强化专题04　不等式含参数、恒成立、能成立问题【6大题型】-2024-2025学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

强化专题04　不等式含参数、恒成立、能成立问题 【方法技巧】 在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养． 一、“Δ”法解决恒成立问题 (1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin>0⇔ (2)如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔ymax<0⇔ 二、数形结合法解决恒成立问题 结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题． 三、分离参数法解决恒成立问题 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题． 四、主参换位法解决恒成立问题 转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解． 五、利用图象解决能成立问题 结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决． 六、转化为函数的最值解决能成立问题 能成立问题可以转化为m>ymin或m<ymax的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围． 【考点目录】 · 考点一、“Δ”法解决恒成立问题 · 考点二、数形结合法解决恒成立问题 · 考点三、分离参数法解决恒成立问题 · 考点四：一元二次不等式在某区间有解问题 · 考点六：含参数的一元二次不等式的解 · 考点六、一元二次不等式恒（能））成立综合问题 【例题详解】 题型一、“Δ”法解决恒成立问题 1．（25-26高一上·全国）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高一上·上海·单元测试）不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二、数形结合法解决恒成立问题 4．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·浙江绍兴·期中）已知函数，若对于都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·四川成都）若，且恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三、分离参数法解决恒成立问题 7．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 9．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域为B，函数的定义域为，若，使得恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四：一元二次不等式在某区间有解问题 10．（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一·全国·课堂例题）若关于x的不等式在时有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·北京·阶段练习）若存在,有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：含参数的一元二次不等式的解 13．（24-25高一上·上海）解关于的不等式：（其中）． 14．（24-25高一上·上海·假期作业）解关于的不等式： (1)； (2). 15．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集． 题型六、一元二次不等式恒（能））成立综合问题 16．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 17．（24-25高三上·福建宁德）已知不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围. 18．（2024高三·全国）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 【专题训练】 一、单选题 19．（2024高一上·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·全国·随堂练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 23．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 25．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知，若命题“，或”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（22-23高一下·江苏·开学考试）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 28．（24-25高一上·全国·课后作业）已知实数，则不等式的解集可能是（    ） A． B． C．或 D．或 29．（23-24高一下·云南曲靖·期中）已知不等式的解集为，则以下选项正确的有（    ） A． B． C．函数有两个零点2和3 D．的解集为或 30．（23-24高一上·新疆喀什·期末）下列几种说法中正确的是（   ） A．若，则的最小值是4 B．命题“，”的否定是“，” C．若不等式的解集是，则的解集是 D．“”是“不等式对一切x都成立”的充要条件 31．（23-24高一上·陕西咸阳·期中）下列结论正确的是（    ） A．若方程没有根，则不等式的解集为 B．若不等式的解集是，则 C．若关于的不等式的解集为，则 D．不等式的解集为 三、填空题 32．（24-25高一上·全国·随堂练习）若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是 . 33．（24-25高一上·全国·课前预习）若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 . 34．（23-24高一下·广东深圳·期末）若 ，不等式 恒成立，则的取值范围为 . 35．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 36．（24-25高一上·上海） （1）解关于的不等式 （2）已知不等式对一切都成立.求实数的取值范围. 37．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)解关于的不等式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 38．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）已知函数． (1)若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 39．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在区间上有最大值2和最小值1. (1)求的值； (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围； 40．