精品解析：山东省青岛市南区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

2023-2024学年度第二学期期中学业水平质量检测 七年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 温馨提示： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡和答题纸上． 2．回答Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．或写在答题纸上．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（共48分） 一、选择题（每小题3分，每题只有一个正确选项，共24分） 1. 下列运算正确的是(　　) A. (－a5)2＝a10 B. 2a·3a2＝6a2 C. a8÷a2＝a4 D. －6a6÷2a2＝－3a3 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂的除法，以及单项式除以单项式的运算法则进行运算即可判断. 【详解】A.(-a5)2=a10，正确； B.2a•3a2=6a3，错误； C.，错误； D.-6a6÷2a2=-3a4，错误. 故选A. 【点睛】考查幂的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂的除法，以及单项式除以单项式，掌握它们的运算法则是解题的关键. 2. 下列各式中，一定成立的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平分公式、平方差公式，即可解答． 【详解】解：A、(x+y)2= x2+2xy+y2≠x2+y2，故错误； B、（x+6）（x-6）=x2-36，故错误； C、（x-y）2=x2-2xy+y2，（y-x）2=y2-2xy+x2，正确； D、（3x-y）（-3x+y）=-（3x-y）（3x-y）=-（3x-y）2=-9x2+6xy-y2，故错误； 故选C． 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式、平方差公式． 3. 正方形的边长增加了，面积相应增加了，则这个正方形原来的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设原来正方形的边长为xcm，根据题意列出方程，求出方程的解，根据正方形面积公式即可得到结果． 【详解】设原来正方形的边长为xcm，增加后边长为（x+2）cm， 根据题意得：(x+2)2-x2=24， x2+4x+4-x2=24， 4x=20 解得：x=5， 正方形原来的面积是5×5=25cm2. 故选B. 【点睛】此题考查了完全平方公式，弄清题意，列出方程是解题的关键． 4. 花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克，已知1克=1000毫克，那么0.000037毫克可用科学记数法表示为 A. 3.7×10﹣5克 B. 3.7×10﹣6克 C. 37×10﹣7克 D. 3.7×10﹣8克 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000000037＝3.7×10﹣8， 故选D． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 5. 如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判断的条件是（　　） A. ①② B. ③④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角相等．根据同位角相等两直线平行，即可判断①；根据内错角相等两直线平行，即可判断②；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断③；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断④，综合即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴不能推出，故④不正确， 综上可得：能判断的条件是①②③． 故选：D． 6. 如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠D的关系是（ ） A. ∠ABE＝3∠D B. ∠ABE﹢∠D＝180° C. ∠ABE－∠D＝90° D. ∠ABE＝2∠D 【答案】D 【解析】 【详解】如图，作EG∥AB交BF于点G，则EG∥CD， ∴∠D=∠DEG， ∵ED∥BF，∴∠DEG=∠EGB，∴∠D=∠EGB， ∵EG∥AB，∴∠EGB=∠GBA，∴∠D=∠GBA， ∵BF平分∠ABE，∴∠ABE=2∠GBA， ∴∠ABE=2∠D. 故选D. 点睛：本题关键在于构造平行直线，再结合平行线的性质解题. 7. 如图，直解三角板的直角顶点落在直尺边上，若∠1=56°，则∠2的度数为（　　） A. 56° B. 44° C. 34° D. 28° 【答案】C 【解析】 【分析】由平角的定义得到∠3=34°；然后根据“两直线平行，内错角相等”求出∠2的度数． 【详解】如图， 依题意知∠1+∠3=90°． ∵∠1=56°， ∴∠3=34°． ∵直尺的两边互相平行， ∴∠2=∠3=34°， 故选C． 8. 从甲地到乙地的铁路路程约为600千米，高铁速度为300千米/小时，中途不停；动车速度为200千米/小时，行驶180千米后，中途要停靠徐州6分钟，若动车先出发半小时，两车与甲地之间的距离y（千米）与动车行驶时间x（小时）之间的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查函数与函数的图象．先根据两车并非同时出发，得出D选项错误；再根据高铁从甲地到乙地的时间以及动车从甲地到乙地的时间，得出两车到达乙地的时间差，结合图形排除A、C选项，即可得出结论． 【详解】解：由题可得，两车并非同时出发，故D选项不符合题意； 高铁从甲地到乙地的时间为h 动车从甲地到乙地的时间为 h， 动车先出发半小时， 两车到达乙地的时间差为h，该时间差小于动车从甲地到乙地所需时间的一半，故A选项不符合题意； ， 两车到达乙地的时间差大于半小时，故B选项错误， 动车行驶180千米所需的时间为h，而高铁迟出发h， ，故C选项符合题意． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，每题只有一个正确选项，共24分） 9. 如图，已知AB∥CD，∠1=130°，则∠2=___________． 【答案】50° 【解析】 【详解】解：如图： ∵∠1=130°， ∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣130°=50°， ∵AB∥CD， ∴∠2=∠3=50° 故答案为：50°． 【点睛】本题考查平行线的性质． 10. 如图，沿虚线剪去长方形纸片相邻的两个角，使，则________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键；过E作，可得，根据平行线的性质即可求解． 【详解】过E作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案是：． 11. 已知，，则________． 【答案】-3 【解析】 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后，将m+n与mn的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵m+n=2，mn=-2， ∴（1-m）（1-n）=1-（m+n）+mn=1-2-2=-3． 故答案为：-3 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12. 已知2a=5，2b=10．2c=50，那么a、b、c之间满足的等量关系是________． 【答案】a+b=c 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到a、b、c之间的关系； 【详解】解：∵2a=5，2b=10， ∴， 又∵=50=， ∴a+b=c． 故答案为：a+b=c． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法（同底数幂相乘，底数不变，指数相加），掌握各知识的运算法则是解题的关键． 13. 定义为二阶行列式，规定它的运算法则为．则二阶行列式的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查新定义、完全平方公式、整式的混合运算，先根据新定义可得，再根据完全平方公式和整式的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 14. 通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式(一定成立的等式),请根据图写出一个代数恒等式是:__________. 【答案】2a(a+b)=2a2+2ab 【解析】 【详解】解：长方形的面积等于：2a(a+b)， 也等于四个小图形的面积之和： 即 故答案为： 15. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）： 温度/℃ -20 -10 0 10 20 30 声速/m/s 318 324 330 336 342 348 当空气温度为℃时，声音经过5s可以传播的路程是________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据表格求出即可空气温度为℃时的声速，再计算即可． 【详解】由表格可知，当空气温度为℃时，声速， ∴声音经过可以传播的路程是米， 故答案为：． 【点睛】本题考查变量之间的关系，函数的表示方法；能够通过表格观察出变量的变化关系，利用表格的数据计算声速是解题的关键． 16. 某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是______（填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】本题主要考查了用图象表示两个变量的关系，根据图象即可判断①；求出升级设备前后甲的生产速度，以及2小时前后乙的生产速度，进而确定a、b、c的值，再分别求出对应时间段甲乙生产量最多相差的个数即可判断②③；求出乙需要的总时间即可判断④，进而可得结论． 【详解】解：甲升级设备用了小时，乙没有升级设备，故①说法错误； 由图象可知，当时，甲每小时生产个，乙每小时生产个， ∴当，且时，甲乙生产量最多相差个； 当时，乙每小时生产个，则当时，甲乙生产量最多相差个； 甲升级完成后每天生产个， 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当，甲乙生产量最多相差个，不符合题意； 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当时，甲乙生产量最多个； 综上所述，一天中甲乙生产量最多相差6个，故②正确； ∵， ∴，故③错误； ，， ∴甲比乙提前1小时完成工作，故④说法正确； ∴说法正确的有②④， 故答案为：②④． 第Ⅱ卷（共72分） 17. 作图题 （1）在下面网格图中，A，B、M为格点，画线段线段． （2）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹：已知，D是的边上一点，求作射线，使，交于E． 【答案】（1） 如图所示，线段即为所求； （2） 如图所示，射线即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，作一个角等于已知角，利用网格结构是解题的关键． （1）根据网格的特点和垂线的概念求解即可； （2）利用尺规作一个角等于已知角的方法作出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了乘法公式，零指数幂和负整数指数幂： （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可； （3）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可； （4）先把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：已知，，求的值 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 20. 如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与相交于点H，，，，求：的度数．（完成下列填空） 证明：∵（已知） 且（　　） ∴（等量代换） ∴（___________） ∴（　　） ∵（已知） ∴___________，（等量代换） ∴（　　） ∴ ___________ ___________（　　） ∵（已知） ∴___________ 【答案】对顶角相等；；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补； 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．根据同位角相等两直线平行，可证，进而利用平行线的性质和判定证明． 【详解】略 21. 如图，在一块正方形的钢板中挖去两个边长分别为a，b的小正方形． （1）求剩余钢板的面积； （2）若原钢板的周长是40，且，求剩余钢板的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式与几何图形面积的关系，熟记完全平方公式是解本题的关键． （1）用大的正方形的面积减去两个小的正方形面积即可； （2）由周长为40得到，再由，可得，再代入（1）中的代数式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得，剩余钢板的面积为： ． 【小问2详解】 解：∵原钢板的周长是40， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴剩余钢板的面积． 22. 如图，，，，平分交于点． （1）求的度数； （2）试说明． 【答案】（1） （2） ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． （1）由可得，进而可得的度数； （2）由可得，结合平分，可得，再由平行线的判定，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 23. 某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过12吨，按每吨1.5元收费，如果超过12吨，未超过的部分仍按每吨1.5元收费，超过部分按每吨3元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元． （1）分别写出当每月用水是未超过12吨和超过12吨时，y与x之间的函数表达式； （2）若该城市某用户6月份和7月份共用水30吨，且6月份的用水量不足12吨，两个月一共交水费57元，求该用户7月份用水多少吨？ 【答案】（1）时，；时， （2）该用户月份用水20吨． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，找出所求问题需要的条件． （1）根据每户每月用水量如果未超过吨，按每吨元收费．如果超过吨，未超过的部分仍按每吨元收费，超过部分按每吨元收费，可以得到与的函数关系式； （2）根据题意结合第一问中的函数关系式，列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，． 即时，；时，； 【小问2详解】 解：设6月份的用水量为吨，7月份用水为吨， 依题意可得：， 解得：， ， 答：该用户月份用水20吨． 24. 【问题初探】 数学课上，老师和学生做数学书“做一做”的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，，． （1）若，则______； （2）与的数量关系是______． 【类比探究】 （3）如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度打击白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时，，并且，；如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角，那么______度才能保证黑球准确入袋； 【学科融合】 （4）小明提出新的问题情境，在物理学中，光的反射跟台球的运动轨迹相似．光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角）等于入射光线与法线的夹角（入射角）；如图①，为一镜面，为入射光线，入射点为点，为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角．现有一激光反光装置，、是两块可以分别绕A、B两点转动的镜面，O点是激光发射装置，由O点发出的激光照射在点A和点B处，、是两束反射光线．A、B处于同一水平高度，已知入射光线和与水平线的夹角分别是和，镜面与立杆的夹角，则反射光线与水平面夹角______；通过调节的角度，当______时，反射光线和平行． 【答案】（1）30；（2）相等；（3）40；（4）； 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，理解反射角等于入射角，准确识图，熟练掌握平行线的性质及角度的计算是解决问题的关键． （1）根据的度数可得的度数，进而可得的度数； （2）根据平角的定义得到，则可得 （3）根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后求出，即可得到的度数； （4）过点作，过点作，依题意得，，，，，则，再由，得，再根据可得，进而得，据此可得的度数；设，则，进而得，则，然后根据得，则，由此解出即可得的度数． 【详解】解：（1）由题意得，，，， 若，则； 故答案为：30； （2）∵，， ∴与的数量关系是相等，； 故答案为：相等； （3）如图，过点作， 由题意可得：， ， ， ， ， ， ． ∴等于40度时，才能保证黑球能直接入袋． 故答案为：40； （6）过点作，过点作，如图所示： 根据反射角等于入射角得：，， 依题意得：，，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 设，则， ，， ， ， ， 当时，， ， ． 即． 故答案为：；． 25. 某校科技小组进行了机器人行走性能试验，在实验场地有三点顺次在同一笔直赛道上，两点之间的距离是90米，甲、乙两机器人分别从两点同时同向出发到终点，乙机器人始终以50米/分的速度行走，乙行走9分钟到达点，设两机器人出发时间为分钟，当时，甲追上乙，前4分钟甲机器人的速度保持不变，在时，甲的速度为另一数值，且甲乙两机器人之间的距离保持不变． （1）两点之间的距离是________米，在时，甲机器人的速度________米/分； （2）求甲机器人前3分钟的速度为多少米/分？ （3）求两机器人前6分钟内出发多长时间相距28米？ （4）若6分钟后，甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，直接写出甲乙两机器人之间的距离（米）与行走时间（分）之间的关系式． 【答案】（1）540，50 （2）80米/分 （3）当出发分钟或分钟时两机器人相距28米 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数运算的应用、一元一次方程解决追及问题、一次函数解决行程问题等知识，解题的关键是理解题意，找到等量关系． （1）根据“路程速度时间”计算即可得到两点之间的距离，即可计算两点之间的距离；根据在时，甲的速度为另一数值，且甲乙两机器人之间的距离保持不变，可得两机器人速度一样，即可得到答案； （2）设时甲的速度为米/分，根据当时，甲追上乙，列方程即可求出的值，即可得到答案； （3）分相遇前相距28米与相遇后相距28米两类情况讨论，即可得到答案； （4）根据（1）（2）得到两机器人距离，结合“路程速度时间”列式即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵乙机器人始终以50米/分的速度行走，乙行走9分钟到达点， ∴两点之间的距离是米， ∵两点之间的距离是90米， ∴两点之间的距离是米； ∵在时，甲的速度为另一数值，且甲乙两机器人之间的距离保持不变， ∴在时，甲的速度与乙的速度一样， ∴在时，甲机器人的速度为50米/分； 【小问2详解】 设时甲的速度为米/分， 由题意可得，， 解得， 答：甲机器人前3分钟的速度为80米/分； 【小问3详解】 解：设相距28米时间为分钟， 当相遇前相距28米时，可有， 解得； 当相遇后相距28米时， ∵， ∴4分钟内两机器人相遇后相距28米时， 由题意可得， 解得． 综上所述，当出发分钟或分钟时两机器人相距28米； 【小问4详解】 解：∵，在时，甲的速度为另一数值，且甲乙两机器人之间的距离保持不变， ∴时，两机器人相距距离为：30米； ∵6分钟后，甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期期中学业水平质量检测 七年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 温馨提示： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡和答题纸上． 2．回答Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．或写在答题纸上．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（共48分） 一、选择题（每小题3分，每题只有一个正确选项，共24分） 1. 下列运算正确的是(　　) A. (－a5)2＝a10 B. 2a·3a2＝6a2 C. a8÷a2＝a4 D. －6a6÷2a2＝－3a3 2. 下列各式中，一定成立的是 A. B. C. D. 3. 正方形的边长增加了，面积相应增加了，则这个正方形原来的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克，已知1克=1000毫克，那么0.000037毫克可用科学记数法表示为 A. 3.7×10﹣5克 B. 3.7×10﹣6克 C. 37×10﹣7克 D. 3.7×10﹣8克 5. 如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判断的条件是（　　） A. ①② B. ③④ C. ①③④ D. ①②③ 6. 如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠D的关系是（ ） A. ∠ABE＝3∠D B. ∠ABE﹢∠D＝180° C. ∠ABE－∠D＝90° D. ∠ABE＝2∠D 7. 如图，直解三角板的直角顶点落在直尺边上，若∠1=56°，则∠2的度数为（　　） A. 56° B. 44° C. 34° D. 28° 8. 从甲地到乙地的铁路路程约为600千米，高铁速度为300千米/小时，中途不停；动车速度为200千米/小时，行驶180千米后，中途要停靠徐州6分钟，若动车先出发半小时，两车与甲地之间的距离y（千米）与动车行驶时间x（小时）之间的函数图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，每题只有一个正确选项，共24分） 9. 如图，已知AB∥CD，∠1=130°，则∠2=___________． 10. 如图，沿虚线剪去长方形纸片相邻的两个角，使，则________ 11. 已知，，则________． 12. 已知2a=5，2b=10．2c=50，那么a、b、c之间满足的等量关系是________． 13. 定义为二阶行列式，规定它的运算法则为．则二阶行列式的值为______． 14. 通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式(一定成立的等式),请根据图写出一个代数恒等式是:__________. 15. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）： 温度/℃ -20 -10 0 10 20 30 声速/m/s 318 324 330 336 342 348 当空气温度为℃时，声音经过5s可以传播的路程是________米． 16. 某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是______（填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 第Ⅱ卷（共72分） 17. 作图题 （1）在下面网格图中，A，B、M为格点，画线段线段． （2）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹：已知，D是的边上一点，求作射线，使，交于E． 18. 计算： （1） （2） （3） （4） 19. 先化简，再求值：已知，，求的值 20. 如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与相交于点H，，，，求：的度数．（完成下列填空） 证明：∵（已知） 且（　　） ∴（等量代换） ∴（___________） ∴（　　） ∵（已知） ∴___________，（等量代换） ∴（　　） ∴ ___________ ___________（　　） ∵（已知） ∴___________ 21. 如图，在一块正方形的钢板中挖去两个边长分别为a，b的小正方形． （1）求剩余钢板的面积； （2）若原钢板的周长是40，且，求剩余钢板的面积． 22. 如图，，，，平分交于点． （1）求的度数； （2）试说明． 23. 某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过12吨，按每吨1.5元收费，如果超过12吨，未超过的部分仍按每吨1.5元收费，超过部分按每吨3元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元． （1）分别写出当每月用水是未超过12吨和超过12吨时，y与x之间的函数表达式； （2）若该城市某用户6月份和7月份共用水30吨，且6月份的用水量不足12吨，两个月一共交水费57元，求该用户7月份用水多少吨？ 24. 【问题初探】 数学课上，老师和学生做数学书“做一做”的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，，． （1）若，则______； （2）与的数量关系是______． 【类比探究】 （3）如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度打击白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时，，并且，；如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角，那么______度才能保证黑球准确入袋； 【学科融合】 （4）小明提出新的问题情境，在物理学中，光的反射跟台球的运动轨迹相似．光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角）等于入射光线与法线的夹角（入射角）；如图①，为一镜面，为入射光线，入射点为点，为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角．现有一激光反光装置，、是两块可以分别绕A、B两点转动的镜面，O点是激光发射装置，由O点发出的激光照射在点A和点B处，、是两束反射光线．A、B处于同一水平高度，已知入射光线和与水平线的夹角分别是和，镜面与立杆的夹角，则反射光线与水平面夹角______；通过调节的角度，当______时，反射光线和平行． 25. 某校科技小组进行了机器人行走性能试验，在实验场地有三点顺次在同一笔直赛道上，两点之间的距离是90米，甲、乙两机器人分别从两点同时同向出发到终点，乙机器人始终以50米/分的速度行走，乙行走9分钟到达点，设两机器人出发时间为分钟，当时，甲追上乙，前4分钟甲机器人的速度保持不变，在时，甲的速度为另一数值，且甲乙两机器人之间的距离保持不变． （1）两点之间的距离是________米，在时，甲机器人的速度________米/分； （2）求甲机器人前3分钟的速度为多少米/分？ （3）求两机器人前6分钟内出发多长时间相距28米？ （4）若6分钟后，甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，直接写出甲乙两机器人之间的距离（米）与行走时间（分）之间的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $