精品解析：福建省厦门第五中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

厦门市第五中学2023—2024学年度第一学期期中考试 八年级数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡． 2.答题前填写好自己的姓名、班级、座号等信息． 3.请将答案正确填写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的） 1. 在千家万户团圆的时刻，我市一批医务工作者奔赴武汉与疫情抗争，他们是“最美逆行者”.下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列线段能构成三角形的是（ ） A. 3，3，5 B. 2，2，4 C. 1，2，3 D. 2，3，6 4. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等腰三角形有一个角是，则下列结论中，正确的是（ ） A. 这个三角形可以是直角三角形 B. 这个三角形可以是钝角三角形 C. 这个三角形一定是锐角三角形 D. 这个三角形可以是等边三角形 7. 如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ） A. 0 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图，中，，，点P是边上一点，则当点P到的距离与点P到点B的距离之和取得最小值时，等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共32分） 9. 计算： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______． 10. 在平面直角坐标系中，点与点B关于x轴对称，则点B的坐标是______． 11. 如图，是的角平分线，，，则的长为______． 12. 若正边形的每一个内角为，则_______． 13. 如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，若，则点E到的距离为______． 14. 已知3x+2＝m，用含m的代数式表示3x结果为_____． 15. 已知中，如果存在过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这个三角形为“等直三角形”． 如图1，为“等直三角形”．在图2中，为“等直三角形”，，则的度数为______． 16. 如图，为等边三角形，F，E分别是上的一动点，且，连接，交于点H，连接．给出下列四个结论： ①；②若，则平分； ③；④若，则． 其中正确的结论有______（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1） （2） （3） 18. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，P为平分线上一点，于A，于B． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 21. 如图，已知在中，． （1）在边上求作点D，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求边的长． 22. 计算下列两个数的积（这两个数的十位数字相同，个位数字的和等于10）， ，，，， （1）你发现结果有何规律？ 用你发现结果的规律计算：______，______； （2）请用所学知识解释这个规律． 23. 在平面直角坐标系中，已知（其中），且． （1）的形状是______ （2）如图，若，C为中点，连接，过点A向右作，且，连接．过点作直线垂直于x轴，交于点N，求证：． 24. 如图，在四边形中，，，垂足为E，，F是的中点，连接，， （1）若，求的度数； （2）若， ①求证：； ②求的面积． 25. 已知等腰中，，，交延长线于点D，为的延长线，点P从A点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边，连接． （1）如图1，当时，求证：； （2）当点P运动到如图2位置时，此时点D与点E在直线同侧，求证：； （3）在点P运动过程中，连接，当点P运动多少秒（）时，线段长度取到最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市第五中学2023—2024学年度第一学期期中考试 八年级数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡． 2.答题前填写好自己的姓名、班级、座号等信息． 3.请将答案正确填写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的） 1. 在千家万户团圆的时刻，我市一批医务工作者奔赴武汉与疫情抗争，他们是“最美逆行者”.下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个图形沿某一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，根据定义判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形． B、是轴对称图形． C、不是轴对称图形． D、不是轴对称图形． 故选：B． 【点睛】本题主要是考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的相关运算，涉及了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方，根据幂的运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：C 3. 下列线段能构成三角形的是（ ） A. 3，3，5 B. 2，2，4 C. 1，2，3 D. 2，3，6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，对各选项的数据进行判断即可． 【详解】解：．3，3，5满足任意两边之和大于第三边，能构成三角形，故该选项符合题意； ．，不能构成三角形，故该选项不符合题意； ．，不能构成三角形，故该选项不符合题意； ．，不能构成三角形，故该选项不符合题意； 故选：A． 4. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是熟记解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．先求出每个不等式的解集，再根据找不等式解集的规律找出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得． 由②得． 不等式组解集为． 故选：D 5. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用．根据全等三角形判定的“”定理即可证得． 【详解】解：，点，分别是，的中点， ， 在和中， ． ， 故选：D． 6. 已知等腰三角形有一个角是，则下列结论中，正确的是（ ） A. 这个三角形可以是直角三角形 B. 这个三角形可以是钝角三角形 C. 这个三角形一定是锐角三角形 D. 这个三角形可以是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理的应用，三角形分类，分两种情况：的角为等腰三角形的底角，的角为等腰三角形的顶角，分别求出另外两个内角的度数，然后进行判断即可． 【详解】解：当的角为等腰三角形的底角时，则等腰三角形的另外一个底角为，顶角为： ， ∴此时等腰三角形为锐角三角形； 当的角为等腰三角形的顶角时，则等腰三角形的两个底角为： ， ∴此时等腰三角形为锐角三角形， 综上分析可知：这个三角形一定是锐角三角形，故C正确． 故选：C． 7. 如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ） A. 0 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是P关于直线l的对称点， ∴直线l是的垂直平分线， ∴ ∵是P关于直线m的对称点， ∴直线m是的垂直平分线， ∴ 当不在同一条直线上时， 即 当在同一条直线上时， 故选：B 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键 8. 如图，中，，，点P是边上一点，则当点P到的距离与点P到点B的距离之和取得最小值时，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长，取，连接，过点P作，过点作于点E，交于点，证明垂直平分，得出，说明， 根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当在点处时，点P到的距离与点P到点B的距离之和最小，然后求出结果即可． 【详解】解：延长，取，连接，过点P作，过点作于点E，交于点，如图所示： ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当在点处时，点P到的距离与点P到点B的距离之和最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 即当点P到的距离与点P到点B的距离之和取得最小值时，等于． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 二、填空题（每小题4分，共32分） 9. 计算： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______． 【答案】 ①. ②. ## ③. ## ④. 【解析】 【分析】本题考查了幂的相关运算，涉及了同底数幂的乘法、积的乘方运算及其逆运算、单项式除法，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：①②③④ 10. 在平面直角坐标系中，点与点B关于x轴对称，则点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点与点B关于x轴对称， 点B的坐标是． 故答案为： ． 11. 如图，是的角平分线，，，则的长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一，得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8． 12. 若正边形的每一个内角为，则_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了多边的内角和定理，理解多边的内角和定理是解答关键． 根据正多边形的内角和定理列出方程求解． 【详解】解：正边形的每一个内角为， 则正边形的内角和为， ， 整理得， 解得． 故答案为：10． 13. 如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，若，则点E到的距离为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过点E作与点F，由三角形的高线可得出，再根据角平分线的性质定理即可得出． 【详解】解：过点E作于点F， ∵是边上的高， ∴， ∵平分， ∴， 即点E到的距离为5， 故答案为：5． 14. 已知3x+2＝m，用含m的代数式表示3x结果为_____． 【答案】 【解析】 【分析】逆用同底数幂乘法法则，把转化成积的形式，再利用等式的性质求解即可． 【详解】解：∵3x+2＝3x×32＝9×3x， ∴9×3x＝m． ∴3x＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则及法则的逆用，是解决本题的关键． 15. 已知中，如果存在过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这个三角形为“等直三角形”． 如图1，为“等直三角形”．在图2中，为“等直三角形”，，则的度数为______． 【答案】，，， 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，理解“等直三角形”定义是本题的关键．分四种情况进行讨论：当，时；当，时；当，时；当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当，时，如图所示： 此时为等腰三角形，为直角三角形， ∵， 又∵， ∴； 当，时，如图， 此时为直角三角形，为等腰三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当，时，如图所示： 此时为等腰三角形，为直角三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴； 当，时，如图所示： 此时为直角三角形，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上分析可知：的度数为：，，，． 故答案为：，，，． 16. 如图，为等边三角形，F，E分别是上的一动点，且，连接，交于点H，连接．给出下列四个结论： ①；②若，则平分； ③；④若，则． 其中正确的结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质，证明，利用全等三角形的性质可以判断①③，利用垂直平分线的判定可以判断②，利用等腰三角形和全等三角形可以判断④． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴是的垂直平分线， ∴平分，故②正确； ∵， ∴， ∴， 即，故③不正确； 如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算． （1）按照多项式乘以多项式法则计算即可． （2）按照多项式乘以多项式法则计算即可． （3）先计算同底数幂的乘法，积的乘方运算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 【小问3详解】 18. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先根据，证明，再根据“”证明，得出即可． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题考查的是整式的运算．先将原式根据单项式乘多项式以及多项式乘多项式的法则进行化简，再将的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，P为平分线上一点，于A，于B． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 【答案】（1） 证明：∵P为平分线上一点，于A，于B， ∴，，， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定： （1）角平分线的性质，推出，证明，得到即可； （2）根据，，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，已知在中，． （1）在边上求作点D，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求边的长． 【答案】（1） 如图， ∵， ∴， 由作图知， ∴， ∴， ∴； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、等腰三角形的性质及角直角三角形的性质， （1）作线段的垂直平分线交于点D，连接，则，那么，结合含30度角的直角三角形的性质即可知点D即为所求； （2）由（1）知，，根据角直角三角形的性质可得，由此即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∵， ∴D=1， ∵， ∴， 则． 22. 计算下列两个数的积（这两个数的十位数字相同，个位数字的和等于10）， ，，，， （1）你发现结果有何规律？ 用你发现结果的规律计算：______，______； （2）请用所学知识解释这个规律． 【答案】625；3021；1216；7224；5609； （1）十位数乘以十位数加一作为结果的百位，两个个位相乘作为结果的个位和十位；4221；9025； （2）设十位数字为x，个位数字为y，一个数为，则另一个数为， ， 前一项就是十位数乘以十位数加一，后一项就是两个个位数字相乘． 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律，由题意得出十位上数字乘以十位上数字加一的积作为千位和百位数字，两个个位上的数字相乘的结果作为十位和个位的数字，由此进行计算即可得出答案，根据题意得出规律是解此题的关键． 根据有理数乘法运算法则和乘方运算法则求出结果即可； （1）根据结果找出数字规律；利用找出的规律进行计算即可； （2）设十位数字为x，个位数字为y，一个数为，则另一个数为，按照（1）的规律进行验证即可． 【详解】解：，，，，， （1）根据计算的数字结果可得规律：十位数乘以十位数加一作为结果的百位，两个个位相乘作为结果的个位和十位． ； ； （2）略 23. 在平面直角坐标系中，已知（其中），且． （1）的形状是______ （2）如图，若，C为中点，连接，过点A向右作，且，连接．过点作直线垂直于x轴，交于点N，求证：． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2） 证明：过点D作轴，垂足为H，交于点S．则． ∵， ∴． ∵C为中点， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，垂直于x轴，轴， ∴， ∴，． ∴， 在和中 ， ∴， ∴； 【解析】 【分析】（1）证明，可得结论； （2）过点D作轴，垂足为H，交于点S．则．证明，推出，再证明，可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形； 【小问2详解】 略 【点睛】本题属于三角形综合题，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 24. 如图，在四边形中，，，垂足为E，，F是的中点，连接，， （1）若，求的度数； （2）若， ①求证：； ②求的面积． 【答案】（1） （2）①∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②求的面积为6． 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质．四边形内角和定理、全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟悉等腰三角形和全等三角形的性质． （1）根据题意得，结合四边形内角和即可求得； （2）①根据题意知，即可利用证明，则有； ②过点E作于点M，过点C作于点N，由全等三角形的性质可得出，，由等腰三角形三线合一的性质可得出，，，等量代换可得出，证明，由全等三角形的性质得出，最后根据三角形面积求解即可． 【小问1详解】 解：∵，F是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 【小问2详解】 证明：① 略 ②如图，过点E作于点M，过点C作于点N，如图， 则， 由①知，， ∴，， 又∵，， ∴，， ∵，F是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∴， ， 故的面积为6． 25. 已知等腰中，，，交延长线于点D，为的延长线，点P从A点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边，连接． （1）如图1，当时，求证：； （2）当点P运动到如图2位置时，此时点D与点E在直线同侧，求证：； （3）在点P运动过程中，连接，当点P运动多少秒（）时，线段长度取到最小值． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴； （2） 证明：如图，在上取一点T，使得， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， ∴； （3）当点P运动秒时，线段长度取到最小值 【解析】 【分析】（1）利用“”即可直接证明； （2）在上取一点T，使得，先证明是等边三角形，再证明即可； （3）分当点D与点E在直线AP同侧时和当点D与点E在直线两侧时来讨论，确定点E在的角平分线l上运动，即当时，取到最短，问题随之得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点D与点E在直线AP同侧时， 由（2）中有：是等边三角形，即， ∴， 则根据可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点D与点E在直线两侧时，如图， 在上截取， ∵， ∴结合对顶角相等，可得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即运动过程中，所在的直线平分， 则有点E在的角平分线l上运动， 当时，取到最短．此时，，点D与点E在直线AP同侧时． ∵中，，， ∴． ∵中，，， ∴． ∴根据（2）的结论，有， ∴． 即：当点P运动时，线段长度取到最小值． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $