精品解析：沪科版2023-2024学年七年级数学下册期中复习试题

2023-2024学年沪科版七年级数学下册期中复习试题 一、选择题（本大题共8小题，共24分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 在下列给出的四个实数中，最小的实数是（ ） A. 0 B. C. D. 2 2. 有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 计算 的结果是（ ） A. a2 B. -a2 C. a4 D. -a4 4. 根据不等式性质，下列变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 5. 下列等式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 所有有理数都可以用数轴上的点表示 B. 数轴上的原点表示0 C. 在数轴上表示−3的点与表示+1的点的距离是2个单位长度 D. 数轴上表示−4的点在原点的左边且距离原点4个单位长度 10. 下列求代数式的值的计算，正确的是（ ） A. 当时，代数式 B. 当时，代数式 C. 当时，代数式 D. 当时，代数式 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 给出下列说法：①有理数都是有限小数；②有限小数都是有理数；③无理数都是无限小数；④无限小数都是无理数．其中，正确的是__________填序号． 12. 若，则_____， _____． 13. 任意写出两个大于﹣2的无理数_____． 14. 如果一个正方形的面积为2，那么它的边长是______． 15. 若不等式组无解，则m的取值范围是______． 16. 商店为了对某种商品促销，将定价为3元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．现有27元钱，最多可以购买该商品的件数是________． 三、解答题 17. 计算：． 18. 化简：. 19. 解下列不等式（组）． （1）； （2）． 20. 已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为-2．求的平方根． 21. 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，如下所示： （1）求所捂住的多项式； （2）若，求所捂住多项式的值． 22. 先化简，再求值：，其中 23. 图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图拼成一个正方形． （1）直接写出图中的阴影部分面积； （2）观察图，请直接写出三个代数式之间等量关系； （3）根据（2）中的等量关系：若，则的值为___________； （4）已知，求的值． 24. 阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值． 解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得： 2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014 将下式减去上式得2S﹣S=22014﹣1 即S=22014﹣1 即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+…+210 （2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）． 25. 问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式． 将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个长方形和两个正方形，如图1，这个图形的面积可以表示成：或 ∴ 这就验证了两数和完全平方公式， 问题提出： 如何利用图形几何意义的方法推证：？ 如图2，A表示1个的正方形，即：，B表示1个的正方形，C与D恰好可以拼成1个的正方形，因此：B，C，D就可以表示2个的正方形，即：，而A，B，C，D恰好可以拼成一个的大正方形， 由此可得：． 图2 尝试解决： 请你类比上述推导过程，探究：_____________；（直接写出结论，不必写出解题过程） 类比归纳： 请用上面的表示几何图形面积的方法探究：_____________．（直接写出结论，不必写出解题过程） 拓展延伸： （1）图3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大、小正方体一共有多少个？为了正确数出大、小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是1，2，3和4的正方体的个数，再求总和．由图可知，棱长是1的正方体有：个，棱长是2的正方体有：个，棱长是3的正方体有：个，棱长是4的正方体有：个，所以图3中大、小正方体一共有_________个． （2）图4是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，则图中大、小正方体一共有__________个． 逆向应用： 如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出的大、小正方体一共有225个，那么棱长为1的小正方体一共有_________个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年沪科版七年级数学下册期中复习试题 一、选择题（本大题共8小题，共24分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 在下列给出的四个实数中，最小的实数是（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据实数的大小比较法则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴最小的实数是． 故选：C 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 2. 有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数、分数的概念判断． 【详解】解：无限不循环小数是无理数， 错误． 是有理数， 错误． 是有理数， 错误． 也是无理数，不含根号， 错误． 是一个无理数，不是分数， 错误． 故选：． 【点睛】本题考查实数的概念，掌握无理数是无限不循环小数是求解本题的关键． 3. 计算 的结果是（ ） A. a2 B. -a2 C. a4 D. -a4 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故选D． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 4. 根据不等式性质，下列变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐一判断，可得答案． 【详解】：A．根据不等式的两边同乘，不等号的方向改变，由，得，故此选项错误； B．根据不等式的两边同除，不等号的方向改变，由，得，故此选项正确； C．根据不等式的两边同除，不等号的方向改变，由，得，故此选项错误； D．根据不等式的两边同除，不等号的方向改变，由，得，故此选项错误； 故选：B． 5. 下列等式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、属于整式的乘法，不是因式分解； B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解； C、符合因式分解的定义； D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解； 故选C． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别． 6. 下列不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式：，解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；公式中的和可以是单项式，也可以是多项式．据此依次对各选项逐一分析即可作出判断． 【详解】解：A．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B．，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意； C．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； D．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意． 故选：B． 7. 如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】长方形ABCD的面积的两种表示方法可得， 故选D. 8. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数估算，根据平方根定义，得到即可得到答案，熟练掌握无理数估算方法是解决问题的关键． 【详解】解：， ，则，即， 故选：B． 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B. 数轴上的原点表示0 C. 在数轴上表示−3的点与表示+1的点的距离是2个单位长度 D. 数轴上表示−4的点在原点的左边且距离原点4个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴与实数的对应关系，数轴的定义，数轴上两点之间的距离公式及数轴上点的表示方法作答． 【详解】A. 数轴上的数均为实数，因此所有的有理数均可在数轴上表示出来，此项正确； B. 根据数轴的定义，数轴上的原点所代表的数值为0，此项正确； C. 数轴上表示−3的点在原点左边距离原点3个单位长度；表示+1的点在原点右边距离原点1个单位长度，所以这两个点的距离是4个单位长度，此项错误； D. 原点左边的数为负数，又距离原点4个单位长度，所以该数为−4，此项正确. 故选C. 【点睛】此题考查实数与数轴，解题关键在于掌握其定义. 10. 下列求代数式的值的计算，正确的是（ ） A. 当时，代数式 B. 当时，代数式 C. 当时，代数式 D. 当时，代数式 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，直接把所给字母的值代入所求代数式中求解即可． 【详解】解：A、当时，代数式，原式计算正确，符合题意； B、当时，代数式，原式计算错误，不符合题意； C、当时，代数式，原式计算错误，不符合题意； D、当时，代数式，原式计算错误，不符合题意； 故选；A． 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 给出下列说法：①有理数都是有限小数；②有限小数都是有理数；③无理数都是无限小数；④无限小数都是无理数．其中，正确的是__________填序号． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】本题考查了实数，重点是掌握有理数和无理数的定义． 解答本题时，根据有理数的定义即可判断①、②的对错；对于③和④，根据无理数的定义即可判断，至此即可解答题目． 【详解】解：①有理数不一定都是有限小数，也可以是整数，故说法错误； ②有限小数都是有理数是正确，故说法正确； ③无理数都是无限小数，故说法正确； ④无限小数不一定都是无理数，其中无限循环小数为有理数，故说法错误． 综上②③正确． 故答案为：②③． 12. 若，则_____， _____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用，把原式分别变形为，，再整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴，， 故答案为：， 13. 任意写出两个大于﹣2的无理数_____． 【答案】﹣，﹣（答案不唯一） 【解析】 【分析】首先-2可以写成-，由于开方开不尽的数是无理数，由此即可求解． 【详解】两个大于﹣2的无理数﹣，﹣（答案不唯一）． 故答案是：﹣，﹣（答案不唯一）． 【点睛】考查了无理数的估算，其中无理数包括开方开不尽的数，和π有关的数，有规律的无限不循环小数． 14. 如果一个正方形的面积为2，那么它的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】设这个正方形的边长为，再根据正方形的面积公式即可得． 【详解】设这个正方形的边长为， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根，根据正方形的面积公式正确建立等式是解题关键． 15. 若不等式组无解，则m的取值范围是______． 【答案】m＜-4 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知条件得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解： ∵解不等式①得：x≥-2， 解不等式②得：x≤2+m， 又∵不等式组无解， ∴-2＞2+m， 解得：m＜-4， 故答案为m＜-4． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 16. 商店为了对某种商品促销，将定价为3元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．现有27元钱，最多可以购买该商品的件数是________． 【答案】10件 【解析】 【分析】设购买该商品x件，先判断购买件数在5件之上，再根据总价=3×5+3×0.8×超过5件的数量，结合总价不超过27元，即可得出关于x的一元一次不等式，求出x的解集即可得出结论． 【详解】解：设购买该商品x件， 因为共有27元，所以最多购买的件数超过5件， 依题意得：3×5+3×0.8(x-5)≤27， 解得：x≤10， 故答案为：10件． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】直接化简各数进而得出答案． 【详解】原式= 【点睛】本题考查实数的混合运算，根据绝对值、算术平方根、立方根的意义、平方运算先化简个数是解题的关键，需要注意符号． 18. 化简：. 【答案】 【解析】 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则计算． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算法则，解题的关键是掌握相关运算法则． 19. 解下列不等式（组）． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先去分母，然后再去括号，再移项合并同类项，最后将未知数系数化为1即可； （2）分别求出两个不等式解集，然后再得出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 不等式两边同除以-1得：． 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组解集为：． 【点睛】本题主要考查了解不等式或不等式组，注意不等式两边同除以或乘以同一个负数，不等号方向发生改变． 20. 已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为-2．求的平方根． 【答案】±5 【解析】 【分析】利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a的值，根据立方根的定义求出b的值，根据平方根的定义求出的平方根． 【详解】解：∵某正数的两个不同的平方根是和 ∴， ∴， ∵的立方根为-2， ∴， ∴， ， 其平方根为±5． 【点睛】本题考查的是平方根、立方根的定义，解题的关键是理解正数的平方根有两个，且互为相反数；会求平方根和立方根． 21. 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，如下所示： （1）求所捂住的多项式； （2）若，求所捂住多项式的值． 【答案】（1）；（2）-4 【解析】 【分析】（1）利用一个因式等于积除以另一个因式列整式除法算式，然后按照多项式除以单项式的法则进行计算； （2）将x，y的值代入多项式求值即可． 【详解】解：（1）由题意，所捂多项式为： 当时 原式． 【点睛】本题考查单项式乘多项式、多项式除以单项式的法则，解题的关键是利用乘法与除法是互为逆运算，把乘法转化为除法解决问题，属于基础题． 22. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，根据多项式乘多项式，平方差公式展开后合并同类项，再代入求值即可． 【详解】原式 ， 当时，原式． 23. 图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图拼成一个正方形． （1）直接写出图中的阴影部分面积； （2）观察图，请直接写出三个代数式之间的等量关系； （3）根据（2）中的等量关系：若，则的值为___________； （4）已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）6 【解析】 【分析】（1）由拼图可知阴影部分是边长为的正方形，可表示面积； （2）大正方形面积减去四个长方形面积也可以得出阴影部分的面积，进而得出关系式； （3）由（2）得，再代入计算即可； （4）设，，由题意可得，，根据 ，求出的值即可． 【小问1详解】 解：图中阴影部分是边长为的正方形，因此阴影部分面积为； 【小问2详解】 图中阴影部分面积也可以看作从边长为的正方形面积减去个长为，宽为的长方形面积，即， 因此有； 【小问3详解】 由（2）可知， ， ， 故答案为：； 【小问4详解】 设，，则，， ∴ ， 答：的值为 【点睛】本题考查完全平方公式几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 24. 阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值． 解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得： 2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014 将下式减去上式得2S﹣S=22014﹣1 即S=22014﹣1 即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+…+210 （2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）． 【答案】（1）211﹣1 （2）1+3+32+33+34+…+3n=． 【解析】 【分析】（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值． （2）同理即可得到所求式子的值． 【详解】解：（1）设S=1+2+22+23+24+…+210， 将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+211， 将下式减去上式得：2S﹣S=211﹣1，即S=211﹣1， 则1+2+22+23+24+…+210=211﹣1． （2）设S=1+3+32+33+34+…+3n， 两边乘以3得：3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1， 下式减去上式得：3S﹣S=3n+1﹣1，即S=， 则1+3+32+33+34+…+3n=． 25. 问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式． 将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个长方形和两个正方形，如图1，这个图形的面积可以表示成：或 ∴ 这就验证了两数和的完全平方公式， 问题提出： 如何利用图形几何意义的方法推证：？ 如图2，A表示1个的正方形，即：，B表示1个的正方形，C与D恰好可以拼成1个的正方形，因此：B，C，D就可以表示2个的正方形，即：，而A，B，C，D恰好可以拼成一个的大正方形， 由此可得：． 图2 尝试解决： 请你类比上述推导过程，探究：_____________；（直接写出结论，不必写出解题过程） 类比归纳： 请用上面的表示几何图形面积的方法探究：_____________．（直接写出结论，不必写出解题过程） 拓展延伸： （1）图3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大、小正方体一共有多少个？为了正确数出大、小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是1，2，3和4的正方体的个数，再求总和．由图可知，棱长是1的正方体有：个，棱长是2的正方体有：个，棱长是3的正方体有：个，棱长是4的正方体有：个，所以图3中大、小正方体一共有_________个． （2）图4是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，则图中大、小正方体一共有__________个． 逆向应用： 如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出的大、小正方体一共有225个，那么棱长为1的小正方体一共有_________个． 【答案】尝试解决：（或36）；类比归纳：（或或）；拓展延伸：（1）100；（2）441；逆向应用：125 【解析】 【分析】尝试解决：根据规律可以利用相同的方法进行探究推证，由于是探究？，肯定构成大正方形有9个基本图形（3个正方形6个长方形）组成，如图所示可以推证； 类比归纳：根据规律求大正方体中含有多少个正方体，可以转化为来求得； 拓展延伸：（1）根据规律即可求得大小正方体的个数； （2）根据（1）进行求解即可； 逆向应用：可将总个数看成m2，然后再写成m2＝（1＋2＋3＋…＋n）2，得出大正方形每条边上有几个棱长为1的小正方体，进而计算出棱长为1的小正方体的个数． 【详解】解：尝试解决：如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13； B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形， 因此B、C、D就可以拼成2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23； G与H、E与F、I可以拼成3个3×3的正方形，即：3×3×3＝33； 而整个图形恰好可以拼成一个（1＋2＋3）×（1＋2＋3）的大正方形，即个大正方形，因此可得：13＋23＋33＝（1＋2＋3）2＝62（或36）． 故答案为：62（或36）． 类比归纳：∵，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2＝62 ∴根据规律可得：（或或）， 故答案为：（或或）； 拓展延伸：（1）由题意可得：大小正方体的个数， 故答案为：100； （2）有图可知棱长是1的正方体有：个，棱长是2的正方体有：个，棱长是3的正方体有：个，棱长是4的正方体有：个，棱长是5的正方体有：个，棱长是6的正方体有：个， ∴大小正方体的个数， 故答案为：441； 逆向应用：∵225＝152＝（1＋2＋3＋…＋n）2； 即1+2+3+…+n=15； 解得：n=5， ∴棱长为1的小正方体个数=5×5×5＝125． 故答案为：125． 【点睛】本题借助数形结合来计算，以及这个等式应用，通过几何图形之间的数量关系做出几何解释，得出规律，然后应用解决问题．采用归纳推理，由易到难，逐步得出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$