精品解析：福建省厦门海沧区东孚中学2022-2023学年九年级上学期期中测试数学试题

海沧区东孚中学2022-2023学年（上）期中测试 数学试题 （试卷总分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的横纵坐标都互为相反数得出答案即可． 【详解】解: 点关于原点对称的点是, 故选：C 2. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 正五边形 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； B．不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误； C．是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确； D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误． 故选C． 考点：1．中心对称图形；2．轴对称图形． 3. 抛物线y＝﹣3（x﹣4）2+5的顶点坐标是（ ） A. （4，5） B. （﹣4，5） C. （4，﹣5） D. （﹣4，﹣5） 【答案】A 【解析】 【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣4）2+5， ∴其顶点坐标为：（4，5）． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线． 4. 如图，点都在上，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 【详解】解：点都在上，， ， 故选：C． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】直接计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况 【详解】解：∆， 所以方程无实数根， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2-4ac；当∆＞0，方程有两个不相等的实数根；当∆=0，方程有两个相等的实数根；当∆＜0，方程没有实数根． 6. 将二次函数的图像向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的新函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键；所以由题意易得平移后的二次函数表达式为，然后问题可求解． 【详解】解：由题意知：平移后的二次函数表达式为， ∴新函数的对称轴为直线； 故选：C． 7. 如图，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使得点，在同一条直线上，，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、利用邻补角的定义求角的度数，由三角形内角和定理计算出，再由邻补角的定义进行计算即可，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 旋转角等于， 故选：C． 8. 如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离为，水面宽为，则桥拱半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．在圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键．连接，由题意可知，，设桥拱半径，则，，在中，根据勾股定理求出r的值即可． 【详解】解：如图，连接． 由题意可知，且过圆心， ∴． 设桥拱半径，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴桥拱半径为． 故选B． 9. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得：门高尺、宽尺，门对角线的长为尺，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：门对角线的长为尺， 门高尺、宽尺， 根据勾股定理可得：． 10. 二次函数的图象经过坐标原点O和点，直线交y轴于点，动点在直线上，且，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D，则的最值情况是（ ） A. 有最小值9 B. 有最大值9 C. 有最小值8 D. 有最大值8 【答案】B 【解析】 【分析】根据待定系数法求得抛物线的解析式和的解析式，设，则，根据图象的位置即可得出，根据二次函数的性质即可求得． 【详解】解：二次函数的图象经过坐标原点和点， ，解得， 二次函数为， ，， 直线为：， 令， 解得：，， ∴点E的横坐标为1，则点C始终在点D上方， 设，则， ， 范围内，有最大值9， 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，表示出CD的关系式是解题的关键． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 根据直接开平方法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 解得：． 故答案为：． 12. 已知是方程的根，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 故答案为：． 13. 如图，四边形内接于， A为中点，，则的度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先根据圆内接四边形的性质得到，然后根据等弧所对的圆周角相等得到，然后根据三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， 又∵ A为中点， ∴， 故答案为：． 14. 已知点，O是坐标原点，将线段绕点O逆时针旋转，点A旋转后的对应点是，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化−旋转，把点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，如图，作作轴于点B，则，把绕原点按逆时针方向旋转得到，根据旋转的性质得到即可解答． 【详解】解：过点A作轴于点B，点作轴于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 15. 抛物线经过点，，以及点D，若点D的横坐标为，则点D的纵坐标是____________（用n的式子含表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线的对称性，求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性和点的坐标特征，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为， 又∵， ∴点和点D关于对称轴对称， ∴点D的纵坐标是， 故答案为：． 16. 已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当a≤x≤a+5时，函数y的最小值为﹣1，则a的取值范围是_______． 【答案】﹣3≤a≤2 【解析】 【分析】求得对称轴，然后分三种情况讨论即可求得． 【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴对称轴为直线x＝2， 当a＜2＜a+5时，则在a≤x≤a+5范围内，x＝2时有最小值﹣1， 当a≥2时，则在a≤x≤a+5范围内，x＝a时有最小值﹣1， ∴a2﹣4a+3＝﹣1， 解得a＝2， 当a+5≤2时，则在a≤x≤a+5范围内，x＝a+5时有最小值﹣1， ∴（a+5）2﹣4（a+5）+3＝﹣1， 解得a＝﹣3， ∴a的取值范围是﹣3≤a≤2， 故答案为：﹣3≤a≤2． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解方程：x2﹣2x﹣1＝0． 【答案】 【解析】 【分析】先利用根的判别式验证是否有根，若有根，再通过一元二次方程的求根公式，分别把a、b、c对应的值代入求出即可． 【详解】解：由方程可知：，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根.， 故由求根公式可得． 【点睛】本题主要是考查了利用一元二次方程的公式法求解方程的根，熟练地记忆求根公式是求解一元二次方程的解的重点，另外，注意利用公式法求解方程，一定要把方程化成标准形式． 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查不等式的解集，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得； 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 19. 化简并求值，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先计算括号内的减法，然后把除法转换成乘法化简约分，最后代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 某商场今年1月份开始营业，已知2月份盈利2万元，4月份的盈利达到2.88万元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率． （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 【答案】（1） （2）34560元 【解析】 【分析】（1）设该商店的月平均增长率为，根据等量关系：2月份盈利额增长率）月份的盈利额列出方程求解即可． （2）5月份盈利月份盈利增长率）． 此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量后来的量，其中增长用，减少用，难度一般． 【小问1详解】 解：设每月盈利平均增长率为， 根据题意得：． 解得：，（不符合题意舍去）， 答：每月盈利的平均增长率为； 【小问2详解】 解：依题意，， 答：按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到34560元． 21. 二次函数的图象经过，，，且点是该二次函数图象的顶点． （1）若，，求二次函数解析式； （2）请在图中描出该函数图象上另外的两个点，并画出图象． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由得点A和抛物线顶点B的坐标，则设顶点式，然后把代入求出a即可； （2）利用抛物线的对称性可过A、C分别作平行x轴的线段，且分别被对称轴平分，即可求得另外的两个点，利用描点法可画出函数图像． 【小问1详解】 解：若，则，， 又∵B点是二次函数的顶点， ∴可设二次函数解析式为为， 将代入，得， ∴ ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵点B是该二次函数图像的顶点， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴C关于对称轴对称的点在y轴上， ∵， ∴A关于对称轴对称的点横坐标为3， 利用描点法可画出函数图像，如图： 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，掌握二次函数图像上关于对称轴对称的点到对称轴的距离相等且纵坐标相等是解题的关键． 22. 如图，正方形的边长为3，，分别是，边上的点，且将绕点逆时针旋转得到． （1）求证：，，三点在同一条直线上； （2）求证： （3）当时，求的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴，． 由旋转的性质可知， ∴， ∴，，三点在同一条直线上． （2）证明：∵， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据旋转变换的性质得到∠DCM=∠DAE=90°，证明结论； （2）证明△EDF≌△MDF，根据全等三角形的性质证明； （3）设EF=MF=x，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设， ∵，， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，则． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 23. 某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间是一次函数关系，如图所示． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保鲜期为20天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否在保鲜期内销售完这批蜜柚？请说明理由． 【答案】（1）， （2）蜜柚定价为元/千克时，每天销售获得的利润最大，最大利润是元 （3）能销售完这批蜜柚 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，弄清题意，找出数量间的关系列出函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）由“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式得出最大利润； （3）求出在（2）中情况下，即 时的销售量，求得天的总销售量，再进行比较. 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为 ，将和代入，得 ，解得 ， ∴与的函数关系式为， 由得， ∴的取值范围为； 【小问2详解】 解：设每天销售获得的利润为元， 则： ， ∴当时，取得最大值，最大值为， 因此，该品种蜜柚定价为元/千克时，每天销售获得的利润最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：能. 理由：按（2）中获得最大利润的方式进行销售时，每天销售量(千克). ∵保质期为天， (千克)，且 ， ∴能销售完这批蜜柚. 24. 已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆上不与A，B重合的两点，且点N在上. （1）如图1，MA＝6，MB＝8，∠NOB＝60°，求NB的长； （2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，P是MN的中点，连接MB，NA，PC，试探究∠MCP，∠NAB，∠MBA之间的数量关系，并证明. 【答案】（1）5； （2）∠MCP＋∠MBA＋∠NAB＝90°， 证明：如图2， 画⊙O，延长MC交⊙O于点Q，连接NQ，NB. ∵MC⊥AB， 又∵OM＝OQ， ∴MC＝CQ. 即C是MN的中点 又∵P是MQ的中点， ∴CP是△MQN的中位线. ∴CP∥QN. ∴∠MCP＝∠MQN. ∵∠MQN＝∠MON，∠MBN＝∠MON， ∴∠MQN＝∠MBN. ∴∠MCP＝∠MBN. ∵AB是直径， ∴∠ANB＝90°． ∴在△ANB中，∠NBA＋∠NAB＝90°. ∴∠MBN＋∠MBA＋∠NAB＝90°. 即∠MCP＋∠MBA＋∠NAB＝90° 【解析】 【分析】（1）只要证明△OBN是等边三角形即可解决问题； （2）结论：∠MCP+∠MBA+∠NAB=90°．如图2中，画⊙O，延长MC交⊙O于点Q，连接NQ，NB．关键是证明CP∥QN. 【详解】（1）如图1，∵AB是半圆O的直径， ∴∠M＝90°． 在Rt△AMB中，AB＝ ∴AB＝10. ∴OB＝5． ∵OB＝ON， 又∵∠NOB＝60°， ∴△NOB是等边三角形． ∴NB＝OB＝5． （2）略 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、平行线的性质、直径的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 25. 如图，抛物线过点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）第一象限内的抛物线图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且，当的面积是3时，求出点P的坐标； （3）抛物线的顶点为Q，直线与抛物线交于点E，F，M是线段的中点，当时，求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3）时，有最小值，最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键. （1）依据题意，把点代入求出后即可求得解析式； （2）依据题意，先求出点C和点D的坐标，然后连接，设点P的坐标为， 根据列方程求出m值即可解题； （3）依据题意可得点的坐标是，又把与 联立方程组，得 可得, 连接, 有再结合二次函数的性质即可判断得解. 【小问1详解】 由题意, 把点. 代入 得 ， ， ∴抛物线的解析式为 【小问2详解】 解：当时，， ∴点C的坐标为， ∵x轴正半轴上有一点D，且， ∴点D的坐标为， 连接， 设点P的坐标为， 则， 解得：，， ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵点的坐标是, ∴. 又∵ ∴点的坐标是. 把与联立方程组，得 ， 如图, 连接. , 当时，有最小值，最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海沧区东孚中学2022-2023学年（上）期中测试 数学试题 （试卷总分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 正五边形 3. 抛物线y＝﹣3（x﹣4）2+5的顶点坐标是（ ） A. （4，5） B. （﹣4，5） C. （4，﹣5） D. （﹣4，﹣5） 4. 如图，点都在上，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 将二次函数的图像向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的新函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 7. 如图，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使得点，在同一条直线上，，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离为，水面宽为，则桥拱半径为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象经过坐标原点O和点，直线交y轴于点，动点在直线上，且，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D，则的最值情况是（ ） A. 有最小值9 B. 有最大值9 C. 有最小值8 D. 有最大值8 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的根是__________． 12. 已知是方程的根，则____________ 13. 如图，四边形内接于， A为中点，，则的度数为______°． 14. 已知点，O是坐标原点，将线段绕点O逆时针旋转，点A旋转后的对应点是，则点的坐标是_____． 15. 抛物线经过点，，以及点D，若点D的横坐标为，则点D的纵坐标是____________（用n的式子含表示）． 16. 已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当a≤x≤a+5时，函数y的最小值为﹣1，则a的取值范围是_______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解方程：x2﹣2x﹣1＝0． 18. 解不等式组 19. 化简并求值，其中 20. 某商场今年1月份开始营业，已知2月份盈利2万元，4月份的盈利达到2.88万元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率． （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 21. 二次函数的图象经过，，，且点是该二次函数图象的顶点． （1）若，，求二次函数解析式； （2）请在图中描出该函数图象上另外的两个点，并画出图象． 22. 如图，正方形的边长为3，，分别是，边上的点，且将绕点逆时针旋转得到． （1）求证：，，三点在同一条直线上； （2）求证： （3）当时，求的长． 23. 某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间是一次函数关系，如图所示． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保鲜期为20天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否在保鲜期内销售完这批蜜柚？请说明理由． 24. 已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆上不与A，B重合的两点，且点N在上. （1）如图1，MA＝6，MB＝8，∠NOB＝60°，求NB的长； （2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，P是MN的中点，连接MB，NA，PC，试探究∠MCP，∠NAB，∠MBA之间的数量关系，并证明. 25. 如图，抛物线过点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）第一象限内的抛物线图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且，当的面积是3时，求出点P的坐标； （3）抛物线的顶点为Q，直线与抛物线交于点E，F，M是线段的中点，当时，求四边形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $