17.5 反证法 课件 2024-2025学年冀教版数学八年级上册

17.5 反证法 冀教版数学八年级上册 故事说一个少妇抱着小孩回娘家，路过瓜田，遇上一个恶少调戏。少妇不从，被诬偷瓜，告到县衙。恶少暗中用 钱收买为他看瓜的地保，嘱他摘三个大瓜到县衙作证。张飞升堂审讯，问恶 少，恶少说少妇偷他的瓜，有人证物证；问少妇，少妇说恶少调戏她。张飞 “想了一想”，佯断少妇偷瓜，命恶少先把三个大瓜 抱回去。恶少左抱右抱，怎么也抱不起来。张飞虎眉一 竖，拍案而起，痛斥恶少"你堂堂男子汉，三个瓜都 抱不动，她是弱女子， 又抱小孩，怎能偷你三个大 瓜？分明是你调戏。"经过审问，果然不错。 张飞是怎样证明少妇无罪的呢? 他运用了怎样的推理方法? 故事一：张飞断案 导入新课 张飞推理方法是: 假设“少妇偷瓜” 少妇同时要抱小孩和三个瓜 与 “恶少无法抱动三个瓜”产生矛盾 假设 “少妇偷瓜”不成立 所以“少妇没有偷瓜” 是正确的 从前有个聪明的孩子叫王戎。他7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动. 有人问王戎为什么，王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢? 他运用了怎样的推理方法? 故事二：路边苦李 王戎推理方法是: 假设“李子甜” 树在道边则李子少 与已知条件“树在道边而多子”产生矛盾 假设 “李子甜”不成立 所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的 身边的例子 妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游. 小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢! 上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么? 小芳全家没外出旅游. 如何推断该命题的正确性的? 在证明一些命题为真命题时，一般用直接证明的方法，但有时用间接的证明方法可能更方便.反证法就是一种常用的间接证明方法. 课程新授 1 知识点 反证法的意义 在第九章中，我们已经知道“一个三角形中最多 有一个直角”这个结论.怎样证明它呢？ 已知：如图，△ABC. 求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能 有一个直角. 证明：假设△ABC中有两个(或三个)直角，不妨设 ∠A=∠B =90°. ∵∠A+∠B=180°， ∴∠A+∠B+∠C >180°. 这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾. 因此，三角形有两个(或三个)直角的假设是不成立的. 所以，如果三角形含直角，那么它只能有一个直角. 归 纳 上面的证明过程，是先假设原命题结论不正 确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证， 最后推出与学过的三角形内角和定理相矛盾的结 果. 因此，假设是错误的，原结论是正确的. 这种证明命题的方法叫做反证法. 反证法是 一种间接证明的方法. 用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条之间所截，同位角相等 例1 已知：如图.直线AB∥CD，直线 EF分别与直线AB， CD交于点G， H，∠1和∠2是同位角. 求证：∠1=∠2. 假设∠1≠∠2. 过点G作直线MN，使得∠EGN =∠1. ∴∠EGN=∠1， ∴ MN∥CD(基本事实). 又∵AB∥CD(已知)， ∴过点G，有两条不同的直线AB和MN都与直 线CD平行. 这与“经过已知直线外一点，有且 只有一条直线和已知直线平行”相矛盾. ∴∠1≠∠2的假设是不成立的. 因此，∠1=∠2. 证明： 总 结 对于本题，要先写出已知、求证，然后运用 反证法证明. 用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角． 解：已知：在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B和∠C都是锐角． 证明：假设等腰三角形ABC的底角∠B和∠C 都不是锐角，则∠B≥90°，∠C≥90°， 所以∠B＋∠C≥180°. 则该三角形的三个内角的和一定大于180°， 这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不 成立，即∠B和∠C都是锐角． 所以等腰三角形的底角是锐角． 练一练 2 知识点 用反证法证明的步骤 用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤是： (1)第一步，假设命题的结论________． (2)第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经 过推理论证，得出与学过的概念、基本事实， 已证明的定理、性质或题设条件__________的 结果． (3)第三步，由矛盾的结果，判定假设________， 从而说明命题的结论是________． 不成立 相矛盾 不成立 正确的 已知：如图，在 △ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′ = 90°，AB=A′B′，AC=A′C′， 求证：△ABC≌△A′B′C′. 用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 例2 假设△ABC与△A′B′C′不全等，即BC≠B′C′. 不妨设BC＜B′C′.如图.在B′C′上截取连接A′D. 在△ABC和△A′B′C′中， ∵AC = A′C′，∠C = ∠C′，CB = C′D， ∴△ABC≌△A′DC′(SAS). ∴AB = A′D(全等三角形的对应边相等). ∴AB = A′B′ (已知)， ∴A′B′ = A′D(等量代换). ∴∠B′ = ∠A′DB′(等边对等角). ∴∠A′DB′ ＜90°(三角形的内角和定理)， 证明： 即∠C′＜∠A′DB′＜90°(三角形的外角大于和它不 相邻的内角). 这与∠C′＝90°相矛盾. 因此，BC≠B′C′的假设不成立， 即△ABC与△A′B′C′不全等的假设不成立. 所以，△ABC≌△A′B′C′. 用反证法证明时，一定要得出矛盾，这种矛 盾可以是与已知矛盾，也可以是与某个定义、公 理、定理矛盾. 总 结 用反证法证明在一个三角形中，不能有两个角是钝角． 解：已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角． 求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角． 证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨 设∠A＞90°，∠B＞90°，则∠A＋∠B＋∠C＞ 180°，这与三角形的内角和定理相矛盾. 故 ∠A， ∠B均大于90°不成立． 所以，在一个三角形中不能有两个钝角． 试一试 用反证法证明时要明确“两点”： 1．用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是 否定已知条件． 2．适合用反证法的命题类型： (1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不 能有两个钝角； (2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点； (3)结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个 凸多边形中至多有3个锐角． 常用的互为否定的表述方式： 是—— 存在—— 平行—— 垂直—— 等于—— 都是—— 大于—— 小于—— 至少有一个—— 至少有三个—— 至少有n个—— 至多有一个—— 三角形中最多有一个是直角—— 不是 不存在 不平行 不垂直 不等于 不都是 不大于 不小于 一个也没有 至多有两个 至多有(n-1)个 至少有两个 三角形中有两个或三个角是直角 点 拨 说出下列各结论的否定面： （1）a∥b （2）a≥b （3）b是正数 （4）a⊥b （5）至少有一个 （6）至多有一个 a不平行于b a﹤b b是0或负数 a不垂直于b 一个也没有 至少有两个 用反证法证明：若a，b，c是不全为0的实数，且 a＋b＋c＝0，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数． 证明：假设a，b，c都不是________， ∵ a，b，c不全为0， ∴ a，b，c中至少有一个为正数， ∴ a＋b＋c________0，这与已知相________， ∴______________，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 负数 ＞ 矛盾 假设不成立 课堂练习 2. 用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则 a∥b”，第一步应假设(　　) A．a∥b B．a与b垂直 C．a与b不一定平行 D．a与b相交 3. 用反证法证明命题“如果x＞y，那么x3＞y3”时，假 设的内容应是(　　) A．x3＝y3 B．x3＜y3 C．x3＜y3或x3＝y3 D．x3＜y3且x3＝y2 D C 本节课你学会了哪些知识？ 1、怎样的证明方法叫反证法？ 2、用反证法证明一个命题的一般步骤是什么？ 课堂小结 再见 $$