特训05 第2章 轴对称图形 解答压轴题（五大题型，含中考压轴热点题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训05 第2章 轴对称图形 解答压轴题（五大题型） 目录： 题型1：等腰三角形与全等三角形综合 题型2：等腰三角形与直角三角形中30°角的性质等结合 题型3：全等三角形与线段的垂直平分线、角平分线综合 题型4：中考压轴热点题型—情景探究题 题型5：动态问题 题型1：等腰三角形与全等三角形综合 1．已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且． (1)如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论； (2)如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由； (3)在等边三角形中，点O在直线上，点P在直线上，且，若的边长为2，，求的长． 2．在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：； (3)如图3，当，时，取的中点G，连结，若，请直接写出的长． 3．某学习小组遇到了如下的数学题目： “在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由．”学习小组进行了如下探究： (1)特殊情况，探索结论： 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论： （填“”“”或“”）； (2)特例启发，解答题目： 当点不是边的中点时，如图，可过点作，交于点，构造等边三角形和全等三角形，通过转化思想解决问题．请你判断与的大小关系，并完成解答过程； (3)总结方法，解决新题： 在等边中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为，，直接写出的长． 4．【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． （1）请你利用上面解答问题的思路方法，求出求的取值范围的过程． 【问题解决】 （2）如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中： A．；B．；C．；D．． 直接写出所有正确选项的序号是 ． 【问题拓展】 （3）如图③，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． 5．已知在中，，，分别表示，的对边，记的面积为，分别以为边向形外作等边三角形和等边三角形．记等边三角形的面积为，等边三角形的面积为． (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，以为边向上作等边三角形（点C在内），连接． ①判断和的关系，并说明理由； ②若是等腰三角形，试探索与之间的数量关系，并说明理由． 题型2：等腰三角形与直角三角形中30°角的性质等结合 6．如图，在中，，，D为的中点，P为线段上一动点，E为延长线上一点，且．    (1)连接，求证：； (2)求证：； (3)求证：是正三角形； (4)当时，求四边形的面积． 7．在中，，，是斜边的中点． (1)如图1，连接，求证：为等边三角形； (2)如图2，为边上的一动点，连接，以为边向左侧作等边三角形，连接.随着点位置的变化，的度数是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作于点，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 题型3：全等三角形与线段的垂直平分线、角平分线综合 8．在等边中，点D和点E分别在边、上，以为边向右作等边，连接． (1)如图1，当点D和点A重合时，求的大小； (2)如图2，点D是边AB的中点． ①求证：； ②如图3，连接当最小时，直接写出的值． 9．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．    (1)【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是： ；中线的取值范围是 (2)【理解与应用】如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．试猜想线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． (3)【问题解决】如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 10．已知，是一条角平分线． 【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：． 小艳的解法如下： 过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴______ ∴______ 又∵， ∴______ 【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：． 【拓展应用】如图3，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是______    11．在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°． (1)如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，求证：AF⊥BD； (2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，直接写出∠AFG的度数，若不是，请说明理由． 12．如图，在△ABC中，CA＝CB，过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN并延长交射线AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED． 【猜想】如图①，当∠C＝30°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE的大小为______度． 【探究】如图②，若∠C＝β． （1）求证：△BCN≌△ACM． （2）∠BDE的大小为______度（用含β的代数式表示）． 【应用】如图③，当∠C＝120°时，AM平分∠BAC，若AM、BN交于点F，DE＝DF，DE＝1，则△DEF的面积为______． 13．问题探究：如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF． ①BE、CF与EF之间的关系为：BE+CF　 EF；（填“＞”、“＝”或“＜”） ②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明． 问题解决：如图2，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝130°，以D为顶点作∠EDF＝65°，∠EDF的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明． 题型4：中考压轴热点题型—情景探究题 14．【课本再现】在八年级课本第62页，我们学习了：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【问题提出】 （1）如果三角形的外角等于与它不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是等腰三角形． 小明通过思考，画出下面的图1，并对上述命题进行了如下证明： ∵是的外角， ∴_______________， 又∵， ∴_______________， ∴________， ∴是等腰三角形． 【初步应用】 （2）如图2，等边中，是中线，E在延长线上，且，判断的形状并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，于D，，求证：． 【拓展提升】 （4）如图4，中，，平分，的周长为10，，求的长． 15．【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】    (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论） (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 16．【操作发现】同学甲找了一块等腰三角形的铁皮，烙一块与铁皮形状、大小相同的饼，烙好一面后把饼翻身，这块饼正好落在“锅”中，这是因为（填字母代号） A．三角形内角和为    B．等腰三角形是轴对称图形    C．三角形具有稳定性 【思考操作】同学乙用如图1所示直角三角形铁皮（）烙一块与铁皮形状、大小相同的饼，如果烙好后就把饼翻身，那么这块饼不能正好落在“锅”中，同学乙将饼切了一刀，然后将两小块都翻身，结果饼就能正好落在“锅”中，同学乙是怎样切的？请你利用直尺和圆规作出切下的“痕迹”（保留作图痕迹，不写作法）． 【类比探究】你认为下列说法正确的有．（填写正确说法的字母代号） A．任何直角三角形都能分成2个等腰三角形 B．任意锐角三角形都能分成3个等腰三角形 C．任意三角形都能分成4个等腰三角形 【拓展运用】①同学丙发现她手中的等腰三角形能被分成两个大小不等的小等腰三角形，那么丙同学手中的等腰三角形顶角的度数可能是______.（直接写出所有可能结果） ②如图2，小区有一块三角形空地，为了迎接“全国文明城市”检查，小区计划对该空地进行改建，要求：已知.，用两种不同的方法在内画出2条线段，满足：无论取何值，均被分成3个等腰三角形，并做必要的标注或说明． 17．【了解概念】 如图1，已知A，B为直线同侧的两点，连接，，若，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在中，D为上一点，E关于直线对称，连接并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图2，在（1）的条件下，若点Q是射线EF上一点，且点D、Q关于直线的“等角点”为点C，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置； （3）如图3，在中，，的平分线交于点O，点O到的距离为2，直线l垂直平分边，点P为O，B关于直线l“等角点”，连接，，当时，的值为 ． 题型5：动态问题 18．在中，，，点O是的中点，点P是射线上的一个动点（点P不与点C、O、B重合），过点C作于点E，过点B作于点F，连接，． 【问题探究】如图1，当P点在线段上运动时，延长交于点G． （1）求证：； （2）求与的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）①如图2，当P点在线段上运动，的延长线与的延长线交于点G． 求证：； ②当P点在射线上运动时，若，，直接写出的面积，不需证明． 19．已知中，，，为边上一点，点在延长线上，连接． (1)如图1，已知，，当时，求的面积； (2)如图2，过点作的垂线，分别交于点，过点作交于，连接，求的度数； (3)如图3，当点在上运动，且始终为时，过点作，垂足为，则的值是否发生改变？若不变，求出这个值；若发生改变，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训05 第2章 轴对称图形 解答压轴题（五大题型） 目录： 题型1：等腰三角形与全等三角形综合 题型2：等腰三角形与直角三角形中30°角的性质等结合 题型3：全等三角形与线段的垂直平分线、角平分线综合 题型4：中考压轴热点题型—情景探究题 题型5：动态问题 题型1：等腰三角形与全等三角形综合 1．已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且． (1)如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论； (2)如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由； (3)在等边三角形中，点O在直线上，点P在直线上，且，若的边长为2，，求的长． 