精品解析：江苏省盐城市八校2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

2024~2025学年第一学期高三年级考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知条件，条件，若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（ ）（参考数据：） A. 8分钟 B. 9分钟 C. 10分钟 D. 11分钟 8. 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题，，则命题的否定为， B. “”是“”成立的充要条件 C. 函数的最小值是 D. “”是“函数的零点个数为2”成立的充要条件 11. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数的极小值点为 B. C. 若函数有4个零点，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是___________. 13. 已知，，且，则的最小值为__________. 14. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. （1）求集合； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数（且）. （1）当时，写出函数的单调区间，并用定义法证明； （2）当时，若恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）若的图像在点处的切线经过点，求； （2）为的极值点，若，求实数的取值范围. 18. 已知奇函数，函数的最大值为. （1）求实数的值； （2）求； （3）令，若存在实数，，当函数的定义域为时，值域也为，求实数，的值. 19. 已知函数，且． （1）讨论的单调性； （2）比较与的大小，并说明理由； （3）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期高三年级考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解法求出集合的取值范围，然后根据交集的概念即可求解. 【详解】因为，所以. 故选:B. 2. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数单调性，结合对数运算性质以及指数函数单调性即可比较出大小关系. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性排除选项C，D；再利用特殊值排除选项B即可求解． 【详解】∵，定义域为， 又，可知函数为奇函数，故排除选项C，D； 又由时，，，有，，可得； 当时，，，有，，可得； 故当时，，故排除选项B； 而A选项满足上述条件，故A正确． 故选:A． 4. 函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为的定义域为，且在内单调递增， 可知在内单调递增， 且， 所以函数的唯一一个零点所在的区间是. 故选：B. 5. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性，结合奇函数的性质可得在上单调递增，即可得求解. 【详解】当时，的对称轴为，故在上单调递增. 函数在处连续，又是定义域为的奇函数，故在上单调递增. 因为，由，可得， 又因为在上单调递增，所以，解得. 故选：D 6. 已知条件，条件，若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解命题中涉及的不等式，根据题意可得相应集合的包含关系，列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由，得，所以， 由，得，所以， 因为p是q的必要而不充分条件， 所以，则， 解得， 故选：C. 7. 在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（ ）（参考数据：） A. 8分钟 B. 9分钟 C. 10分钟 D. 11分钟 【答案】C 【解析】 【分析】依题意分别将各组温度数据代入表达式，得出方程组再利用对数运算法则即可求得结果. 【详解】根据题意得，即； 则，所以，可得， 两边取常用对数得， 故选：C. 8. 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，将问题转化为存在唯一的整数使得 在直线下方，再借助导数探讨求解作答. 【详解】令，，显然直线恒过点， 则“存在唯一的整数，使得”等价于“存在唯一的整数使得点在直线下方”， ，当时，，当时，，即在上递减，在上递增， 则当时，，当时，，而， 即当时，不存在整数使得点在直线下方， 当时，过点作函数图象的切线，设切点为，则切线方程为：， 而切线过点，即有，整理得：，而，解得， 因，又存在唯一整数使得点在直线下方，则此整数必为2， 即存在唯一整数2使得点在直线下方， 因此有，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线 方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】讨论，求集合B，在结合集合关系在各选项的条件下列不等式求的范围，由此可判断各选项. 【详解】. 当时，； 当时，； 当时，. 对于选项A，若，则，，故正确. 对于选项B，若，则，故，故正确. 对于选项C，若，则，故，故错误. 对于选项D，若，则，故错误. 故选：AB. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题，，则命题的否定为， B. “”是“”成立的充要条件 C. 函数的最小值是 D. “”是“函数的零点个数为2”成立的充要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断A，根据必要条件的定义和不等式的性质判断B， 设，结合对勾函数性质求函数的最小值，判断C，根据零点的定义，结合指数函数和对数函数图象判断D. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，若，，则， 所以“”不是“”成立必要条件，故B错误； 对于C，设，则，， 设，， 由对勾函数的性质可得，函数在上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以当时，取最小值，最小值为，故C正确； 对于D，令，则， 当时，作出函数，的图象， 由图可知函数的图象有两个交点， 所以当时，函数的零点个数为2； 当时，作出函数，的图象， 由图可知函数，的图象有1个或2个或3个交点， 所以当时，函数的零点个数为1或2或3， 所以“”是“函数的零点个数为2”成立的充分不必要条件， 故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数的极小值点为 B. C. 若函数有4个零点，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】求导，利用导数判断的单调性和最值，可得的图象，进而可以判断A；对于B：根据的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当时，与有2个交点，结合的图象分析求解；对于D：构建，结合导数可得，结合极值点偏移分析证明. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，且当趋近于0或时，趋近于， 可得函数的图象，如图所示： 对于选项A：可知函数的极小值点为，故A正确； 对于选项B：因为，且在内单调递增， 所以，故B错误； 对于选项C：令，可得， 可知函数有4个零点，即与有4个交点， 且的定义域为，且， 可知为偶函数，且当时， 原题意等价于当时，与有2个交点， 由题意可知：，故C正确； 对于选项D：设， 则， 可知在内单调递增，则， 即， 若，不妨设， 则， 且，且在内单调递增， 则，所以，故D错误； 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性，列出不等式，求解即可. 【详解】根据题意，，解得，故实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知，，且，则的最小值为__________. 【答案】##2.25 【解析】 【分析】由基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，运用数形结合法求解本题. 【详解】设， 由图可知，，解得， 由二次函数的对称性可知，的解、满足， 即且， 所以 ， 因为在上单调递增， 所以， 故的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. （1）求集合； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可； （2）由是的必要不充分条件可得，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可. 【小问1详解】 因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解， 即，解得，故集合； 【小问2详解】 由是的必要不充分条件，可知， 当时，既，解得，此时满足， 当时，如图所示， 故且等号不同时成立， 解得， 综上所述，的取值范围是. 16. 已知函数（且）. （1）当时，写出函数的单调区间，并用定义法证明； （2）当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）增区间为，减区间为；证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）求得的定义域，运用复合函数的单调性，结合对数函数和二次函数的单调性，可得所求单调区间，再由单调性的定义证明； （2）由二次函数的值域和对数函数的单调性，求得的最小值，解不等式，可得所求范围. 【详解】（1）由可得，则的定义域为， ， 当时，的增区间为，减区间为. 证明：设，的增区间为，减区间为， 当时，设，可得，，即，可得在递增； 设，可得，， 即，可得在递减. （2）由，，可得， 所以，即为，解得， 即的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法 （1）取值：设是该区间内的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论. 17. 已知函数. （1）若的图像在点处的切线经过点，求； （2）为的极值点，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可求解作答. （2）利用极值点的意义，结合韦达定理、根的判别式列出不等式，求解作答. 【小问1详解】 函数，求导得， 于是函数的图象在点处的切线方程为， 即，而切线过点， 因此，整理得，解得或， 所以或. 【小问2详解】 由（1）知，方程，即有两个不等实根，则，解得， 且，于是 ， 由，得，解得，因此， 所以实数的取值范围是. 18. 已知奇函数，函数的最大值为. （1）求实数的值； （2）求； （3）令，若存在实数，，当函数的定义域为时，值域也为，求实数，的值. 【答案】（1）1；（2）；（3），. 【解析】 【分析】（1）由奇函数得到，解出a； （2）先判断出函数在为增函数，求出的范围，由，利用“轴动区间定”讨论的单调性，求出最大值，写成分段函数的形式； （3）由（2）知，先求出的解析式，由在区间单调递增，分三种情况：①当，②当，③当时，由值域也为建立方程组求出实数，的值. 【详解】解：（1）对于奇函数，由，得， 故实数的值为1 （2）由（1）有， 因为在上单增，所以在上单增， 由，所以在上单减， 所以在上单增，所以函数在为增函数 又由，，有 由 ①当即， ②当时，， ③当时，， 故有 （3）由（2）知，，可得，必有 由函数在区间单调递增，有如下三种情况： ①当时，有，解得，符合题意 ②当时，有，解得，舍去 ③当时，有，解得，舍去 由上知，. 19. 已知函数，且． （1）讨论的单调性； （2）比较与的大小，并说明理由； （3）当时，证明：． 【答案】（1） 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增 （2），理由如下： 由（1）可知，当时，，， 取，，则有， 即，所以； （3） 证明：设，则， 所以在上单调递增，所以， 即当时，， 结合（1）可知，， 当时，成立， 当时，因为，所以， 即． 综上所述，． 【解析】 【分析】（1）分析题意，根据参数的不同范围，含参利用导数讨论单调性即可. （2）根据（1）可知，当时，，，代值进行比较即可. （3）设，则，分不同情况讨论，利用放缩法结合裂项相消法证明不等式即可. 【小问1详解】 易知． ①． 当时，，即，所以在上单调递增，当时，，即，所以在上单调递减； ②．当时，，即，所以在上单调递减，当时，，即，所以在上单调递增；综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式，解题关键是合理运用放缩法，然后再利用裂项相消法求和，得到所要求的不等关系即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $