专题强化03　基本不等式的应用技巧【9大题型】-2024-2025学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

专题强化03　基本不等式的应用技巧 【方法技巧】 1. 应用基本不等式“四”勿忘 ①勿忘“正”：“正”是指使用基本不等式的前提条件是各项均为正实数. ②勿忘“定”：“定”是指用基本不等式时，和或积为定值. ③勿忘“等”：“等”是利用基本不等式求最值时，应注意等号是否可以取到，即等号成立的条件. ④勿忘“同”：“同”是指多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同. 2. 在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用． 【考点目录】 · 考点一：基本不等式求积的最大值 · 考点二：基本不等式求和的最小值 · 考点三、二次与二次（或一次）的商式的最值 · 考点四：条件等式求最值 · 考点五：基本不等式‘1’的妙用 · 考点六：基本不等式恒成立问题 · 考点七：基本不等式的综合应用 · 考点八：基本不等式证明不等式 · 考点九：基本不等式的实际应用 【例题详解】 题型一：基本不等式求积的最大值 1．（24-25高一上·全国）若，则有（    ） A．最小值0 B．最大值2 C．最大值 D．不能确定 2．（23-24高一下·贵州贵阳）已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 3．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 题型二：基本不等式求和的最小值 4．（25-26高一上·全国）若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 5．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）函数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．（23-24高一下·广东茂名·期末）已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型三、二次与二次（或一次）的商式的最值 7．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）设，则 （    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 9．（21-22高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型四：条件等式求最值 10．（24-25高一上·全国）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 11．（23-24高一上·广西·期末）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 12．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C． D． 题型五：基本不等式‘1’的妙用 13．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 14．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 15．（23-24高一上·浙江·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 题型六：基本不等式恒成立问题 16．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·陕西西安·期中）若，，且，恒成立，则实数的范围是（        ） A． B．或 C．或 D． 题型七：基本不等式的综合应用 19．（24-25高一上·江苏） （1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值； （3）若，且，求的最小值. 20．（24-25高一上·全国） （1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值． （3）已知，求的最大值． 21．（24-25高一上·上海） （1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 题型八：基本不等式证明不等式 22．（24-25高一上·上海）（1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 23．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 24．（23-24高一下·山东淄博·期中） （1）已知，求证：； （2）求证：． 题型九：基本不等式的实际应用 25．（24-25高一上·上海·随堂练习）某造纸厂拟造一座占地面积为的矩形二级污水处理池，池的深度一定，池的外周墙壁建造单价400元/m，中间一条隔离壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/（墙壁厚忽略不计）．污水处理池的长为多少时可使总造价最低？总造价最低为多少？ 26．（24-25高一上·上海·期中）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150％”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，求该公司最大月利润． 27．（24-25高一上·全国·单元测试）某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【专项强化】 一、单选题 28．（24-25高一上·浙江）设、满足，且、都是正数，则的最大值为（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 29．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 30．（23-24高二下·山西临汾·期末）已知，，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高三上·江西·开学考试）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列选项正确的是（    ）． A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 33．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 34．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 35．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 36．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 37．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式恒成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 39．（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列结论中，错误的结论有（    ） A．取得最大值时的值为 B．若，则的最大值为 C．函数的最小值为 D．若，，且，那么的最小值为 40．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 三、填空题 41．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 42．（23-24高一上·天津·期末）若实数，，且满足，则的最小值为 . 43．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）已知，且，则的最小值为 ． 44．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的值为 ． 四、解答题 45．（24-25高一上·上海·） （1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 46．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 47．（24-25高一上·上海） （1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值． 48．（23-24高一下·江西景德镇·期中）杭州亚运会以“绿色，智能，节俭，文明”为办赛理念，展示杭州生态之美，文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需要另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求出最大利润. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化03　基本不等式的应用技巧 【方法技巧】 1. 应用基本不等式“四”勿忘 ①勿忘“正”：“正”是指使用基本不等式的前提条件是各项均为正实数. ②勿忘“定”：“定”是指用基本不等式时，和或积为定值. ③勿忘“等”：“等”是利用基本不等式求最值时，应注意等号是否可以取到，即等号成立的条件. ④勿忘“同”：“同”是指多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同. 2. 在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用． 【考点目录】 考点一：基本不等式求积的最大值 考点二：基本不等式求和的最小值 考点三、二次与二次（或一次）的商式的最值 考点四：条件等式求最值 考点五：基本不等式‘1’的妙用 考点六：基本不等式恒成立问题 考点七：基本不等式的综合应用 考点八：基本不等式证明不等式 考点九：基本不等式的实际应用 【例题详解】 题型一：基本不等式求积的最大值 1．（24-25高一上·全国）若，则有（    ） A．最小值0 B．最大值2 C．最大值 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据基本不等式求乘积的最大值，再检验最小值的情况即可得解. 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即时等号成立， 故有最大值，故C正确，BD错误； 令，解得或， 又，所以取不到函数值0，故A错误. 故选：C. 2．（23-24高一下·贵州贵阳）已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 【答案】B 【分析】利用基本不等式，直接计算即可. 【详解】，当且仅当，即取得等号，满足题意. 故选：B. 3．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意可得，，，利用基本不等式求最值. 【详解】因为，，，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：A. 题型二：基本不等式求和的最小值 4．（25-26高一上·全国）若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 【答案】C 【分析】将式子配凑成，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8． 故选：C． 5．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）函数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】将函数化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】由，则， 则， 当且仅当时，即时取等号， 故选：C 6．（23-24高一下·广东茂名·期末）已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】由，则，故， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 题型三、二次与二次（或一次）的商式的最值 7．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）设，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对变形后，利用基本不等式求解. 【详解】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则. 故选：D. 8．（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 9．（21-22高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求，当且仅当时等号成立，化简已知即可求解. 【详解】解：因为， 又因为，所以， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以， 即y的最大值是. 故选：D. 题型四：条件等式求最值 10．（24-25高一上·全国）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用消元法，消去，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】由为正实数，且，得， 则， 当且仅当，即时，取最小值9. 故选：C. 11．（23-24高一上·广西·期末）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可得关于的一元二次不等式，解不等式即可. 【详解】，则有， 可得，即4，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为4. 故选：B 12．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】首先由条件可得，再变形，最后利用基本不等式，即可求解. 【详解】由，，可得，则 则 ， 当，得时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：A 题型五：基本不等式‘1’的妙用 13．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 14．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 15．（23-24高一上·浙江·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据题意，以与为基本量加以整理，化简后利用基本不等式算出答案. 【详解】由得，其中，， 所以， 当且仅当，即，则，时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：D 题型六：基本不等式恒成立问题 16．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为，利用“1”的代换以及基本不等式求解，从而得到，求解不等式，即可得到答案． 【详解】因为不等式恒成立， 则， 因为，，由可得， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故， 所以，即，解得， 则实数的取值范围是． 故选：B． 17．（23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 18．（23-24高一上·陕西西安·期中）若，，且，恒成立，则实数的范围是（        ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为， 因为恒成立，则， 即，解得. 故选：A. 题型七：基本不等式的综合应用 19．