【答案】(1) (2)相等，见解析 (3)7或3 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三线合一性质，等边三角形的性质，计算说明即可． （2）过作交于，证明是等边三角形，以及即可证明． （3）分为点在射线上或点在射线上两种情况，利用全等、等腰三角形的性质即可证明． 【解析】（1）解：，理由如下： 为等边三角形，点为的中点， ，平分，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：相等，即，理由如下： 如图，过作交于， 是等边三角形， ，， ，， 即， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：如图③，当点在射线上时，过作交的延长线于， 则为等边三角形，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； 如图，当点O在射线上时，∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 过点O作，则， ∴， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，长为或． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 2．在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：； (3)如图3，当，时，取的中点G，连结，若，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）证，得，，再证为等边三角形，即可得出结论； （3）延长、交于，证，得，再证，得，即可解决问题． 【解析】（1）证明：平分， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：如图2， 由（1）可知，， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ； （3）解：如图3，延长、交于， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 3．某学习小组遇到了如下的数学题目： “在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由．”学习小组进行了如下探究： (1)特殊情况，探索结论： 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论： （填“”“”或“”）； (2)特例启发，解答题目： 当点不是边的中点时，如图，可过点作，交于点，构造等边三角形和全等三角形，通过转化思想解决问题．请你判断与的大小关系，并完成解答过程； (3)总结方法，解决新题： 在等边中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为，，直接写出的长． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）根据等边三角形的性质可得，，进而得出，即可得出，进而等量代换即可得证； （2）过点 作 交于点 ，证明 是等边三角形，则，进而证明，根据得出则，即可证明，得出，等量代换，即可得证； （3）分为两种情况，当在的延长线上时，过点作，交的延长线于点， 证明，得出，进而根据即可求解；当在的延长线上时，过点作交的延长线于点，同理可得结论． 【解析】（1）解：∵在等边中，为的中点， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ （2）证明 过点 作 交于点 等边 ， ， 是等边三角形 又 ， ， ， 在 和 中                                                    ， ， ， （3）解：分为两种情况： ①当在的延长线上时，过点作，交的延长线于点， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴ ∴，，则为等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴; ②如图，当在的延长线上时，过点作交的延长线于点 同理可得 ∴ 综上，或 4．【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． （1）请你利用上面解答问题的思路方法，求出求的取值范围的过程． 【问题解决】 （2）如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中： A．；B．；C．；D．． 直接写出所有正确选项的序号是 ． 【问题拓展】 （3）如图③，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． 【答案】（1），见解析；（2）A、B、C；（3）见解析 【分析】（1）如图①中，延长至点，使，证明，得，再利用三角形的三边关系，可得结论； （2）如图2中，延长至，使，证明，即可判断； （3）如图3中，延长到，使得，连接，证明，推出，可得结论． 【解析】（1）解：如图①中，延长至点，使． 在和中，， ， ， ， ， ， ； （2）答案为：A、B、C； 解：如图②中，延长至，使， 由，故A正确 由（1）得，， ， ，， 点为的中点， ， ， ， ， ， 又， ， ，，故B、C正确． ，故D错误． （3）证明：如图（3）中，延长到，使得，连接． 同法可证， ，， ， ， 与互补， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，即． 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形三边关系，解题的关键是学会倍长中线，构造三角形全等． 5．已知在中，，，分别表示，的对边，记的面积为，分别以为边向形外作等边三角形和等边三角形．记等边三角形的面积为，等边三角形的面积为． (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，以为边向上作等边三角形（点C在内），连接． ①判断和的关系，并说明理由； ②若是等腰三角形，试探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)①；②或 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识： （1）过点D作于点P，过点E作于点Q，得，再结合三角形面积公式求解即可； （2）①证明得，由得,再证明可得；②分或两种情况求解即可 【解析】（1）解：如图，过点D作于点P，过点E作于点Q， ∵均为等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴，， ∴（负值均舍去）， ∴； （2）解：①∵是等边三角形，是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ 而 ∴ ∴； ②若是等边三角形，则有或两种情况： 当时， ， ∴ ∴ ∴即 当时， 由①知， ∴ ∴， 又是等边三角形， ∴ 如图，作 ∴ 由勾股定理得， ∴ 解得，， 又 ∴， ∴ ∴即 所以，则有或． 题型2：等腰三角形与直角三角形中30°角的性质等结合 6．如图，在中，，，D为的中点，P为线段上一动点，E为延长线上一点，且．    (1)连接，求证：； (2)求证：； (3)求证：是正三角形； (4)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4) 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，从而可得，然后根据等量代换可得，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，，，从而可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （3）根据垂直定义可得，从而可得，，然后根据三角形的外角性质可得，从而利用平角定义可得，最后根据等边三角形的判定即可解答； （4）过点作，交的延长线于点，根据垂直定义可得，从而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而利用证明，进而可得四边形的面积的面积，再根据已知可得，从而可得的面积的面积四边形的面积，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而利用三角形的面积公式求出的面积，即可解答． 【解析】（1）证明：如图：   ，为的中点， 是的垂直平分线， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：， ， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 是正三角形； （4）解：过点作，交的延长线于点，   ， ， 是的一个外角， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形的面积的面积， ， ， 的面积的面积， 四边形的面积的面积， 在中，，， ， 的面积， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7．在中，，，是斜边的中点． (1)如图1，连接，求证：为等边三角形； (2)如图2，为边上的一动点，连接，以为边向左侧作等边三角形，连接.随着点位置的变化，的度数是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作于点，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的度数不变， (3)，理由见解析 【分析】（1）由，，可得出，，根据直角三角形斜边上的中线定理可得出，即可得出为等边三角形； （2）连接，根据可得出，再结合即可得出，根据全等三角形的性质即可得出，即的度数不变； （3）过点P作交于点O，易证是等腰三角形，即可证明，推出，由，， 得到，即，进而推出，根据为等边三角形，即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵在中，，， ∴，． ∵点D是中点， ∴， ， ∴为等边三角形； （2）解：的度数不变， 如图，连接， ∵，，是斜边的中点， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴． 又∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， 即的度数不变，； （3）解：，理由如下： 如图，过点P作交于点O， 则， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， ， ， 为等边三角形， ，即． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，直角三角形的特征．解题的关键是熟练掌握相关知识，解答的关键是作出辅助线构造全等三角形． 题型3：全等三角形与线段的垂直平分线、角平分线综合 8．在等边中，点D和点E分别在边、上，以为边向右作等边，连接． (1)如图1，当点D和点A重合时，求的大小； (2)如图2，点D是边AB的中点． ①求证：； ②如图3，连接当最小时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①见解析；②． 【分析】（1）证明，可得； （2）①连接，取的中点T，连接，．证明，可得结论； ②连接，过A、D分别作，其垂足分别为I、H，由（2）可知，点F在的垂直平分线上，当时，的值最小，此时，证明，推出，可得结论． 【解析】（1）∵，都是等边三角形， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①证明：如图2中，连接，取的中点T，连接，． ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴同（1）可证，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：如图3中，连接，过A、D分别作，，其垂足分别为I、H 由①可知，， ∴是的垂直平分线， ∴当时，的值最小， ∵点D是边AB的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∵为等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵中，D为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，线段的垂直平分线的判定与性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 9．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．    (1)【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是： ；中线的取值范围是 (2)【理解与应用】如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．试猜想线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． (3)【问题解决】如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)；证明见解析 (3)；理由见解析 【分析】（1）由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至点，使，连接、，同（1）得，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，则． 【解析】（1）解：延长至E，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即， ， ， ； 故答案为：；； （2）解：，证明如下： 延长至点，使，连接、，如图2所示：    同（1）可证：， ， ，， ∴是线段的垂直平分线， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ； （3）解：，理由如下： 延长至，使，连接，如图3所示：    同（1）得：， ，， ， ，即， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，解题的关键是通过作辅助线证明三角形全等． 10．已知，是一条角平分线． 【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：． 小艳的解法如下： 过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴______ ∴______ 又∵， ∴______ 【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：． 【拓展应用】如图3，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是______    【答案】探究发现：，，；类比探究：见解析；拓展应用： 【分析】探究发现：根据题干中的解题思路求解即可； 类比探究：过点D作交延长线于N，过点D作延长线于M，过点C作于点P．利用角平分线的性质及等面积法证明即可； 拓展应用：在BC上取点G，使得，连接，先利用全等三角形的判定得出，再由其性质及前面的结论求解即可． 【解析】探究发现： 解：过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：，，； 类比探究： 证明：过点D作交延长线于N，过点D作延长线于M，过点C作于点P．    ∵平分， ∴． ∴，， ∴； 拓展应用： 在上取点G，使得，连接，    ∵， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴是的角平分线 由（1）知，， 设，，则，， 由（1）知， 即． 【点睛】题目主要考查角平分线的性质及全等三角形的判定和性质，三角形等面积法等，理解题意、正确添加辅助线、熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 11．在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°． (1)如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，求证：AF⊥BD； (2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，直接写出∠AFG的度数，若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）只要证明△ACE≌△BCD，推出∠EAC=∠CBD，由∠AEC=∠BEF，即可推出∠BFE=∠ACE=90°． （2）如图2中，只要证明△ACE≌△BCD，推出∠1=∠2，由∠3=∠4，即可推出∠BFA=∠BCA=90°． （3）如图3中，只要证明△ACE≌△BCD，推出，AE=BD，推出，推出CM=CN，因为CM⊥BD，CN⊥AE，即可推出CF平分∠BFE， 【解析】（1）证明：如图1中， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD， ∴∠EAC=∠CBD， ∵∠AEC=∠BEF， ∴∠BFE=∠ACE=90°， ∴AF⊥BD． （2）解：成立． 理由：如图2， ∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （3）如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N， ∵△ACE≌△BCD， ∴S△ACE=S△BCD，AE=BD， ∴， ∴CM=CN， ∵CM⊥BD，CN⊥AE， ∴CF平分∠BFE， ∵AF⊥BD， ∴∠BFE=90°， ∴∠EFC=45°， ∴∠AFG=45°． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加辅助线利用面积法证明线段相等，属于中考压轴题． 12．如图，在△ABC中，CA＝CB，过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN并延长交射线AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED． 【猜想】如图①，当∠C＝30°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE的大小为______度． 【探究】如图②，若∠C＝β． （1）求证：△BCN≌△ACM． （2）∠BDE的大小为______度（用含β的代数式表示）． 【应用】如图③，当∠C＝120°时，AM平分∠BAC，若AM、BN交于点F，DE＝DF，DE＝1，则△DEF的面积为______． 【答案】【猜想】150；【探究】（1）见解析；（2）(180﹣β)；【应用】1 【分析】猜想：延长ED交BC于点F，交AC于点O．证明∠BNC＝∠BFE，再利用三角形的外角的性质即可解决问题； 探究：（1）同理根据SAS证明：△BCN≌△ACM；（2）延长ED交BC于点F，方法同（1）证出∠ACB＝∠BDF＝β，则可得出答案； 应用：证明∠E＝90°，求出DF＝2，根据三角形的面积公式可得结论． 【解析】证明：如图，延长ED交BC于点F，交AC于点O， ∵CB＝CA， ∴∠ABM＝∠BAN， ∵CA＝CB，BM＝AN， ∴CM＝CN， ∵∠C＝∠C， ∴△BCN≌△ACM（SAS）， ∴∠CBN＝∠CAM， ∵E是AD的垂直平分线上的点， ∴EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA， ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠EMF，∠EDA＝∠EFM， ∴∠BNC＝∠BFE， ∴∠NOD+∠BDF＝∠C+∠FOC， ∵∠C＝30°，∠FOC＝∠NOD， ∴∠NDO＝30°， ∴∠BDE＝150°， 故答案为：150°； 探究： （1）证明：∵CA＝CB，BM＝AN， ∴CA﹣AN＝CB﹣BM， ∴MC＝NC， 在△BCN和△ACM中，， ∴△BCN≌△ACM（SAS）； （2）如图，延长ED交BC于点F， 同理得△BCN≌△ACM（SAS）， ∴∠CBN＝∠CAM， 同理得：∠BNC＝∠AMC＝∠BFE， ∴∠BNC+∠NBC＝∠NBC+∠BFE， ∴∠ACB＝∠BDF＝β， ∴∠BDE＝180°﹣β． 故答案为：（180﹣β）； 应用： ∵∠C＝120°，CA＝CB， ∴∠BAC＝30°， ∵AM平分∠BAC， ∴∠MAC＝∠BAC＝15°， ∵AP∥BC， ∴∠C＝∠CAD＝120°， ∴∠EAD＝180°﹣∠MAC﹣∠CAD＝45°， 由（2）可知，∠BDE＝180°﹣120°＝60°，∠CBN＝∠CAM＝∠ADB＝15°， ∴∠ADE＝45°， ∴∠E＝90°， ∵DE＝DF，DE＝1， ∴DF＝2， ∴△DEF的面积为． 故答案为：1． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 13．问题探究：如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF． ①BE、CF与EF之间的关系为：BE+CF　 EF；（填“＞”、“＝”或“＜”） ②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明． 问题解决：如图2，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝130°，以D为顶点作∠EDF＝65°，∠EDF的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）＞；（2）EF2＝BE2+CF2．理由见解析；（3）EF＝BE+CF．理由见解析. 【分析】（1）如图1中，延长ED到H，使得DH=DE，连接CH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），推出BE=CH，利用三角形的三边关系即可解决问题． （2）结论：EF2=BE2+CF2．如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接CH，FH．利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题． （3）结论：EF=BE+CF．利用旋转法构造全等三角形即可解决问题． 【解析】解：（1）如图1中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH． ∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH， ∴△BDE≌△CDH（SAS）， ∴BE＝CH， ∵DE＝DH，FD⊥EH， ∴FE＝FH， 在△FCH中，∵CH+CF＞FH， ∴BE+CF＞EF． 故答案为＞． （2）结论：EF2＝BE2+CF2． 理由：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH． ∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH， ∴△BDE≌△CDH（SAS）， ∴BE＝CH，∠B＝∠DCH， ∵DE＝DH，FD⊥EH， ∴FE＝FH， ∵∠A＝90°， ∴∠B+∠ACB＝90°， ∴∠ACB+∠DCH＝90°， ∴∠FCH＝90°， ∴FH2＝CH2+CF2， ∴EF2＝BE2+CF2． （3）如图3中，结论：EF＝BE+CF． 理由：∵DB＝DC，∠B+∠ACD＝180°， ∴可以将△DBE绕点D顺时针旋转得到△DCH，A，C，H共线． ∵∠BDC＝130°，∠EDF＝65°， ∴∠CDH+∠CDF＝∠BDE+∠CDF＝65°， ∴∠FDE＝∠FDH， ∵DF＝DF，DE＝DH， ∴△FDE≌△FDH（SAS）， ∴EF＝FH， ∵FH＝CF+CH＝CF+BE， ∴EF＝BE+CF． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 题型4：中考压轴热点题型—情景探究题 14．【课本再现】在八年级课本第62页，我们学习了：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【问题提出】 （1）如果三角形的外角等于与它不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是等腰三角形． 小明通过思考，画出下面的图1，并对上述命题进行了如下证明： ∵是的外角， ∴_______________， 又∵， ∴_______________， ∴________， ∴是等腰三角形． 