精品解析：浙教版2023-2024学年八年级数学下册期中测试卷

浙教版八年级下册期中测试卷（第一章——第四章） 一、造择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案。 【详解】根据中心对称图形的概念，四个选项中只有D符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形概念是解题的关键。 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断． 【详解】解：.，所以选项错误； .，所以选项错误； .，所以选项正确； .，所以选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3. 为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表： 甲 2 6 7 7 8 乙 2 3 4 8 8 关于以上数据，说法正确的是（ ） A. 甲、乙的众数相同 B. 甲、乙的中位数相同 C. 甲的平均数小于乙的平均数 D. 甲的方差小于乙的方差 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义进行求解后进行判断即可得. 【详解】甲：数据7出现了2次，次数最多，所以众数为7， 排序后最中间的数是7，所以中位数是7， ， =4.4， 乙：数据8出现了2次，次数最多，所以众数为8， 排序后最中间的数是4，所以中位数是4， ， =6.4， 所以只有D选项正确， 故选D. 【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟练掌握相关定义及求解方法是解题的关键. 4. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数为( ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用多边形的内角和公式及外角和定理列方程即可解决问题． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 则有， 所有． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是掌握边形的内角和是；多边形的外角和是360度． 5. 用配方法解方程 时，原方程应变形为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边利用完全公式表示即可． 【详解】x2+2x=1， x2+2x+1=2， （x+1）2=2． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 6. 如图，，平行四边形的顶点A在上，BC交于点E，若∠C=110°，则∠1+∠2= （ ） A. 110° B. 90° C. 80° D. 70° 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出∠BAD=∠C=110°，AD∥BC，由平行线的性质得出∠2=∠ADE，∠ADE+∠BAD+∠1=180°，得出∠1+∠2=180°-∠BAD=70°即可． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=∠C=110°，AD∥BC， ∴∠2=∠ADE， ∵1∥2， ∴∠ADE+∠BAD+∠1=180°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAD=70°； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质和平行线的性质是解题的关键． 7. 以下可以来证明命题“若，则”是假命题的反例的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断．本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 【详解】解：A、，满足， ∴A选项不能作为证明原命题是假命题的反例； B、，满足，但不满足， ∴B选项能作为证明原命题是假命题反例； C、，不满足， ∴C选项不能作为证明原命题是假命题的反例； D、，不满足， ∴D选项不能作为证明原命题是假命题的反例． 故选B． 8. 如图，▱ABCD对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，△ABD面积为10，则四边形OBCE的面积为（　　） A. 5 B. 6.5 C. 7.5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得O为AC和BD中点，再根据三角形的中线平分三角形的面积可得S△BOC=S△AOD=S△COD=S△AOB=5，根据三角形的中线平分三角形的面积可得S△COE=2.5，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，△ABD面积为10， ∴S△BOC=S△AOD=S△COD=S△AOB=5， ∵点E是CD的中点， ∴S△COE=S△COD=2.5， ∴四边形OBCE的面积为：S△BOC+S△COE=5+2.5=7.5． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及三角形中线的性质，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．三角形的中线平分三角形的面积． 9. 如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽应该满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（40-2x）m，宽为（26-x）m．根据长方形面积公式即可列方程（40-2x）（26-x）=144×6． 【详解】解：设道路的宽为xm，由题意得： （40-2x）（26-x）=144×6． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解题的关键． 10. 下列关于一元二次方程的命题中，真命题有（ ） ①若，则；②若方程两根为1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有实根． A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】把b=a+c代入判别式中得到△=（a-c）2≥0，则可对①进行判断；利用根与系数的关系得到1×2=，则c=2a，于是可对②进行判断；利用方程ax2+c=0有两个不相等的实根得到ac＜0，则△b2-4ac＞0，于是可对③进行判断． 【详解】解：a-b+c=0，则b=a+c，△=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，所以①正确； ∵方程ax2+bx+c=0两根为1和2， ∴1×2=，则c=2a， ∴2a-c=2a-2a=0，所以②正确； ∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根， ∴ac＜0， ∴△=b2-4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c=0必有两个实根，所以③正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 当时，二次根式的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】直接将代入进行计算即可． 【详解】解：当时， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了代数式的值，二次根式的计算，题目比较简单． 12. 甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中（每次训练投8个），各次训练成绩（投中个数）的折线统计图如图所示，他们成绩的方差分别为s甲2与S乙2，则s甲2_____S乙2．（填“＞”、“=”、“＜“中的一个） 【答案】＜ 【解析】 【分析】 利用折线统计图可判断乙同学的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲、乙的方差的大小． 【详解】解：由折线统计图得乙同学的成绩波动较大， ∴s甲2＜S乙2． 故答案为：＜． 【分析】本题考查了方差的意义，掌握知识点是解题关键． 13. 一元二次方程有实数根，则的取值范围为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据根的判别式求解即可． 【详解】∵一元二次方程有实数根 ∴ 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的问题，掌握根的判别式是解题的关键． 14. 如果实数a，b满足，，且，则的值________． 【答案】2 【解析】 【分析】通过变型可得到实数 a， 为的两个不等实数根，再根据根与系数的关系即可作答． 【详解】∵实数 a，b 满足， 且， ∴实数 a， 为的两个不等实数根， ∴，即， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，通过变型可得到实数 a， 为的两个不等实数根，是解答本题的关键． 15. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB丁点E，交BD于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE．下列四个结论：①∠ACD=30°；②；③=AC·AD；④OE：OA=1：其中结论正确的序号是____．（把所有正确结论的序号都选上） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC⊥BC，得到S▱ABCD=AC•BC，故③正确，根据直角三角形的性质得到AC=BC，根据三角形的中位线的性质得到OE=BC，AE=BE，于是得到②④正确． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°， ∵CE平分∠BCD交AB于点E， ∴∠DCE=∠BCE=60° ∴△CBE是等边三角形， ∴BE=BC=CE， ∵AB=2BC， ∴AE=BC=CE， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确； ∵AC⊥BC， ∴=AC·AD，故③正确， 在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°， ∴AC=BC， ∵AO=OC，AE=BE， ∴OE=BC，OA=BC， ∴OE：OA==， 故④正确； ∵AE=BE，∴S△AOE=S△OBE，故②正确； 答案为：①②③④ 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质.注意证得△BCE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键. 16. 如图，有一张平行四边形纸条，，，，点E，F分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点C，D分别落在点，上．当点恰好落在边上时，线段的长为___________．在点F从点B运动到点C的过程中，若边与边交于点M，则点相应运动的路径长为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当点恰好落在边上时，易得，过点作于点，求出的长度，进而求出的长度，勾股定理求出的长度，即可得到的长；分别求出与重合时，的长，以及在上时，的长，作差即可得出点相应运动的路径长． 【详解】解：（1）当点恰好落在边上时，如图： ∵平行四边形纸条，，，， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，，，， ∴， ∴， 过点作于点， 则：， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）当点与点重合时，此时最短，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同（1）法可得：， 设，则：， 在中，，即：， 解得：， ∴， ∴； 当点在上时，此时与重合，最大， 由（1）可知，， ∴点运动的路径长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理．解题的关键是正确的画出图形，利用数形结合的思想进行求解． 三、解答题：（本大题共8个小题，66分） 17. 计算：（1） （2） 【答案】(1) （2） 【解析】 【分析】（1）首先化简二次根式，进而合并求出即可； （2）首先化简二次根式，进而合并，利用二次根式除法运算法则求出即可． 【详解】解：（1）， =， = （2）， =， =， = 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可求解； （2）先化为一般形式，然后根据公式法解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解： ， 或， ∴； 【小问2详解】 化简得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 19. 如图，在6×6网格中，每个小正方形的边长为1，点A, B在格点上．请根据条件画出符合要求的图形． （1）在图甲中画出以点A为顶点且一边长为的平行四边形．要求：各顶点均在格点上． （2）在图乙中画出线段AB的中点O． 要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用数形结合的思想，画出平行四边形即可； （2）如图：取格点P、Q，连接PQ交AB于点O，点O即为所求． 小问1详解】 解：如图甲中，四边形ABCD即为所求． 【小问2详解】 解：如图乙中，点O即为所求． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、平行四边形的性质等知识，灵活运用数形结合的思想是解答本题的关键． 20. 比较与的大小． （1）尝试（用“”，“”或“”填空）： ①当时，___________ ②当时，___________ ③当时，___________ （2）归纳：若x取任意实数，与有怎样的大小关系？试说明理由． 【答案】（1）①，②，③ （2），见解析 【解析】 【分析】（1）直接代值计算比大小即可； （2）两代数式作差，通过差是否大于零直接判断即可． 【小问1详解】 当时，，，故； 当时，，，故； 当时，，，故； 故答案为：①，②，③ 【小问2详解】 理由如下： 所以 【点睛】此题考查多项式比大小，运用完全平方公式进行运算，解题关键是将两个代数式作差即可判断大小，差大于零则前者大于后者，差小于零则后者大于前者；而判断代数式与零的大小即利用完全平方公式对代数式进行化简． 21. 为了解某校八年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制出统计图1和图2，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次抽测的男生人数为________，图1中m的值为________； （2）本次抽测的这组数据的平均数为________次，众数为________次； （3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，根据样本数据，估计该校350名八年级男生中有多少人体能达标． 【答案】（1）50；28； （2）5.16；5； （3）估计该校550名八年级男生中有252人体能达标． 【解析】 【分析】（1）根据4次的人数及其百分比可得总人数，用6次的人数除以总人数求得m即可； （2）根据平均数、众数的定义求解可得； （3）总人数乘以样本中5、6、7次人数之和占被调查人数的比例可得． 【小问1详解】 本次抽测的男生人数为10÷20%=50（人）， m%=×100%=28%，即m=28， 故答案为：50、28； 【小问2详解】 平均数为（次）， 众数为5次， 故答案为：5.16；5； 【小问3详解】 （人）， 答：估计该校350名八年级男生中有252人体能达标． 【点睛】本题考查了条形统计图，平均数和众数，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 22. 如图，在中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F． （1）求证：； （2）若，，，连接DE，求DE的长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得到AB∥CD，从而可得到AB∥DF，根据平行线的性质可得到两组角相等，已知点E是BC的中点，从而可根据AAS来判定△BAE≌△CFE，根据全等三角形的对应边相等可证得AB＝CF，进而得出CF＝CD； （2）利用全等三角形的判定与性质得出AE＝EF，证出DA＝DF，利用等腰三角形的性质求出即可，然后勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵点F为DC的延长线上的一点， ∴AB∥DF， ∴∠BAE＝∠CFE，∠ECF＝∠EBA， ∵E为BC中点， ∴BE＝CE， 则在△BAE和△CFE中， ， ∴△BAE≌△CFE（）， ∴AB＝CF， ∴CF＝CD； 【小问2详解】 由（1）得：CF＝CD，△BAE≌△CFE， ∴AE＝EF，DF＝2CD， ∵AB＝CD， ∴DF＝2AB， ∵AD＝2AB， ∴AD＝DF， ∵AE＝EF， ∴DE⊥AF 在中，， ∴ 【点睛】此题主要考查学生对平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，证明线段相等的常用方法是证明三角形全等． 23. 近日，春回大地，阳光明媚．开州陈家的春橙大量上市．已知王爷爷自家果园的春橙有两种类型在售，一种是实惠装中型果实（简称“中果”），一种是豪华装大型果实（简称“大果”）． （1）网友小张买了2箱中果，1箱大果，花了116元；网友小李买了1箱中果，2箱大果，花了124元．求每箱中果和大果的售价分别是多少元？ （2）在（1）条件下，正常情况平均每周可销售30箱大果，王爷爷决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降低2元，大果的销量每周可增加5箱，如果大果每周的销售额为1800元且售价不低于30元．求每箱大果的售价应该降低多少元？ 【答案】（1）每箱中果的售价为36元，每箱大果的售价为44元 （2）每箱大果的售价应该降低8元 【解析】 【分析】（1）设每箱中果的售价为x元，每箱大果的售价为y元，根据“2箱中果，1箱大果，花了116元；1箱中果，2箱大果，花了124元”列出二元一次方程组求解即可； （2）根据“每周的销售额为1800元且售价不低于30元”列出方程和不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每箱中果的售价为x元，每箱大果的售价为y元，根据题意得， ， 解得， 答：每箱中果的售价为36元，每箱大果的售价为44元． 【小问2详解】 解：设每箱大果的售价应该降低m元，根据题意得， 解得， 售价不低于30元，即， 解得， ， 答：每箱大果的售价应该降低8元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 24. 如图 （1）如图1，在中，平分交边于点E，已知，，则等于_______ ． （2）如图2，在中，若分别是的平分线，点E在边上，且，则的周长为__________． （3）如图3，已知四边形是平行四边形，，若分别是的平分线．求证： （4）在（3）的条件下，如果，则的长为_______． 【答案】（1）2 （2）12 （3）见解析 （4）1 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质求出长，再根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出，则可求出长，即可解答； （2）由（1）得出，然后根据平行四边形的性质求出长，根据线段间的和差关系求出和的长度之和，从而求出的周长； （3）根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出，则可求出结合，则可得出； （4）由（3）求出和的长，结合，利用线段间的和差关系即可解答． 本题考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分交边于点E， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分交边于点E， ∴， ∴ 同理， ∴， ∴的周长． 故答案为：12． 【小问3详解】 证明：∵在中，， ． 又∵是平分线 ∴， 同理可得 ∵ ； 【小问4详解】 解：由（3）可得，． ∵ 故答案为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙教版八年级下册期中测试卷（第一章——第四章） 一、造择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表： 甲 2 6 7 7 8 乙 2 3 4 8 8 关于以上数据，说法正确是（ ） A. 甲、乙的众数相同 B. 甲、乙的中位数相同 C. 甲的平均数小于乙的平均数 D. 甲的方差小于乙的方差 4. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数为( ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. 用配方法解方程 时，原方程应变形（   ） A. B. C. D. 6. 如图，，平行四边形的顶点A在上，BC交于点E，若∠C=110°，则∠1+∠2= （ ） A. 110° B. 90° C. 80° D. 70° 7. 以下可以来证明命题“若，则”是假命题的反例的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，▱ABCD对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，△ABD面积为10，则四边形OBCE的面积为（　　） A. 5 B. 6.5 C. 7.5 D. 8 9. 如图，某小区规划在一个长、宽长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽应该满足的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 下列关于一元二次方程的命题中，真命题有（ ） ①若，则；②若方程两根为1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有实根． A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 当时，二次根式的值为_____． 12. 甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中（每次训练投8个），各次训练成绩（投中个数）折线统计图如图所示，他们成绩的方差分别为s甲2与S乙2，则s甲2_____S乙2．（填“＞”、“=”、“＜“中的一个） 13. 一元二次方程有实数根，则的取值范围为____． 14. 如果实数a，b满足，，且，则的值________． 15. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB丁点E，交BD于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE．下列四个结论：①∠ACD=30°；②；③=AC·AD；④OE：OA=1：其中结论正确的序号是____．（把所有正确结论的序号都选上） 16. 如图，有一张平行四边形纸条，，，，点E，F分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点C，D分别落在点，上．当点恰好落在边上时，线段的长为___________．在点F从点B运动到点C的过程中，若边与边交于点M，则点相应运动的路径长为___________． 三、解答题：（本大题共8个小题，66分） 17. 计算：（1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，在6×6网格中，每个小正方形的边长为1，点A, B在格点上．请根据条件画出符合要求的图形． （1）在图甲中画出以点A为顶点且一边长为的平行四边形．要求：各顶点均在格点上． （2）在图乙中画出线段AB的中点O． 要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． 20. 比较与的大小． （1）尝试（用“”，“”或“”填空）： ①当时，___________ ②当时，___________ ③当时，___________ （2）归纳：若x取任意实数，与有怎样的大小关系？试说明理由． 21. 为了解某校八年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制出统计图1和图2，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次抽测的男生人数为________，图1中m的值为________； （2）本次抽测的这组数据的平均数为________次，众数为________次； （3）若规定引体向上5次以上（含5次）体能达标，根据样本数据，估计该校350名八年级男生中有多少人体能达标． 22. 如图，在中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F． （1）求证：； （2）若，，，连接DE，求DE的长． 23. 近日，春回大地，阳光明媚．开州陈家的春橙大量上市．已知王爷爷自家果园的春橙有两种类型在售，一种是实惠装中型果实（简称“中果”），一种是豪华装大型果实（简称“大果”）． （1）网友小张买了2箱中果，1箱大果，花了116元；网友小李买了1箱中果，2箱大果，花了124元．求每箱中果和大果的售价分别是多少元？ （2）在（1）的条件下，正常情况平均每周可销售30箱大果，王爷爷决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降低2元，大果的销量每周可增加5箱，如果大果每周的销售额为1800元且售价不低于30元．求每箱大果的售价应该降低多少元？ 24. 如图 （1）如图1，在中，平分交边于点E，已知，，则等于_______ ． （2）如图2，在中，若分别是的平分线，点E在边上，且，则的周长为__________． （3）如图3，已知四边形是平行四边形，，若分别是的平分线．求证： （4）在（3）的条件下，如果，则的长为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$