（24-25高一上·江苏） （1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值； （3）若，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）9；（3）9 【分析】（1）（2）对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值； （3）先常数代换变形，再利用基本不等式求解最值； 【详解】（1）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最大值为. （2）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最小值为9. （3）因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，所以的最小值为. 20．（24-25高一上·全国） （1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值． （3）已知，求的最大值． 【答案】（1）6；（2）；（3） 【分析】（1）由题意得（），再利用基本不等式可求得其最小值； （2）由题意得，则，再利用基本不等式可求得其最大值； （3）由题意得，则原式化为，再利用基本不等式可求得其最大值. 【详解】（1）∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴当时，取得最小值6． （2）∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴当时，取得最大值． （3）解  ∵，∴，∴， ∴ ， ∵， 当且仅当，即时等号成立． ∴， ∴当时，取得最大值． 21．（24-25高一上·上海） （1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 【答案】（1）（i）（ii）；（2）32 【分析】根据基本不等式即可直接求解（i）（2），利用乘 “1”法即可求解（ii）， 【详解】（1）（i）由，及基本不等式，可得， 故，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为64； （ii），，， ，当且仅当且， 即，时等号成立，即 取得最小值18； （2）由可得 当且仅当，即时等号成立 故的最小值为32. 题型八：基本不等式证明不等式 22．（24-25高一上·上海）（1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）变形后，利用基本不等式进行求解； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当时取等号． （2）∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． 23．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式，求得，进而证得. （2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得. 【详解】（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 24．（23-24高一下·山东淄博·期中）（1）已知，求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据重要不等式可得，从而得到，同理得到其余两式，再将三式相加即可得证； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1）因为（当且仅当时取等号），， 所以①； 同理可得②；③； ①、②、③相加得， 所以， 又，所以， 所以，当且仅当时取等号． （2）因为 ，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 即， 又，当时取等号， 所以，当且时取等号． 题型九：基本不等式的实际应用 25．（24-25高一上·上海·随堂练习）某造纸厂拟造一座占地面积为的矩形二级污水处理池，池的深度一定，池的外周墙壁建造单价400元/m，中间一条隔离壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/（墙壁厚忽略不计）．污水处理池的长为多少时可使总造价最低？总造价最低为多少？ 【答案】15米，总造价最低为36000元 【分析】设污水处理池的宽为米，长为米，从而得到总造价，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】设污水处理池的宽为米，则长为米． 则总造价 ， 当且仅当，即时，取等号． 此时，所以当长为15米时，总造价最低为36000元． 26．（24-25高一上·上海·期中）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150％”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，求该公司最大月利润． 【答案】最大月利润为37.5万元 【分析】根据题意得到投入实体店安装费用，结合每件产品售价及进货价格写出月利润的表达式，再由结合基本不等式，即可求解函数的最大值. 【详解】由题意知，且. 每件产品售价定为， 设该公司的月利润为y万元， 则 ， 当且仅当时，即时取等号， 答：该公司最大月利润为37.5万元． 27．（24-25高一上·全国·单元测试）某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（） (2)当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 【分析】（1）根据利润＝销售收入－成本并结合分段函数表达式即可得到利润表达式； （2）利用二次函数性质和均值不等式分段研究利润最大值，并比较大小即可. 【详解】（1）由题意可得当，时，； 当，时，； 所以（）． （2）当时，，， 当时，取最大值，（万元）； 当时，， ， 当且仅当，即时等号成立，因为， 故当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 【专项强化】 一、单选题 28．（24-25高一上·浙江）设、满足，且、都是正数，则的最大值为（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为、满足，且、都是正数， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 29．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可. 【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 故选：D． 30．（23-24高二下·山西临汾·期末）已知，，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用“1”的代换求得的最小值，再由求解. 【详解】解：设， 则，解得， 则， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2， 又因为对，，且恒成立， 所以， 故选：B 31．（24-25高三上·江西·开学考试）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把化简为为，然后利用基本不等式即可求出最小值 【详解】因为，则， 由于， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：C 32．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列选项正确的是（    ）． A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】利用基本不等式“一正、二定、三相等”的条件判断AB；借助对勾函数单调性判断CD. 【详解】对于A，当与为负数时，显然不成立，A不正确； 对于B，当x为负数时，显然不成立，B不正确； 对于C，令，所以的最小值为3， 当且仅当时，取到最小值，C不正确； 对于D，，令，函数在上递增， 因此当，即时，取得最小值，D正确. 33．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 34．