第06讲 有理数的乘法与除法（6个知识点+3种题型+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版2024）

第06讲 有理数的乘法与除法（6个知识点+3种题型+过关检测） 知识点1.有理数的乘法法则（重点） 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点2.有理数的乘法运算律（难点） 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点3.多个有理数相乘（难点） 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点4.倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点5.有理数除法法则（重点） （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点6.有理数的乘除混合运算（重点） 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 题型一．倒数（共6小题） 1．（2023秋•兴化市校级月考）倒数等于本身的数是　　 A．0 B．1 C． D． 2．（2023秋•常熟市校级月考）的倒数是　 　． 3．（2023秋•宿城区期中）若、互为相反数，、互为倒数，则的值是 　　． 4．（2022秋•邗江区期末）若、是互为倒数，则　　． 5．（2023秋•工业园区校级月考）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． （1）根据倒数的定义我们知道，若，则　　． （2）计算． （3）根据以上信息可知：　　． 6．（2023秋•江都区月考）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2． （1）直接写出，，的值； （2）求的值． 二．有理数的乘法（共9小题） 7．（2023秋•沭阳县期中）如图，数轴上的、两点所表示的数分别为、，且，，则原点的位置在　　 A．点的右边 B．点的左边 C．、两点之间，且靠近点 D．、两点之间，且靠近点 8．（2023秋•沭阳县校级月考）已知有理数1，，，，请你任选两个数相乘，运算结果最大是 　　． 9．（2023秋•邳州市校级月考）已知、都是有理数，若，则　　． 10．（2023秋•天宁区校级月考）对于有理数、，定义运算：，计算的值　　． 11．（2023秋•崇川区校级月考）已知，，且，那么的值为 　　． 12．（2023秋•邳州市校级月考）若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则0.25的负倒数是 　　． 13．（2023秋•姜堰区校级月考）如图，有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求借助卡片上的数字完成下列各题： （1）从中取出2张卡片，使卡片上的2个数的和最小，则和的最小值是多少？ （2）从中取出2张卡片，使卡片上的2个数相乘的积最小，则积的最小值是多少？ （3）再制作一张写有数字的卡片，使6张卡片上数字之和为0，则新做的卡片上数字应写多少？ 14．（2023秋•启东市校级月考）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． （1）求的值； （2）求的值． 15．（2023秋•新吴区校级月考）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ （1）当时，若，，则 　　0； （2）当时，若，则 　　0； （3）已知，，是非零有理数，则　　； （4）当与都是整数，且，求的值．（写出分类讨论的过程） 三．有理数的除法（共9小题） 16．（2023秋•海陵区校级月考）计算的结果为　　 A．1 B． C．5 D．125 17．（2023秋•江阴市期中）如果，那么下列各式成立的是　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•虎丘区校级月考）我们把记作，记作，那么计算的结果为　　 A．1 B．3 C． D． 19．（2023秋•赣榆区校级月考）计算：　　． 20．（2023秋•崇川区校级月考）已知，那么　　． 21．（2023秋•锡山区校级月考）阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以，原式． （1）上述得到的结果不同，你认为解法　　是错误的； （2）请你选择合适的解法计算：． 22．（2023秋•天宁区校级月考）我们知道，每个自然数都有因数，将这个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和，再除以这个自然数所得的商叫做这个自然数的“完美指标”．例如：10的正因数有1，2，5，10，它的正奇数因数是1，5，它的正偶数因数是2，10．所以10的“完美指标”是：，我们规定．若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小，这个数就越“完美”．例如，因为6的“完美指标”是，7没有正偶数因数，7的“完美指标”是，且，所以6比7更“完美”． 根据上述材料，求出18，19，20，21这四个自然数中最“完美”的数． 23．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，小天有5张写着不同数的卡片，请你按照要求抽出卡片，解决下列问题． （1）从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除的商最小，应如何抽取？最小的商是多少？ （2）从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘的积最大，应如何抽取？最大的积是多少？ 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•高新区校级月考）的倒数是　　 A． B． C．2 D． 2．（2023秋•高邮市期中）下列各式中，积为负数的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•沭阳县期中）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，下列各式：①；②；③．其中正确式子的序号是　　 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．（2023秋•宜兴市校级月考）如果，，，那么　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（2023秋•新吴区校级月考）如果是一个负数，并且，则下列关系正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•浦口区校级月考）若△，则△表示的数是　　 A．4 B． C． D． 7．（2023秋•阜宁县期中）若，，且，则的值等于　　 A．或7 B．3或 C．或3 D．或7 8．（2023秋•吴江区月考）给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 9．（2023秋•锡山区校级月考）下列说法中正确的个数有　　 ①最大的负整数是； ②相反数是本身的数是正数； ③有理数分为正有理数和负有理数； ④数轴上表示的点一定在原点的左边； ⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2023秋•东海县期中）如图，数轴上有①②③④四个部分，已知，，则原点所在的部分是　　 A．① B．② C．③ D．④ 二．填空题（共6小题） 11．（2023秋•江阴市期中）若，则的值是 　　． 12．（2023秋•相城区校级月考）直接写出计算结果：　　． 13．（2023秋•常熟市期中）在五个数2，，，4，中任取三个数相乘，其中最小的积等于 　　． 14．（2023秋•工业园区校级月考）如果，且，，则　　． 15．（2023秋•海州区月考）计算　　． 16．（2023秋•宿城区期中）已知，都不是零，写出的所有可能的值　 　． 三．解答题（共9小题） 17．（2022秋•泰州月考）用简便方法计算： （1）； （2）． 18．（2023秋•鼓楼区校级月考）简便方法计算： ①； ②． 19．（2022秋•盐都区期中）计算： （1）； （2）； （3）． 20．（2022秋•亭湖区期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，如何抽取能使这2张卡片上的数字乘积最大，并说明理由； （2）从中取出2张卡片，如何抽取能使这2张卡片上的数字相除的商最小，并说明理由． 21．（2023秋•海陵区校级月考）列式计算求值： （1）的相反数与0.3的倒数的差； （2）已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为3，求的值． 22．（2022秋•港闸区校级月考）如果，，是非零有理数，求式子的所有可能的值． 23．（2022秋•姜堰区期中）小明说：“请你任意想一个数，把这个数乘3后加12，然后除以6，再减去你原来所想的那个数的，我都可以知道你计算的结果．”请根据小明的说法进行探索． （1）如果你想的那个数是，请列式并计算结果； （2）你觉得小明说的话可信吗？请说明你的理由． 24．（2023秋•射阳县期末）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． （1）求的值； （2）求的值． 25．（2023秋•兴化市校级月考）小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，最大值是多少？ 答：乘积最大值为　　． （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是多少？答：商的最小值为　　． （3）从中取出2张卡片，用学过的运算方法，使结果最大，如何抽取？写出运算式子．写出完整算式及运算过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 有理数的乘法与除法（6个知识点+3种题型+过关检测） 知识点1.有理数的乘法法则（重点） 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点2.有理数的乘法运算律（难点） 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点3.多个有理数相乘（难点） 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点4.倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点5.有理数除法法则（重点） （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点6.有理数的乘除混合运算（重点） 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 题型一．倒数（共6小题） 1．（2023秋•兴化市校级月考）倒数等于本身的数是　　 A．0 B．1 C． D． 【分析】根据倒数的定义可知倒数等于本身的数是． 【解答】解：因为只有，， 所以倒数等于本身的数是． 故选：． 【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．倒数等于本身的数是． 2．（2023秋•常熟市校级月考）的倒数是　　． 【分析】原式利用倒数的定义计算即可得到结果． 【解答】解：的倒数是． 故答案为： 【点评】此题考查了倒数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 3．（2023秋•宿城区期中）若、互为相反数，、互为倒数，则的值是 　3　． 【分析】直接利用相反数、倒数的定义得出，，进而得出答案． 【解答】解：、互为相反数，、互为倒数， ，， ． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了倒数、相反数，正确掌握相关定义是解题关键． 4．（2022秋•邗江区期末）若、是互为倒数，则　　． 【分析】互为倒数的两数之积为1，从而代入运算即可． 【解答】解：、是互为倒数， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了倒数的定义，属于基础题，注意互为倒数的两数之积为1． 5．（2023秋•工业园区校级月考）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． （1）根据倒数的定义我们知道，若，则　　． （2）计算． （3）根据以上信息可知：　　． 【分析】（1）根据倒数的定义解答即可； （2）根据有理数的除法法则计算即可； （3）由（2）中的计算结果，结合倒数的定义即可求值． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：； （2） ； （3）由（2）知， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的混合运算以及倒数，熟知乘积是1的两个数互为倒数是解题的关键． 6．（2023秋•江都区月考）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2． （1）直接写出，，的值； （2）求的值． 【分析】（1）根据互为相反数的和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，即可解答； （2）分两种情况讨论，即可解答． 【解答】解：（1）、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2， ，，． （2）当时，； 当时，． 【点评】本题考查了倒数、相反数、绝对值，解决本题的关键是熟记倒数、相反数、绝对值的意义． 题型二．有理数的乘法（共9小题） 7．（2023秋•沭阳县期中）如图，数轴上的、两点所表示的数分别为、，且，，则原点的位置在　　 A．点的右边 B．点的左边 C．、两点之间，且靠近点 D．、两点之间，且靠近点 【分析】利用有理数的乘法，加法法则判断即可． 【解答】解：如图，数轴上的、两点所表示的数分别为、，且，， 与异号且绝对值大，即，，， 则原点的位置在、两点之间，且靠近点， 故选：． 【点评】此题考查了有理数的乘法，加法，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．（2023秋•沭阳县校级月考）已知有理数1，，，，请你任选两个数相乘，运算结果最大是 　16　． 【分析】两数相乘，同号得正，异号得负，要想运算结果最大，应是同号两数相乘，由此解答即可． 【解答】解：，， ， 运算结果最大是16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的大小比较，熟知有理数的乘法法则是解题的关键． 9．（2023秋•邳州市校级月考）已知、都是有理数，若，则　　． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0． 10．（2023秋•天宁区校级月考）对于有理数、，定义运算：，计算的值　　． 【分析】根据题意可得，据此求解即可． 【解答】解：， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数的乘法计算，正确理解题意列出式子求解是解题的关键． 11．（2023秋•崇川区校级月考）已知，，且，那么的值为 　　． 【分析】根据题意可得和异号，分情况讨论①，；②，． 【解答】解：①，， 则，，， ②，， 则，，． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的加法和乘法，绝对值，掌握相应的定义是关键． 12．（2023秋•邳州市校级月考）若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则0.25的负倒数是 　　． 【分析】根据互为负倒数的定义可知，用即可得到0.25的负倒数． 【解答】解：， 的负倒数是． 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘法，倒数，正确理解互为负倒数的定义是解题的关键． 13．（2023秋•姜堰区校级月考）如图，有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求借助卡片上的数字完成下列各题： （1）从中取出2张卡片，使卡片上的2个数的和最小，则和的最小值是多少？ （2）从中取出2张卡片，使卡片上的2个数相乘的积最小，则积的最小值是多少？ （3）再制作一张写有数字的卡片，使6张卡片上数字之和为0，则新做的卡片上数字应写多少？ 【分析】（1）读懂题意，利用有理数的加法运算列式子计算即可； （2）读懂题意，利用有理数的乘法运算列式子计算即可； （3）读懂题意，利用有理数的加减混合运算列式子计算即可． 【解答】解：（1）； 抽取卡片：，，和的最小值是； （2）， 抽取卡片：4，，积的最小值是； （3）， ， 新制作卡片为4.5． 【点评】本题考查了有理数的混合运算的应用，做题的关键是读懂题意列出正确的式子，掌握有理数四则运算法则． 14．（2023秋•启东市校级月考）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． （1）求的值； （2）求的值． 【分析】分别根据运算“”的运算方法列式，然后进行计算即可得解． 【解答】解：（1）； （2）． 【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键． 15．（2023秋•新吴区校级月考）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ （1）当时，若，，则 　　0； （2）当时，若，则 　　0； （3）已知，，是非零有理数，则　　； （4）当与都是整数，且，求的值．（写出分类讨论的过程） 【分析】（1）根据有理数的乘法法则和加法法则即可确定； （2）根据有理数的乘法法则即可确定； （3）分以下四种情况：当、、均为正数时，当、、均为负数时，当、、中有两个正数一负数时，当、、中有一个正数两个负数时，分别根据绝对值的性质求出即可； （4）与都是整数，且，分情况讨论：①，，②，，③，，④，，分别计算的值即可． 【解答】解：（1），， ， ， ， 故答案为：； （2），， ， 故答案为：； （3）当、、均为正数时，； 当、、均为负数时，； 当、、中有两个正数一负数时，不妨设，，，； 当、、中有一个正数两个负数时，不妨设，，，， 综上，的值为或， 故答案为：或；． （4）与都是整数，且， 分情况讨论： ①，，此时； ②，，此时； ③，，此时； ④，，此时， 的值为． 【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，绝对值的性质，熟练掌握有理数的乘法法则和加法法则是解题的关键，注意分情况讨论． 题型三．有理数的除法（共9小题） 16．（2023秋•海陵区校级月考）计算的结果为　　 A．1 B． C．5 D．125 【分析】根据有理数的乘除法法则进行解题即可． 【解答】解：原式． 故选：． 【点评】本题考查有理数的乘除法，掌握运算法则是解题的关键． 17．（2023秋•江阴市期中）如果，那么下列各式成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】、根据有理数的乘法运算法则进行判断； 、根据有理数的加法运算法则进行判断； 、根据有理数的减法运算法则进行判断； 、根据有理数的除法运算法则进行判断． 【解答】解：、， ，选项错误，不符合题意； 、， 当时，， 当时，，选项错误，不符合题意； 、， ，选项错误，不符合题意； 、， ，选项正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了有理数的四则运算，掌握有理数的四则运算法则是关键． 18．（2023秋•虎丘区校级月考）我们把记作，记作，那么计算的结果为　　 A．1 B．3 C． D． 【分析】根据新定义列出算式，再根据有理数的乘除运算法则计算可得． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是理解并掌握新定义及有理数乘除运算法则． 19．（2023秋•赣榆区校级月考）计算：　　． 【分析】先把除法运算转化为乘法运算，然后按照有理数的乘法法则计算即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法则是解题的关键． 20．（2023秋•崇川区校级月考）已知，那么　2或　． 【分析】判断出同号，可得结论． 【解答】解：， ，同号， 或． 故答案为：2或． 【点评】本题考查有理数的除法，绝对值等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．（2023秋•锡山区校级月考）阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以，原式． （1）上述得到的结果不同，你认为解法　一　是错误的； （2）请你选择合适的解法计算：． 【分析】（1）我认为解法一是错误的； （2）选择解法三求出值即可． 【解答】解：（1）上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的； 故答案为：一； （2）原式的倒数为：， 则原式． 【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键． 22．（2023秋•天宁区校级月考）我们知道，每个自然数都有因数，将这个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和，再除以这个自然数所得的商叫做这个自然数的“完美指标”．例如：10的正因数有1，2，5，10，它的正奇数因数是1，5，它的正偶数因数是2，10．所以10的“完美指标”是：，我们规定．若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小，这个数就越“完美”．例如，因为6的“完美指标”是，7没有正偶数因数，7的“完美指标”是，且，所以6比7更“完美”． 根据上述材料，求出18，19，20，21这四个自然数中最“完美”的数． 【分析】先求出各数的正因数，再根据题目中求“完美指标“的方法计算各数的”完美指标”，即可得出答案． 【解答】18的正因数有1，2，3，6，9，18， 正奇因数有1，3，9，正偶因数有2，6，18， 18的“完美指标”是； 19的正因数有1，19， 正奇因数有1，19，无正偶因数， 19的“完美指标”是； 20的正因数有1，2，4，5，10，20， 正奇因数有1，5，正偶因数有2，4，10，20， 20的“完美指标”是； 21的正因数有1，3，7，21， 正奇因数有1，3，7，21，无正偶因数， 21的“完美指标”是； 因为， 所以18是18，19，20，21这四个自然数中最“完美”的数． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，理解题目中给出的计算方法进行计算是解决本题的关键． 23．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，小天有5张写着不同数的卡片，请你按照要求抽出卡片，解决下列问题． （1）从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除的商最小，应如何抽取？最小的商是多少？ （2）从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘的积最大，应如何抽取？最大的积是多少？ 【分析】根据有理数的乘除法法则进行解题即可． 【解答】解：（1）要使商最小，则可知取和，则． （2）要使积最大，则可知取、、5，则． 【点评】本题考查有理数的乘除法，掌握有理数的乘除法是解题的关键． 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•高新区校级月考）的倒数是　　 A． B． C．2 D． 【分析】先对进行化简，再求倒数即可． 【解答】解：，的倒数是． 故选：． 【点评】本题考查了化简绝对值和求一个数的倒数，互为倒数的两个数乘积为1． 2．（2023秋•高邮市期中）下列各式中，积为负数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据有理数的乘法运算符号法则对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、四个负因数相乘，积为正数，故本选项错误； 、两个负因数与的绝对值相乘，积为正数，故本选项错误； 、有因式0，积是0，0既不是正数也不是负数，故本选项错误； 、有3个负因数，积是负数，故本选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了有理数的乘法，几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 3．（2023秋•沭阳县期中）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，下列各式：①；②；③．其中正确式子的序号是　　 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【分析】先根据数轴分析出与的符号，再根据有理数的乘法法则和有理数的加法法则进行解题即可． 【解答】解：①，，则，故该项不正确； ②，，则，故该项正确； ③，，则，，即，故该项正确； 则只有②③正确． 故选：． 【点评】本题考查有理数的乘法和有理数的加法，能够根据数轴分析出与的符号是解题的关键． 4．（2023秋•宜兴市校级月考）如果，，，那么　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】由，根据两数相乘，异号得负，得出与异号；由，得，；由，得与同号，又，得． 【解答】解：由，得与异号； 由，得，； 由，得． 故选：． 【点评】此题考查了确定有理数乘法结果符号的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识． 5．（2023秋•新吴区校级月考）如果是一个负数，并且，则下列关系正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据绝对值的性质以及负数的定义即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：， ， ， 即，， ， 或或均有可能， 或或， 同理或或， 故选：． 【点评】本题考查有理数的加减运算以及绝对值的性质，本题属于基础题型． 6．（2023秋•浦口区校级月考）若△，则△表示的数是　　 A．4 B． C． D． 【分析】运用等式的性质和有理数的运算知识进行求解． 【解答】解：两边都除以，得△， 两边都加1，得△， 故选：． 【点评】此题考查了等式的性质和有理数的运算知识的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算． 7．（2023秋•阜宁县期中）若，，且，则的值等于　　 A．或7 B．3或 C．或3 D．或7 【分析】根据，，且，可以求得，的值，从而可以求出的值． 【解答】解：，， ，， 又， ，或，， 当，时，， 当，时，， 故选：． 【点评】本题考查有理数的乘法、绝对值、有理数的减法，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 8．（2023秋•吴江区月考）给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】运用有理数乘除混合运算的方法对各算式进行逐一计算、辨别． 【解答】解：， ； ； ， 算式①，②，④不符合题意， 算式③符合题意， 故选：． 【点评】此题考查了有理数乘除的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 9．（2023秋•锡山区校级月考）下列说法中正确的个数有　　 ①最大的负整数是； ②相反数是本身的数是正数； ③有理数分为正有理数和负有理数； ④数轴上表示的点一定在原点的左边； ⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由有理数的含义与分类可判断①，③，由相反数的含义可判断②，由不一定是负数可判断④，由有理数的乘法的符号确定的方法可判断⑤，从而可得答案． 【解答】解：最大的负整数是，说法正确，故①符合题意； 相反数是本身的数是0，原说法错误，故②不符合题意； 有理数分为正有理数和负有理数和0，原说法错误，故③不符合题意； 数轴上表示的点不一定在原点的左边，原说法错误，故④不符合题意； 几个非零有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，原说法错误，故⑤不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是有理数的含义与分类，相反数的含义，有理数的乘法运算的符号问题，熟记基础概念与运算法则是解本题的关键． 10．（2023秋•东海县期中）如图，数轴上有①②③④四个部分，已知，，则原点所在的部分是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【分析】先根据已知条件，判断，的符号，进而判断原点的位置即可． 【解答】解：，， ， ，异号， 原点在，之间，即原点所在的部分是②， 故选：． 【点评】本题主要考查了有理数的乘法和大小比较，解题关键是熟练掌握有理数的乘法法则． 二．填空题（共6小题） 11．（2023秋•江阴市期中）若，则的值是 　　． 【分析】先根据绝对值的性质分析出与的值，再根据题意进行计算即可． 【解答】解：， ，或，． 则或1． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的除法、有理数的加法和数轴，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 12．（2023秋•相城区校级月考）直接写出计算结果：　　． 【分析】根据有理数的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式 ， 故答案为：； 【点评】本题考查有理数，解题的关键是熟练运用有理数的法则，本题属于基础题型． 13．（2023秋•常熟市期中）在五个数2，，，4，中任取三个数相乘，其中最小的积等于 　　． 【分析】先计算五个数中任取三个数相乘的积，再比较大小得结论． 【解答】解：五个数2，，，4，中任取三个数相乘， 共有：， ， ， ， ， ， ， ， ， 积最小的是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数的乘法和大小比较，掌握有理数的乘法法则和有理数比较大小的方法是解决本题的关键． 14．（2023秋•工业园区校级月考）如果，且，，则　　． 【分析】根据有理数的乘法法则可得，，再根据有理数的加法法则进行判断即可． 【解答】解：，， ，， 又， ， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的乘法法则和加法法则，绝对值．属于基础题． 15．（2023秋•海州区月考）计算　　． 【分析】先计算除法运算，再计算乘法运算即可． 【解答】解： ； 故答案为：． 【点评】本题主要考查有理数的除法，有理数的乘法，熟记运算法则与运算顺序是解答本题的关键． 16．（2023秋•宿城区期中）已知，都不是零，写出的所有可能的值　3或　． 【分析】要对，所有可能出现的不同情况进行分类讨论，找出符合要求的取值，代入求值． 【解答】解：对，的取值情况分类讨论如下： ①当，都是正数时，； ②当，都是负数时，； ③当，中有一个正数，一个负数时，、、中有一个1，两个，所以和为． 的可能值是3或． 【点评】本题主要考查了绝对值的定义及分类讨论的思想．注意分类讨论时要全面，要做到不重复不遗漏． 三．解答题（共9小题） 17．（2022秋•泰州月考）用简便方法计算： （1）； （2）． 【分析】（1）原式变形后，利用乘法分配律计算即可求出值； （2）先将题目中的式子变形，然后根据乘法分配律可以解答本题． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（2023秋•鼓楼区校级月考）简便方法计算： ①； ②． 【分析】①利用乘法的分配律进行解答即可； ②利用乘法的分配律逆运用，即可解答． 【解答】解：①原式 ． ②原式 ． 【点评】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是利用乘法分配律简化计算． 19．（2022秋•盐都区期中）计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （2）从左到右依次计算即可； （3）从左到右依次计算即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ． 【点评】本题考查的是有理数的乘法与除法，熟知有理数的乘除法则是解题的关键． 20．（2022秋•亭湖区期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，如何抽取能使这2张卡片上的数字乘积最大，并说明理由； （2）从中取出2张卡片，如何抽取能使这2张卡片上的数字相除的商最小，并说明理由． 【分析】（1）根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，取绝对值最大且同号的2张卡片； （2）根据两数相除，同号得正，异号得负，从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，则取绝对值相差越大且异号的两数相除即可得到答案． 【解答】解：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字乘积最大，可抽取和，； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，可抽取和1，． 【点评】本题考查有理数的乘、除法运算，同时考查数学运算素质，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 21．（2023秋•海陵区校级月考）列式计算求值： （1）的相反数与0.3的倒数的差； （2）已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为3，求的值． 【分析】（1）乘积是1的两数互为倒数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可计算； （2）互为相反数的两数的和是0，互为倒数的两数的积是1，一个数的平方等于这个数绝对值的平方，由此即可计算． 【解答】解：（1） ； （2）、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为3， ，，， ． 【点评】本题考查相反数，绝对值，倒数，关键是掌握相反数的定义，倒数的定义，绝对值倒数意义． 22．（2022秋•港闸区校级月考）如果，，是非零有理数，求式子的所有可能的值． 【分析】根据绝对值的性质和有理数的乘法法则分情况讨论即可． 【解答】解：根据题意， 当，，时， ； 当，，时， ； 当，，时， ； 当，，时， ； 当，，时， ； 当，，时， ； 当，，时， ； 当，，时， ； 综上所述，式子的所有可能的值为或． 【点评】本题考查了有理数的乘法和绝对值，熟练掌握绝对值的性质以及有理数的乘法法则是解题的关键． 23．（2022秋•姜堰区期中）小明说：“请你任意想一个数，把这个数乘3后加12，然后除以6，再减去你原来所想的那个数的，我都可以知道你计算的结果．”请根据小明的说法进行探索． （1）如果你想的那个数是，请列式并计算结果； （2）你觉得小明说的话可信吗？请说明你的理由． 【分析】（1）根据给定的运算规则可得，求解即可； （2）设这个数是，根据题意，得，进一步化简即可． 【解答】解：（1）根据题意， 得 ； （2）小明说的话可信，理由如下： 设这个数是， 根据题意，得 ， 结果和无关，是个定值， 小明说的话可信． 【点评】本题考查了有理数的乘法，列代数式求值，能根据题意列出代数式是解题的关键． 24．（2023秋•射阳县期末）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． （1）求的值； （2）求的值． 【分析】分别根据运算“”的运算方法列式，然后进行计算即可得解． 【解答】解：（1）； （2）． 【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键． 25．（2023秋•兴化市校级月考）小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，最大值是多少？ 答：乘积最大值为　15　． （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是多少？答：商的最小值为　　． （3）从中取出2张卡片，用学过的运算方法，使结果最大，如何抽取？写出运算式子．写出完整算式及运算过程． 【分析】（1）根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数和0相乘都得0，取绝对值尽量打且同号的相乘即可得答案． （2）根据两数相除，同号得正，异号得负，从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，则取绝对值尽量接近且异号的两数相除即可得答案． （3）学过的运算方法有加减乘除、乘方运算，使结果最大，可选绝对值较大的数进行偶次方运算即可． 【解答】解：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大， 可取和， 故答案为：15． （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，可取和， 故答案为：． （3）选取和 ． 【点评】本题考查了有理数的乘除法及乘方运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$