专题01 集合（考点清单，知识导图+3考点清单+14题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题01 集合 【清单01】元素与集合 1、集合的含义与表示 （1）元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 2、元素的三个特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。 （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 3、元素与集合关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 4、常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 5、集合的表示方法 （1）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】元素与元素之间必须用“，”隔开. （2）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （3）韦恩图法：在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。 【清单02】集合间的基本关系 1、子集 含义 一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 韦恩图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，记作； （2）传递性：对于集合，如果，，则． 2、真子集 含义 一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA)．读作“A真包含于B”或“B真包含A”． 韦恩图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果，，则． 3、集合相等 含义 给定两个集合和，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作，读作“A等于B”． 韦恩图示 性质 （1）如果且，则； （2）如果，则且； （3）如果，，则． 【注意】集合相等与集合的形式无关，形式不同的两个集合也可以相等． 4、空集 （1）定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． （2）0，{0}，∅，{∅}的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合； 0是实数 ∅中不含任何元素； {0}含一个元素0 ∅不含任何元素； {∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 【清单03】集合的基本运算 1、交集 （1）文字语言：对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作A∩B，读作“A交B” （2）符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B} （3）图形语言：阴影部分为A∩B （4）性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，如果A⊆B，则A∩B＝A 2、并集 （1）文字语言：对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” （2）符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B} （3）符号语言：阴影部分为A∪B （4）性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B. 3、全集与补集 （1）全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U. （2）补集 自然语言 如果给定集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作，读作“A在U中的补集”． 符号语言 ． 图形语言 注：图中的阴影部分表示补集，全集通常用矩形区域表示． 【考点题型一】对集合概念的理解 方法总结：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 【例1】（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（    ） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 【变式1-1】（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（23-24高一上·河北·月考）下列对象能构成集合的是（    ） A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体 C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生 【变式1-3】（23-24高一上·江西景德镇·期中）（多选）下列几组对象可以组成集合的有（    ） A．高中数学必修第一册课本中所有的难题 B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员 C．小于9的所有素数 D．高一年级视力比较好的同学 【考点题型二】元素与集合关系的判断 方法总结：元素与集合关系的判断方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【例2】（23-24高一上·福建三明·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·江苏无锡·期中）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·浙江台州·期中）（多选）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一上·江西南昌·期中）（多选）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·开学摸底）（多选）已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】集合中元素的性质及应用 方法总结：利用集合中元素的特异性求参数的要点 （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 【例3】（23-24高一上·山东烟台·期中）若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 【变式3-1】（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·陕西榆林·期中）若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3-3】（23-24高一上·天津南开·期中）设集合，若，则 ． 【考点题型四】集合的表示方法 方法总结： 1、用列举法表示集合的步骤：①求出集合中的元素；②把各元素列举出来,并用花括号括起来；③检查元素是否符合集合中元素的互异性． 2、用描述法表示集合的步骤：①弄清元素的形式；②写出代表元素,写在“∣”前面；③确定元素所具有的属性，写在“∣”的后面；④用花括号把它们括起来． 【例4】（23-24高一上·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 ． 【变式4-2】（23-24高一上·云南曲靖·月考）用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ． 【变式4-3】（23-24高一上·四川绵阳·月考）（多选）给出下列说法，其中不正确的是（    ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为为所有实数}或 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 【变式4-4】（24-25高一上·陕西西安·开学摸底）选择适当方法表示下列集合： (1)由小于8的所有自然数组成的集合A； (2)自然数的平方组成的集合B； (3)方程组的解组成的集合C； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合D． 【考点题型五】集合与方程的综合应用 方法总结： （1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集．集合中的元素就是方程的实数根． （2）当方程中含有参数时，往往要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，有时还要进行分类讨论．求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的特性． 【例5】（23-24高一上·安徽安庆·期中）集合中只含有1个元素，则实数a的取值是 ． 【变式5-1】（23-24高一上·北京·期中）若关于的一元二次方程的解集为单元素集合，则（   ） A． B． C．或 D．且 【变式5-2】（23-24高一上·湖北襄阳·期中）已知集合 (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合. 【变式5-】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围 【考点题型六】集合间关系的判断 方法总结：判断集合关系的方法 1、列举观察法：列举出集合中的元素，通过定义得出集合间的关系． 2、元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． 3、数形结合法：利用数轴或Venn图判断集合间的关系，如不等式的解集之间的关系，适合用数轴法． 【例6】（23-24高一上·天津滨海新·月考）已知，则下列关系中正确的是（    ） A．⫋ B．⫋ C． D． 【变式6-1】（23-24高一上·广东茂名·期中）集合 之间的关系是（    ） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【变式6-2】（23-24高一上·浙江金华·月考）已知集合，，，，则（    ） A． B．M⫋N C．N⫋M D． 【变式6-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）（多选）已知集合⫋⫋，则集合M可以是（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】子集与真子集求解 方法总结：确定子集、真子集的三个关键： （1）确定所求的集合； （2）合理分类，若集合中的元素较少，则用列举法按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；若集合中的元素较多，可根据结论计算出； （3）注意两个特殊的集合，即空集和集合本身． 【例7】（23-24高一上·浙江杭州·期中）集合的所有真子集个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【变式7-1】（23-24高一上·江苏南通·期中）已知集合A满足，则A的个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【变式7-2】（23-24高一上·江苏盐城·期中）集合满足⫋，则满足条件的集合的个数为 . 【变式7-3】（23-24高一上·四川眉山·期中）集合的真子集的个数是 . 【变式7-4】（23-24高一上·河北保定·月考）（多选）若集合恰有两个子集，则的值可能是（    ） A．0 B． C．1 D．0或1 【考点题型八】根据集合间的关系求参数 方法总结：根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围 对于两个集合和，或中含有待定的参数（字母），常采用分类讨论或数形结合的方法： （1）分类讨论：若，在未指明非空时，应分为和两种情况来讨论． （2）数形结合：对这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清端点处是实心点还是空心点，确定两个集合间的包含关系，列不等式（组）求解． 【例8】（23-24高一上·辽宁·期中）若，则实数a的值是 ． 【变式8-1】（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【变式8-2】（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为 . 【变式8-3】（23-24高一上·江苏扬州·期中）（多选）已知集合，且，则实数m的值可以为（    ） A．1 B． C．2 D．0 【变式8-4】（23-24高一上·陕西西安·月考）设集合，，若，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】两个集合相等及应用 方法总结： 1、判断两个集合是否相等的重点是要把握住两个原则：（1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；（2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断． 2、利用集合相等求参数 从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系．首先分析一个集合中的元素与另一个集合中的哪个元素相等，共有几种情况，然后通过列方程（组）求解．当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论．求出参数值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性． 【例9】（23-24高一上·山东临沂·月考）（多选）下列各组集合不表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高一上·河北张家口·期中）（多选）下列集合中，可以表示为的是（    ） A． B． C． D．不等式组的解集 【变式9-2】（23-24高一上·河南·期中）已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．2 【变式9-3】（23-24高一上·广东佛山·期中）已知集合， ，若，则等于（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式9-4】（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知，，若集合，则的值为 ． 【考点题型十】空集的概念与性质 【例10】（23-24高一上·广东广州·期中）下列关于空集的说法中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24高一上·广东深圳·月考）（多选）下列数学符号使用正确的是（    ） A． B． C． D．⫋ 【变式10-2】（23-24高一上·重庆·期中）（多选）下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24高一上·海南海口·期中）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤ 【变式10-4】（23-24高一上·江苏扬州·月考）（多选）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B．⫋ C． D． 【考点题型十一】集合的交并补运算 方法总结：交集、并集、补集的基本运算方法 （1）进行集合运算时，可按照如下口诀进行：交集元素仔细找，属于且属于；并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；全集是大范围，去掉中元素，剩余元素成补集。 （2）解决集合的混合运算问题时，一般先算括号内的部分； （3）当集合是用列举法表示时（如数集），可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合用描述法表示时（如不等式行事表示的集合），则可运用数轴求解。 【例11】（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（23-24高一上·江苏镇江·期中）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24高一上·江苏·期中）已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）（多选）已知非空集合都是的子集，满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-4】（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知集合且，集合，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型十二】根据集合的交并补运算求参数 方法总结：利用交并补求参数范围的解题思路 （1）根据并集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集；若B有参数，则； （2）根据交集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 【例12】（23-24高一上·江苏扬州·期中）（多选）已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式12-1】（23-24高一上·江苏镇江·期中）设为实数，集合，，若，则的取值范围是 . 【变式12-2】（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【变式12-3】（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，或，全集. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数b的取值范围. 【变式12-4】（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知集合，． (1)若，求； (2)若 ，求实数的取值范围． 请从条件①，条件②，这两个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答． 【考点题型十三】韦恩图在集合中的应用 【例13】（23-24高一上·山东青岛·期中）已知全集，，，则下图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（23-24高一上·安徽淮北·期中）（多选）若集合A，B，U满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（23-24高一上·四川成都·期中）如图，为全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（23-24高一上·山东淄博·期末）（多选）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式13-4】（23-24高一上·江苏连苏州·期中）（多选）图中阴影部分用集合表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十四】集合的新定义问题 方法总结：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： （1）紧扣新定义。首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． （2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质． 【例14】（23-24高一上·福建厦门·月考）整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中.以下判断中不正确的是（    ） A． B． C． D．若，则整数，属同一类 【变式14-1】（23-24高一上·山东烟台·期中）给定集合，定义且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（23-24高一上·江苏苏州·期中）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（   ）． A．； B．； C．“”是“”的必要不充分条件； D．若，则 【变式14-3】（23-24高一下·安徽宿州·期中）定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）. 定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）. 定义3:对于一个数集，如果满足下列关系: ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集是一个数域. (1)指出常用数集中，那些数集可以构成数域（不需要证明）； (2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的； (3)已知集合，证明:集合是一个数域. 【变式14-4】（23-24高一下·浙江·期中）设集合．定义：和集合，积集合，分别用表示集合中元素的个数． (1)若，求集合； (2)若，求的所有可能的值组成的集合； (3)若，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合 【清单01】元素与集合 1、集合的含义与表示 （1）元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 2、元素的三个特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。 （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 3、元素与集合关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 4、常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 5、集合的表示方法 （1）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】元素与元素之间必须用“，”隔开. （2）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （3）韦恩图法：在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。 【清单02】集合间的基本关系 1、子集 含义 一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 韦恩图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，记作； （2）传递性：对于集合，如果，，则． 2、真子集 含义 一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA)．读作“A真包含于B”或“B真包含A”． 韦恩图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果，，则． 3、集合相等 含义 给定两个集合和，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作，读作“A等于B”． 韦恩图示 性质 （1）如果且，则； （2）如果，则且； （3）如果，，则． 【注意】集合相等与集合的形式无关，形式不同的两个集合也可以相等． 4、空集 （1）定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． （2）0，{0}，∅，{∅}的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合； 0是实数 ∅中不含任何元素； {0}含一个元素0 ∅不含任何元素； {∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 【清单03】集合的基本运算 1、交集 （1）文字语言：对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作A∩B，读作“A交B” （2）符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B} （3）图形语言：阴影部分为A∩B （4）性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，如果A⊆B，则A∩B＝A 2、并集 （1）文字语言：对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” （2）符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B} （3）符号语言：阴影部分为A∪B （4）性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B. 3、全集与补集 （1）全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U. （2）补集 自然语言 如果给定集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作，读作“A在U中的补集”． 符号语言 ． 图形语言 注：图中的阴影部分表示补集，全集通常用矩形区域表示． 【考点题型一】对集合概念的理解 方法总结：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 【例1】（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（    ） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 【答案】C 【解析】对于选项ABD：缺乏统一的判断标准，均不满足确定性，故ABD错误； 对于选项C：中国古代四大发明是确定的，符合确定性，所以能构成集合，故C正确.故选：C. 【变式1-1】（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定， 故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的， 故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确；故选：B 【变式1-2】（23-24高一上·河北·月考）下列对象能构成集合的是（    ） A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体 C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生 【答案】C 【解析】对于A，成绩较好不是一个确定的概念，不能构成集合，故A不符合； 对于B，与10接近的不是一个确定的概念，不能构成集合，故B不符合； 对于C，绝对值小于5的整数全体是个明确的概念， 并且给定一个元素能确定是否属于这个整体，故能构成集合，故C符合； 对于D，兴趣广泛的不是一个确定的概念，不能构成集合，故D不符合.故选：C. 【变式1-3】（23-24高一上·江西景德镇·期中）（多选）下列几组对象可以组成集合的有（    ） A．高中数学必修第一册课本中所有的难题 B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员 C．小于9的所有素数 D．高一年级视力比较好的同学 【答案】BC 【解析】A选项，“难题”无法确定，所以不能组成集合. B选项，“2023年参加杭州亚运会的全体运动员”可以组成集合. C选项，“小于9的所有素数” 是“”，可以组成集合. D选项，“视力比较好”无法确定，所以不能组成集合.故选：BC 【考点题型二】元素与集合关系的判断 方法总结：元素与集合关系的判断方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【例2】（23-24高一上·福建三明·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】表示全体实数组成的集合，则，故A错误； 表示全体有理数组成的集合，则，故B错误； 表示全体正整数组成的集合，则，故C正确； 表示全体自然数组成的集合，则，故D错误.故选：C. 【变式2-1】（23-24高一上·江苏无锡·期中）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确；故选：D 【变式2-2】（23-24高一上·浙江台州·期中）（多选）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，因为不是自然数，所以A错误； 对于B，因为0不是正整数，所以B正确； 对于C，因为不是有理数，所以C正确； 对于D，因为不是有理数，所以D正确.故选：BCD. 【变式2-3】（23-24高一上·江西南昌·期中）（多选）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A：是自然数，所以，A错误； 对于B：是无理数，所以，B正确； 对于C：是有理数，所以，C错误； 对于D：是整数，所以，D正确，故选：BD 【变式2-4】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·开学摸底）（多选）已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为， 所以，所以B错误， 对于C，因为，所以， 所以，所以C正确， 对于D，因为，所以， 所以，所以D正确.故选：ACD 【考点题型三】集合中元素的性质及应用 方法总结：利用集合中元素的特异性求参数的要点 （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 【例3】（23-24高一上·山东烟台·期中）若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 【答案】B 【解析】因为，所以或，解得，或或， 当时，， 又集合中不能有相同的元素，所以故选：B 【变式3-1】（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【解析】因为集合，且， 所以，或，解得或， 当时，，集合中的元素不满足互异性； 当时，，符合题意． 综上，．故选：D． 【变式3-2】（23-24高一上·陕西榆林·期中）若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】因为， 所以或，解得或或， 当时，符合题意； 当时，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，符合题意； 综上可得或.故选：D 【变式3-3】（23-24高一上·天津南开·期中）设集合，若，则 ． 【答案】 【解析】因为且， 所以或，解得或， 当时，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，符合题意. 【考点题型四】集合的表示方法 方法总结： 1、用列举法表示集合的步骤：①求出集合中的元素；②把各元素列举出来,并用花括号括起来；③检查元素是否符合集合中元素的互异性． 2、用描述法表示集合的步骤：①弄清元素的形式；②写出代表元素,写在“∣”前面；③确定元素所具有的属性，写在“∣”的后面；④用花括号把它们括起来． 【例4】（23-24高一上·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，则 ．故选：C 【变式4-1】（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 ． 【答案】 【解析】时，；时，；时，；时，； 可得. 【变式4-2】（23-24高一上·云南曲靖·月考）用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ． 【答案】 【解析】由图知，，，所以由集合的描述法可知 . 【变式4-3】（23-24高一上·四川绵阳·月考）（多选）给出下列说法，其中不正确的是（    ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为为所有实数}或 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 【答案】BCD 【解析】对于A，集合中只含有两个元素0和1，所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，R就表示实数集，实数集用为错误表示， 另外花括号具有所有的意义，描述内容中不能再出现所有字眼，故B错误； 对于C，解集应为，原表示错误，故C错误； 对于D，集合为y的取值集合，集合表示上点的集合， 所以两个集合不是同一个集合，故D错误；故选：BCD. 【变式4-4】（24-25高一上·陕西西安·开学摸底）选择适当方法表示下列集合： (1)由小于8的所有自然数组成的集合A； (2)自然数的平方组成的集合B； (3)方程组的解组成的集合C； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合D． 【答案】(1)或；(2)； (3)或；(4) 【解析】（1）列举法，描述法. （2）描述法. （3）列举法，描述法． （4）描述法. 【考点题型五】集合与方程的综合应用 方法总结： （1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集．集合中的元素就是方程的实数根． （2）当方程中含有参数时，往往要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，有时还要进行分类讨论．求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的特性． 【例5】（23-24高一上·安徽安庆·期中）集合中只含有1个元素，则实数a的取值是 ． 【答案】0或1 【解析】当时，满足题意； 当时，要集合P仅含一个元素， 则，解得， 故a的值为0，1 【变式5-1】（23-24高一上·北京·期中）若关于的一元二次方程的解集为单元素集合，则（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】B 【解析】解：当时，方程不是一元二次方程，舍去； 当时，方程的解集为单元素集合， 即方程有两个相等的实根， ∴，解得：； 综上，.故选：B. 【变式5-2】（23-24高一上·湖北襄阳·期中）已知集合 (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）因为是空集，所以，即解得， 所以的取值范围为. （2）当时，集合，符合题意； 当时，即，解得，此时集合， 综上所述，的值为或， 当时，集合，当时，集合. 【变式5-】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围 【答案】(1)；(2)的值为或，当时，当时；(3) 【解析】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，集合，当时，集合； （3）由可知，当中至多有一个元素时，或， 的取值范围为：. 【考点题型六】集合间关系的判断 方法总结：判断集合关系的方法 1、列举观察法：列举出集合中的元素，通过定义得出集合间的关系． 2、元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． 3、数形结合法：利用数轴或Venn图判断集合间的关系，如不等式的解集之间的关系，适合用数轴法． 【例6】（23-24高一上·天津滨海新·月考）已知，则下列关系中正确的是（    ） A．⫋ B．⫋ C． D． 【答案】D 【解析】, ,所以,故选：D. 【变式6-1】（23-24高一上·广东茂名·期中）集合 之间的关系是（    ） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【解析】∵集合 ∴， ⫋， ∴⫋，故选：A 【变式6-2】（23-24高一上·浙江金华·月考）已知集合，，，，则（    ） A． B．M⫋N C．N⫋M D． 【答案】C 【解析】， ， 由，为整数，为奇数，故集合M､N的关系为⫋.故选：C 【变式6-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）（多选）已知集合⫋⫋，则集合M可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由集合⫋⫋，得，且，AD不是； 而⫋⫋，⫋⫋， 因此集合M可以是或，BC是.故选：BC 【考点题型七】子集与真子集求解 方法总结：确定子集、真子集的三个关键： （1）确定所求的集合； （2）合理分类，若集合中的元素较少，则用列举法按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；若集合中的元素较多，可根据结论计算出； （3）注意两个特殊的集合，即空集和集合本身． 【例7】（23-24高一上·浙江杭州·期中）集合的所有真子集个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】由题意知，集合的真子集个数为.故选：C 【变式7-1】（23-24高一上·江苏南通·期中）已知集合A满足，则A的个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【解析】由题意，集合A中一定含3，4，5，可能含6，7，8，9，10， 由此可得满足条件的集合A的个数就是集合的子集的个数， 共有个故选：C. 【变式7-2】（23-24高一上·江苏盐城·期中）集合满足⫋，则满足条件的集合的个数为 . 【答案】7 【解析】根据题意，集合至少含有0,2两个元素，但集合， 所以满足条件的集合为，共7个， 所以满足条件的集合的个数为7. 【变式7-3】（23-24高一上·四川眉山·期中）集合的真子集的个数是 . 【答案】31 【解析】共5个元素， 则真子集的个数是. 【变式7-4】（23-24高一上·河北保定·月考）（多选）若集合恰有两个子集，则的值可能是（    ） A．0 B． C．1 D．0或1 【答案】AB 【解析】集合恰有两个子集，则集合中只有一个元素， 当时，，符合要求， 当时，，此时，符合要求， 故或，故选：AB 【考点题型八】根据集合间的关系求参数 方法总结：根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围 对于两个集合和，或中含有待定的参数（字母），常采用分类讨论或数形结合的方法： （1）分类讨论：若，在未指明非空时，应分为和两种情况来讨论． （2）数形结合：对这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清端点处是实心点还是空心点，确定两个集合间的包含关系，列不等式（组）求解． 【例8】（23-24高一上·辽宁·期中）若，则实数a的值是 ． 【答案】0或4 【解析】因为， 所以或，解得或或， 当时，符合题意， 当时，符合题意， 当时，不满足集合元素的互异性，故舍去； 所以或. 【变式8-1】（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意可知.故答案为：. 【变式8-2】（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意，得， ． 当，即，即时，，满足题意； 当，即时， 因为，则，解得； 综上，实数m的取值范围为． 【变式8-3】（23-24高一上·江苏扬州·期中）（多选）已知集合，且，则实数m的值可以为（    ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】ABD 【解析】因为，． 当时，，符合题意； 当时，，所以或，解得或． 所以m的值为或或．故选：ABD． 【变式8-4】（23-24高一上·陕西西安·月考）设集合，，若，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为， 所以或或， 所以或或，故选：ABD． 【考点题型九】两个集合相等及应用 方法总结： 1、判断两个集合是否相等的重点是要把握住两个原则：（1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；（2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断． 2、利用集合相等求参数 从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系．首先分析一个集合中的元素与另一个集合中的哪个元素相等，共有几种情况，然后通过列方程（组）求解．当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论．求出参数值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性． 【例9】（23-24高一上·山东临沂·月考）（多选）下列各组集合不表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，集合都是单元素集，而元素与不同，A不是； 对于B，集合的元素为有序实数对，而集合的元素为实数，B不是； 对于C，集合都含有两个元素4，5，只是排列顺序不同， 而集合的元素具有无序性，C是； 对于D，集合有两个元素1，2，而集合只有一个元素，D不是.故选：ABD 【变式9-1】（23-24高一上·河北张家口·期中）（多选）下列集合中，可以表示为的是（    ） A． B． C． D．不等式组的解集 【答案】AB 【解析】由，A符合； 由，B符合； 由表示点集合，不是数集，C不符合； 由，解集为，D不符合.故选：AB 【变式9-2】（23-24高一上·河南·期中）已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．2 【答案】D 【解析】由题意可知，解得故选：D 【变式9-3】（23-24高一上·广东佛山·期中）已知集合， ，若，则等于（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【解析】由有，解得，. 当时，与集合元素的互异性矛盾，舍去. 当时，，满足题意.故选：C. 【变式9-4】（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知，，若集合，则的值为 ． 【答案】 【解析】∵，显然， 所以，∴. 根据集合中元素的互异性得，∴. ∴ 【考点题型十】空集的概念与性质 【例10】（23-24高一上·广东广州·期中）下列关于空集的说法中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为用于元素与集合之间，故A错误； 对于BD，因为空集是任何集合的子集，故BD正确； 对于C，因为是集合中的元素，故C正确.故选：A. 【变式10-1】（23-24高一上·广东深圳·月考）（多选）下列数学符号使用正确的是（    ） A． B． C． D．⫋ 【答案】ABD 【解析】对于A，N表示自然数集，不是自然数，故成立，则A选项正确; 对于B，Z表示整数集，，故成立，则B选项正确; 对于C，表示空集，没有任何一个元素，即，故C选项不正确; 对于D，空集是任何一个非空集合的真子集，故⫋成立，则D选项正确.故选：ABD. 【变式10-2】（23-24高一上·重庆·期中）（多选）下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为空集不含任何元素，故，A错误； 因为空集为任何集合的子集，故，B正确； 因为方程，所以方程的解集为， 所以，C正确； 因为空集不含任何元素，是1个元素，故D错误；故选：BC. 【变式10-3】（23-24高一上·海南海口·期中）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤ 【答案】C 【解析】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C．故选：C． 【变式10-4】（23-24高一上·江苏扬州·月考）（多选）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B．⫋ C． D． 【答案】BC 【解析】对选项A，由不是的元素，故A错误； 对选项B，由规定：空集是任何集合的子集，则且存在，故⫋，B正确； 对选项C，由子集概念，中的任意一个元素都是的元素，则，C正确； 对选项D，由不是的元素，D错误.故选：BC. 【考点题型十一】集合的交并补运算 方法总结：交集、并集、补集的基本运算方法 （1）进行集合运算时，可按照如下口诀进行：交集元素仔细找，属于且属于；并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；全集是大范围，去掉中元素，剩余元素成补集。 （2）解决集合的混合运算问题时，一般先算括号内的部分； （3）当集合是用列举法表示时（如数集），可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合用描述法表示时（如不等式行事表示的集合），则可运用数轴求解。 【例11】（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以.故选：B 【变式11-1】（23-24高一上·江苏镇江·期中）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得：.故选：C. 【变式11-2】（23-24高一上·江苏·期中）已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合或， 所以 所以，故选：B 【变式11-3】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）（多选）已知非空集合都是的子集，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A. ，所以，故A正确； B. ，则，所以，故B正确； C．若，， 则，，故C错误； D.，所以，所以又， 所以，故，所以D正确.故选：ABD. 【变式11-4】（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知集合且，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为且，4和6的最小公倍数为12， 所以， 又因为，而，但，所以A，C错误； 因为集合中元素为12的正整数倍，而为24的整数倍， 所以元素满足是24的正整数倍时，必满足是12的正整数倍， 则，故D正确； 对于B，若但，且，B错误；故选：D 【考点题型十二】根据集合的交并补运算求参数 方法总结：利用交并补求参数范围的解题思路 （1）根据并集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集；若B有参数，则； （2）根据交集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 【例12】（23-24高一上·江苏扬州·期中）（多选）已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】BCD 【解析】由可得，. 当时，满足，此时； 当时，， 解可得，. 因为，所以或. 当时，； 当时，. 综上所述，或或.故选：BCD. 【变式12-1】（23-24高一上·江苏镇江·期中）设为实数，集合，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由，，，所以，即， 所以的取值范围是. 【变式12-2】（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）∵，∴， ∴，，解得， ∴实数的取值范围是； （2）∵， ∴当时，则，解得，符合题意； 当时，则或，解得 综上，实数m的取值范围是． 【变式12-3】（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，或，全集. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数b的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 所以，解得， 所以a的取值范围是； （2），因为，所以， 所以，解得， 所以b的取值范围是． 【变式12-4】（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知集合，． (1)若，求； (2)若 ，求实数的取值范围． 请从条件①，条件②，这两个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答． 【答案】(1) ;(2)答案见解析. 【解析】（1）∵当时，集合， ∴． （2）选择①若，∴， ∴当时，，解得； 当时，，解得，满足题意； 综上所述：实数的取值范围是． 选择②若，∵或， ∴时，，解得； 当时，，解得满足题意； 综上所述：实数的取值范围是． 【考点题型十三】韦恩图在集合中的应用 【例13】（23-24高一上·山东青岛·期中）已知全集，，，则下图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可知阴影部分表示的集合为， 而或，故，故选：A 【变式13-1】（23-24高一上·安徽淮北·期中）（多选）若集合A，B，U满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由，可得，所以B正确； 如图所示，由，可得A错误，C正确； 又由，所以D错误.故选：BC. 【变式13-2】（23-24高一上·四川成都·期中）如图，为全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由韦恩图知：阴影部分表示对应元素不属于，但属于， 所以阴影部分所表示的集合是.故选：A 【变式13-3】（23-24高一上·山东淄博·期末）（多选）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且， 所以阴影部分可表示为，A对； 且，阴影部分可表示为，而，故C错误； 且，阴影部分可表示为，D对； 显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，B选项不合乎要求.故选：AD. 【变式13-4】（23-24高一上·江苏连苏州·期中）（多选）图中阴影部分用集合表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由图可得图中阴影部分表示为， 又，，， 故符合题意的有A、B、C.故选：ABC 【考点题型十四】集合的新定义问题 方法总结：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： （1）紧扣新定义。首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． （2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质． 【例14】（23-24高一上·福建厦门·月考）整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中.以下判断中不正确的是（    ） A． B． C． D．若，则整数，属同一类 【答案】C 【解析】A选项，，故，A正确； B选项，全体整数被5除的余数只能是0，1，2，3，4， 故，B正确； C选项，，故，C错误； D选项，由题意可知能被5整除，故分别被5除的余数相同， 故整数，属同一类，D正确.故选：C. 【变式14-1】（23-24高一上·山东烟台·期中）给定集合，定义且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】∵，∴，∴， 当且仅当时取等号，则，故A正确； ∵，， 由新定义可知，，故B正确； ，故C错误； ，故D正确.故选：ABD. 【变式14-2】（23-24高一上·江苏苏州·期中）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（   ）． A．； B．； C．“”是“”的必要不充分条件； D．若，则 【答案】AD 【解析】对于A，当时，，此时，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B错误； 对于C，当时，，所以，，所以，所以； 当时，因为，所以或， 若，满足，解得； 若，因为方程的两个根都不是方程的根， 所以需满足，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，因为，要得，所以或，由C可知：或， 所以，所以，故D正确；故选：AD 【变式14-3】（23-24高一下·安徽宿州·期中）定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）. 定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）. 定义3:对于一个数集，如果满足下列关系: ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集是一个数域. (1)指出常用数集中，那些数集可以构成数域（不需要证明）； (2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的； (3)已知集合，证明:集合是一个数域. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【解析】（1）由于，而，因此不是数域； 由于，而，因此不是数域； 中，都有零元：0和单位元：1； 关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； 对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律， 所以可以是数域. （2）设(都为整数)，显然,且， 则 显然，因此， 所以集合A关于乘法运算是封闭的. （3）①显然,当时，；当时，， 显然对任意，都有，所以集合中有零元0和单位元1； ②设，则， 因为都为有理数，则也都为有理数， 因此； 又由（2）同理可得，都为有理数时，也都为有理数， 于是； 当时，令， 显然都是有理数，则，于是， 因此集合A关于加、减、乘、除运算都是封闭的； ③显然任意，都有，由中加法、乘法运算都满足交换律、结合律， 还满足乘法对加法的分配律， 因此集合A中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律， 所以集合A是一个数域. 【变式14-4】（23-24高一下·浙江·期中）设集合．定义：和集合，积集合，分别用表示集合中元素的个数． (1)若，求集合； (2)若，求的所有可能的值组成的集合； (3)若，求证：． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）（1）由，则， ． （2）当，不妨记集合为， 且令， 则必有， 和中剩下的满足， 并且，下列有四种可能： 一是，则； 二是与与与三对数有两对相等， 另一对不相等，则； 三是与与与三对数有一对相等， 其它两对不相等，则； 四是与与与三对数全不相等，则； 综上述，的所有可能的值组成的集合为. （3）当，不妨记集合为，且， 则必有， 和中剩下的元素为，满足， 所以有两种可能，当，；当，； ⅰ）当，不妨记这6个元素为，且让， 则必有，所以； ⅱ）当，， 不妨记，，，，， 则，则必有， 积中剩下的满足，则， 下面先证明． 假设，由，则， 即，所以， 令，由，则， 所以，则，与事实不符，所以． 下面再证明． 由上述分析知：要使，积中剩下的满足， 必有两对积与七对中的两对相等，有如下五种情况： 一是，则可推得，令其比值为，则， 于是，由， 则，则，显然无解，故此情况不能； 二是，则可推得，令， 显然，由，则， 所以，而显然，故此情况不可能； 三是，则可推得，令其比值为，则，由， 又，则，这与矛盾，故此情况不可能； 四是，可推得，令其比值为，则， 于是，，，， 于是由，则， 所以，代入得，推得，所以， 所以，有，所以，这与是有理数相矛盾，所以此情况不能； 五是，可推得，令其比值为，则，于是， 由，则，则， 显然无解，故此情况不可能．所以． 综上，所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$