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】将分子的上乘以，得到，再利用重要不等式，化简即可. 【详解】因为，且，又， 所以， 当且仅当时取最小值，此时， 故所求为6. 故选：D. 35．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据“1”的变形技巧，利用均值不等式求最值即可得解. 【详解】因为，， 所以，即， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 故. 故选：C 36．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理，构造函数，利用基本不等式即可求出最值. 【详解】如图，设，由矩形的周长为4，可知． 设，则．， ． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以． 所以的面积． 所以，当且仅当时， 即当时，的面积最大，面积的最大值为， 故选：B． 二、多选题 37．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】对于AB：根据不等式的性质分析判断；对于C：利用作差法分析判断；对于D：利用基本不等式分析判断. 【详解】对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立， 整理可得，故A正确； 对于选项B：由选项A可知：， 整理可得，即， 且，则，所以，故B错误； 对于选项C：因为， 若，则， 可得，即，故C正确； 对于选项D：因为，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故D正确； 故选：ABCD. 38．（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式恒成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于ACD，利用基本不等式分析判断，对于B，举例判断. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确. 对于B，若，则，所以B错误. 对于C，因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号，所以C正确. 对于D，因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，所以D正确. 故选：ACD 39．（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列结论中，错误的结论有（    ） A．取得最大值时的值为 B．若，则的最大值为 C．函数的最小值为 D．若，，且，那么的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据二次函数的性质判断A，利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】对于A，因为，则函数的对称轴为， 所以取得最大值时的值为，故A错误； 对于B，令， 若，，，，当时取等号， 所以，则，则的最大值为，故B错误； 对于C，函数， 令，当时，解得，不满足题意，故C错误； 对于D，若，，且， 所以， 当时，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABC. 40．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】CD 【分析】对于选项A，举出反例，即可判断；对于选项B，用二次函数知识可以求出最大值；对于选项C、D，利用基本不等式即可求解. 【详解】对于选项A，当时，，故A错误； 对于选项B，，所以的最大值为1，故B错误； 对于选项C，，当且仅当，即时，等号成立，故C正确. 对于选项D，， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 41．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】由已知得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】正实数且得， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为： 42．（23-24高一上·天津·期末）若实数，，且满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】将式子变形，利用常数代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为，所以， 又实数，，所以 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：. 43．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据分母特点，将化为，将化为.然后用基本不等式即可. 【详解】由于，因此， 则， 当且仅当时取等号． 故答案为：. 44．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的值为 ． 【答案】3 【分析】由条件等式结合基本不等式可求得取得最大值时所需满足的条件，进一步即可得解. 【详解】∵， ∴， ∵x，y，z均为正实数， ∴ 当且仅当，即，此时时取“=”， 故此时. 故答案为：3． 四、解答题 45．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）通过减加，将目标式配凑成积为定值，然后利用基本不等式可得； （2）通过乘以除以，将目标式配凑成和为定值，然后利用基本不等式可得. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立，故函数的最小值为. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最大值为. 46．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析，当且仅当 (2)证明见解析，当且仅当 【分析】（1）利用作差法证明； （2）利用基本不等式证明； 【详解】（1）因为， ， ， 所以成立； 当且仅当时，等号成立； （2）， ． 所以． 当且仅当时，等号成立． 47．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值． 【答案】（1）；（2）最小值为9． 【分析】（1）（2）根据给定条件，配凑并利用基本不等式求出最值即得. 【详解】（1）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以原函数的最大值为. （2）由，得， 因此 ， 当且仅当，即时取等号， 所以原函数的最小值为9. 48．（23-24高一下·江西景德镇·期中）杭州亚运会以“绿色，智能，节俭，文明”为办赛理念，展示杭州生态之美，文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需要另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当年产量为万台时，该公司获得年利润最大为万元 【分析】（1）依题意可得，根据的解析式计算可得； （2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出、上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值. 【详解】（1）依题意可得， 又， 当时； 当时， 所以； （2）当时，， 由函数图象开口向下，对称轴方程为可知函数在上单调递增， 所以当时，， 当时， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因为，所以当年产量为万台时，该公司获得年利润最大为万元. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$