，然后根据题意建立不等式组求出其解即可； （3）根据（2）的结论，结合题意，分别求得利润，比较即可求解． 【小问1详解】 解：设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，由题意得： ，解得：， 答：购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元． 【小问2详解】 解：设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳个，根据题意得， 解得：， ∵为正整数， ∴， 当时，， 当时，，不是整数，不符合题意，舍去， 当时，， 当时，，不是整数，不符合题意，舍去， 当时，， 答：该商店有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案②购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案③购进甲种跳绳根，乙种跳绳根； 【小问3详解】 解：∵销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元， 由（2）可知，方案①：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为； 方案②：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为； 方案③：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为； ∵， ∴方案③：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，获利最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键． 23. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． （1）画出关于轴对称的； （2）将绕点逆时针旋转得到，画出； （3）若点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】（1）解：即为所求； （2）解：即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换、旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）由图可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示： 点的坐标是， 故答案为：． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24. [问题提出]∶ 如何解不等式？ 预备知识1： 同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： 当时， 函数的图象在图象上方， 由此可知∶ 不等式的解集为 ． 预备知识2：函数 称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号． 比如∶化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论∶ (1) 当时， (2) 当时，； (3) 当时，，所以就可以化简为 预备知识3：函数 (b为常数) 称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④， 直线与直线相交于点，则关于x的不等式． 的解集是 ． [问题解决]： 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式 ． 在平面直角坐标系内作出函数的图象，如图⑤． 在同一直角坐标系内再作出直线． 的图象，如图⑥，可以发现函数与的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是 ， ； 通过观察图象，便可得到不等式的解集． 这个不等式的解集为 ． 【答案】[问题提出]；[知识迁移]；[问题解决]，；或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键． [问题提出] 观察图象即可得出答案； [知识迁移] 由点在上，可求出m的值，观察图象即可； [问题解决] 由，求出与的两个交点坐标，画出图象即可解决问题． 【详解】解：[问题提出]，如图， ∵当时，函数的图象在的图象上方， ∴不等的解集为：， 故答案为：； [知识迁移]，如图， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵当时，直线的图象在的图象的上方， ∴不等式， 即的解集为：， 故答案为：； [问题解决]，如图， 设， 根据题意得： 由函数图象得：与有交点， 则， 解得：， 与有交点， 则 解得： ∴与的两个交点坐标分别为： ，； 故答案为：，； 由函数图象可知，当时，的图象在的上方， 当时，的图象在的上方， 故不等式的解集为：或， 故答案为：或． 25. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图1，在中，，点D是斜边上的一点，连接，试说明之间的数量关系，并说明理由． 有两名同学给出如下的证明思路： 如图2，小唐同学思考的时候，想到通过旋转变换将三条边转移到同一个三角形中，再根据三角形的特点确定三条边的数量关系如图2．过点C作，使，连接把问题解决； 如图3，小孟同学思考的时候，想到等腰三角形的“三线合一”的性质，作底边的垂线构造直角三角形．然后将三边转移到这个三角形解决问题，如图3，过点C作，交于点E把问题解决； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分折】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的关系去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：如图4，四边形中，；连接，猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 【学以致用】 （3）如图5，四边形中，，求的长． 【答案】（1）用小唐同学方法解答如下： ， ∵， ， 是等腰直角三角形， 在和中 ， ∴是直角三角形， （2），理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转到，连接、， 是等边三角形， 在和中： ， 在中， （3） 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了三角形全等及性质、勾股定理在旋转中典型模型“手拉手”的综合应用，掌中典型模型的解决方法是解题的关键． （1）由题意得出是等腰直角三角形，证明，由全等三角形的性质得出，由全等三角形的性质得出结论； （2）由（1）的证明方法可知：将绕点顺时针旋转，连接、，证明，再证为直角三角形，用勾股定理即可； （3）由（1）的证明方法可知：将绕点顺时针旋转，连接、，延长交于，再证明，用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）将绕点顺时针旋转到，连接，延长交于F， ∴是等腰直角三角形， ， 在和中 设则， 在中，， ①， 在中， ②， 由① ②解得，， 在中，， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023－2024学年八年级（下）期中检测卷 【北师大版】 考试范围：第1章－－第3章，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线经过点和； 直线过点A，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，平分，平分，，相交于点F，若，，则（ ） A. B. 2 C. D. 6. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. . 7. 在平直角坐标系中，点与点关于原点对称，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 若三角形的三边长分别是下列各组数，则能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. ，3，4 D. 3，4，5 9. 若关于的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，四边形中，沿着折叠，则点恰好落在的点上处，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是_____． 12. 如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着方向平移线段的距离，就得到此图形，阴影部分面积为______． 13. 如图，中，，，以点为旋转中心顺时针旋转后得到，且点在边上，则旋转角的度数为________________°． 14. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为______． 15. 如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则_______． 16. 如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为____． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17. 如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC． 18. 解不等式组：． 19. 如图，是的边上一点，， 交于点，． （1）求证：≌； （2）若，，求的长． 20. 若a、b、c是的三边，且a、b满足关系式，c是不等式组的最大整数解，求的周长． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21. 如图，在中，，D是边上一点，，过点D作于E，过点C作于F． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 22. 某体育用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳根，乙种跳绳5根，需要元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要元． （1）求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？ （2）若该体育用品店刚好用了元购进这两种跳绳，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于根，那么该文具店共有哪几种购买方案？ （3）若该体育用品店销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 23. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． （1）画出关于轴对称的； （2）将绕点逆时针旋转得到，画出； （3）若点的坐标是，则点的坐标是 ． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24. [问题提出]∶ 如何解不等式？ 预备知识1： 同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： 当时， 函数的图象在图象上方， 由此可知∶ 不等式的解集为 ． 预备知识2：函数 称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号． 比如∶化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论∶ (1) 当时， (2) 当时，； (3) 当时，，所以就可以化简为 预备知识3：函数 (b为常数) 称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④， 直线与直线相交于点，则关于x的不等式． 的解集是 ． [问题解决]： 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式 ． 在平面直角坐标系内作出函数的图象，如图⑤． 在同一直角坐标系内再作出直线． 的图象，如图⑥，可以发现函数与的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是 ， ； 通过观察图象，便可得到不等式的解集． 这个不等式的解集为 ． 25. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图1，在中，，点D是斜边上的一点，连接，试说明之间的数量关系，并说明理由． 有两名同学给出如下的证明思路： 如图2，小唐同学思考的时候，想到通过旋转变换将三条边转移到同一个三角形中，再根据三角形的特点确定三条边的数量关系如图2．过点C作，使，连接把问题解决； 如图3，小孟同学思考的时候，想到等腰三角形的“三线合一”的性质，作底边的垂线构造直角三角形．然后将三边转移到这个三角形解决问题，如图3，过点C作，交于点E把问题解决； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分折】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的关系去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：如图4，四边形中，；连接，猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 【学以致用】 （3）如图5，四边形中，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $