专题06 函数的单调性、奇偶性、周期性与对数性（考点清单，知识导图+3考点清单+12题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

清单06 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性 【清单01】函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为A.如果对于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间I上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间I上是单调递减函数。 单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 3、函数的最大（小）值 设函数的定义域为A， （1）如果存在，使得对于任意的，都有， 那么，我们称是函数的最大值，记为． （2）如果存在，使得对于任意的，都有， 那么，我们称是函数的最小值，记为． 4、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性判定 对于符合函数，设在上单调，且在或上也单调，那么在的单调性如下表所示，简记为“同增异减”. 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【清单02】函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 【清单03】函数的周期性与对称性 1、周期的周期性 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 2、函数的对称性 （1）关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． （2）关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 【考点题型一】判断或证明函数的单调性 方法总结：定义法证明函数单调性的步骤： （1）取值：设，为该区间内任意的两个值，且； （2）作差变形：作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形，一般化为积的形式； （3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； （4）判断：根据定义做出结论。 【例1】（23-24高一上·江苏南京·月考）函数的单调递减区间是 . 【变式1-1】（23-24高一上·江苏南京·月考）函数的单调递减区间是 【变式1-2】（23-24高一上·江苏连云港·月考）（多选）下列判断中，正确的是（   ） A．，且时，，则是增函数 B．函数是增函数 C．函数是增函数 D．函数的减区间为， 【变式1-3】（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知函数，，．若不等式的解集为. (1)求的值及； (2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【变式1-4】（23-24高一上·江苏·月考）已知定义在上的函数对于，，都满足，且当时，． (1)求的值； (2)根据定义，研究在上的单调性． 【考点题型二】根据函数的单调性求参数 方法总结：对于分段函数的单调性，首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小．若是增函数，则分界点左侧函数值小于或等于右侧函数值；若是减函数，则分界点左侧函数值大于或等于右侧函数值． 【例2】（23-24高一上·江苏南京·月考）“”是“函数在上为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式2-1】（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·江苏·月考）已知函数在区间上不具有单调性，则k的取值范围是 ． 【变式2-3】（23-24高一上·江苏·月考）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 . 【变式2-4】（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知是 上的单调递增函数，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】（23-24高一上·江苏连云港·月考）已知函数，若函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围是 . 【考点题型三】求函数的最值或值域 方法总结： 1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)． 2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域． 3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围． 4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)． 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数， 形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法 以为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式， 第二步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域． 6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如： 将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性． 另外，此种形式还可使用分离常数法解法． 【例3】（23-24高一上·江苏连云港·月考）函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·江苏徐州·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·江苏无锡·月考）求下列函数的值域 (1) (2) 【变式3-3】（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知函数，. （1）判断函数的单调性，并证明； （2）求函数的值域. 【变式3-4】（23-24高一上·江苏苏州·月考）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最小值. 【考点题型四】根据函数的最值或值域求参数 方法总结：已知函数的值域求参数问题的解题思路 （1）注意调整思维方向，根据值域的含义，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集的问题； （2）根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的取值或取值范围 【例4】（23-24高一上·江苏镇江·月考）若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是 . 【变式4-1】（23-24高一上·江苏镇江·月考）已知函数，若函数的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·江苏盐城·月考）（多选）已知函数的最小值为，则的可能取值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式4-3】（23-24高一上·江苏平潮·月考）已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为，则实数a的值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式4-4】（23-24高一上·江苏南通·月考）已知二次函数，恒有. (1)求函数的解析式； (2)设，若函数在区间上的最大值为3，求实数的值. 【考点题型五】判断函数的奇偶性 方法总结：判断函数奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. 3、性质法： 设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 【注意】在中，的值域是定义域的子集 【例5】（23-24高一上·江苏盐城·月考）（多选）下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·江苏南通·月考）（多选）以下函数既是奇函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·广东梅州·月考）（多选）如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）（多选）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为非奇非偶函数 【考点题型六】利用函数的奇偶性求值或求参 方法总结： 1、由函数的奇偶性求参数 若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数。 2、由函数的奇偶性求函数值 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值。 【例6】（23-24高一上·江苏镇江·月考）函数为定义在上的偶函数，则实数等于（    ） A． B．1 C．0 D．无法确定 【变式6-1】（23-24高一上·四川内江·期中）已知为R上的奇函数，当时，，则的值是（    ） A．19 B．7 C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·江苏淮安·月考）设是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A． B．1 C． D． 【变式6-3】（23-24高一上·上海·期中）已知，且，则 ． 【变式6-4】（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数，且，则的值为 ． 【考点题型七】利用函数的奇偶性求解析式 方法总结：由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 （1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； （2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得 （3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出. 【例7】（23-24高一上·江苏苏州·月考）是定义在R上的奇函数，当时，，则的表达式为 ． 【变式7-1】（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一上·湖北孝感·月考）已知函数是奇函数，是偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高一上·江苏南通·月考）已知定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则 ． 【考点题型八】利用单调性与奇偶性比较大小 方法总结：一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． 【例8】（23-24高一上·河南南阳·月考）已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高一上·广西南宁·月考）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高一上·安徽亳州·月考）（多选）已知函数在上是减函数，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高一上·重庆·月考）（多选）已知函数对，都有，且任取，，以下结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【考点题型九】利用单调性或奇偶性解不等式 方法总结：抽象不等式问题，解题步骤是： （1）将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； （2）利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“”，转化为解不等式（组）的问题． 需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“”时，需转化为含符号“”的形式． 【例9】（23-24高一上·江苏南京·月考）函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高一上·江苏镇江·月考）已知是定义在上的奇函数,，对，且有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高一上·江苏南通·月考）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（23-24高一下·湖北·开学考试）已知是定义在上的函数在上单调递减，且，函数的图象关于点对称，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式9-4】（23-24高一上·江苏南通·月考）定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为 ． 【考点题型十】函数对称性的应用 方法总结： 1、轴对称： （1）函数关于直线对称 （2）函数关于直线对称. 2、中心对称： （1）函数关于点对称； （2）函数关于点对称 3、函数的奇偶性和对称性的关系： （1）若为奇函数，则关于对称； （2）若为偶函数，则关于对称； （3）若为奇函数，则关于对称； （4）若为偶函数，则关于对称. 【例10】（23-24高一上·江苏南通·月考）函数的对称中心是 ． 【变式10-1】（23-24高一上·江苏扬州·月考）函数和的定义域均为，已知为偶函数，为奇函数，对于，均有，则（    ） A．66 B．70 C．74 D．78 【变式10-2】（23-24高一上·江苏南通·月考）已知函数定义域为，，，当时，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24高一上·江苏南京·月考）定义在上的函数满足，则 . 【考点题型十一】函数周期性的应用 方法总结：（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）； 【例11】（2024·广东茂名·一模）函数和均为上的奇函数，若，则（   ） A． B． C．0 D．2 【变式11-1】（23-24高一下·湖北·月考）定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式11-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知是上的奇函数且，当时，，则（    ） A．-2 B．2 C．0 D．2023 【变式11-3】（23-24高一下·四川南充·月考）已知定义在上的奇函数，对任意的，都有，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【考点题型十二】抽象函数性质综合 【例12】（23-24高一上·江苏徐州·月考）（多选）已知的定义域为且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B． C．的图象关于对称 D． 【变式12-1】（23-24高一上·江苏盐城·月考）（多选）已知函数不过原点，且对，满足则下列结论正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．若，则 D． 【变式12-2】（23-24高一上·江苏·月考）（多选）已知函数，，对于任意，，，且当时，均有，则（    ） A． B． C． D．若，则 【变式12-3】（23-24高一上·江苏扬州·月考）定义在上的函数满足对任意x，，恒有，且时，有． (1)求的值； (2)证明：为奇函数； (3)试判断的单调性，并加以证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性 【清单01】函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为A.如果对于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间I上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间I上是单调递减函数。 单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 3、函数的最大（小）值 设函数的定义域为A， （1）如果存在，使得对于任意的，都有， 那么，我们称是函数的最大值，记为． （2）如果存在，使得对于任意的，都有， 那么，我们称是函数的最小值，记为． 4、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性判定 对于符合函数，设在上单调，且在或上也单调，那么在的单调性如下表所示，简记为“同增异减”. 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【清单02】函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 【清单03】函数的周期性与对称性 1、周期的周期性 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 2、函数的对称性 （1）关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． （2）关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 【考点题型一】判断或证明函数的单调性 方法总结：定义法证明函数单调性的步骤： （1）取值：设，为该区间内任意的两个值，且； （2）作差变形：作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形，一般化为积的形式； （3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； （4）判断：根据定义做出结论。 【例1】（23-24高一上·江苏南京·月考）函数的单调递减区间是 . 【答案】（开闭区间均可） 【解析】由得， 又在上递减，在上是增函数， 所以的减区间是， 故答案为：（写成开区间也正确）． 【变式1-1】（23-24高一上·江苏南京·月考）函数的单调递减区间是 【答案】和 【解析】由题意可知：的定义域为， 可得， 作出的图象， 由图象可知函数的单调递减区间是和. 【变式1-2】（23-24高一上·江苏连云港·月考）（多选）下列判断中，正确的是（   ） A．，且时，，则是增函数 B．函数是增函数 C．函数是增函数 D．函数的减区间为， 【答案】AD 【解析】对于A：若对任意，，当时，则有， 由函数单调性的定义可知在上是增函数，故A正确． 对于B，由二次函数的性质知，在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对于C，由反比例函数单调性可知，在和上单调递增，故C错误； 对于D：由反比例函数单调性可知，单调减区间是和，故D正确． 故选：AD． 【变式1-3】（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知函数，，．若不等式的解集为. (1)求的值及； (2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1) ，；(2)单调递增，证明见解析 【解析】（1）由题意，即，即的解集为， 所以，解得， 所以. （2）函数在区间上单调递增，理由如下： ，不妨设， 则， 因为，且，故, 所以，即， 所以函数在区间上单调递增. 【变式1-4】（23-24高一上·江苏·月考）已知定义在上的函数对于，，都满足，且当时，． (1)求的值； (2)根据定义，研究在上的单调性． 【答案】(1)；(2)在上单调递增 【解析】（1）依题意，函数对于，，都满足， 令得. （2）任取，则，所以， 所以 ， 所以，即， 所以在上单调递增. 【考点题型二】根据函数的单调性求参数 方法总结：对于分段函数的单调性，首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小．若是增函数，则分界点左侧函数值小于或等于右侧函数值；若是减函数，则分界点左侧函数值大于或等于右侧函数值． 【例2】（23-24高一上·江苏南京·月考）“”是“函数在上为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】当时，满足，但是函数在上为减函数，则正推无法推出； 反之，若函数在上为增函数，则，则反向可以推出， 则“”是“函数在上为增函数”的必要不充分条件，故选：B. 【变式2-1】（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由开口向上且对称轴为，在上是增函数， 所以，即.故选：A 【变式2-2】（23-24高一上·江苏·月考）已知函数在区间上不具有单调性，则k的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数图象的对称轴为直线， 函数在区间上不具有单调性， 故答案为：. 【变式2-3】（23-24高一上·江苏·月考）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】根据复合函数单调性可知，函数在区间上单调递减, 因此可知对称轴，且，解得. 故答案为： 【变式2-4】（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知是 上的单调递增函数，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是 上的单调递增函数， 则 解得，故选：A. 【变式2-5】（23-24高一上·江苏连云港·月考）已知函数，若函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为函数是定义在上的减函数， 所以，，解得， 所以，实数的取值范围是. 【考点题型三】求函数的最值或值域 方法总结： 1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)． 2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域． 3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围． 4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)． 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数， 形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法 以为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式， 第二步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域． 6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如： 将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性． 另外，此种形式还可使用分离常数法解法． 【例3】（23-24高一上·江苏连云港·月考）函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值． 根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以．故选：B 【变式3-1】（23-24高一上·江苏徐州·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 当时，. 则.故选：B. 【变式3-2】（23-24高一上·江苏无锡·月考）求下列函数的值域 (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 根据二次函数的性质可知，在上函数单调递增，在上单调递减， ，，所以； （2）易知函数的定义域为， 令， 所以， 由二次函数的性质可知时，函数单调递减， 当时，即时，，函数无最小值，故. 【变式3-3】（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知函数，. （1）判断函数的单调性，并证明； （2）求函数的值域. 【答案】（1）单调递增，证明见解析；（2） 【解析】（1）在区间上单调递增， 证明如下：任取且， ， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增. （2）由（1）知：在区间上单调递增， 所以，， 所以函数的值域是. 【变式3-4】（23-24高一上·江苏苏州·月考）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）， ①当，， ②当，，    ③当，，    故的最小值； （2）， ①当，，    ②当，,    ③当，， 令得：， 即时，， 同理时，,    综上所述：的最小值. 【考点题型四】根据函数的最值或值域求参数 方法总结：已知函数的值域求参数问题的解题思路 （1）注意调整思维方向，根据值域的含义，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集的问题； （2）根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的取值或取值范围 【例4】（23-24高一上·江苏镇江·月考）若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，，， 因为函数在 的最大值为2，， 所以，解得：， 当时，函数在上先递减再递增， 而， 所以，，且，即函数在 的最大值为2，符合题意； 当时，函数在上递减，所以， 而，所以函数在 的最大值为2，符合题意， 综上，．故答案为： 【变式4-1】（23-24高一上·江苏镇江·月考）已知函数，若函数的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对称轴为， ∴在单调递增，在，单调递减. ∴当时，的取值范围为， 若函数的值域是， 则当时，，即恒成立， ∴即.故选：D. 【变式4-2】（23-24高一上·江苏盐城·月考）（多选）已知函数的最小值为，则的可能取值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【解析】函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数， ，对称轴为， 当时，当时，， 要想函数的最小值为，只需，即， 显然选项AB符合， 当时，当时，，显然不是， 综上所述：只有选项AB符合条件，故选：AB 【变式4-3】（23-24高一上·江苏平潮·月考）已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为，则实数a的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，先作两个函数的草图， 因为，故草图如下：可知在交点A出取得最小值，    令，得，故，代入直线，得， 故.故选：B. 【变式4-4】（23-24高一上·江苏南通·月考）已知二次函数，恒有. (1)求函数的解析式； (2)设，若函数在区间上的最大值为3，求实数的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由，得， 则，所以且，解得， 又，则， 故． （2），对称轴， 当，即时，时，，解得； 当，即时，， 时，，不合题意； 当，即时，时，，解得（舍）， 综上，． 【考点题型五】判断函数的奇偶性 方法总结：判断函数奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. 3、性质法： 设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 【注意】在中，的值域是定义域的子集 【例5】（23-24高一上·江苏盐城·月考）（多选）下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】函数是非奇非偶函数，A不是；函数是上的奇函数，C不是； 函数、都是R上的偶函数，在上都为增函数，BD是.故选：BD 【变式5-1】（23-24高一上·江苏南通·月考）（多选）以下函数既是奇函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，定义域为， 令，则，为奇函数， 因为和在单调递增， 所以在单调递增，故A符合题意； 对于B，定义域为， 令，则，不是奇函数，故B不合题意； 对于C，定义域为， 令，则，为奇函数， 当时，，则在单调递增，故C符合题意； 对于D，定义域为， 令，则，为奇函数， 因为， 所以在不单调递增，故D不合题意，故选：AC． 【变式5-2】（23-24高一上·广东梅州·月考）（多选）如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，令， 对于A，的定义域为，因为， 所以是奇函数，所以A正确， 对于B，的定义域为，因为， 所以为偶函数，所以B错误， 对于C，的定义域为，因为， 所以，， 所以为非奇非偶函数，所以C错误， 对于D，的定义域为，因为， 所以为奇函数，故选：AD 【变式5-3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）（多选）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为非奇非偶函数 【答案】BD 【解析】函数，， 令，，， 所以为非奇非偶函数，故A错误； ，令，， 所以为偶函数，故B正确； ，令，， ，所以为非奇非偶函数，故C错误； ，令，， ，所以为非奇非偶函数，故D正确.故选：BD 【考点题型六】利用函数的奇偶性求值或求参 方法总结： 1、由函数的奇偶性求参数 若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数。 2、由函数的奇偶性求函数值 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值。 【例6】（23-24高一上·江苏镇江·月考）函数为定义在上的偶函数，则实数等于（    ） A． B．1 C．0 D．无法确定 【答案】C 【解析】因为为定义在上的偶函数， 所以，解得.故选：C. 【变式6-1】（23-24高一上·四川内江·期中）已知为R上的奇函数，当时，，则的值是（    ） A．19 B．7 C． D． 【答案】C 【解析】因为当时，，所以， 又为定义在上的奇函数，所以.故选：C. 【变式6-2】（23-24高一上·江苏淮安·月考）设是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】因为是定义在R上的奇函数，且当时，， 所以.故选：D 【变式6-3】（23-24高一上·上海·期中）已知，且，则 ． 【答案】 【解析】根据题意造函数，即， 因为， 所以是奇函数. 又因为，所以，得. 从而，于是. 故答案为：. 【变式6-4】（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数，且，则的值为 ． 【答案】 【解析】， 令，函数定义域为R， ∵， ∴为奇函数，∴． 则，． 故答案为：-10 【考点题型七】利用函数的奇偶性求解析式 方法总结：由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 （1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； （2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得 （3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出. 【例7】（23-24高一上·江苏苏州·月考）是定义在R上的奇函数，当时，，则的表达式为 ． 【答案】 【解析】是定义在R上的奇函数，当时，， 则时，，， 所以. 故答案为：. 【变式7-1】（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数为偶函数， 得当时，，，故选：D. 【变式7-2】（23-24高一上·湖北孝感·月考）已知函数是奇函数，是偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是奇函数，是偶函数，所以，． 所以，，即， 因此，.故选：D. 【变式7-3】（23-24高一上·江苏南通·月考）已知定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则 ． 【答案】 【解析】∵， ∴. 由是奇函数，是偶函数，可有，， 代入上式，， 则有，； 则. 故答案为：. 【考点题型八】利用单调性与奇偶性比较大小 方法总结：一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． 【例8】（23-24高一上·河南南阳·月考）已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，时，得函数在上单调递减， 由得函数关于直线轴对称， 所以函数在上单调递增. 又因为（最远离）， （最靠近）， 所以.故选：A 【变式8-1】（23-24高一上·广西南宁·月考）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，可得， 构造函数，则是上的减函数. 故，即，由此得，故选：C. 【变式8-2】（23-24高一上·安徽亳州·月考）（多选）已知函数在上是减函数，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】由，则， 因为函数在上是减函数，所以， 则，.故选：CD. 【变式8-3】（23-24高一上·重庆·月考）（多选）已知函数对，都有，且任取，，以下结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】AB 【解析】根据题意，函数对，都有， 则函数的图象关于直线对称，又任取， 则在区间上为减函数，在上为增函数． 对于A，，则有，A正确； 对于B，在区间上为减函数，在上为增函数， 故在时取得最大值，即对，B正确； 对于C，在区间上为减函数，又， 则，C错误； 对于D，若，因函数的图象关于直线对称， 且在上为增函数，在区间上为减函数， 则有或，解得或，D错误．故选：AB. 【考点题型九】利用单调性或奇偶性解不等式 方法总结：抽象不等式问题，解题步骤是： （1）将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； （2）利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“”，转化为解不等式（组）的问题． 需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“”时，需转化为含符号“”的形式． 【例9】（23-24高一上·江苏南京·月考）函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数是定义在上的增函数， 有，解得， 不等式的解集为，故选：A． 【变式9-1】（23-24高一上·江苏镇江·月考）已知是定义在上的奇函数,，对，且有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，令，则的定义域为， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 所以函数是定义在上的偶函数， 因为对，且有， 所以在上单调递增，所以当时，， 当时，则有， 所以，即， 又，所以在上单调递增， 因为是定义在上的偶函数， 所以在上单调递减， 因为，所以， 所以由，得，则， 所以，解得.故选：D. 【变式9-2】（23-24高一上·江苏南通·月考）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且， 所以当时，， 当时，. 所以由可得：或或, 解得或或，即或. 所以满足的的取值范围是.故选：D. 【变式9-3】（23-24高一下·湖北·开学考试）已知是定义在上的函数在上单调递减，且，函数的图象关于点对称，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数的图象关于对称可得图象关于对称， 所以为R上的奇函数，则函数图象大致如图所示． 要解，即，即， 当时，即时，，所以或者，解得或； 当时，即时，，所以，解得 综上可得不等式的解集为.故选：D. 【变式9-4】（23-24高一上·江苏南通·月考）定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】令， 因为定义在上的函数满足， 所以定义在上的函数满足， 所以在上单调递减， 由，得， 所以， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. 【考点题型十】函数对称性的应用 方法总结： 1、轴对称： （1）函数关于直线对称 （2）函数关于直线对称. 2、中心对称： （1）函数关于点对称； （2）函数关于点对称 3、函数的奇偶性和对称性的关系： （1）若为奇函数，则关于对称； （2）若为偶函数，则关于对称； （3）若为奇函数，则关于对称； （4）若为偶函数，则关于对称. 【例10】（23-24高一上·江苏南通·月考）函数的对称中心是 ． 【答案】 【解析】函数， 显然函数的图象可以由函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位而得， 而函数的图象的对称中心为，所以函数的图象的对称中心为. 故答案为： 【变式10-1】（23-24高一上·江苏扬州·月考）函数和的定义域均为，已知为偶函数，为奇函数，对于，均有，则（    ） A．66 B．70 C．74 D．78 【答案】B 【解析】由为偶函数，则，所以的图像关于对称， 又为奇函数，则，所以的图像关于点对称， 又对于，均有，所以， 又的图像关于对称，所以， 又的图像关于点对称，所以， 所以， 又，解得，， 所以．故选：B． 【变式10-2】（23-24高一上·江苏南通·月考）已知函数定义域为，，，当时，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】定义在上的函数，由，得， 由，得，于是，即， 因此，又当时，， 所以.故选：D 【变式10-3】（23-24高一上·江苏南京·月考）定义在上的函数满足，则 . 【答案】7 【解析】因为定义在R上的函数满足， 所以当时，； 当时，； 当时，； 当时，，即， ∴. 故答案为：7. 【考点题型十一】函数周期性的应用 方法总结：（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）； 【例11】（2024·广东茂名·一模）函数和均为上的奇函数，若，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【解析】因为为奇函数，所以关于对称，即， 又关于原点对称，则，有， 所以的周期为4，故.故选：A 【变式11-1】（23-24高一下·湖北·月考）定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为函数为奇函数，且为偶函数， 所以，所以的周期为4， 所以.故选：A. 【变式11-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知是上的奇函数且，当时，，则（    ） A．-2 B．2 C．0 D．2023 【答案】B 【解析】,则， 则函数的周期，则， 又函数为奇函数，所以，所以.故选：B. 【变式11-3】（23-24高一下·四川南充·月考）已知定义在上的奇函数，对任意的，都有，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为定义在上的奇函数，所以， 又对任意的，都有，即， 即，所以是以4为周期的周期函数， 所以， 因为是定义在上的奇函数，所以， 又， 而当时，， 所以，故选：A 【考点题型十二】抽象函数性质综合 【例12】（23-24高一上·江苏徐州·月考）（多选）已知的定义域为且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B． C．的图象关于对称 D． 【答案】ABC 【解析】为奇函数，为偶函数， 所以的图象关于点对称且关于直线对称，故C正确； 所以，，， ，所以是周期函数，4是它的一个周期． ， ，故B正确； ，是偶函数，A正确； 对任意的，且，都有，即时， ，所以在是单调递增， ，，， ，∴，故D错．故选：ABC． 【变式12-1】（23-24高一上·江苏盐城·月考）（多选）已知函数不过原点，且对，满足则下列结论正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．若，则 D． 【答案】AD 【解析】A：令，则，又不过原点，即，可得，对； B：令，则，结合A结论知：，为偶函数，错； C：令，则，故，错； D：令，则，故，对.故选：AD 【变式12-2】（23-24高一上·江苏·月考）（多选）已知函数，，对于任意，，，且当时，均有，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BCD 【解析】令，则，解得，故A错； 因为，故B正确； 因为，所以，故C正确； 设任意的，且，则， 所以， 即，所以函数为上的增函数， 因为， 所以，解得，故D正确.故选：BCD 【变式12-3】（23-24高一上·江苏扬州·月考）定义在上的函数满足对任意x，，恒有，且时，有． (1)求的值； (2)证明：为奇函数； (3)试判断的单调性，并加以证明． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)在上单调递增，证明见解析 【解析】（1）取得到，解得； （2）因为的定义域为， 取得到，故函数为奇函数； （3）函数在上单调递增，证明如下： 设， 则， 因为时，有，则，故，即， 函数在上单调递增. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$