精品解析：2024年广东省初中毕业生学业考试数学仿真试题（三）

2024年广东省初中毕业生学业考试 数学仿真试卷（三） 说明： 1.全卷共6页，满分为120分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号，用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑. 一、单选题：每小题3分，共30分 1. 实数的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 2024年惠州市初中毕业生约为8.89万人，把8.89万用科学记数法且保留1位小数表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知、、在上，，则（ ） A. B. C. D. 4. 从、、、这四个数中，随机抽取两个数相加，和为负数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则点落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，，．已知与平行，则的度数为（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 7. 从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长x尺，则根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 学校图书馆阅读角有一块半径为3m，圆心角为120°的扇形地毯，这块地毯的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点从起点出发沿向终点匀速运动，设点所走过的路程为，点所经过的线段与线段所围成的图形面积为，且随的变化而变化，在下列图像中，能正确反映随的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：每小题3分，共15分. 11. 化简：________. 12. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 13. 正多边形一个外角的度数是，则该正多边形的边数是_____． 14. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标为______． 15. 《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，弧是以点为圆心，为半径的圆弧，是弦的中点，且．“会圆术”给出弧的弧长的近似值的计算公式： ．当，时，_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 16. （1）先化简，再求值：，其中． （2）某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿水青山就是金山银山”理念.在外打工的王大叔返回家乡博罗创业，承包了甲、乙两座荒山，各栽100棵青枣树，发现成活率均为，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两座山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示． ①直接写出甲山4棵青枣树产量的中位数_____； ②分别计算甲、乙两座山青枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高； ③用样本平均数估计甲乙两座山青枣产量总和． 17. 如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连结DE，CF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长． 18. 如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米， （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米是否要采取紧急措施？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，已知A点的纵坐标是2， （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象求解集； （3）将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内部分交于点D，如果△ABD的面积为36，求平移后的直线表达式． 20. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“厨艺”“绘画”“陶艺”“街舞”等四门校本课程以提升课后服务质量，为了解学生对这四门课程的选修情况（要求必须选修—门且只能选修一门），学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： （1）共有_____名学生参与了本次问卷调查；“厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_____度？ （2）补全调查结果条形统计图； （3）小刚和小毅分别从“厨艺”“绘画”“陶艺”“街舞”等四门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 21. “绿水青山就是金山银山”，为了绿色发展，某林场计划购买甲、乙两种树苗，已知购买一株甲种树苗的进价比一株乙种树苗的进价少3元，用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树苗的数量的1.5倍． （1）求每株甲种树苗，每株乙种树苗的进价分别为多少元？ （2）相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和．为保证绿化效果，林场决定再购买甲、乙两种树苗共100株．若要使这批树苗的成活率不低于，且购买树苗的总费用最低，应如何选购树苗？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1． （1）求抛物线解析式； （2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值； （3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 23. 已知矩形，，，将矩形绕A逆时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E． （1）如图①，当时，连接，则的长= ； （2）如图②，当边经过点B时，连接，求的长； （3）如图③，连接，点P是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年广东省初中毕业生学业考试 数学仿真试卷（三） 说明： 1.全卷共6页，满分为120分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号，用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑. 一、单选题：每小题3分，共30分 1. 实数的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可． 【详解】的相反数是5． 故选：A． 2. 2024年惠州市初中毕业生约为8.89万人，把8.89万用科学记数法且保留1位小数表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】把8.89万用科学记数法且保留1位小数表示为． 故选：D． 3. 如图，已知、、在上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 【点睛】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 4. 从、、、这四个数中，随机抽取两个数相加，和为负数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画树状图求概率即可解题． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知共有种等可能情况，其中和为负数的有种可能结果，即概率为：， 故选D． 【点睛】本题考查列表法或树状图求概率，掌握概率的计算公式是解题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则点落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用关于y轴对称的性质得出的值，进而结合各象限内点的坐标特点得出答案． 【详解】∵点与点关于y轴对称， ∴， 解得：， 则点即在第二象限． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征，正确得出的值是解题关键． 6. 绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，，．已知与平行，则的度数为（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，根据三角形的内角和定理可得，再根据平行线的性质即得答案． 【详解】解：∵，都与地面平行，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，属于基础题型，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 7. 从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长x尺，则根据题意，可列方程（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程，竹竿的长为x尺，则门框的长为尺，宽为尺，利用勾股定理即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺． ∴门框的长为尺，宽为尺， ∴可列方程为， 故选：B． 8. 学校图书馆的阅读角有一块半径为3m，圆心角为120°的扇形地毯，这块地毯的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入扇形的面积公式直接进行计算即可． 【详解】解：钢板的面积， 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积，解答本题的关键是熟练记忆扇形的面积的计算公式及公式内字母表示的含义． 9. 已知O为圆锥顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理． 【详解】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误， 又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合． 故选D． 点评：本题考核立意相对较新，考核了学生空间想象能力． 10. 如图，在中，，点从起点出发沿向终点匀速运动，设点所走过的路程为，点所经过的线段与线段所围成的图形面积为，且随的变化而变化，在下列图像中，能正确反映随的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可求出的值，根据动点的运动，分段考虑，当，可得关于的正比例函数；当时，可得关于的一次函数；根据函数图像的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵四边形是平行四边形，， ∴在中，，， ∴，， ∵点从起点出发沿向终点匀速运动，设点所走过的路程为， ∴当，，是正比例函数，随的增大而增大； 当时，即点在上运动，如图所示，过点作延长线于点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴当时，是一次函数，随的增大而增大； 综上所述，， ∵， ∴第二段函数的图像比第一段函数图像更靠近轴， 故选：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与动点的运动，几何图形面积的计算方法的综合，理解图示，掌握动点运动规律与几何图形面积的计算方法是解题的关键． 二、填空题：每小题3分，共15分. 11. 化简：________. 【答案】 【解析】 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】 ． 故答案为． 【点睛】本题考查二次根式的计算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算． 12. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识，利用二次根式的被开方数是非负数得出关于x的不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 正多边形一个外角的度数是，则该正多边形的边数是_____． 【答案】六 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键． 根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的外角和为，可得多边形的边数，计算即可求解． 【详解】解：这个正多边形的边数：． 故答案为：六． 14. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先把配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标，再把点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得出答案． 【详解】 即抛物线的顶点坐标为 把点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的平移：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 15. 《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，弧是以点为圆心，为半径的圆弧，是弦的中点，且．“会圆术”给出弧的弧长的近似值的计算公式： ．当，时，_____． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，根据计算，证明O、C、D三点共线，结合等腰直角三角形的性质，得，代入计算即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，是弦的中点， ∴，，， ∵， ∴O、C、D三点共线， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握圆的性质，勾股定理是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 16. （1）先化简，再求值：，其中． （2）某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿水青山就是金山银山”理念.在外打工的王大叔返回家乡博罗创业，承包了甲、乙两座荒山，各栽100棵青枣树，发现成活率均为，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两座山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示． ①直接写出甲山4棵青枣树产量的中位数_____； ②分别计算甲、乙两座山青枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高； ③用样本平均数估计甲乙两座山青枣的产量总和． 【答案】（1），0；（2）①38，②甲山，③7663 【解析】 【分析】（1）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分，再将的值代入化简后的式子计算即可； （2）①根据中位数的定义求解可得； ②根据平均数的定义分别计算出甲、乙两山样本的产量，据此可得； ③用平均数乘以枣树的棵树，求得两山的产量和，再乘以成活率即可得． 【详解】解：（1） ， 当时，原式． （2）①甲山4棵枣树产量为34、36、40、50， 甲山4棵小枣树产量的中位数为（千克）， 故答案为：38； ②（千克）， （千克）， ，且两山抽取的样本容量一样， 可以判断甲山样本产量高； ③（千克）， 答：用样本平均数估计甲乙两座山小枣产量总和为7663千克． 【点睛】本题主要考查折线统计图及中位数、平均数，考查分式的化简求值，了解中位数和平均数的定义，根据折线统计图得出解题所需的数据是解题的关键． 17. 如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连结DE，CF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形； （2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度． 【详解】（1）证明：在▱ABCD中，ADBC，且AD=BC ∵F是AD的中点 ∴DF=AD 又∵CE=BC ∴DF=CE，且DFCE ∴四边形CEDF是平行四边形； （2）如图，过点D作DH⊥BE于点H． 在▱ABCD中，∵∠B=60°， ∴∠DCE=60°． ∵AB=4， ∴CD=AB=4， ∴CH=CD=2，DH=2． 在▱CEDF中，CE=DF=AD=3，则EH=1． ∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE=． 18. 如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米， （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米是否要采取紧急措施？ 【答案】（1）米 （2）不需要采取紧急措施，理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论． 【小问1详解】 连接， 由题意得：， 在中，由勾股定理得：， 解得，； 【小问2详解】 连接， ， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：． ． ， 不需要采取紧急措施． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数图象交于A、B两点，已知A点的纵坐标是2， （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象求的解集； （3）将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果△ABD的面积为36，求平移后的直线表达式． 【答案】（1）y＝﹣； （2）﹣6＜x＜0或x＞6； （3）y＝﹣x+6 【解析】 【分析】（1）利用y＝﹣x求出点A的坐标为（﹣6，2），将点A（﹣6，2）代入反比例函数中求出k即可； （2）根据对称性得到点B的横坐标为6，再结合图象即可得到解集； （3）连接AC、BC，设平移后的解析式为y＝﹣x+b，根据平移的性质得到S△ABD＝S△ABC，列得b×12＝36，求出b即可得到函数解析式． 【小问1详解】 解：（1）令一次函数y＝﹣x中y＝2，则2＝﹣x， 解得：x＝﹣6，即点A的坐标为（﹣6，2）， ∵点A（﹣6，2）在反比例函数的图象上， ∴k＝﹣6×2＝﹣12， ∴反比例函数的表达式为y＝﹣； 【小问2详解】 由对称性可知：xB＝﹣xA， ∵xA＝﹣6， ∴xB＝6， 由图象可知，﹣x＜的解集为﹣6＜x＜0或x＞6； 【小问3详解】 连接AC、BC如图所示． 设平移后的解析式为y＝﹣x+b， ∵该直线平行直线AB， ∴S△ABD＝S△ABC， ∵△ABD的面积为36， ∴S△ABC＝OC•（xB﹣xA）＝36， ∴b×12＝36， ∴b＝6， ∴平移后的直线的函数表达式为y＝﹣x+6． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键． 20. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“厨艺”“绘画”“陶艺”“街舞”等四门校本课程以提升课后服务质量，为了解学生对这四门课程的选修情况（要求必须选修—门且只能选修一门），学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： （1）共有_____名学生参与了本次问卷调查；“厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_____度？ （2）补全调查结果条形统计图； （3）小刚和小毅分别从“厨艺”“绘画”“陶艺”“街舞”等四门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 【答案】（1）50，； （2）见详解； （3） 【解析】 【分析】（1）用“街舞”的人数除以占比得到总人数；用“厨艺”的人数除以总人数再乘以即可求解； （2）先求出选择陶艺的人数，然后即可补全条形统计图． （3）用列表法求得概率即可求解． 【小问1详解】 解：（人）， 共有50名学生参与了本次问卷调查． ， “厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是． 【小问2详解】 选择陶艺的人数有：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 列表如下： 厨艺 绘画 陶艺 街舞 厨艺 (厨艺， 厨艺) (绘画， 厨艺) (陶艺， 厨艺) (街舞， 厨艺) 绘画 (厨艺， 绘画) (绘画， 绘画) (陶艺， 绘画) (街舞， 绘画) 陶艺 (厨艺， 陶艺) (绘画， 陶艺) (陶艺， 陶艺) (街舞， 陶艺) 街舞 (厨艺， 街舞) (绘画， 街舞) (陶艺， 街舞) (街舞， 街舞) 一共有16中可能，小刚和小毅恰好选到同一门课程的情况有4种， ∴小刚和小毅恰好选到同一门课程的情况的概率有： 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式． 21. “绿水青山就是金山银山”，为了绿色发展，某林场计划购买甲、乙两种树苗，已知购买一株甲种树苗的进价比一株乙种树苗的进价少3元，用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树苗的数量的1.5倍． （1）求每株甲种树苗，每株乙种树苗的进价分别为多少元？ （2）相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和．为保证绿化效果，林场决定再购买甲、乙两种树苗共100株．若要使这批树苗的成活率不低于，且购买树苗的总费用最低，应如何选购树苗？ 【答案】（1）每株甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元． （2）应选择购买乙种树苗60棵．购买甲种树苗40棵． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用以及一元一次不等式的应用． （1）设每株甲种树苗的进价为x元，则乙种树苗的进价为元，根据用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树苗的数量的1.5倍列出分式方程求解即可． （2）设应购买乙种树苗m棵，则甲种数树苗为棵，根据题意列出关于m的一元一次不等式，求解，再根据甲乙种数苗的单价即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每株甲种树苗的进价为x元，则乙种树苗的进价为元， 根据题意有：， 解得： 经检验，是分式方程的解， ∴， ∴每株甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元． 【小问2详解】 解：设应购买乙种树苗m棵，则甲种数树苗为棵， 根据题意有：， 解得：， ∵甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元， ∴乙种树苗购买的数量越小，总费用越低， 故应选择购买乙种树苗60棵．购买甲种树苗40棵． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1． （1）求抛物线的解析式； （2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值； （3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）S=，运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；（3）t=或t=． 【解析】 【分析】（1）把点A、B、C的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b、c的解析式，通过解方程组求得它们的值； （2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△MBN与t的函数关系式．利用二次函数的图象性质进行解答； （3）根据余弦函数，可得关于t的方程，解方程，可得答案． 【详解】（1）∵点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1， ∴A（﹣2，0），把点A（﹣2，0）、B（4，0）、点C（0，3）， 分别代入（a≠0），得：，解得：，所以该抛物线的解析式为：； （2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t． 由题意得，点C的坐标为（0，3）．在Rt△BOC中，BC==5． 如图1，过点N作NH⊥AB于点H， ∴NH∥CO， ∴△BHN∽△BOC， ∴，即， ∴HN=t， ∴S△MBN=MB•HN=（6﹣3t）•t， 即S=， 当△PBQ存在时，0＜t＜2， ∴当t=1时，S△PBQ最大=． 答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是； （3）如图2，在Rt△OBC中，cos∠B=． 设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t． ①当∠MNB=90°时，cos∠B=，即，化简，得17t=24，解得t=； ②当∠BMN=90°时，cos∠B=，化简，得19t=30，解得t=． 综上所述：t=或t=时，△MBN为直角三角形． 考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；动点型；存在型；分类讨论；压轴题． 23. 已知矩形，，，将矩形绕A逆时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E． （1）如图①，当时，连接，则的长= ； （2）如图②，当边经过点B时，连接，求的长； （3）如图③，连接，点P是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，利用勾股定理得，结合旋转得和，即可求得答案； （2）连接，由旋转性质得，，，即可判定，得，由题意可知，进一步得，利用勾股定理得，即可求得；． （3）连接，交于点O，连接和，由矩形性质得，根据题意得是的中位线，可知点P是在以为圆心，以为半径的圆上运动， 当为直径时，即点P于点B重合时，最大； 【小问1详解】 解：连接，，如图： ∵是矩形， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∵ ∴， ∴． 【小问2详解】 连接，如图， 由旋转性质得，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，，则， 那么，解得． 【小问3详解】 连接，交于点O，连接和，如图， ∵是矩形， ∴， ∵点P是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点P是在以为圆心，以为半径圆上运动，根据直径是圆中最长的弦可知， 当为直径时，即点P于点B重合时，最大，最大为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质，以及动点问题，圆的基础知识，解题的关键是利用旋转找到对应关系和添加辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$