（24-25高一上·上海）（1）已知， ①如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； ②如果对，恒成立，求实数的取值范围. （2）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强化专题04　不等式含参数、恒成立、能成立问题 【方法技巧】 在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养． 一、“Δ”法解决恒成立问题 (1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin>0⇔ (2)如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔ymax<0⇔ 二、数形结合法解决恒成立问题 结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题． 三、分离参数法解决恒成立问题 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题． 四、主参换位法解决恒成立问题 转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解． 五、利用图象解决能成立问题 结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决． 六、转化为函数的最值解决能成立问题 能成立问题可以转化为m>ymin或m<ymax的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围． 【考点目录】 · 考点一、“Δ”法解决恒成立问题 · 考点二、数形结合法解决恒成立问题 · 考点三、分离参数法解决恒成立问题 · 考点四：一元二次不等式在某区间有解问题 · 考点六：含参数的一元二次不等式的解 · 考点六、一元二次不等式恒（能））成立综合问题 【例题详解】 题型一、“Δ”法解决恒成立问题 1．（25-26高一上·全国）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据和，结合判别式即可求解. 【详解】当时，恒成立，则符合题意； 当时，由题意可得解得． 综上，实数的取值范围是． 故选:B． 2．（24-25高一上·上海·单元测试）不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，结合二次函数的性质分析讨论即可得解. 【详解】当，即时，恒成立， 当时，因为对恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故选：C 3．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解. 【详解】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为的解为全体实数， 所以，解得； 综上：. 故选：C. 题型二、数形结合法解决恒成立问题 4．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则问题转化为在的最小值满足，再利用二次函数的性质解不等式即可求出. 【详解】令，则问题转化为在上的最小值满足即可. 当时，，最小值为，符合题意； 当时，对称轴，函数在上单调递减， 而适合题意； 当时，对称轴， 则， 所以； 综上的取值范围为. 故选：A. 5．（23-24高一上·浙江绍兴·期中）已知函数，若对于都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，对于都有成立， ∴，解得：， 即实数的取值范围是. 故选：D. 6．（22-23高一上·四川成都）若，且恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为在恒成立，令，分、、讨论，再结合对称轴的位置和特殊点的函数值可得答案. 【详解】因为，所以， 即在恒成立， 令， 时， 由，方程无解； 由，解得由； 由，方程组无解； 时，只须即可，解得； 时，，时单调递减，，满足题意； 综上所述，. 故选：B. 题型三、分离参数法解决恒成立问题 7．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 8．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】依据题意先将问题等价转化成在上恒成立，接着将恒成立问题转化成最值问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】，使得成立是真命题， 所以,恒成立. 所以在上恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 9．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域为B，函数的定义域为，若，使得恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域求得集合，利用分离常数法、基本不等式求得的取值范围. 【详解】函数的定义域为，即， 所以，所以的定义域， 由于，， 所以在区间上恒成立， 由于，当且仅当时等号成立， 所以，即的取值范围是. 故选：C 题型四：一元二次不等式在某区间有解问题 10．（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的图象及根的分布计算即可. 【详解】易知恒成立，即有两个不等实数根， 又，即二次函数有两个异号零点， 所以要满足不等式在区间上有解， 所以只需， 解得，所以实数m的取值范围是． 故选A． 11．（22-23高一·全国·课堂例题）若关于x的不等式在时有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题等价于当时，，数形结合求出二次函数在时的最大值即可. 【详解】不等式在时有解， 等价于当时，. 由二次函数的图象知，当时，，所以.    故选：A. 12．（23-24高一上·北京·阶段练习）若存在,有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】参数分离可得，设，将存在问题转化为，求出函数的最大值，即可得到实数a的取值范围. 【详解】因为，所以将原不等式参数分离可得，设， 已知存在，有成立，则， 令，则，， 由对勾函数知在上单调递减，在上单调递增， ，， 所以，即， 故选：B. 题型六：含参数的一元二次不等式的解 13．（24-25高一上·上海）解关于的不等式：（其中）． 【答案】答案见解析. 【分析】左边进行因式分解，根据函数与不等式的关系，求出端点值，后将端点值比较大小，分类讨论即可. 【详解】解：原不等式可化为． ①若，即，此时原不等式的解集为或； ②若，即，此时原不等式的解集为； ③若，即，此时原不等式的解集为或． 14．（24-25高一上·上海·假期作业）解关于的不等式： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）将不等式因式分解，即可分类讨论求解. 【详解】（1）由可得， 当时，不等式的解为或； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为或 （2）由可得， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 15．