精品解析：湖南省衡阳市南岳区文定学校2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题

湖南省衡阳市南岳区2023——2024学年文定实验学校 九年级上学期数学第二次月考试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列三角函数值是有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于二次函数在中的最大值和最小值分别为是（ ） A. 最大值为，最小值为 B. 最大值为，最小值为 C. 最大值为，最小值为 D. 最大值为，最小值为 3. 现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，在2014年的“双11”上促销活动中天猫和淘宝的支付交易额突破57000 000 000元，将数字57000 000 000用科学记数法表示为 ( ） A. B. C. D. 4. 把向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，平移后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( ) A. B. C. D. 6. 一元二次方程4x2+1＝4x的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 7. 已知与的周长相等，现有两个判断： ①若，，则 ②若，，则 A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①，②都错误 D. ①，②都正确 8. 顺次连接矩形ABCD各边的中点，所得四边形必定是（ ） A. 邻边不等的平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 9. 在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为（ ） A. 0.5km B. 0.6km C. 0.9km D. 1.2km 11. 如图，直线与相交于点A，若，那么（　　） A. B. C. D. 12. 如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（ ） A. 10m B. 10m C. 15m D. 5m 二、填空题 (本大题8个小题，每小题3分，满分24分) 13. 抛物线的顶点坐标是____________． 14. 如图，反比例函数的图象经过点P，则_______． 15. 若，，则的值为__________． 16. 已知，则__________． 17. 一元二次方程的根为______． 18. 已知一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象没有交点，则的取值范围为__________． 19. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为________ 20. 如图，矩形ABCO中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2，AB=5，把沿着AC对折得到，AB′交y轴于D点，则D点的坐标为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 21. 计算： 22. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，的顶点均在格点上． （1）的值是 ； （2）画出关于直线对称的（A与，B与，C与相对应）连接，，并计算梯形的面积． 23. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4 （1）随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率 （2）随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出下列结果： ① 两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率 ② 第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率 24. 2009年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演．如图，有一热气球到达离地面高度为36米的处时，仪器显示正前方一高楼顶部的仰角是，底部的俯角是．为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到米）（参考数据：，，， 25. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2． （1）求直线AB和反比例函数的解析式； （2）求△OCD的面积． 26. 某农户计划购买甲、乙两种油茶树苗共1000株．已知乙种树苗比甲种树苗每株贵3元，且用100元钱购买甲种树苗的株数与用160元钱购买乙种树苗的株数刚好相同． （1）求甲、乙两种油茶树苗每株的价格； （2）如果购买两种树苗共用5600元，那么甲、乙两种树苗各买了多少株？ （3）调查统计得，甲、乙两种树苗的成活率分别为90%，95%．要使这批树苗的成活率不低于92%，且使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？最低费用是多少？ 27. 如图，在中，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，且． （1）求证： （2）若，求的值 （3）若为直角三角形时，求的值 28. 如图，在等腰中，，，，垂足为点．点，分别从，两点同时出发，其中点从点开始沿边向点运动，速度为，点从点开始沿边向点A运动，速度为，设它们运动的时间为（s）． （1）当为何值时，将沿直线翻折，使点落到点，得到的四边形是菱形？ （2）设的面积为，当时，求与的函数关系式． （3）当时，是否存在，使得与的面积比为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省衡阳市南岳区2023——2024学年文定实验学校 九年级上学期数学第二次月考试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列三角函数值是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，有理数是解题的关键．分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可． 【详解】解：由题意知，A中，是无理数，故不符合要求； B中，是有理数，故符合要求； C中，是无理数，故不符合要求； D中，是无理数，故不符合要求； 故选：B． 2. 对于二次函数在中的最大值和最小值分别为是（ ） A. 最大值为，最小值为 B. 最大值为，最小值为 C. 最大值为，最小值为 D. 最大值为，最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据的取值范围和函数图象的性质，找到函数取得最大值和最小值时的的取值是解答本题的关键．先判断对称轴和开口方向，再根据的取值范围，结合二次函数的图象，得出最大值和最小值时的的取值，即可得出函数的最大值和最小值． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为，且开口向下， ∴在范围内，当时，函数取最大值， 当时，函数取最小值， 故选：B． 3. 现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，在2014年的“双11”上促销活动中天猫和淘宝的支付交易额突破57000 000 000元，将数字57000 000 000用科学记数法表示为 ( ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意可知，将数字57000 000 000用科学记数法表示为5.7×1010. 考点：科学记数法. 4. 把向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，平移后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．根据二次函数图象平移的方法即可得出结论． 【详解】解：把向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 平移后抛物线的解析式为． 故选：D． 5. 如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况， 因此可知使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率为． 故选：C． 6. 一元二次方程4x2+1＝4x的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先求出△的值，再判断即可． 【详解】解：原方程可化为：4x2﹣4x+1＝0， ∵△＝（－4）2﹣4×4×1＝0， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：C． 【点睛】此题考查一元二次方程的根的情况，熟记判别式公式及根的三种情况是解题的关键. 7. 已知与的周长相等，现有两个判断： ①若，，则 ②若，，则 A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①，②都错误 D. ①，②都正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，由可判断①，先证明，可得，再利用可判断②． 【详解】解：①∵，，且与的周长相等， ∴． ∴．故①正确． ②∵，， ∴． ∴． ∴． ∴．故②正确． 综上所述，①，②都正确． 故选：D． 8. 顺次连接矩形ABCD各边的中点，所得四边形必定是（ ） A. 邻边不等的平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图，连接AC、BD， ∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点， ∴EF=GH=AC，FG=EH=BD（三角形的中位线等于第三边的一半）， ∵矩形ABCD的对角线AC=BD， ∴EF=GH=FG=EH， ∴四边形EFGH是菱形． 故选D． 9. 在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数y=a（x-h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答． 【详解】二次函数（）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上， 故选D． 10. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为（ ） A. 0.5km B. 0.6km C. 0.9km D. 1.2km 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得． 【详解】解：根据题意可得，AM=1.2， ∵M为中点， ∴AB=2AM=2.4， ∴CM= 故选：D． 【点睛】题目主要考查直角三角形斜边上的中线的性质，理解题意，熟练掌握运用这个性质是解题关键． 11. 如图，直线与相交于点A，若，那么（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察函数图象得到当时可知． 【详解】解：从图象上得出，当时，． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 12. 如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（ ） A. 10m B. 10m C. 15m D. 5m 【答案】A 【解析】 【详解】解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是， 即 ， ∴∠BAC=30°， ∴AB=2BC=2×5=10， 故选A． 二、填空题 (本大题8个小题，每小题3分，满分24分) 13. 抛物线的顶点坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，根据二次函数的解析式即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 14. 如图，反比例函数的图象经过点P，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象写出P点坐标，根据点在曲线上，点的坐标满足函数关系式，把P点坐标代入反比例函数解析式中即可得到k的值．掌握待定系数法求反比例函数的表达式是解题的关键． 【详解】根据图象可得， 把代入反比例函数中，得： ． 故答案为： 15. 若，，则的值为__________． 【答案】 10 【解析】 【分析】首先把多项式利用平方差公式分解因式，然后代入已知条件即可求出其值． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查因式分解、代数式求值，熟记平方差公式，并正确求解是解答的关键． 16. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．设，则，，，然后把，，代入代数式中进行分式的化简运算即可． 【详解】解：设，则，，， ∴． 故答案为：． 17. 一元二次方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：移项得， 提取公因式得， 即或， 解得，． 18. 已知一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象没有交点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点个数问题，将交点个数问题转化成方程根的个数问题是解题的关键．将一次函数解析式代入反比例函数解析式，化简可得一元二次方程，根据两函数的图象没有交点，可知一元二次方程没有实数根，进而确定，代入解出不等式即可． 【详解】解：将代入中， 得， 整理得， ∵一次函数与反比例函数的图象没有公共点， ∴一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 19. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，将代入方程求出，再根据一元二次方程的定义求出，由此得到答案，正确理解一元二次方程的定义及方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：将代入，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 20. 如图，矩形ABCO中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2，AB=5，把沿着AC对折得到，AB′交y轴于D点，则D点的坐标为_____． 【答案】（0，2.1）． 【解析】 【分析】由折叠的性质可得∠BAC＝∠CAD，由平行线的性质可得∠BAC＝∠ACD，所以∠CAD＝∠ACD，根据等腰三角形的性质可得AD=CD，设OD=x，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得∠BAC＝∠CAD， ∵AB//OC， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴∠CAD＝∠ACD， ∴AD=CD， 设OD=x，则AD=CD=5-x， 在Rt△AOD中， 由勾股定理得， 解得x=2.1， 所以D点的坐标为（0，2.1）． 故答案为：（0，2.1）． 三、解答题（本大题共8个小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 21. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算算术平方根和零指数幂，最后计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 22. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，的顶点均在格点上． （1）的值是 ； （2）画出关于直线对称的（A与，B与，C与相对应）连接，，并计算梯形的面积． 【答案】（1） （2）面积为； 如图，即为所求作的三角形； 【解析】 【分析】本题考查的是画轴对称图形，求解网格图形的面积，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的画图是解本题的关键． （1）先利用勾股定理求解，再利用正弦的定义可得答案； （2）先确定，，关于直线的对称点，，，再顺次连接即可，再利用梯形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴梯形的面积为． 23. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4 （1）随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率 （2）随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出下列结果： ① 两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率 ② 第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率 【答案】（1）；（2）；． 【解析】 【详解】试题分析：（1）摸出小球标号是3的概率=1÷4；（2）根据题意画出表格，然后根据概率的计算法则进行计算． 试题解析：（1）P（小球标号是3）=1÷4= （2）根据题意画出表格可得： 二 一 1 2 3 4 1 1,1 2,1 3,1 4,1 2 1,2 2,2 3,2 4,2 3 1,3 2,3 3,3 4,3 4 1,4 2,4 3,4 4,4 ①P（一个标号是1，另一个标号是2）=2÷16= ②P（第一次标号是1，第二次标号是2）=1÷16= 考点：概率的计算． 24. 2009年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演．如图，有一热气球到达离地面高度为36米的处时，仪器显示正前方一高楼顶部的仰角是，底部的俯角是．为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到米）（参考数据：，，， 【答案】气球应至少再上升米 【解析】 【分析】过作的垂线，设垂足为．即为所求的高度．在中，运用三角函数定义求出的值；进而可在中，求出的值． 【详解】解：过作，垂足为点． 在中， ，， ． 在中， ，， ． 答：气球应至少再上升米． 【点睛】本题考查仰角俯角的定义，要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形． 25. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2． （1）求直线AB和反比例函数的解析式； （2）求△OCD的面积． 【答案】（1），；（2）8． 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例的函数解析式； （2）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解． 试题解析：（1） ∵OB=4，OE=2， ∴BE=2+4=6． ∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO==， ∴OA=2，CE=3， ∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为C（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3）， 设直线AB的解析式为， 则， 解得：， 故直线AB的解析式为， 设反比例函数的解析式为（）， 将点C的坐标代入， 得3=，∴m=﹣6． ∴该反比例函数的解析式为； （2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得， 可得交点D的坐标为（6，﹣1）， 则△BOD的面积=4×1÷2=2， △BOD的面积=4×3÷2=6， 故△OCD的面积为2+6=8． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 26. 某农户计划购买甲、乙两种油茶树苗共1000株．已知乙种树苗比甲种树苗每株贵3元，且用100元钱购买甲种树苗的株数与用160元钱购买乙种树苗的株数刚好相同． （1）求甲、乙两种油茶树苗每株的价格； （2）如果购买两种树苗共用5600元，那么甲、乙两种树苗各买了多少株？ （3）调查统计得，甲、乙两种树苗的成活率分别为90%，95%．要使这批树苗的成活率不低于92%，且使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？最低费用是多少？ 【答案】（1）甲、乙两种油茶树苗每株的价格分别为5元，8元；（2）甲种树苗800株，乙种树苗购买200株；（3）购买甲种树苗600株，乙种树苗400株费用最低，最低费用是6200元． 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种油茶树苗每株的价格分别为x元，y元，根据条件中树苗的数量与单价之间的关系建立二元一次方程组求出其解即可； （2）设甲种树苗购买b株，则乙种树苗购买（1000﹣b）株，购买的总费用为W元，根据条件建立不等式和W与b的函数关系式，由一次函数的性质就可以得出结论． 【详解】解：（1）设甲、乙两种油茶树苗每株的价格分别为x元，y元，由题意得： ， 解得：， 答：甲、乙两种油茶树苗每株的价格分别为5元，8元； （2）设甲种树苗购买b株，则乙种树苗购买（1000﹣b）株，购买的总费用为W元，由题意得： 90%b+95%（1000﹣b）≥1000×92%， ∴b≤600． W=5b+8（1000﹣b）=﹣3b+8000， ∴k=﹣3＜0， ∴W随b的增大而减小， ∴b=600时，W最低=6200元． 答：购买甲种树苗600株，乙种树苗400株费用最低，最低费用是6200元． 点评：本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由方程组求出两种树苗的单价是关键． 27. 如图，在中，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，且． （1）求证： （2）若，求的值 （3）若为直角三角形时，求的值 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） （3）为直角三角形时，为8或． 【解析】 【分析】（1）先证明，，从而可得结论； （2）如图，过作于， 可得，，，可得，再进一步可得答案； （3）根据可得，又因为，可得，因此，由于为直角三角形，分类讨论：当时，利用得到，即，易得，当，利用得到，然后在中，根据余弦的定义可计算出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过作于， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， 结合（2）可得， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形时，为8或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用，解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定和性质． 28. 如图，在等腰中，，，，垂足为点．点，分别从，两点同时出发，其中点从点开始沿边向点运动，速度为，点从点开始沿边向点A运动，速度为，设它们运动的时间为（s）． （1）当为何值时，将沿直线翻折，使点落到点，得到的四边形是菱形？ （2）设的面积为，当时，求与的函数关系式． （3）当时，是否存在，使得与的面积比为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，四边形是菱形 （2） （3）当时， 【解析】 【分析】（1）当时，根据图形翻折变换后与原图形重合，可以判断出此时形成的四边形是菱形． （2）过点作，由勾股定理可求出的值，再根据可用表示出的长，再由三角形的面积公式即可求出与之间的函数关系式． （3）过点作，垂足为，连接，把三角形的面积比转化成高的比，再分别用表示出两三角形的高，根据比值求出未知数的值即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∵，， ∴，， 要使四边形是菱形，则， 即，解得， 当时，四边形是菱形． 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， ∵，，， ，， ， 即， ， 又， ， 即． 【小问3详解】 解：存在．理由如下 过点作，垂足为，连接， ∵， ∴， ∴， ，且与同高， ， 在中，， 解得， ∴当时，． 【点睛】此题是典型的动点问题，涉及到菱形及相似三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $