第05讲 有理数的加法与减法（5个知识点+3种题型+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版2024）

第05讲 有理数的加法与减法（5个知识点+3种题型+过关检测） 知识点1：有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 . 同号两数相加： 绝对不相等的异号两数相加： (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况如下表 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 取相同的符号 若a ﹥ 0，b ﹥ 0，则a＋b=＋(|a|＋|b|) 若a ﹤ 0，b ﹤ 0，则a＋b=－(|a|＋|b|) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减小) 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=＋(|a|－|b|) 若a ﹤ 0，b ﹥ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=－(|a|－|b|) 互为相反数 0 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a|=|b|，则a＋b=0 一个数与0 相加 仍得这个数 a＋0=a 3. 有理数加法运算的步骤 特别提醒 1.若a＋b=0，则a=－b. 2.若a＋b=0，且a ≥ 0，b ≥ 0，则a=b=0. 例：若|m－1|＋|n＋2|=0，则有m－1=0，n＋2=0. 3. 两个有理数相加，和是一个有理数. 4.任何数加上一个正数，和都比原数大. 特别解读 1. 若两个数的和为正数，则这两个加数有三种可能： (1)两个都是正数； (2) 一个是正数、一个是负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值； (3)一个是正数，一个是0. 2.若两个数的和为负数，则这两个加数有三种可能： (1)两个都是负数； (2)一个是正数、一个 知识点2：有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 特别提醒 1.有理数的加法运算律不但适用于两个数或三个数相加，而且适用于三个以上有理数相加. 2.利用有理数的加法交换律交换加数位置时，各加数要连同其性质符号一起交换. 3.根据需要灵活利用加法运算律，可以达到简化计算的目的. 知识点3：有理数的减法 1. 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：a－b=a＋(－b)，其中a，b 表示任意有理数. 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若a<b，则a－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 . 特别解读 减法转化为加法过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“－”号变成“＋”号，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数和减数的位置不变. 知识点4：有理数的加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋1 0)＋(－3)－(－8) =(＋7)＋(－1 0)＋(－3)＋8 =(7 ＋8)＋[(－1 0)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 2. 省略和式中的括号和加号 将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20 －3 ＋2 －5 . 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负2 0 、负3、正2、负5 的和； (2)按运算来读：负20 减3 加2 减5. 特别解读 1.有理数加减混合运算关键有两步： 第一步统一为加法； 第二步运用加法运算律. 2.改写算式时，运算符号中的加号可以省略，但必须保留性质符号. 知识点5：数轴上两点之间的距离 数轴上，点A，B 分别表示数a，b，则A，B 两点之间的距离为线段AB 的长度，AB=|a－b|.(如下图)： 特别提醒 两点之间的距离是连接两点之间线段的长度，是个正数.所以： (1)当a ＞ b 时，AB=a－b； (2)当a ＜ b 时，AB=b－a. (3)当a，b 的大小不确定时，AB=|a－b|，一般需要分类讨论. 题型一．有理数的加法（共12小题） 1．（2023秋•锡山区校级月考）比大1的数是　　 A．2 B． C．4 D． 2．（2023秋•内乡县月考）若，则以下四个结论中，正确的是　　 A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是正数 D．一定是正数 3．（2023秋•徐州月考）绝对值小于4的所有整数的和是 　　． 4．（2023秋•沭阳县校级月考）的相反数与的绝对值的和是 　　． 5．（2023秋•武进区校级期中）已知：，，且，则的值是 　　． 6．（2023秋•邗江区校级期中）设是最小的正整数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则　　． 7．（2023秋•淮安区期中）绝对值小于3的所有整数的和是 　　． 8．（2023秋•姜堰区校级月考）若，，且，则　　．（填“”“ ”或“” 9．（2023秋•邳州市校级月考）小明在写作业时不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图所示的数轴，请你计算墨迹盖住的所有整数的和为 　　． 10．（2023秋•丹徒区月考）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作，向下一楼记作，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层），，，，，，． （1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼． （2）该中心大楼每层高，电梯每向上或下需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？ 11．（2023秋•江都区校级月考）已知、在数轴上分别表示、． （1）对照数轴填写下表： 6 2 4 0 、两点的距离 2 　　 　　 　　 0 （2）写出数轴上到7和的距离之和为14的所有整数，并求这些整数的和； （3）若数轴上表示数的点位于与6之间，求的值； （4）若表示一个有理数，且，求有理数的取值范围． 12．（2023秋•宿豫区月考）数学实验室： 点、在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是 　　；数轴上表示1和的两点之间的距离是 　　； （2）数轴上表示和6的两点之间的距离表示为 　　；数轴上表示和的两点之间的距离表示为 　　； （3）若表示一个有理数，则的最小值　　； （4）若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和为 　　； （5）若表示一个有理数，当为 　　，式子有最小值为 　　． 题型二．有理数的减法（共11小题） 13．（2022秋•江阴市期末）某天最高气温是，最低气温是，那么这天的日温差是　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•宝应县校级月考）已知数，在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 15．（2023秋•邗江区校级月考）把写成省略括号的形式是　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•崇川区校级月考）若，，且、异号，则的值为　　 A．7或 B．3或 C．3 D．7或3 17．（2023秋•高新区校级月考）已知，，为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为　　 A．12 B．9 C．18 D．15 18．（2023秋•淮阴区校级月考）去年冬季的某一天，最高气温是，最低气温是，则这天的日温差为 　　． 19．（2023秋•宜兴市校级月考）在数轴上，与表示数1的点的距离是2的点表示的数是　 　． 20．（2022秋•崇川区期末）阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数十位上的数字为，个位上的数字为，把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的9倍． 回答问题： （1）请证明小智的发现； （2）已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于495，请直接写出　　． 21．（2023秋•姜堰区校级月考）在计算时两个数减法■时，由于不小心，减数被墨水污染． （1）嘉淇误将后面的“”看成了“”，从而算得结果为，请求出被墨水污染的减数； （2）请你正确计算此道题． 22．（2023秋•邳州市期中）某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为七年级某班42人参加跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 （1）求这个班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ （2）规定跳绳达到标准数量记0分；规定跳绳超过标准数量，每多跳1个加2分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个，扣1分，求这个班跳绳总共获得多少分？ 23．（2023秋•高邮市校级月考）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如： ； ； ； ． 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果） ①　　； ②　　； （2）当时，　　；当时，　　； （3）计算：． 题型三．有理数的加减混合运算（共10小题） 24．（2023秋•江阴市月考）将写成省略加号的和的形式为　　 A． B． C． D． 25．（2023秋•泗阳县月考）在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是的计算过程，则图2表示的过程是在计算　　 A． B． C． D． 26．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，步骤①的运算依据是 　　． 计算： ① ② ． 27．（2023秋•秦淮区校级月考）计算：　 　． 28．（2023秋•姜堰区校级期中）一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，半夜的气温是 　　． 29．（2023秋•丹徒区月考）规定图形表示运算，图形表示运算，则　　． 30．（2023秋•江阴市校级月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 31．（2023秋•沭阳县期中）某班抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的记作为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：，，，，，，，，0， （1）这10名同学中最高分数是多少？最低分数是多少？ （2）这10名同学的平均成绩是多少． 32．（2023秋•云龙区校级月考）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果） ①　　； ②　　； ③　　； ④　　． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：　　． （3）简便的方法计算：． 33．（2023秋•云龙区校级月考）点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示5和2的两点之间的距离是 　　；数轴上表示和的两点之间的距离为 　　；数轴上表示2和的两点之间的距离为 　　． （2）数轴上表示和两点之间的距离为 　　．若数轴上表示和2两点之间的距离为是3，那么　　． （3）数轴上从左到右的三个点，，所对应的数分别为，，．其中，，如图所示． ①若以为原点，写出点、所对应的数，并计算的值． ②若是原点，且，求的值． 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•鼓楼区校级期中）与绝对值等于的数的和等于　　 A． B．1 C． D． 2．（2023秋•沭阳县校级月考）把写成省略加号和括号的形式后的式子是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•云龙区校级月考）若的相反数是2，，则的值为　　 A． B．3 C．7或 D．或3 4．（2023秋•邳州市校级月考）我市今天的最低气温是，最高气温是，今天的温差是　　． A．15 B．5 C． D． 5．（2023秋•宜兴市月考）一个数是5，另一个数比的绝对值小2，则这两个数的和为　　 A．18 B． C． D．12 6．（2023秋•涟水县期中）若，，则的值为　　 A．或8 B．2或8 C．2或 D．或 7．（2023秋•灌云县校级期中）如图，将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在，，分别表示其中的一个数，则的值为　　 A． B． C．0 D．5 8．（2023秋•鼓楼区校级月考）已知，，为有理数，且，，则，，满足的条件是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 9．（2023秋•秦淮区校级月考）设是最小的正整数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则等于　　 A． B．0 C．1 D．2 10．（2023秋•宜兴市校级月考）如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共8小题） 11．（2023秋•宜兴市校级月考）把写成省略加号的和的形式应是 　　． 12．（2023秋•通州区期中）有8筐白菜，以每筐25千克为准，超过的千克数记为正数，不足记为负数，称后的记录如下：1.5，，2，，1，，，．这8筐白菜一共　　千克． 13．（2023秋•昆山市校级月考）定义一种运算，设表示不超过的最大整数，例如，，据此规定，　　． 14．（2023秋•江都区月考）绝对值大于且小于3.2的所有整数的和为 　　． 15．（2023秋•丰县期中）小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了 “”错写成“”或“”错写成“” ，结果算成了，则原式从左往右数，第 　　个运算符号写错了． 16．（2023秋•启东市期中）已知，，为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为 　　． 17．（2023秋•海州区月考）计算： 　　． 18．（2023秋•鼓楼区校级月考）、两地的高度差记为，例如：地比地低2米，记为（米．现要测量、两地的高度差，借助了已经设立的、、、、共五个观测地，测量出两地的高度差，测量结果如下表：（单位：米）．则的值为 　　． 两地的高度差 测量结果 3.3 2.7 3.9 三．解答题（共9小题） 19．（2023秋•徐州期中）计算： （1）； （2）． 20．（2023秋•铜山区期中）计算： （1）； （2）． 21．（2023秋•宿豫区月考）已知，，且，求的值． 22．（2023秋•工业园区校级月考）已知是最小的正整数，的相反数还是它本身，是最大的负整数． （1）　　，　　，　　． （2）求的值． 23．（2023秋•梁溪区校级月考）已知：，， （1）求的值． （2）若，求的值． 24．（2023秋•沭阳县期中）2022年足球世界杯在卡塔尔举行，某工厂设计了某款足球纪念品并进行生产，原计划每天生产10000个该款足球纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，如表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 （1）根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？ （2）本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由． （3）若该款足球纪念品每个生产成本35元，并按每个40元出售，则该工厂本周的生产总利润是多少元？ 25．（2023秋•京口区月考）在有些情况下，不需要计算出也能把绝对值符号去掉，例如：，，，． （1）根据上面的规律，写出下列各式去掉绝对值符号后的形式（不要计算出结果） ①　　；②　　． （2）计算：． 26．（2023秋•海州区月考）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点、在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示和6的两点之间的距离表示为 　　；数轴上表示和的两点之间的距离表示为 　　． （2）若表示一个有理数，则的最小值　　，满足条件的所有整数的和为 　　． （3）请写出当　　时，有最小值为 　　． （4）规律应用： 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台、、、、、、、、，一只配件相应该放在工作 　　处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是 　　米． 27．（2023秋•南通月考）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）和5关于2的“美好关联数”为 　　； （2）若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； （3）若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，和关于4的“美好关联数”为1，和关于5的“美好关联数”为，则的最小值为 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的加法与减法（5个知识点+3种题型+过关检测） 知识点1：有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 . 同号两数相加： 绝对不相等的异号两数相加： (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况如下表 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 取相同的符号 若a ﹥ 0，b ﹥ 0，则a＋b=＋(|a|＋|b|) 若a ﹤ 0，b ﹤ 0，则a＋b=－(|a|＋|b|) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减小) 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=＋(|a|－|b|) 若a ﹤ 0，b ﹥ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=－(|a|－|b|) 互为相反数 0 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a|=|b|，则a＋b=0 一个数与0 相加 仍得这个数 a＋0=a 3. 有理数加法运算的步骤 特别提醒 1.若a＋b=0，则a=－b. 2.若a＋b=0，且a ≥ 0，b ≥ 0，则a=b=0. 例：若|m－1|＋|n＋2|=0，则有m－1=0，n＋2=0. 3. 两个有理数相加，和是一个有理数. 4.任何数加上一个正数，和都比原数大. 特别解读 1. 若两个数的和为正数，则这两个加数有三种可能： (1)两个都是正数； (2) 一个是正数、一个是负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值； (3)一个是正数，一个是0. 2.若两个数的和为负数，则这两个加数有三种可能： (1)两个都是负数； (2)一个是正数、一个 知识点2：有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 特别提醒 1.有理数的加法运算律不但适用于两个数或三个数相加，而且适用于三个以上有理数相加. 2.利用有理数的加法交换律交换加数位置时，各加数要连同其性质符号一起交换. 3.根据需要灵活利用加法运算律，可以达到简化计算的目的. 知识点3：有理数的减法 1. 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：a－b=a＋(－b)，其中a，b 表示任意有理数. 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若a<b，则a－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 . 特别解读 减法转化为加法过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“－”号变成“＋”号，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数和减数的位置不变. 知识点4：有理数的加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋1 0)＋(－3)－(－8) =(＋7)＋(－1 0)＋(－3)＋8 =(7 ＋8)＋[(－1 0)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 2. 省略和式中的括号和加号 将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20 －3 ＋2 －5 . 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负2 0 、负3、正2、负5 的和； (2)按运算来读：负20 减3 加2 减5. 特别解读 1.有理数加减混合运算关键有两步： 第一步统一为加法； 第二步运用加法运算律. 2.改写算式时，运算符号中的加号可以省略，但必须保留性质符号. 知识点5：数轴上两点之间的距离 数轴上，点A，B 分别表示数a，b，则A，B 两点之间的距离为线段AB 的长度，AB=|a－b|.(如下图)： 特别提醒 两点之间的距离是连接两点之间线段的长度，是个正数.所以： (1)当a ＞ b 时，AB=a－b； (2)当a ＜ b 时，AB=b－a. (3)当a，b 的大小不确定时，AB=|a－b|，一般需要分类讨论. 题型一．有理数的加法（共12小题） 1．（2023秋•锡山区校级月考）比大1的数是　　 A．2 B． C．4 D． 【分析】用加上1，求出比大1的数是多少即可． 【解答】解：， 比大1的数是． 故选：． 【点评】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：求比一个数多几的数是多少，用加法解答． 2．（2023秋•内乡县月考）若，则以下四个结论中，正确的是　　 A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是正数 D．一定是正数 【分析】根据，即可得出，，即可得出答案． 【解答】解：、符号无法确定，故此选项错误； 、，则，故此选项错误； 、， ，， 一定是正数，故此选项正确； 、符号无法确定，故此选项错误； 故选：． 【点评】此题主要考查了有理数的加法以及正数与负数，根据，，，的符号得出关系式是解题关键． 3．（2023秋•徐州月考）绝对值小于4的所有整数的和是 　0　． 【分析】找出绝对值小于4的所有整数，求出之和即可． 【解答】解：绝对值小于4的所有整数是，，，0，1，2，3， 其和为． 故答案为：0 【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（2023秋•沭阳县校级月考）的相反数与的绝对值的和是 　　． 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：． 故答案为：． 【点评】此题考查了有理数的加法，相反数，以及绝对值，列出正确的算式是解本题的关键． 5．（2023秋•武进区校级期中）已知：，，且，则的值是 　或　． 【分析】首先根据绝对值的性质，判断出、的大致取值范围，然后根据进一步确定、的值，再代值求解即可． 【解答】解：，， ，； ， ，． 当，时，； 当，时，． 故的值是或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查的是绝对值的性质，能够正确的判断出、的取值是解答此题的关键． 6．（2023秋•邗江区校级期中）设是最小的正整数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则　0　． 【分析】是最小的正整数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，，，则． 【解答】解：依题意得：，，， ． 【点评】熟悉正整数、负整数的概念和绝对值的性质． 7．（2023秋•淮安区期中）绝对值小于3的所有整数的和是 　0　． 【分析】绝对值的意义：一个数的绝对值表示数轴上对应的点到原点的距离． 互为相反数的两个数的和为0．依此即可求解． 【解答】解：根据绝对值的意义得 绝对值小于3的所有整数为0，，． 所以． 故答案为：0． 【点评】此题考查了绝对值的意义，并能熟练运用到实际当中． 8．（2023秋•姜堰区校级月考）若，，且，则　　．（填“”“ ”或“” 【分析】根据所给范围得出的绝对值大于的绝对值，即可得解． 【解答】解：，，， 故的绝对值大于的绝对值， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查绝对值，有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解决本题的关键． 9．（2023秋•邳州市校级月考）小明在写作业时不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图所示的数轴，请你计算墨迹盖住的所有整数的和为 　　． 【分析】根据有理数的加法法则进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 10．（2023秋•丹徒区月考）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作，向下一楼记作，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层），，，，，，． （1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼． （2）该中心大楼每层高，电梯每向上或下需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？ 【分析】（1）把上下楼层的记录相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果等于0则能回到1楼，否则不能； （2）求出上下楼层所走过的总路程，然后乘以0.2即可得解． 【解答】解：（1） ， 王先生最后能回到出发点1楼； （2）王先生走过的路程是 ， 他办事时电梯需要耗电（度． 【点评】本题主要考查了有理数的加法运算，（2）中注意要求出上下楼层的绝对值，而不是利用（1）中的结论求解，这是本题容易出错的地方． 11．（2023秋•江都区校级月考）已知、在数轴上分别表示、． （1）对照数轴填写下表： 6 2 4 0 、两点的距离 2 　6　 　　 　　 0 （2）写出数轴上到7和的距离之和为14的所有整数，并求这些整数的和； （3）若数轴上表示数的点位于与6之间，求的值； （4）若表示一个有理数，且，求有理数的取值范围． 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式求出答案即可； （2）由数轴上两点间的距离公式，求出数轴上到7和的距离之和为14的所有整数，再求出它们的和即可； （3）根据已知条件求出的取值范围，利用绝对值的性质化简即可； （4）分三种情况进行讨论，当时，当时，当时，分别利用绝对值性质，去掉绝对值符号，解不等式即可． 【解答】解：（1），，， 故答案为：6；2；12； （2）， 到之间的所有整数都满足到7和的距离之和为14， 数轴上到7和的距离之和为14的所有整数有：，，，，，，，0，1，2，3，4，5，6，7， 这些整数的和为：； （3）数轴上表示数的点位于与6之间， ， ； （4）分三种情况讨论： 当时，， ， ， ； 当时， ， 不等式无解； 当时，， ， ， ， 综上所述：的取值范围为：或． 【点评】本题主要考查了数轴上两点间的距离，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式和绝对值的性质． 12．（2023秋•宿豫区月考）数学实验室： 点、在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是 　4　；数轴上表示1和的两点之间的距离是 　　； （2）数轴上表示和6的两点之间的距离表示为 　　；数轴上表示和的两点之间的距离表示为 　　； （3）若表示一个有理数，则的最小值　　； （4）若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和为 　　； （5）若表示一个有理数，当为 　　，式子有最小值为 　　． 【分析】（1）根据“点、在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离”进行计算即可； （2）利用（1）的方法进行计算即可； （3）利用“”的意义得出当时，这个值最小，进而求出答案； （4）根据“”的意义，确定的取值范围，进而求出答案； （5）根据“”所表示的意义，使的值最小，确定的值即可． 【解答】解：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：4，5； （2）数轴上表示和6的两点之间的距离表示为；数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：，； （3）“”所表示的意义为：数轴上表示数的点到表示数1，数的距离之和， 当这个距离之和最小，则， 所以的最小值为， 故答案为5； （4）“”所表示的意义为：数轴上表示数的点到表示数，数3的距离之和， 当时，则的取值范围为， 所以满足条件的所有整数的和为， 故答案为：5； （5）“”所表示的意义为：数轴上表示数的点到表示数的点，数3的点，数4的点的距离之和最小， 当值最小时，， 此时， 故答案为：3，6． 【点评】本题考查数轴表示数，有理数以及有理数的加法，掌握有理数加法的计算方法是正确解答的前提，理解“点、在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离”的意义是正确解答的关键． 题型二．有理数的减法（共11小题） 13．（2022秋•江阴市期末）某天最高气温是，最低气温是，那么这天的日温差是　　 A． B． C． D． 【分析】温差最高温度最低温度，以此即可解答 【解答】解：某天最高气温是，最低气温是， 这天的日温差是：． 故选：． 【点评】本题主要考查有理数减法的应用、整数和负数，理解温差最高温度最低温度时解题关键． 14．（2023秋•宝应县校级月考）已知数，在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据数轴得出，，再根据有理数的加法、减法、乘法法则进行判断即可． 【解答】解：从数轴可知：，， 、，不正确； 、，不正确； 、，正确； 、，不正确； 故选：． 【点评】本题考查了数轴，有理数的大小比较，有理数的加法、减法、乘法法则的应用，主要考查学生对法则的理解能力，难度不是很大． 15．（2023秋•邗江区校级月考）把写成省略括号的形式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据有理数的加减计算法则去括号即可． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题主要考查有理数的加减计算，熟练掌握有理数加减计算的运算法则是解题的关键． 16．（2023秋•崇川区校级月考）若，，且、异号，则的值为　　 A．7或 B．3或 C．3 D．7或3 【分析】根据绝对值的定义，求出和的值，即可解答． 【解答】解：，，且、异号， ，或，， 或， 故选：． 【点评】本题考查了的绝对值的定义，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 17．（2023秋•高新区校级月考）已知，，为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为　　 A．12 B．9 C．18 D．15 【分析】由数轴上表示的几何意义，求出的值，即可得到答案． 【解答】解：的最小值为3，且， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查绝对值，有理数的减法，熟练掌握在数轴上绝对值的几何意义是解决此题的关键． 18．（2023秋•淮阴区校级月考）去年冬季的某一天，最高气温是，最低气温是，则这天的日温差为 　11　． 【分析】用最高气温减去最低气温，进行计算即可． 【解答】解：． 故答案为：11． 【点评】本题考查有理数减法，正数和负数，掌握相应的运算法则是关键． 19．（2023秋•宜兴市校级月考）在数轴上，与表示数1的点的距离是2的点表示的数是　或3　． 【分析】此题可借助数轴用数形结合的方法求解． 【解答】解：在数轴上，与表示数1的点的距离是2的点表示的数是或． 【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 20．（2022秋•崇川区期末）阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数十位上的数字为，个位上的数字为，把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的9倍． 回答问题： （1）请证明小智的发现； （2）已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于495，请直接写出　5　． 【分析】（1）根据题意列出原数与新数之差进行计算． （2）设十位上的数，根据题意列出原数与新数之差进行计算． 【解答】（1）证明：由题意可得：原数，新数， 故原数与新数之差为：， 即原数与所得新数的差等于与的差的9倍． （2）解：设十位上的数字是， 根据题意可得；原数，新数， 两数之差为：． ， 则． 故答案为：5． 【点评】本题考查有理数的减法，能够列出原数与新数的等式是解题的关键． 21．（2023秋•姜堰区校级月考）在计算时两个数减法■时，由于不小心，减数被墨水污染． （1）嘉淇误将后面的“”看成了“”，从而算得结果为，请求出被墨水污染的减数； （2）请你正确计算此道题． 【分析】（1）由两个加数与和的关系，即可求出被墨水污染的减数； （2）把求出的被墨水污染的减数代入加法算式计算，即可得出正确结果． 【解答】解：（1）由题意，得被墨水污染的减数为； （2）． 【点评】本题考查了有理数的减法，掌握有理数减法法则是解决问题的关键． 22．（2023秋•邳州市期中）某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为七年级某班42人参加跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 （1）求这个班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ （2）规定跳绳达到标准数量记0分；规定跳绳超过标准数量，每多跳1个加2分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个，扣1分，求这个班跳绳总共获得多少分？ 【分析】（1）根据表格可直接进行求解； （2）先求出该班的总积分，然后问题可求解． 【解答】解：（1）由题意得：（个， 答：这个班42人一分钟内平均每人跳绳102个； （2）由题意得：（分． 答：这个班跳绳总共获得192分． 【点评】本题主要考查有理数混合运算的应用，加权平均数，熟练掌握有理数的混合运算以及加权平均数的计算方法是解题的关键． 23．（2023秋•高邮市校级月考）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如： ； ； ； ． 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果） ①　　； ②　　； （2）当时，　　；当时，　　； （3）计算：． 【分析】（1）①②结合有理数加法减法运算法则以及绝对值的意义进行化简； （2）根据绝对值的意义进行化简； （3）根据有理数减法运算法则结合绝对值的意义先化简绝对值，然后根据数字的变化规律进行分析计算． 【解答】解：（1）①； ②； 故答案为：，； （2）当时，；当时，； 故答案为：，； （3）原式 ． 【点评】本题考查有理数的减法运算，绝对值，掌握有理数加减运算法则，探索数字变化规律是解题关键． 题型三．有理数的加减混合运算（共10小题） 24．（2023秋•江阴市月考）将写成省略加号的和的形式为　　 A． B． C． D． 【分析】利用去括号的法则求解即可． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是注意符号． 25．（2023秋•泗阳县月考）在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是的计算过程，则图2表示的过程是在计算　　 A． B． C． D． 【分析】依据题意写出算式即可． 【解答】根据题意可知一横表示10，一竖表示1， 图2表示：． 故选：． 【点评】本题考查了正数和负数，数学常识，本题是阅读型题目，理解图中的含义并熟练应用是解题关键． 26．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，步骤①的运算依据是 　加法的交换律　． 计算： ① ② ． 【分析】根据有理数的加减法法则解答即可． 【解答】解： ， 利用的是加法的交换律， 故答案为：加法的交换律． 【点评】本题考查了有理数的加减法，解答本题关键是掌握有理数的加减运算法则． 27．（2023秋•秦淮区校级月考）计算：　　． 【分析】原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【解答】解：原式． 故答案为： 【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 28．（2023秋•姜堰区校级期中）一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，半夜的气温是 　　． 【分析】根据题意列出算式，然后根据有理数加减法运算法则进行计算求解． 【解答】解：半夜的气温是， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数加减法的应用，理解题意，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题关键． 29．（2023秋•丹徒区月考）规定图形表示运算，图形表示运算，则　8　． 【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得： ． 故答案为：8． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解本题的关键． 30．（2023秋•江阴市校级月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （2）用结合律，计算即可得到结果； （3）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （4）原式利用减法法则变形，结合后相加即可得到结果． 【解答】解：（1）原式 ； （2） ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 31．（2023秋•沭阳县期中）某班抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的记作为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：，，，，，，，，0， （1）这10名同学中最高分数是多少？最低分数是多少？ （2）这10名同学的平均成绩是多少． 【分析】（1）根据正负数的意义解答即可； （2）求出所有记录的和的平均数，再加上基准分即可． 【解答】解：（1）最高分为：分， 最低分为：分； （2） ， 所以，10名同学的平均成绩分． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 32．（2023秋•云龙区校级月考）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果） ①　　； ②　　； ③　　； ④　　． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：　　． （3）简便的方法计算：． 【分析】（1）①②③④根据题目可得规律当，时，；当时；当时，；运用规律可得答案； （2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为0可得答案； （3）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为0可得答案． 【解答】解：（1）由题目运算可得：当，时，；当时；当时，； ①， ； ②， ； ③， ； ④， ； 故答案为为：；；；； （2）， 故答案为：． （3） ． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键． 33．（2023秋•云龙区校级月考）点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示5和2的两点之间的距离是 　3　；数轴上表示和的两点之间的距离为 　　；数轴上表示2和的两点之间的距离为 　　． （2）数轴上表示和两点之间的距离为 　　．若数轴上表示和2两点之间的距离为是3，那么　　． （3）数轴上从左到右的三个点，，所对应的数分别为，，．其中，，如图所示． ①若以为原点，写出点、所对应的数，并计算的值． ②若是原点，且，求的值． 【分析】（1）根据两点之间距离的定义直接求解即可； （2）根据两点之间距离的定义可得数轴上表示和两点之间的距离为，数轴上表示和2两点之间的距离为，进而建立方程，解方程即可得到答案； （3）①根据两点的距离，求得点所对应的数，代入进行计算即可求解； ②先求出点表示的数，进而求出点和点表示的数，再代值计算即可． 【解答】解：（1）由题意得，数轴上表示5和2的两点之间的距离是；数轴上表示和的两点之间的距离为；数轴上表示2和的两点之间的距离为； 故答案为：3；2；3； （2）数轴上表示和两点之间的距离为； 数轴上表示和2两点之间的距离为是3， ， 或， 解得：或； 故答案为：；5或； （3）①，，点为原点，点在点左边，点在点右边， ，，， 点和点表示的数分别为，1000， ； ②是原点，且，点在点右边， 点表示的数为18，即， ，，点在点左边，点在点右边， ，， ． 【点评】本题考查了数轴上两点的距离，一元一次方程的应用，代数式求值，解题的关键是熟练掌握数轴上两点的距离计算公式． 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•鼓楼区校级期中）与绝对值等于的数的和等于　　 A． B．1 C． D． 【分析】先求出绝对值是的数，再求与绝对值等于的数的和． 【解答】解：设绝对值等于的数为，则有，所以． 当时，； 当时，． 故选：． 【点评】注意已知一个数的绝对值要求这个数，有两种情况，因为互为相反数的两个数的绝对值相等． 2．（2023秋•沭阳县校级月考）把写成省略加号和括号的形式后的式子是　　 A． B． C． D． 【分析】根据去括号的法则和有理数加减法的法则可以将题目中的式子写成省略加号和的形式，本题得以解决． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，解答本题的关键是明确有理数加减混合运算的计算方法． 3．（2023秋•云龙区校级月考）若的相反数是2，，则的值为　　 A． B．3 C．7或 D．或3 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数得到，，据此代值计算即可． 【解答】解：的相反数是2，， ，， 或， 故选：． 【点评】本题主要考查了有理数的加法，相反数和绝对值的意义，正确得出、的值是解题的关键． 4．（2023秋•邳州市校级月考）我市今天的最低气温是，最高气温是，今天的温差是　　． A．15 B．5 C． D． 【分析】根据温差的概念，由最高气温减去最低气温即可得到结果． 【解答】解：最低气温是，最高气温是， ， 温差是． 故选：． 【点评】本题考查了有理数的减法，关键是根据题意，把题目中的温差转化为算式的形式，即可得到结果． 5．（2023秋•宜兴市月考）一个数是5，另一个数比的绝对值小2，则这两个数的和为　　 A．18 B． C． D．12 【分析】先求出的绝对值为3，进而求出另一个数为13，再求出两个数的和即可． 【解答】解：另一个数比的绝对值小2，且的绝对值为， 另一个数为， 这两个数的和为． 故选：． 【点评】本题主要考查了有理数的加法，绝对值，掌握相应的定义是解题的关键． 6．（2023秋•涟水县期中）若，，则的值为　　 A．或8 B．2或8 C．2或 D．或 【分析】根据，求出，再把与的值代入进行计算，即可得出答案． 【解答】解：， ． 又，则或，故正确． 故选：． 【点评】此题考查了有理数的加法、减法运算和绝对值的意义，解题的关键是根据绝对值的意义求出的值． 7．（2023秋•灌云县校级期中）如图，将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在，，分别表示其中的一个数，则的值为　　 A． B． C．0 D．5 【分析】根据第3行和第1列的三个数之和相等，求出的值是多少，然后根据第1行和第3列的三个数之和相等，求出的值是多少，最后根据第1行和对角线上的三个数之和相等，求出的值是多少，再根据有理数加减法的运算方法，求出的值是多少即可． 【解答】解：，，， ． 故选：． 【点评】本题考查了有理数的加减法的运算方法，掌握运算法则是解题的关键． 8．（2023秋•鼓楼区校级月考）已知，，为有理数，且，，则，，满足的条件是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】由推出，，，而，得到． 【解答】解：， ，， ，， ， ， ， ， ，，， 故选：． 【点评】本题考查绝对值的概念，实数的大小比较，关键是掌握绝对值的意义，实数的大小比较法则． 9．（2023秋•秦淮区校级月考）设是最小的正整数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则等于　　 A． B．0 C．1 D．2 【分析】由是最小的正整数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，可得，，，，则． 【解答】解：依题意得：，，， ． 故选：． 【点评】本题考查了有理数加法，掌握正整数、负整数的概念和绝对值的性质是解题的关键． 10．（2023秋•宜兴市校级月考）如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是　　 A． B． C． D． 【分析】利用数轴的特征和圆的周长公式解答即可． 【解答】解：直径为单位1的圆的周长为，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点， 点表示的数是． 故选：． 【点评】本题主要考查了数轴，圆的周长，熟练掌握数轴上的点的特征是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 11．（2023秋•宜兴市校级月考）把写成省略加号的和的形式应是 　　． 【分析】根据如果括号前面是“”号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是“”，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，进行运算即可得出答案． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数去括号，熟练掌握有理数去括号运算法则进行计算是解决本题的关键． 12．（2023秋•通州区期中）有8筐白菜，以每筐25千克为准，超过的千克数记为正数，不足记为负数，称后的记录如下：1.5，，2，，1，，，．这8筐白菜一共　194.5　千克． 【分析】先把超出或不足标准的8个数相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，然后再加上标准质量即可． 【解答】解： （千克）． 这8筐白菜一共194.5千克． 故答案为：194.5． 【点评】本题考查了有理数的加法，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 13．（2023秋•昆山市校级月考）定义一种运算，设表示不超过的最大整数，例如，，据此规定，　　． 【分析】根据取整函数的知识，可得，，再相加即可求解． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】此题考查了取整函数的知识．注意性质的应用是解此题的关键． 14．（2023秋•江都区月考）绝对值大于且小于3.2的所有整数的和为 　0　． 【分析】根据条件求出正整数，再求和． 【解答】解：绝对值大于且小于3.2的所有整数为：，，，0，1，2，3， ， 故答案为：0． 【点评】本题考查有理数的加法，结合绝对值的定义是解题的关键． 15．（2023秋•丰县期中）小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了 “”错写成“”或“”错写成“” ，结果算成了，则原式从左往右数，第 　3　个运算符号写错了． 【分析】根据题意分别将其中一个加号变为减号后计算即可． 【解答】解：原式从左往右数，第1个“”写错， 则，不符合题意； 原式从左往右数，第2个“”写错， 则，符合题意； 原式从左往右数，第3个“”写错， 则，不符合题意； 原式从左往右数，第4个“”写错， 则，不符合题意； 故答案为：3． 【点评】本题考查有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式并计算是解题的关键． 16．（2023秋•启东市期中）已知，，为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为 　2023　． 【分析】由数轴上表示的几何意义，求出的值，即可得到答案． 【解答】解：的最小值为3，且， ， ， 的值为2023． 故答案为：2023． 【点评】本题考查绝对值，有理数的减法，关键是掌握：在数轴上绝对值的几何意义． 17．（2023秋•海州区月考）计算： 　　． 【分析】根据有理数加法的运算律求解． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的加法运算以及加法运算律，根据加法运算律添加大括号，简便计算即可． 18．（2023秋•鼓楼区校级月考）、两地的高度差记为，例如：地比地低2米，记为（米．现要测量、两地的高度差，借助了已经设立的、、、、共五个观测地，测量出两地的高度差，测量结果如下表：（单位：米）．则的值为 　0.4　． 两地的高度差 测量结果 3.3 2.7 3.9 【分析】由于，故将表格中的所有数加起来，即是的值． 【解答】解： （米， （米， 故答案为：0.4． 【点评】此题考查有理数的减法，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． 三．解答题（共9小题） 19．（2023秋•徐州期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据有理数的加减混合法则进行计算即可； （2）先把分数化成小数，再根据加减法法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式 ． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合法则是解题的关键． 20．（2023秋•铜山区期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）利用加法交换律，把符号相同的加数交换在一起，进行简便计算即可； （2）先利用减法法则，把减法写成加法，再利用加法交换律，把符号相同的加数交换在一起，进行简便计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则． 21．（2023秋•宿豫区月考）已知，，且，求的值． 【分析】运用绝对值的性质进行讨论、求解． 【解答】解：，， ，， ， ，或，， 当，时， ． 当，时， ． 的值为或． 【点评】本题考查绝对值性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行讨论、求解． 22．（2023秋•工业园区校级月考）已知是最小的正整数，的相反数还是它本身，是最大的负整数． （1）　1　，　　，　　． （2）求的值． 【分析】（1）根据正整数，负整数以及相反数的定义进行解题即可； （2）根据有理数的加法法则进行解题即可． 【解答】解：（1）由题可知， ，，， 故答案为：1，0，； （2）． 【点评】本题考查有理数的加法和相反数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 23．（2023秋•梁溪区校级月考）已知：，， （1）求的值． （2）若，求的值． 【分析】（1）由，可得，，，可分为4种情况求解； （2）由可得，，或，，代入计算即可． 【解答】解：（1），， ，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． （2）由可得，，或，． 当，时，， 当，时，． 【点评】考查了绝对值，有理数的加减法，此题主要用了分类讨论的方法，各种情况都有考虑，不能遗漏． 24．（2023秋•沭阳县期中）2022年足球世界杯在卡塔尔举行，某工厂设计了某款足球纪念品并进行生产，原计划每天生产10000个该款足球纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，如表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 （1）根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？ （2）本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由． （3）若该款足球纪念品每个生产成本35元，并按每个40元出售，则该工厂本周的生产总利润是多少元？ 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算即可求解； （2）计算本周与计划量的差值，若为正数，则打标，否则就是不达标，由此即可求解； （3）根据利润的计算方法即可求解． 【解答】解：（1）根据题意可得，本周生产量最多的一天是周四，比计划量多127个，本周生产量最少的一天是周五，比计划量少72个， 两天的差值是（个， 本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产199个． （2）本周的产量比计划量的差值为（个， 本周实际生产总量达到了计划数量，并比计划量多17个． （3）由（2）可知，本周生产量为（个， 每个生产成本35元，每个40元出售， 每个利润为（元， 本周的生产总利润是（元． 【点评】本题主要考查正负数在实际生活中的运用，掌握正负数表示增加、不足的意义，有理数的加减混合运算法则，利润的计算方法是解题的关键． 25．（2023秋•京口区月考）在有些情况下，不需要计算出也能把绝对值符号去掉，例如：，，，． （1）根据上面的规律，写出下列各式去掉绝对值符号后的形式（不要计算出结果） ①　　；②　　． （2）计算：． 【分析】（1）根据绝对值的性质总结规律即可求得答案； （2）根据总结的规律将原式变形后计算即可． 【解答】解：（1）①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）原式 ． 【点评】本题考查绝对值及有理数的运算，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 26．（2023秋•海州区月考）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点、在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示和6的两点之间的距离表示为 　　；数轴上表示和的两点之间的距离表示为 　　． （2）若表示一个有理数，则的最小值　　，满足条件的所有整数的和为 　　． （3）请写出当　　时，有最小值为 　　． （4）规律应用： 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台、、、、、、、、，一只配件相应该放在工作 　　处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是 　　米． 【分析】（1）根据数轴上、两点之间的距离计算便可； （2）当在表示数与1的两点及两点之间时，的值最小，求出此时的值便可； （3）根据绝对值的几何意义可知，当时，有最小值8； （4）以点为原点，2米为一个单位长度，、、、、、、、、依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值40； 【解答】解：（1）由题意，数轴上表示和6的两点之间的距离表示为；数轴上表示和的两点之间的距离表示为． 故答案为：；． （2）由题意，当时，取最小值， 其最小值为：， 满足条件的整数的和为． 故答案为：5，． （3）由题意，表示数轴上有理数所对应的点到，，，1所对应的点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为8． 故答案为：，8． （4）由题意，以点为原点，2米为一个单位长度，、、、、、、、、依次在数轴上排列， 则点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2，点表示的数为4，点表示的数为6，点表示数为8． 设配件箱应该放在数轴上表示的数的位置， 当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短， 当时，有最小值40． 配件箱应该放在工作台处，最短路程为40米， 故答案为：，40． 【点评】本题主要考查了有理数的加法、有理数、数轴、绝对值的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 27．（2023秋•南通月考）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）和5关于2的“美好关联数”为 　8　； （2）若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； （3）若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，和关于4的“美好关联数”为1，和关于5的“美好关联数”为，则的最小值为 　　． 【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可； （2）利用新定义计算求未知数； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算；②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值． 【解答】解：（1）， 故答案为：8； （2）和2关于3的“美好关联数”为4， ， ， 解得或； （3）①和关于1的“美好关联数”为1， ， 在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， 有最小值1， 故答案为：1； ②由题意可知： ，的最小值； ，的最小值； ． 故答案为：10． 【点评】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$