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由恒成立，即恒成立，即得，从而可求解. （2）由即，然后对分情况讨论，从而可求解. 【详解】（1）∵ 恒成立， ∴ 对恒成立， 故，化简得，解得， 故实数的取值范围. （2），即； 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为. 题型六、一元二次不等式恒（能））成立综合问题 16．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用因式分解法求解含参一元二次不等式即可. （2）利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【详解】（1）易得 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为． （2）若在上有解， 则在上有解， 故，即在上有解， 由，得， 进而知，令，则， 设， 当且仅当时取等号，所以． 17．（24-25高三上·福建宁德）已知不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）分及进行讨论，结合根的判别式计算即可得； （2）参变分离后借助换元法计算即可得； （3）令，则可结合一次函数的性质计算即可得. 【详解】（1）当时， ，此时，不符合要求， 当时，， 若不等式对任意恒成立，则有， 即，该不等式组无解， 故不存在实数，使不等式对任意恒成立； （2）由题意可得：当时，恒成立， 令，则，则， 由在上单调递增，故， 则，故； （3）设， 由题意可得在上恒成立， 故有，即， 由①得或， 由②得， 即可得. 18．（2024高三·全国）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）对是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解. （2）不等式化简为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. 【详解】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立. 当时，不等式可化为，不满足题意. 当，有，即，解得 所以的取值范围是． （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【专题训练】 一、单选题 19．（2024高一上·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式与对应方程的关系，由韦达定理得到的关系，再根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为，即，解得， 所以不等式的解集是． 故选：A 20．（23-24高一下·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论的两根大小，结合已知条件，通过求一元二次不等式即可求解. 【详解】原不等式可化为， 当时，得，此时解集中的整数为2，3，4，则； 当时，得，此时解集中的整数为，，，则， 综上所述，的取值范围是. 故选：A 21．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，结合不等式恒成立求参数的取值范围. 【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：D． 22．（24-25高一上·全国·随堂练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程的判别式，列出不等式组求解即得. 【详解】关于x的一元二次方程有实数根，则，解得且， 所以k的取值范围是且. 故选：C 23．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时显然恒成立，当时参变分离可得恒成立，令，，根据单调性求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为关于的不等式对任意均成立， 当时，恒成立， 当时，恒成立， 令，， 因为与在上单调递增， 则在上单调递增，所以当时取得最大值， 即， 所以，则， 综上可得实数的取值范围为. 故选：D 24．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为不等式的解集是空集， 所以不等式的解集是， 当即 时， 若 ，则 ， 舍； 若 ，则 ， ； 当时，则 ，解得 ， 综上所述 ， 所以条件是条件的充分不必要条件． 故选：A． 25．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知，若命题“，或”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段讨论x的取值范围，结合命题的真假列出相应不等式，最后综合即可得答案. 【详解】当时，，无论取何值，均符合题意； 当时，，只需， 解得或； 当时，，由题中条件可得，只需对于恒成立， 当时，不符合题意； 当时，图象为开口向上的抛物线， 不能满足对恒成立，不符合题意； 当时，的2个根为， 需满足，结合，可得， 综合上述可知的取值范围是， 故选：B. 26．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为不等式在有解，结合二次函数的性质，求得其最小值，即可求解. 【详解】由使得不等式成立是真命题， 即不等式在有解， 因为，当时，， 所以，即实数的取值范围为. 故选：C. 27．（22-23高一下·江苏·开学考试）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】注意到原题条件等价于当时，恒成立，当时，恒成立，故当时，，从而得，由此结合基本不等式即可求解. 【详解】设，， 因为，所以当时，； 当时，； 时，； 由不等式恒成立，得或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，， 则，即， 则当时，，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 故选：C． 二、多选题 28．（24-25高一上·全国·课后作业）已知实数，则不等式的解集可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】AD 【分析】分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集，即可判断. 【详解】由， 当时，不等式即为，解得，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式即为，即， 解得或，即不等式的解集为或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或，结合选项可知只有AD符合题意. 故选：AD 29．（23-24高一下·云南曲靖·期中）已知不等式的解集为，则以下选项正确的有（    ） A． B． C．函数有两个零点2和3 D．的解集为或 【答案】ACD 【分析】由题意，方程的根为和，由韦达定理可知，，判断；结合二次函数的图象知当时，，判断；由不等式的解集为，判断；由韦达定理可知，，代入，求解不等式即可. 