江苏省苏州高新区实验初级中学2024-2025学年八年级数学上学期第二章轴对称单元测试卷

苏州高新区实验初级中学初二数学上第二单元轴对称单元测试卷 一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列四个图标中，是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 2．如图，已知平分，是上一点，于，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是　　 A．6 B．4 C．3 D．2 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3．如图，已知中，，，垂直平分，连接，则的度数是　　 A． B． C． D． 4．如图，在中，，，垂足为，是边的中点，，，则的长是　　 A．1 B． C．2 D． 5．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为　　 A． B． C． D． 6．用一根长为21厘米的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的等腰三角形，则方案的种数为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 7．有下列命题说法：①锐角三角形中任何两个角的和大于；②等腰三角形一定是锐角三角形；③等腰三角形有一个外角等于，这个三角形一定是等边三角形；④等腰三角形中有一个是，那么它的底角是；⑤一个三角形中至少有一个角不小于60度．其中正确的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，．点为上一点，若满足，则的长度为　　 A．3 B．4 C．5 D．3或5 二、填空题（共10小题，每小题3分，共24分） 9．等腰三角形周长为，两边长之比为，则底边长为　　． 10．已知等腰三角形的一个外角是，则它顶角的度数为　　． 11．如图，中，是的垂直平分线，，，则的周长是　　． 12．如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且，若，则　　度． 13．如图，在中，平分，平分，经过点，且分别交、于、，若，，则的周长为 　　． 第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第16题图 14．如图，在中，边、的垂直平分线分别交于点、点．若，那么　　． 15．在等边所在的平面内求一点，使、、都是等腰三角形，具有这种性质的点有　 　个． 16．如图，中，，点是内部一点，，点是边上一点，若平分，，则　　． 三、解答题（共8小题，共64分） 17．（4分）利用正方形网格画图（不写画法，保留画图痕迹） （1）画出的对称轴直线； （2）画，使得与关于直线对称． 18．（6分）如图，已知在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，求的度数． 19．（6分）如图，点是边上一点，，过点作，且，连接交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 20．（8分）如图，已知中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点以的速度运动．若点、两点分别从点、同时出发． （1）经过2秒后，求证：． （2）若的周长为，问经过几秒钟后，是等腰三角形？ 21．（8分）如图，在中，，，，垂足分别为、，且点是的中点． （1）求证：； （2）若AB＝10，BC＝8，求的周长． 22．（8分）（1）如图，在中，，，点在上，且，点在的延长线上，且，求的度数； （2）如果把第（1）题中“”的条件去掉，其余条件不变，那么的度数会改变吗？请说明理由． 23．（1）我们已经如道：在中，如果，则，下面我们继续研究：如图①，在中，如果，则与的大小关系如何？为此，我们把沿的平分线翻折，因为，所以点落在边的点处，如图②所示，然后把纸展平，连接．接下来，你能推出与的大小关系了吗？试写出说理过程． （2）如图③，在中，是角平分线，且．求证：． （3）在（2）的条件下，若点，分别为、上的动点，且，，则的最小值为　　． 24．从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”． （1）如图1，在中，是边上一点，若，，求证：为的“等角分割线”； （2）如图2，中，，； ①画出的“等角分割线”，写出画法并说明理由； ②若，求出①中画出的“等角分割线”的长度． （3）在中，，若存在“等角分割线” ，直接写出所有符合要求的的度数． 参考答案 1. A 2. A 3.【分析】由三角形内角和定理求出，由线段垂直平分线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，即可得出答案． 【解答】解：中，，， ， 垂直平分， ， ， ； 故选：． 4．如图，在中，，，垂足为，是边的中点，，，则的长是　　 A．1 B． C．2 D． 【分析】根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：由勾股定理得，， ，是边的中点， ， ， ， 故选：． 5． A 6． A 7． B 8.如图 平分，， ， ， 若点在线段上， ， 若点在射线上， ， 故选：． 9．等腰三角形周长为，两边长之比为，则底边长为　　． 【分析】题中只给出了两边之比，没有明确说明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析，再结合三角形三边的关系将不合题意的解舍去． 【解答】解：因为两边长之比为，所以设较短一边为，则另一边为； （1）假设为底边，为腰；则，，即底边为4； （2）假设为腰，为底边，则，，； ，该假设不成立． 所以等腰三角形的底边为． 故答案为：． 10．已知等腰三角形的一个外角是，则它顶角的度数为　　． 【分析】三角形内角与相邻的外角和为，三角形内角和为，等腰三角形两底角相等，只可能是顶角． 【解答】解：等腰三角形一个外角为，那相邻的内角为， 三角形内角和为，如果这个内角为底角，内角和将超过， 所以只可能是顶角． 故答案为：． 11．如图，中，是的垂直平分线，，，则的周长是　12　． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：是的垂直平分线， ． ，， 的周长， 故答案为：12． 12．如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且，若，则　70　度． 【分析】先证明，可得；然后根据，，求出的度数，即可求出的度数． 【解答】解：在与中，， ． ； ，， ， ； 故答案为：70． 13．如图，在中，平分，平分，经过点，且分别交、于、，若，，则的周长为 　30　． 【分析】根据平分，平分，且，可得出，，所以三角形的周长是． 【解答】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长． 14．如图，在中，边、的垂直平分线分别交于点、点．若，那么　　． 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据等边对等角、结合图形计算即可． 【解答】解：， ， ，， ，， ． 故答案为： 15．在等边所在的平面内求一点，使、、都是等腰三角形，具有这种性质的点有　10　个． 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作边的垂直平分线，在以顶点、为圆心，以边长为半径画弧，与垂直平分线相交于3个点，同理可得边、上也分别有3个点，再加上等边三角形的外心，计算即可求出． 【解答】解：如图，等边三角形边的垂直平分线上可作3个点， 同理：、上也分别有3个点，另外，的外心也是满足条件的一个点， 所以，共有个． 故答案为：10． 16．如图，中，，点是内部一点，，点是边上一点，若平分，，则　80　． 【分析】设，．利用三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质构建方程组即可解决问题． 【解答】解：设，． ，， ，， ， ， 故答案为80 17．利用正方形网格画图（不写画法，保留画图痕迹） （1）画出的对称轴直线； （2）画，使得与关于直线对称． 【分析】（1）根据轴对称图形的概念求解可得； （2）作出点关于直线的对称点，再顺次连接即可得． 【解答】解：（1）如图所示，直线即为所求． （2）如图所示，即为所求； 18．如图，已知在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，求的度数． 【分析】先利用垂直平分线的性质和平角的意义得出，再利用等腰三角形的内角和定理建立方程即可得出结论． 【解答】解：是的垂直平分线， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 19． 【分析】（1）略 （2）40° 20. （1）略 （2）设当，两点同时出发运动秒时， 有，，，， 由题意得， 要使是等腰三角形，则可分为三种情况讨论： ①当时，则有， 解得：（不合题意舍去）； ②当时，则有 解得：； ③当时，则有 解得：； 综上所述，当或时，是等腰三角形． 21．如图，在中，，，，垂足分别为、，且点是的中点． （1）求证：； （2）若AB＝10，BC＝8，求的周长． 【分析】（1）直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案； 【解答】（1）证明：，， ， 是的中点， ； （2）略 22．（1）如图，在中，，，点在上，且，点在的延长线上，且，求的度数； （2）如果把第（1）题中“”的条件去掉，其余条件不变，那么的度数会改变吗？请说明理由． 【分析】（1）在中，，，是等腰直角三角形，所以，根据其他边相等可求出解． （2）先设，由已知可求，，又因为，所以，再根据三角形的内角和是，可求，即度． 【解答】解：（1），， ， ， ， ， ， 在中，， ； （2）不改变， 理由：设， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，，， ，． 23．（1）< （2）． （3） 24．从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”． （1）如图1，在中，是边上一点，若，，求证：为的“等角分割线”； （2）如图2，中，，； ①画出的“等角分割线”，写出画法并说明理由； ②若，求出①中画出的“等角分割线”的长度． （3）在中，，若存在“等角分割线” ，直接写出所有符合要求的的度数． 【分析】（1）由三角形内角和定理得出，得出的三个内角与的三个内角的度数分别相等，求出，得出，是等腰三角形，即可得出结论； （2）①画的角平分线，交于点，线段即为所求；求出，由角平分线定义得出，得出，得出的三个内角与的三个内角分别相等，证出，是等腰三角形，即可得出结论； ②设，证出，，列出方程，解方程即可； （3）分情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理分别求解即可． 【解答】（1）证明：，， ， 又， 的三个内角与的三个内角的度数分别相等， ，， ， 又， ， ， 是等腰三角形， 为的“等角分割线”； (3)108°,52°,54°,44° 6 学科网（北京）股份有限公司 $$