【初步应用】 （2）如图2，等边中，是中线，E在延长线上，且，判断的形状并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，于D，，求证：． 【拓展提升】 （4）如图4，中，，平分，的周长为10，，求的长． 【答案】（1）见解析  （2）是等腰三角形，理由见解析  （3）见解析  （4） 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造等腰三角形是解题的关键． （1）根据三角形的外角即可得到，即可得到，进而得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到，然后根据中线得到，，进而推导，得以判定的形状； （3）延长至，使得，连接，得到，然后根据三线合一解题即可； （4）延长到点，使得，连接，则有，然后证明即可得到，然后利用的周长即可解题． 【解析】（1）证明：∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：是等腰三角形，理由为： ∵等边中， ∴ ∵是中线， ∴，， 又∵ ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形； （3）解：如图，延长至，使得，连接， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵于D， ∴； （4）解：延长到点，使得，连接， 则， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴ ∴，即， 又∵的周长为10，， ∴，即， ∴． 15．【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】    (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论） (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②； (2) (3)有最小值，最小值为2 【分析】（1）①过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，再证明 ，得出，即可得出结论；②过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （2）先证明，在上截取，通过证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【解析】（1）证明：①过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在上截取， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：有最小值，最小值为2 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造全等三角性是解题的关键． 16．【操作发现】同学甲找了一块等腰三角形的铁皮，烙一块与铁皮形状、大小相同的饼，烙好一面后把饼翻身，这块饼正好落在“锅”中，这是因为（填字母代号） A．三角形内角和为    B．等腰三角形是轴对称图形    C．三角形具有稳定性 【思考操作】同学乙用如图1所示直角三角形铁皮（）烙一块与铁皮形状、大小相同的饼，如果烙好后就把饼翻身，那么这块饼不能正好落在“锅”中，同学乙将饼切了一刀，然后将两小块都翻身，结果饼就能正好落在“锅”中，同学乙是怎样切的？请你利用直尺和圆规作出切下的“痕迹”（保留作图痕迹，不写作法）． 【类比探究】你认为下列说法正确的有．（填写正确说法的字母代号） A．任何直角三角形都能分成2个等腰三角形 B．任意锐角三角形都能分成3个等腰三角形 C．任意三角形都能分成4个等腰三角形 【拓展运用】①同学丙发现她手中的等腰三角形能被分成两个大小不等的小等腰三角形，那么丙同学手中的等腰三角形顶角的度数可能是______.（直接写出所有可能结果） ②如图2，小区有一块三角形空地，为了迎接“全国文明城市”检查，小区计划对该空地进行改建，要求：已知.，用两种不同的方法在内画出2条线段，满足：无论取何值，均被分成3个等腰三角形，并做必要的标注或说明． 【答案】操作发现：B；思考操作：见解析；类比探究：ABC；拓展运用：①丙同学手中的等腰三角形顶角的度数可能是或或；②见解析 【分析】操作发现：根据轴对称图形的性质解答即可； 思考操作：作线段的垂直平分线交于点M，连接即可； 类比探究：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，任何直角三角形都能分成2个等腰三角形可判断A，锐角三角形三边垂直平分线的性质可判断B，作任意三角形的高，交三角形的边与一点，再根据即可任何直角三角形都能分成2个等腰三角形可判断C； 拓展运用：分，，，三种情况分别讨论即可；②根据题意，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理解答即可． 【解析】解：操作发现：饼仍然正好落在“锅”中，即饼翻折以后与原来的图形重台，则铁锅的形状翻折以后与原来的图形重合，是轴对称图形． 故选：B． 思考操作：如图1，作出斜边上的垂直平分线交与点，连接，得出两个等腰三角形即可， 类比探究：由思考操作可知任何直角三角形都能分成2个等腰三角形，故A正确； 如图2，任意锐角三角形，作三边的垂直平分线交于点D，连接，即分成三个等腰三角形， 如图3，任意三角形先分为两个直角三角形后，再将直角三角形分为两个等腰三角形，最后都能分成4个等腰三角形，故C正确； 故选：ABC； 拓展运用：①如图4， 当时，则， 设，与是等腰三角形，且满足要求， 则， 又， ， 解得； 如图5，当时， 设，与是等腰三角形，且满足要求， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得； 如图6，当时， 设，与是等腰三角形，且满足要求， ，，， ，，， ， ，， ， 解得； 综上，丙同学手中的等腰三角形顶角的度数可能是或或； ②， ， ， ， 如图7，当时， 设，则， ， ， ， ， ， ， （符合题意）； 如图8，当时， 设，则， ， ，， ， ， ， ， 解得：， （符合题意）； 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的轴对称性，直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质等，理解题意是解题的关键．直角三角形的性质：直角三角形的斜边中线等于斜边的一半． 17．【了解概念】 如图1，已知A，B为直线同侧的两点，连接，，若，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在中，D为上一点，E关于直线对称，连接并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图2，在（1）的条件下，若点Q是射线EF上一点，且点D、Q关于直线的“等角点”为点C，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置； （3）如图3，在中，，的平分线交于点O，点O到的距离为2，直线l垂直平分边，点P为O，B关于直线l“等角点”，连接，，当时，的值为 ． 【答案】（1）是，见解析；（2）见解析；（3）4 【分析】（1）由垂直平分，得，则，而，则，所以点B是点D，F关于直线的“等角点”； （2）按照基本作图“作一个角等于已知角”的要求作，交于点Q，则点D，Q关于直线的“等角点”为点C； （3）作于点J，于点K，于点L，则，由角平分线的性质得，则点O在的平分线上，连接，设直线l交于点R，交于点T，则，所以，由点P为点O，B关于直线l“等角点”，得，则，可证明O、P、C三点在同一条直线上，则，所以的最小值为线段的长，可求得，于是得到问题的答案． 【解析】解：（1）点B是点D，F关于直线AB的“等角点”， 理由：∵点D，E关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B是点D，F关于直线的“等角点”． （2）如图2， 作法：1，以C为圆心，长为半径作弧，交与G、H； 2．连接，以H为圆心，长为半径作弧，与前弧相交于点I； 3．作射线交于点Q， 点Q就是所求的点． 理由：由作法得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D，Q关于直线的“等角点”为点C， ∴点Q就是所求的点． （3）如图3，作于点J，于点L，作于点K， ∵点O到的距离为2， ∴， ∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴点O在的平分线上， 连接，设直线l交于点R， ∵直线l垂直平分边， ∴， ∴， ∵点P为点O，B关于直线l“等角点”， ∴， ∴， ∴， ∴O、P、C三点在同一条直线上， ∴，平分， ∴的最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】此题重点考查轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、角平分线的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、两点之间线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 题型5：动态问题 18．在中，，，点O是的中点，点P是射线上的一个动点（点P不与点C、O、B重合），过点C作于点E，过点B作于点F，连接，． 【问题探究】如图1，当P点在线段上运动时，延长交于点G． （1）求证：； （2）求与的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）①如图2，当P点在线段上运动，的延长线与的延长线交于点G． 求证：； ②当P点在射线上运动时，若，，直接写出的面积，不需证明． 【答案】（1）见解析；（2）相等，见解析；（3）①见解析；②4或25 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识， （1）根据证明三角形全等即可； （2）结论：，证明，推出，利用全等三角形的性质证明即可； （3）①首先由得到，，然后证明出，得到，，可得结论； ②分两种情形：点在线段上，点在线段的延长线上，分别求解即可． 解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【解析】（1）证明：，， ， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：， 理由：，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． （3）解：①， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ； ②如图2中，当，时，， ． 如图3中，当，时，， ．    综上所述，满足条件的的面积为4或25． 19．已知中，，，为边上一点，点在延长线上，连接． (1)如图1，已知，，当时，求的面积； (2)如图2，过点作的垂线，分别交于点，过点作交于，连接，求的度数； (3)如图3，当点在上运动，且始终为时，过点作，垂足为，则的值是否发生改变？若不变，求出这个值；若发生改变，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不发生改变，2 【分析】（1）由，，可得，由，可得，计算求解即可； （2）由，可得，由三角形内角和定理，对顶角相等可得，证明，则，进而可得是等腰直角三角形，； （3）如图，作交于点，同理（2）可证，，则，是等腰直角三角形，是的中点，，由，进而可求得，然后作答即可． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ； （3）解：如图，作交于点， 同理（2）可证，， ∴，是等腰直角三角形， ∵， ∴是的中点， ∴， ∴ ， ∴ ∴的值不发生改变，值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线与面积，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，中线与面积，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$