【详解】不等式的解集为， 所以根据一元二次不等式解法可知， 且，，，，则，正确； 由二次函数的图象知当时，，故，错误； 方程的根为和，显然正确； 由,可知:，， 代入，得， 由可得，解得或， 故的解集为或，正确； 故选：. 30．（23-24高一上·新疆喀什·期末）下列几种说法中正确的是（   ） A．若，则的最小值是4 B．命题“，”的否定是“，” C．若不等式的解集是，则的解集是 D．“”是“不等式对一切x都成立”的充要条件 【答案】BCD 【分析】A：取进行分析；B：根据含一个量词的命题的否定方法得到结果；C：先根据韦达定理求解出的值，然后可求的解集；D：分析不等式对一切x都成立时的取值范围，然后作出判断. 【详解】对于A：当时，，但，故A错误； 对于B：修改量词，否定结论可得命题的否定为：“，”，故B正确； 对于C：因为的解集是，所以，所以， 所以，解得，故C正确； 对于D：当时，恒成立， 当时，若不等式对一切x都成立， 则，解得， 综上，时，不等式对一切x都成立， 所以“”是“不等式对一切x都成立”的充要条件，故D正确； 故选：BCD. 31．（23-24高一上·陕西咸阳·期中）下列结论正确的是（    ） A．若方程没有根，则不等式的解集为 B．若不等式的解集是，则 C．若关于的不等式的解集为，则 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】由方程和不等式之间的关系能判断A、B、C，由分式不等式能确定选项D. 【详解】选项A：若方程没有根，则， 故当时，不等式的解集为，故不符合题意；A错误. 选项B：不等式的解集是，则、为方程的根， 则代入得；故B正确； 选项C：当时，不等式变为，则解集不是R，不符合题意； 当时，不等式得解集为R，则，即； 综上，，故C正确； 选项D：不等式，即，解得，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 32．（24-25高一上·全国·随堂练习）若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据题意可知，运算求解即可. 【详解】若命题“，”为真命题， 则，解得或， 所以实数m的取值范围是或. 故答案为：或. 33．（24-25高一上·全国·课前预习）若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意恒成立，即，然后由基本不等式求的最大值即可. 【详解】由题意恒成立，即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为， 所以. 故答案为：. 34．（23-24高一下·广东深圳·期末）若 ，不等式 恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数得，令，求出函数在上的最大值即可求解. 【详解】，不等式 恒成立， 则，即，恒成立， 令，由图知在上单调递减，在上单调递增， 又，故，则. 故答案为： .      35．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 ， . 【分析】代入，化简可得 ，根据一元二次不等式解法求结论，当时由条件求的取值范围，当时，化简不等式，由条件求的取值范围，由此可得结论. 【详解】当时，不等式可化为， 所以， 所以或， 所以不等式的解集是， 由已知对任意的，不等式恒成立， 当时，，此时， 当时，不等式，可化为， 所以，其中， 所以，所以， 所以不等式对任意的均成立时，的取值范围是. 故答案为：，. 四、解答题 36．（24-25高一上·上海·开学考试）（1）解关于的不等式 （2）已知不等式对一切都成立.求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析（2） 【分析】（1）对参数分类讨论，利用不等式性质解不等式即可； （2）对二次项前面系数分类讨论求解即可. 【详解】（1）由原不等式可得， 当时，可得恒成立，所以； 当时，由原不等式可得； 当时，由原不等式可得. 综上，时，不等式解集为，时，不等式解集为， 时，不等式解集为. （2）当时，由原不等式可得，对恒成立； 当时，由二次不等式对一切都成立， 需满足，即， 解得. 综上，实数的取值范围为. 37．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)解关于的不等式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对不同参数范围进行讨论，求解不等式即可. （2）利用分离参数法结合换元法对函数进行化简，再利用基本不等式求解范围即可. 【详解】（1）因为， 当时，即时，原不等式可化为，解得， 所以原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式可化为， 当时，即时，， 因为，所以原不等式的解集为； 当时，即时，， 因为，所以原不等式的解集为； （2）因为， 即， 因为恒成立， 所以， 故， 令，因为，所以， 所以对于一切恒成立， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以，且仅当时取等号，即实数的取值范围为. 38．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）已知函数． (1)若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)答案见解析 【分析】（1）讨论或两种情况，由不等式恒成立，求参数的取值范围； （2）首先不等式整理为，讨论对应方程的两根大小关系，解不等式. 【详解】（1）即为， 所以不等式对于任意恒成立， 当时，得，显然符合题意； 当时，得，解得． 综上，实数a的取值范围是． （2）不等式即为， 即． 又，不等式可化为， 若，即时，得或，即解集为或； 若，即时，得，即解集为； 若，即时，得或，即解集为或． 综上可知，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 39．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在区间上有最大值2和最小值1. (1)求的值； (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2). 【分析】（1）将函数配方，根据抛物线开口方向分类讨论函数单调性，依题意列出方程组，计算即得； （2）将函数式代入，再利用参变分离法，将其转化为求函数的最小值问题即得. 【详解】（1）由已知可得. 当时，在上为增函数，所以，解得； 当时，在上为减函数，所以，解得. 由于，所以. （2）由（1）知， 所以在上恒成立，即， 因为，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又，当且仅当时取等号. 所以，即. 即实数的范围为. 40．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）已知， ①如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； ②如果对，恒成立，求实数的取值范围. （2）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）①；② ；（2） 【分析】（1）①根据判别式即可列不等式求解， ②由二次函数的性质，结合分类讨论即可求解， （2）分类讨论即可求解. 【详解】（1）①由题意可得，解得， ②为开口向上的二次函数，对称轴 如果对，恒成立，则或或 解得 （2）①若；此时不等式为，满足题意， ②若， 综上可得 1 学科网（北京）股份有限公司 $$